Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp hình học

Tac gia cung xin g i l i cam n cac thơy cô giao trong BGH, Phong đao tao – Khoa sau đai hoc tr ng đai hoc Th ng Long Ha Nôi đa tao điêu kiên cho tac gia hoc tơp, ren luyên va hoan thanh

B GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O

NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă

LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C

HÀ N I - N M 2016

B GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O

NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă-ăMAăHOCăVIÊN:ăC00271

LU NăV NăTH CăS :ăTOAN VA THÔNG KÊ

MÃ S : 60460113

NG IăH NG D N KHOA H C:

PGS.TS V TH KHÔI

HÀ N I - N M 2016

1

Luơn v n nay đ c hoan thanh tai tr ng ai hoc Th ng Long Ha Nôi v i s h ng dơn va chố bao tơn tốnh cua PGS- TS Vu Thê Khôi Tac gia xin đ c g i l i cam n sơu s c t i PGS- TS Vu Thê Khôi ng i th y

đa đông viên, h ng dơn nhiêt tốnh giup đ tac gia hoan thanh luơn v n nay

Tac gia cung xin g i l i cam n cac thơy cô giao trong BGH, Phong đao tao – Khoa sau đai hoc tr ng đai hoc Th ng Long Ha Nôi đa tao điêu kiên cho tac gia hoc tơp, ren luyên va hoan thanh khoa hoc thac sy ông th i tac gia xin chơn thanh cam n t i cac thơy cô giao tr c tiêp

tốnh trong t ng bai giang, trang bi t ng nơc thang kiên th c đê tac gia

v ng tin nghiên c u va hoan thiên luơn v n nay

Tuy nhiên do s hiêu biêt cua tac gia con nhiêu han chê nên trong qua trốnh nghiên c u va lam luơn v n không tranh khoi nh ng thiêu sot, tac gia rơt mong nh n đ c s chố bao t n tình, nh ng đong gop y kiên quy bau cua quy thơy cô va cac đôc gia quan tơm t i mang kiên th c đ c nghiên c u trong luơn v n nay

Hà n i, ngay 25 thang 5 n m 2016

Tac gia

ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNguyênăThiăMinhăTrang

h i các em ph i ch c ki n th c, v ng k n ng, bi t v n d ng linh ho t

trong vi c k t h p gi a đ i s vƠ hình h c vƠo bƠi toán sao cho phù h p

M t khác tơm ly chung cac em h c sinh đ u r t s gi i các bai toan liên quan đên ch ng minh b t đ ng th c vƠ n u có gi i thì đôi khi c ng ch th a

nh n nh ng công th c c ng nh l i gi i có s n môt cach thu đông mƠ không hi u b n ch t vơn đê Chính vì hi u đ c b t đ ng th c lƠ m t ph n quan tr ng trong ch ng trình ph thông vƠ h c t t b t đ ng th c s thúc

đ y t duy toán h c c a h c sinh phát tri n m nh m nên tác gi đư manh

dan tốm hiêu, nghiên c u va chon đê tai “Ch ng minh môt sô bât đ ng

th c c ban b ng ph ng phap hinh hoc” cho lu n v n c a mình nh m

m c đích phát huy tốnh tốch c c, t duy, sang tao c a các em đ i v i m ng

ki n th c nƠy T đó các em có th v ng tin khám phá cách gi i m i nƠy vƠo các bƠi ch ng minh b t đ ng th c khó, c ng nh chinh ph c các bƠi toán ch ng minh b t đ ng th c trong các đ thi đ i h c hƠng n m

Tóm l i thông qua lu n v n nƠy, tác gi mu n:

