KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP

35 3 Áp dụng bất đẳng thức về hàm lồi để giải một số bài toán sơ cấp 363.1 Các bài toán về tính chất hàm lồi và bất đẳng thức Jensen.. Và đặc biệt hơn nữa, các lýthuyết về hàm lồi còn là

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Huế, tháng 5 năm 2013

Lời cảm ơn

Hoàn thành đề tài này tôi xin phép được gửi đến T.S Trương Văn Thương người Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi trong thời gianlàm khóa luận cũng như trong suốt quá trình học tập ở trường ĐHSP Huế

-Tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảngdạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như tất cả các Thầy Cô Khoa Toán trườngĐHSP Huế, đã truyền đạt kiến thức quý báu cho tôi, quan tâm, nhiệt tình giúp đỡtôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Quang Hóa đã nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong việc đánh latex, cảm ơn những người thân, bạn bè đã luôn quan tâm,động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Huế, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Mai Trúc

1

Mục lục

1.1 Định nghĩa hàm lồi 6

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Một số ví dụ về hàm lồi 6

1.1.3 Ý nghĩa hình học của hàm lồi 7

1.2 Các tính chất của hàm lồi 8

2 Một số bất đẳng thức về hàm lồi 16 2.1 Bất đẳng thức Jensen 16

2.2 Bất đẳng thức Karamata 20

2.2.1 Định nghĩa bộ trội 20

2.2.2 Tính chất 21

2.3 Một số ứng dụng 26

2.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 26

2.3.2 Bất đẳng thức Bernoulli 27

2.3.3 Bất đẳng thức T.Popoviciu 27

2.3.4 Bất đẳng thức A.Lupas 28

2.3.5 Bất đẳng thức Young 29

2.3.6 Bất đẳng thức Holder 30

2.3.7 Bất đẳng thức Minkowski thứ I 31

2

2.3.8 Bất đẳng thức Minkowski thứ II 322.3.9 Bất đẳng thức Schwarz 332.3.10 Bất đẳng thức Nesbitt 342.3.11 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân có

trọng số 342.3.12 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng, trung bình nhân,

trung bình toàn phương và trung bình điều hòa 35

3 Áp dụng bất đẳng thức về hàm lồi để giải một số bài toán sơ cấp 363.1 Các bài toán về tính chất hàm lồi và bất đẳng thức Jensen 363.1.1 Các bài toán về bất đẳng thức đại số 363.1.2 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 403.2 Các bài toán áp dụng bất đẳng thức

Karamata 463.2.1 Chứng minh bất đẳng thức đại số 46

Lời nói đầu

Hàm lồi có một vị trí quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, nó liênquan đến hầu hết các ngành của toán học như : giải tích lồi, tối ưu hóa, giải tíchhàm, hình học, toán học kinh tế, tối ưu phi tuyến, Và đặc biệt hơn nữa, các lýthuyết về hàm lồi còn là một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết một số bài toán vềbất đẳng thức sơ cấp - là một vấn đề được nhiều bạn quan tâm, nó là một trongnhững vấn đề hay và khó nhất của chương trình toán phổ thông, nó thường xuyên

có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, các kỳ thi quốc gia, và

nó gây không ít khó khăn cho người làm toán Nhưng chúng ta có thể giải nó hoàntoàn bằng phương pháp sơ cấp, không vượt quá giới hạn của toán phổ thông nhờvào tính chất của hàm lồi và những bất đẳng thức về hàm lồi

Xuất phát từ những yêu cầu trên và được sự hướng dẫn tận tình của TS TrươngVăn Thương, tôi chọn đề tài “ Hàm lồi và một số bất đẳng thức sơ cấp ” với mongmuốn sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình ở phổ thông

và có thể làm nguồn tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai quan tâm đến vấn đềnày

Nội dung của khóa luận chia làm ba chương :

Chương một trình trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về hàm lồi

Chương hai trình bày hai bất đẳng thức quan trọng của hàm lồi : Bất đẳngthức Jensen, bất đẳng thức Karamata và áp dụng hai bất đẳng thức đó để chứngminh một số bất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức AM-GM, Bernoulli,Bunhiakopski, Young,

Chương ba trình bày hệ thống ứng dụng của bất đẳng thức Jensen, bất đẳngthức Karamata để giải các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác vàbất đẳng thức đại số

