Không gian lp,q và một số bất đẳng thức cơ bản (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU KHÔNG GIAN Lp,q VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN Demo Version - Select.Pdf SDK Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS TRƯƠNG VĂN THƯƠNG HUẾ, 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Dương Thị Quỳnh Châu Demo Version - Select.Pdf SDK ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo TS Trương Văn Thương Tơi xin phép gửi đến Thầy kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy thân thời gian làm luận văn mà suốt q trình học tập Tơi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy cô giảng dạy Lớp Tốn Giải Tích khóa XXI tồn thể q thầy Khoa Tốn Trường ĐHSP Huế, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực luận văn Cuối cùng, xin phép gửi lời cảm ơn đến người thân, bạn bè quan tâm động viên giúp đỡ suốt quãng đường học tập vừa qua Huế, tháng năm 2014 Dương Thị Quỳnh Châu Demo Version - Select.Pdf SDK iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu định nghĩa 1.2 Hàm xếp giảm dần SDK Demo Version - Select.Pdf 1.3 Một số bất đẳng thức không gian Lp 4 15 không gian Lp,q Định nghĩa không gian Lp,q Một số tính chất hàm pq Một số tính chất khơng gian Lp,q 16 16 19 26 Lp,q 35 35 38 42 Các 2.1 2.2 2.3 Một số bất đẳng thức không 3.1 Bất đẳng thức Holder 3.2 Bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii 3.3 Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov gian Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Mở đầu Lý thuyết hàm ngành quan trọng giải tích tốn học nghiên cứu lớp gồm hàm đo không gian có độ đo Với cấu trúc đại số tôpô lớp hàm ta cấu trúc không gian tựa chuẩn, không gian định chuẩn Các kết nghiên cứu tính chất đầy đủ, tính khả ly, có phụ thuộc vào lớp không gian hàm Vào năm 1950, G Lorentz nghiên cứu đưa không gian khơng gian Lp,q Đây khơng gian tổng quát không gian Banach Lp (Ω, Σ, µ) khơng gian độ đo σ-hữu hạn < p ≤ ∞, < q ≤ ∞ Khi đó, khơng gian Lp,q (Ω, µ) (xem [11]) tập hợp tất hàm f đo cho f pq < ∞ với  ∞ q q   dt t p f ∗-(t) < p < ∞, < q < ∞ DemoVersion Select.Pdf SDK t f pq =   < p ≤ ∞, q = ∞ sup t p f ∗ (t) t>0 µf (λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ f ∗ (t) = inf{λ ≥ : µf (λ) ≤ t}, t ≥ Khơng gian (Lp,q , pq ) chứng minh [11] không gian định chuẩn ≤ q ≤ p < ∞ p = q = ∞ Một phần luận văn giới thiệu không gian Lp,q số tính chất khơng gian Lp,q Trên lớp khơng gian Lp , nhà tốn học ngồi nước nghiên cứu số bất đẳng thức bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Bernstein-Nikolski, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Trong luận văn chứng minh bất đẳng thức Holder không gian Lp,q trường hợp tổng quát cho n hàm với độ đo phi hạt nhân Từ đó, chứng minh bất đẳng thức nội suy không gian Lp,q Phần luận văn trình bày kết nghiên cứu H H Bang N M Cong báo [4] bất đẳng thức Bernstein-Nikolski Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov f (k) n ∞ ≤ K(k, n) f n−k ∞ f (n) k ∞, với < k < n nghiên cứu Landau Hadamard với trường hợp n = Năm 1939, Kolmogorov chứng minh bất đẳng thức R với số tối ưu Ck,n Sau Hadamard, Gorny, Matorin nghiên cứu R+ số chưa tối ưu Năm 1970, Schoenberg Cavaretta tìm + tối ưu cho bất đẳng thức R+ Năm 2004, H H Bang M T Thu số Ck,n chứng minh bất đẳng thức cho hàm số không gian Nφ (R+ ) với + Dựa vào phương pháp chứng minh tài liệu [4], chứng số Ck,n minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov cho không gian Lp,q (R+ ) với + số Ck,n < q ≤ p < ∞ Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu, hệ thống hóa tính chất khơng gian Lp,q , tổng quan số kết nghiên cứu chứng minh số bất đẳng thức không gian Lp,q Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Hệ thống hóa số khái niệm không gian hàm, hàm suy rộng, biến đổi Fourier, hàm trơn hóa Trình bày số kiến thức hàm phân bố, hàm Demo - Select.Pdf xếp giảm dần, mộtVersion số bất đẳng thức trongSDK không gian Lp cần thiết cho chương sau Chương 2: Các không gian Lpq Giới thiệu không gian Lpq , chuẩn khơng gian Lpq số tính chất không gian Lpq Chương 3: Một số bất đẳng thức không gian Lpq Chứng minh số bất đẳng thức không gian Lpq bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Landau- Kolmogrov tổng quan kết bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii ... chuẩn không gian Lpq số tính chất khơng gian Lpq Chương 3: Một số bất đẳng thức không gian Lpq Chứng minh số bất đẳng thức không gian Lpq bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức. .. cứu số bất đẳng thức bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Bernstein-Nikolski, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Trong luận văn chứng minh bất đẳng thức Holder không gian Lp,q. .. 38 42 Các 2.1 2.2 2.3 Một số bất đẳng thức không 3.1 Bất đẳng thức Holder 3.2 Bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii 3.3 Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov gian Kết luận