- Kh i d y ni m đam mê toán h c c a các em

n ng t duy toán h c khoa h c

GI I THI U

Luơn v n “Ch ng minh môt sô bât đ ng th c c ban b ng ph ng phap

hinh hoc ” gôm co

bƠy ch ng minh cac b t đ ng th c b ng cách so sánh đ dƠi c a các đo n

th ng vƠ s d ng m t trong các ph ng pháp d i đơy đ thi t l p b t

đ ng th c AM-GM cho hai s d ng vƠ m t s các b t đ ng th c khác

1 Nguyên ly bao ham

Ch ng nƠy d a theo Ch ng II c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ các tƠi li u

tham kh o [2], [3], [6], [11], [15] Ch ng nƠy trình bƠy ch ng minh các

ho c th tích c a m t v t th theo ph ng pháp nguyên lý bao hƠm, dùng

nguyên lý bao hƠm đ thiêt l p b t đ ng th c AM- GM vƠ m t s b t

đ ng th c khác có liên quan

Ch ngăIII M t s bƠi t p áp d ng

Ch ng nƠy trình bƠy m t s các bƠi t p ch ng minh b t đ ng th c c

5

PH NGăPHAPăBIÊUăDIÊNăSỌăD NGăB NGă ỌăDAIă

OANăTH NG

Trong ch ng nƠy vƠ ch ng ti p theo, ta ch ng minh cac b t đ ng th c

ph ng pháp sau đơy

1 Nguyên ly bao ham Ch ng minh m t đo n th ng lƠ m t t p con

c a m t đoan th ng khác Chúng ta s t ng quát ph ng pháp nƠy trong

ch ng ti p theo khi coi các s d ng lƠ bi u th cho sô đo cua di n tích

vƠ th tích Các b t đ ng th c s đ c ch ng minh thông qua các m i

quan h t p h p con

2 Nguyên ly tr c đia Th c t lƠ con đ ng ng n nh t n i hai đi m

lƠ đo n th ng n i hai đi m đó

3 So sánh Pythagore M nh đ I.19 trong cuôn sach c s c a

Euclid “Trong b t kì hình tam giác nƠo c nh đ i di n v i góc l n h n lƠ

c nh l n h n” Do đó trong m t tam giác vuông c nh huy n luôn lƠ c nh

l n nh t Vì v y đ so sánh hai đo n th ng ta coi m t đo n th ng ng v i

4 B t đ ng th c tam giác (đa giác) M nh đ I.20 trong cuôn sach

c s phat biêu r ng “Trong m t tam giác, t ng c a hai c nh b t kì luôn

thì đ dƠi c a m t c nh b t kì trong tam giác luôn bé h n ho c b ng t ng

đ dƠi hai c nh còn l i (t ng t cho các đa giác) VƠ bơt đ ng th c tam giac lƠ m t tr ng h p đ c bi t c a nguyên ly tr c đ a