4

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử I là một khoảng bất kì trong R (I có thể là một khoảng

mở, đóng, nửa mở bị chặn hoặc không) và f : I → R là một hàm số xác định trên

I Khi đó, f được gọi là hàm lồi trên I nếu với mọi x1, x2 ∈ I và với mọi α ∈ [0, 1]

ta đều có

f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2) (1.1)Nhận xét 1.1.1

(i) f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) trên I nếu dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi

x1 = x2 hoặc khi và chỉ khi α = 0 hoặc α = 1

(ii) Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự)

8Khi đó, phương trình tham số của đoạn thẳng M1M2 là

Nhận xét 1.2.1 Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x1 = x2 hoặc

α = 0 hoặc α = 1, thực hiện như chứng minh trên ta cũng có dấu ” = ” xảy ra, hay

Vậy f0(x) là hàm đơn điệu tăng

(⇐) Giả sử f0(x) là hàm đơn điệu tăng và x1 < x < x2 (x, x1, x2 ∈ I)

Vì f0(x) tồn tại nên f (x) liên tục

Do đó, áp dụng định lý Lagrange ta có ∃ x3, x4 với x1 < x3 < x < x4 < x2 sao cho

Vậy f (x) là hàm lồi trên I

Hệ quả 1.2.1 Cho I ⊂ R là một khoảng và f : I → R khả vi bậc hai trên I Khi

đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) khi và chỉ khi f”(x) ≥ 0 (f”(x) > 0) với mỗi x ∈ I.Chứng minh Theo định lý (1.2.1) ta có hàm f là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f0(x) làhàm đơn điệu tăng trên I, mà f0 tăng (tăng thực sự) nếu và chỉ nếu f” ≥ 0 (f” > 0).Vậy ta có được điều cần chứng minh

Định lý 1.2.2 Nếu hàm số f (x) là lồi trên I → R thì ta luôn có

• f (x) lõm, đơn điệu tăng ⇔ g(x) lồi, đơn điệu tăng

• f (x) lõm, đơn điệu giảm ⇔ g(x) lõm, đơn điệu giảm

• f (x) lồi, đơn điệu giảm ⇔ g(x) lồi, đơn điệu giảm

(ii) Giả sử fi(x), i = 1, n là các hàm lồi trên I và αi > 0, ∀ i = 1, n Khi đó hàmsố

Vậy F (x) là hàm lồi trên I.

Bổ đề 1.2.1 Nếu f (x) là hàm lồi trên I thì tồn tại đạo hàm trái f−0(x), đạo hàmphải f+0 (x) và f−0 (x) ≤ f+0 (x) với mọi x ∈ I

Chứng minh Với mỗi x0 ∈ I cho trước, chọn 0 < u < v sao cho x0− u, x0+ v ∈ IKhi đó theo (1.4) ta có

Từ (1.8) ta có hàm số g(x) = f (x0 + x) − f (x0)

x là hàm không giảm và bị chặn dưới.

Do đó, tồn tại giới hạn phải

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 1.2.2 Đạo hàm phải f+0 (x) của hàm lồi f (x) không giảm và liên tục phảitrên I

Mà theo Bổ đề (1.2.1) ta có f−0 (x2) ≤ f+0 (x2)

Do đó ta có f+0(x1) ≤ f+0(x2)

Vậy đạo hàm phải f+0(x) là hàm không giảm

Theo chứng minh của Bổ đề (1.2.1), ∀ ε > 0 ta có

Vậy hàm f+0(x) liên tục phải

Nhận xét 1.2.3 Tương tự ta cũng có đạo hàm trái f−0(x) không giảm và liên tụcphải (chứng minh tương tự như Bổ đề (1.2.2))

Bổ đề 1.2.3 Hàm lồi f (x) hoàn toàn liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipshitz tạimỗi khoảng hữu hạn

f (x2) − f (x1)

x2− x1

bị chặn tại x1, x2 ∈ [a, b]

hay f (x) thỏa điều kiện Lipshitz tại mỗi khoảng hữu hạn

Định lý 1.2.3 Nếu hàm f (x) lồi trên (a, b) thì f (x) liên tục trên (a, b).

Chứng minh Theo Bổ đề (1.2.1) thì tồn tại các đạo hàm f−0 (x) và f+0 (x), ∀ x ∈ (a, b)

Do đó f vừa liên tục trái, vừa liên tục phải

Vậy f (x) liên tục với mọi x ∈ (a, b)

Nhận xét 1.2.4 Hàm lồi trên [a, b] có thể không liên tục tại đầu mút của [a, b].Chẳng hạn như, hàm số

f (x) =

(

x2− 2x khi x ∈ (0, 2)

lồi trên [0, 2] nhưng không liên tục tại x = 2

Thật vậy, vì f”(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [0, 2] nên f (x) là hàm lồi trên [0, 2]

Nhưng f (x) không liên tục tại x = 2 vì @ lim

(⇐) Giả sử ta có (1.13), ta cần chứng minh

f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2), ∀x1, x2 ∈ I, ∀α ∈ [0, 1] (1.14)

Ta chứng minh bằng phản chứng như sau :

Giả sử (1.14) không thỏa mãn ∀ α ∈ [0, 1] Gọi M0 là giá trị lớn nhất trên [0, 1] củahàm

14Điều này mâu thuẩn với giả thiết α0 là giá trị nhỏ nhất để g(α) đạt giá trị M0.Vậy ta có được

f (αx1+ (1 − α)x2) ≤ αf (x1) + (1 − α)f (x2), ∀x1, x2 ∈ I, ∀ α ∈ [0, 1] (đpcm)

Hệ quả 1.2.2 Cho f : I → R là một hàm liên tục Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0,với mọi x ∈ I và với mọi h > 0 để x + h và x − h nằm trong I

Do đó, theo Hệ quả (1.2.2) ta có hàm ex là hàm lồi

Định lý 1.2.5 Giả sử f là một hàm lồi có đạo hàm hữu hạn trên I Khi đó vớimọi x0 ∈ I, tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm M0(x0, f (x0)) nằm vềphía dưới đồ thị (C)

Chứng minh Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 của đồ thị (C) là

Trường hợp x < x0 được chứng minh tương tự

Định lý 1.2.6 Nếu hàm f (x) là lồi trên I và khả vi tại x0 ∈ I thì với mọi x ∈ I

ta đều có

f (x) − f (x0) ≥ f0(x0)(x − x0)

Chứng minh Vì f là hàm lồi nên ∀ α ∈ [0, 1] ta có

f (x0+ α(x − x0)) = f ((1 − α)x0+ αx) ≤ (1 − α)f (x0) + αf (x)

Đặt h = x − x0

Khi đó đẳng thức trên trở thành

f (x0+ αh) − f (x0) ≤ α [f (x0+ h) − f (x0)] (1.15)Trừ f0(x0)(αh) vào 2 vế của (1.15) rồi chia cho α ta được

f (x0+ αh) − f (x0) − f0(x0)(αh)

α ≤ f (x0 + h) − f (x0) − f0(h)Cho α → 0, vế trái của bất đẳng thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với α nênkhông đổi

Vậy f (x0+ h) − f (x0) − f0(x0)(h) ≥ 0

hay f (x) − f (x0) ≥ f0(x0)(x − x0) (đpcm)

Chương 2

Một số bất đẳng thức về hàm lồi

Trong chương này tôi trình bày hai bất đẳng thức quan trọng của hàm lồi : Bấtđẳng thức Jensen, bất đẳng thức Karamata và áp dụng hai bất đẳng thức đó đểchứng minh một số bất đẳng thức quan trọng như bất đẳng thức AM-GM, Bernoulli,Bunhiakopski, Young,

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với n = 2 thì (2.1) đúng theo định nghĩa của hàm lồi



Chứng minh Vì f (x) là hàm lồi trong khoảng (0, ∞) nên áp dụng bất đẳng thức

18(vi) ∀xi ∈ (a, b), ∀ αi > 0, i = 1, n và

Chứng minh Ta xét các trường hợp sau :

+ Nếu α = 0 hoặc α = x2− x1 thì (2.2) luôn đúng

Mặt khác, do f là hàm lồi trên (a, b) và x1+ α, x2− α ∈ (a, b) nên ta có

Vậy định lý đã được chứng minh

Định lý 2.1.3 Nếu f (x) là hàm lồi trên I và x1, , xn (n ≥ 2) nằm trong tập xác



f x1+ x2

2

+ · · · + f xn−1+ xn

2

+ f xn+ x1

2

.(2.7)