5 So sánh đ th c a các hàm s N u đ th c a hƠm s

trong kho ng giá tr đó VƠ vì đo n th ng n i t đi m

Hìnhă1.1

Trong hình 1.1 phía trên ta kh ng đ nh r ng có th k t h p các s d ng

v i chi u dƠi c a cac đo n th ng

1.1 B tăđ ng th căliênăquanăt iăhìnhătamăgiác

nay c ng đúng v i nguyên lý bao hƠm Không m t tính t ng quát ta có th

gi s Khi đo v i b t đ ng th c đ c minh h a

trong hình 1.2, ta th y đo n th ng co đô dai đ c bao phu b i hai đo n

th ng co đô dai vƠ Th c t , đơy cung lƠ quá trình mƠ b t c ng i

nƠo c ng cơn dung đ d ng m t hình tam giác v i đ dƠi các c nh cho

tr c b ng th c k vƠ compa

7

Hìnhă1.2

K t qu đ n gi n nƠy có m t s h qu h u ích, đ c bi t khi tam giác đa

Ví d Cho Xet tam giac vuông co chiêu dai cac canh bên la

Hìnhă1.3

Trong ch ng nƠy chúng ta s b t g p các ph ng pháp khác nhau

c a vi c tìm trung bình các s Có l giá tr trung bình n i ti ng nh t lƠ

Trung Bình Công, trung bình công c a hai s vƠ lƠ Giá tr trung

bình khác lƠ c n b c hai c a trung bình bình ph ng, c n b c hai c a

C n b c hai c a trung bình bình ph ng th ng xu t hi n trong v t lý, k

ca gia tri d ng l n ơm, ch ng h n nh sóng

Trong hình 1.4 chúng ta s d ng hai l n b t đ ng th c tam giác đ ch ra

a b

Hìnhă1.4

đ ng th c sau đ c thiêt lơp

Hìnhă1.5

Co thê thơy t hình 1.5 bên trái [5], b t đ ng th c nƠy d n đ n ch n cho

tông chi u dƠi các c nh c a m t tam giác đ c t o nên t ba đ ng chéo

9

c a các m t bên c a m t hình h p ch nh t ho c hình h p v i chi u dƠi

T đo ta co thê m r ng cho bi n s vƠ thu đ c tr ng h p đ c

bi t B t đ ng th c c a Minkowski (Hermann Minkowski, 1864-1909) đ i

Hìnhă1.7

1.3 n-giácătrongăm-giác

M t -giác lƠ m t đa giác c nh N u ta v m t đa giác bên trong m t

đa giác khác (minh h a hình 1.8) Hi n nhiên ta co b t đ ng th c di n tích

nh ng liêu có x y ra b t đ ng th c chu vi? Nhìn chung cơu tr l i lƠ

không vì ta luôn có th v đ c bên trong đa giác nƠy m t đa giác khác có

1 đ n ), áp d ng b t đ ng th c đa giác cho mi n đa giác có các đ nh

S d ng kí hi u gia tri tuyêt đôi bi u thi đ dƠi các c nh c a đa giác,

ta có

Suy ra chu vi c a - giác l i nh h n ho c b ng chu vi c a - giác l i

V y n u m t - giác l i ch a trong m t - giác l i thì ta luôn có chu vi cua - giac nho h n ho c b ng chu vi cua -giac

Cach lam nay rơt co ốch trong viêc thiêt lơp bơt đ ng th c chu vi cua

đa giac lôi va đơy cung chốnh la chốa khoa dơn đên khai niêm vê phep tốnh gơn đung sô cua Archimedes (287-212 tr c công nguyên)

B tăđ ng th c Archimedes

Trong cu n sách nói v ph ng pháp đo đ ng tròn, Archimedes đư tính

x p x t l gi a chu vi m t đ ng tròn v i đ ng kính c a nó b ng vi c

s d ng các đa giác ngo i ti p vƠ n i ti p m t đ ng tròn Khi tính x p x

chu vi c a đ ng tròn v i chu vi các hình đa giác 96 c nh ông đư phát

Tiêp theo sau trung bình công thì trung bình quan tr ng th hai lƠ trung

Ví d

N u m t khoan đ u t đ c t ng trong n m đ u tiên (T c lƠ

ho c vì N u ta s d ng trung bình công thay

th ta s có th tính nh m r ng t l lưi trung bình hƠng n m lƠ vì

bình công l n h n ho c b ng trung bình nhơn

đ c goi la bât đ ng th c gi a trung bình công và trung bình nhân,

lƠ b t đ ng th c AM- GM

13

Có nhi u cách ch ng minh tr c quan b t đ ng th c nƠy, m t trong

H ìnhă1.9

ph ng c nh huy n b ng t ng bình ph ng hai c nh góc vuông vƠ do đó

Chia c hai v c a b t đ ng th c nƠy cho 2 ta đ c b t

đ ng th c AM- GM

hiêu rõ h n v t m quan tr ng c a b t đ ng th c AM-GM ta

cùng tham kh o cơu chuy n v i tiêu đ “ Th a giáo s Ostrowski, theo

ngài b t đ ng th c nào là quan tr ng nh t?”

NhƠ toán h c Alexander M Ostrowski (1893-1986) đư có nhi u đóng góp

quan tr ng cho lý thuy t c a b t đ ng th c Ostrowski th ng xuyên tham

c Trong cu c th o lu n nƠy m t đ ng nghi p đư k l i vi c ông nghe

th y m t nhƠ toán h c tr tu i đư h i giáo s : “Th a giáo s , theo ông b t

đ ng th c nƠo lƠ quan tr ng nh t” NhƠ toán h c tr tu i nƠy c ng đư bi t

r t nhi u v nh ng đóng góp c a ông Ostrowski trong l nh v c nƠy vƠ anh

y đư r t ng c nhiên b i cơu tr l i c a ông Ostrowski: “T t nhiên lƠ b t

đ ng th c gi a trung bình c ng vƠ trung bình nhơn”