Chứng minh Vì f là hàm lồi nên áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

20Định lý 2.1.4 Nếu f là hàm lồi trên I và a1, , an, (n ≥ 2) nằm trong tập xác

Cho 2 bộ số thực x = (x1, x2, , xn) và y = (y1, y2, , yn) Ta nói bộ x trội

hơn bộ y hay bộ y được làm trội bởi bộ x và ta viết x  y nếu các điều kiện sau

xn, y1 ≥ y2 ≥ ≥ yn, x1+ x2 + · · · + xn = y1+ y2+ · · · + yn và xi

xj ≥ yi

yj, ∀ i < jthì (x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn)

Chứng minh Tính chất (i) khá đơn giản nên giờ ta chỉ cần chứng minh tính chất(ii) và tính chất (iii)

xkyr ≥ xrykSuy ra (x1+ x2+ · · · + xk) yr ≥ (y1+ y2+ · · · + yk) xr.

Định lý 2.2.1 Cho 2 bộ số thực (x1, x2, , xn) và (y1, y2, , yn), (xi, yi ∈ I) thỏamãn điều kiện (x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn) Khi đó, với mọi hàm f (x) khả vi

và lồi thực sự trên I, ta luôn có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi = yi, ∀ i = 1, n

Chứng minh Để chứng minh định lý ta sử dụng biến đổi Abel như sau

Giờ ta chứng minh định lý như sau :

Vì f (x) là hàm lồi nên f (x) − f (y) ≥ (x − y)f0(y), ∀ x, y ∈ I

24Chứng minh Do tính chất đối xứng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Định lý 2.2.2 Nếu hàm số f (x) lồi trên I và x, y, z ∈ I thì

3

+ f  2y + z

3

+ f y + 2z

3

+ f 2x + z

3

+ f  x + 2z

3

.(2.13)

(2y − x − z) + (y − z)

Định lý 2.2.3 Cho hàm số f (x) lồi trên [−a, a], trong đó a > 0 Nếu (x1, x2, , xn)

và (y1, y2, , yn) là 2 bộ số thực thỏa mãn điều kiện

(

xi, yi ∈ [0, a], ∀ i = 1, n(x1, x2, , xn)  (y1, y2, , yn)thì

(y1− x1) + (y2− x2) + · · · + (yn−1− xn−1) ≤ 0(y1− x1) + (y2− x2) + · · · + (yn− xn) = 0.

Đặt ti = yi− xi, ∀ i = 1, n

Gọi (k1, k2, , k2n) là bộ gồm 2n số nhận được từ các bộ (x1, x2, , xn) và (t1, t2, , tn)bằng cách sắp xếp các số x1, x2, , xn, t1, t2, , tn theo thứ tự giảm dần

Theo tính chất của bộ trội ta suy ra

Các bất đẳng thức này có ứng dụng rất quan trọng trong việc giải một số bài toánkhó Sau đây ta sẽ tìm hiểu cụ thể các ứng dụng này

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Chứng minh Ta xét 2 trường hợp sau

2

+ 2f z + x

2



28Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x ≥ y ≥ z Khi đó xảy ra

1 trong 2 khả năng sau



Áp dụng bất đẳng thức Karamata ta được điều phải chứng minh

Hệ quả 2.3.1 Giả sử f (x) là hàm lồi trên I Khi đó với mọi x, y, z ∈ I, 0 ≤ α ≤ 3

+ f y + z

2

+ f z + x

2



2

+ 2f z + x

2

.(2.15)Theo bất đẳng thức Jensen ta có

f x + y + z

3



≤ 13



f x + y2

+ f y + z

2

+ f z + x



f x + y2

+ f y + z

2

+ f z + x

q + r

+ (r + p)f rz + px

r + p



Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x ≥ y ≥ z và x ≥ y ≥

q + r

+ (r + p)f rz + px

r + p

(đpcm)

Nhận xét 2.3.1 Với p = q = r = 1 thì bất đẳng thức A.Lupas trở thành bất đẳngthức T.Popoviciu

Cho 2 dãy số không âm a1, a2, , an và b1, b2, , bn ; p, q là các số hữu tỉ

dương sao cho 1

P

k=1

bqk(k = 1, n)

q Pn

k=1

apk

1p

k=1

(ak+ bk)q(p−1)

!1q

k=1

(ak+ bk)q(p−1)

!1q

32(do q(p − 1) = p).