BƠiătoán 1.4.1 Trong t t c các hình ch nh t n i ti p đ c trong m t

BƠiătoán 1.4.2 Bai toan c a Dido

Dido lƠ m t công chúa đ n t Phoenician c a thƠnh ph Tyre (hi n nay lƠ thƠnh ph Lebanon) Dido r i thƠnh ph khi anh trai c a bƠ gi t

ch ng c a mình vƠ bƠ đ n Chơu Phi vƠo kho ng 900 n m tr c công

nguyên g n v nh Tunis Dido quy t đ nh mua m nh đ t t ông ch c a

Phi Vì v y bƠ vƠ nh ng ng i tùy tùng c a bƠ có th đ nh c đó BƠ đư

tr Jarbas m t s ti n nhi u b ng m nh đ t bƠ có th rƠo quanh b ng m t

t m da c a m t con bò có đ c cƠng nhi u đ t cƠng t t Dido đư c t

nƠy sau đó tr thƠnh thƠnh ph Carthage i u nƠy dơn đ n bƠi toán c a

15

Dido: LƠm th nƠo đ bƠ y có th đ t đ c nh ng d i da bò trên đ t đ rƠo quanh đ c cƠng nhi u đ t cƠng t t? N u chúng ta gi đ nh r ng m t

đ t b ng ph ng vƠ b đ a trung h i th ng thì gi i pháp t i u chính lƠ đ t

chúng ta đúng nh nh ng gì Dido đư lƠm Bơy gi chúng ta gi i quy t m t bai toan có liên quan: Hình d ng c a hình ch nh t co diên tốch l n nhơt trong hình 1.11 lƠ gì?

Hìnhă1.11

gia tri l n nhơt?

L i gi i

Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có

ng th c x y ra khi Vì v y hình ch nh t co diên tốch l n nhơt

khi chi u dƠi g p hai l n chi u r ng

BƠiătoán 1.4.3 Bai toan c c đai c a Regiomontanus

VƠo n m 1471 Johannes Muller (1436- 1476) đư l y tên

Regiomontanus đ t cho n i sinh c a ông, Konigsberg vƠ ông đư vi t m t

vi trố nao trên trái đ t mƠ co thê nhốn đ c thanh treo theo ph ng th ng

đ ng v i goc nhốn l n nhơt?

Trong tác ph m kinh đi n c a ông 100 bài toán quan tr ng c a

toán h c c b n [4] Heinrich Dorrie vi t r ng “BƠi toán nƠy đáng ph i đ

ý hang đơu đ c bi t nh bƠi toán quan tr ng nh t ph i đ i m t trong l ch

Hìnhă1.12

T hình 1.12 ta th y cái thanh đ c treo bên trên ph n m t c a

ng i quan sát Kho ng cách t đ nh vƠ đáy c a thanh treo đ n đ ng ke

tr c c đ i

L i gi i

đáy c a thanh treo theo t m m t c a ng i quan sát Khi đó

17

ng th c x y ra khi

hay V y ng i quan sát

c n ph i đ ng m t kho ng cách b ng trung bình nhơn gi a chi u cao

1.5 Cacăb tăđ ng th c trungăbinhăkhac

Cho hai s d ng vƠ , ta luôn có

nh trung bình đi u hòa Trung bình đi u hòa c a vƠ đ c

Trung bình đi u hòa x y ra m t cách t nhiên nhi u v trí s p x p,

vố du nh n u chúng ta lái xe ô tô v i quưng đ ng 100km v i v n t c

80km/h vƠ quưng đ ng 100km khác v i v n t c 120km/h khi đó v n t c trung bình cho t ng quưng đ ng lƠ 96km/h, kêt qua nay c ng chốnh la trung bốnh điêu hoa cua 80 va 120