Nếu ak= bk = 0, ∀ k = 1, n thì (2.22) hiển nhiên đúng

Hệ quả 2.3.3 Nếu p = q = 2 thì bất đẳng thức Minkowski I trở thành



1 + b1

a1

+ ln



1 + b2

a2

+ · · · + ln

Do tính đồng biến của hàm y = ln(1 + ex) nên từ bất đẳng thức trên ta suy

b1 +

a2 2

b2 + · · · +

a2 n

bn ≥ (a1+ a2+ · · · + an)

2

b1+ b2+ · · · + bn .Chứng minh Xét hàm số f (x) = x2 với x ∈ R

b1 +

a2 2

b2 + · · · +

a2 n

bn.

Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi lnx1 = · · · = lnxn hay x1 = · · · = xn.

Vậy định lý đã được chứng minh

2.3.12 Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng, trung

bình nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa

Chương 3

Áp dụng bất đẳng thức về hàm lồi

để giải một số bài toán sơ cấp

Trong chương này tôi trình bày hệ thống ứng dụng của bất đẳng thức Jensen,bất đẳng thức Karamata để giải các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tamgiác và bất đẳng thức đại số

3.1 Các bài toán về tính chất hàm lồi và bất đẳng

thức Jensen

3.1.1 Các bài toán về bất đẳng thức đại số

Bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức đại số nói riêng là một vấn đề khá

cổ điển của toán học, đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp và thú vị nhất,

vì thế luôn cuốn hút rất nhiều đối tượng bạn đọc quan tâm Có rất nhiều phươngpháp để chứng minh bất đẳng thức đại số nhưng ở phần này tôi trình bày phươngpháp sử dụng bất đẳng thức Jensen để chứng minh

Bài toán 3.1.1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an > 0.

(n = 3 ta thu được bài toán (3.1.1))

Bài toán 3.1.2 Cho a, b, x, y > 0 Chứng minh

xlnxa

+ ylny

b



≥ (x + y)lnx + y

a + b.Chứng minh



a + bf

yb

38Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y, a = b.

Bài toán 3.1.3 Cho a > 1, x1, x2, , xn∈ (0, 1) với x1+ x2+ · · · + xn= 1 Chứngminh rằng

Xét hàm số f (x) =



x + 1x

(n − a1− a2− · · · − an)n Chứng minh

Xét hàm số f (x) = lnx − ln(1 − x) với x ∈1

2, 1

i

Suy ra f (x) là hàm lồi trên

1

2, 1i

= 12

12

=

r12

Từ đó suy ra αα+ ββ ≥√2 (đpcm)

3.1.2 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác

Các bài toán chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thườngxuất hiện trong các bài toán lượng giác ở trường phổ thông Và có rất nhiều phươngpháp để chứng minh nó nhưng ở đây phương pháp sử dụng tính lồi và bất đẳngthức Jensen là đem lại hiệu quả nhất

Bài toán 3.1.6 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

1sin2 A2

sin2 B2

sin2 C2

Suy ra f (x) là hàm lồi trên (0, π)





≤ 13



f A2

+ f  B2

+ f C2







≤ 13





1sin2 A2

sin2B2

sin2 C2





1sin2 A2

sin2 B2

sin2 C2

sin2 B2

sin2 C2

≥ 12 (đpcm)

... 2

Một số bất đẳng thức hàm lồi< /h2>

Trong chương tơi trình bày hai bất đẳng thức quan trọng hàm lồi : Bất? ?ẳng thức Jensen, bất đẳng thức Karamata áp dụng hai bất đẳng thức đểchứng minh số. .. dụng bất đẳng thức hàm lồi< /h2>

để giải số toán sơ cấp< /h2>

Trong chương tơi trình bày hệ thống ứng dụng bất đẳng thức Jensen ,bất đẳng thức Karamata để giải toán bất đẳng thức. .. tamgiác bất đẳng thức đại số

3.1 Các tốn tính chất hàm lồi bất đẳng< /h3>

thức Jensen

3.1.1 Các toán bất đẳng thức đại số< /h3>

Bất đẳng thức nói chung bất