Th t d đê ch ra r ng trung bình đi u hòa c a hai s d ng vƠ

nh h n ho c b ng trung bình nhơn (Áp d ng b t đ ng th c AM-GM

cho hai s , đ ch ng minh). Vì v y b n giá tr trung bình ph i th a mưn

min max

BƠiătoán 1.5 B t đ ng th c Mengoli và s phân kì c a chu i đi u hòa

Pietro Mengoli (1625- 1686) đư thi t l p b t đ ng th c: Cho b t kì ,

ta luôn co

ki m ch ng b t đ ng th c Mengoli ta c n ch ng minh

V y b t đ ng th c Mengoli đư đ c ch ng minh

Mengoli s d ng b t đ ng th c c a mình đ đ a ra b ng ch ng ban đ u

v s phơn kì trong chu i đi u hòa

Gi s chu i h i t lƠ m t s th c , khi đó đ c vi t lƠ

Áp d ng b t đ ng th c Mengoli ta th y đ c s mơu thu n

Suy ra la chuôi phơn kố

19

Hìnhă1.13

Heron vƠ trung binh logarit

tron đ c minh h a trong hình 1.14 N i tơm c a đ ng tròn v i các

đ nh cua tam giac vƠ cac đi m ti p xúc c a đ ng tròn v i các c nh c a tam giác ta đ c ba c p tam giác vuông đ ng d ng trong hình 1.14 Khi

S bi n đ i nƠy đ c g i lƠ đ i bi n Ravi

Hypebol: tiêp xuc v i đ ng th ng t i đi m có

Ý t ng t ng t trên đ c áp d ng đ thi t l p Bât đ ng th c cua

Jordan (Camille Jordan,1832-1922): Cho

sinTrong hình 1.16 chúng ta có m t ph n đ th c a hƠm ti p xúc

v i ti p tuy n t i g c t a đ vƠ c t đ ng t i hai đi m lƠ

g c t a đ vƠ đi m Vì v y đ th c a hƠm lƠ lõm trên

suy ra hƠm s sin n m phốa trên đ ng va n m phốa d i đ ng

, t đo ta co bơt đ ng th c

sin

Hìnhă1.16

Th c ra ta c n ph i th n tr ng khi s d ng đ th hƠm đ thiêt l p

Nh ng đ th không nói cho chúng ta t i sao b t đ ng th c có

lõm ho c l i c a hƠm đ c thay th cho l p lu n c a b t đ ng th c mƠ

chúng ta nhìn th y trong đ th

23

Hìnhă1.17

tròn l ng giac nh hình 1.18 vƠ lƠm đ n gi n hóa bƠi toán

cos

cos

Hìnhă1.18

CH NGăII

PH NGăPHAPăBIÊUăDIÊNăSỌăD NGăB NGăDIÊNă

TICHăHO CăTHÊăTICH

Bơy gi chúng ta m r ng nguyên lý bao hƠm ch ng I b ng cách coi

cac sô d ng bi u thi cho sô đo c a di n tích ho c th tích c a m t v t th

ma v t th nƠy có th đ c ch a trong m t v t th khác Chúng ta b t đ u

v i di n tích lƠ đ i di n c a các s , tr c h t lƠ các s bi u th cho di n

tích c a cac hốnh ch nhơt va hốnh tam giac

Nguyên lý bao hƠm đ c áp d ng trong hai cách: Gia s ta mu n thiêt l p bơt đ ng th c

các ph n g i lên nhau c a m t s m nh ghép

Trong hình 2.1 ta minh h a c hai cách trên b i vi c thiêt l p b t

đ ng th c AM- GM cho các s d ng vƠ

Hìnhă2.1

25

hình vuông có chi u dƠi c nh lƠ ph kín lên m t hình vuông co c nh la

2.1 Baăvíăd

Víăd 2.1.1 Cho lƠ các s d ng, khi vƠ ch khi

Hìnhă2.2

vƠ khi đó, di n tích c a hình ch nh t bên trái nh h n ho c

b ng di n tích c a hình ch nhơt bên ph i va hai hình ch nh t trên

Víăd 2.1.2 B t đ ng th c AM-GM có th đ c minh h a b ng cách s

Hìnhă2.3

Phépătínhăs p s cácăc năb c hai c a Heron

Trong cu n sách Metrika c a ông Heron (N a th hai c a th k th nh t)

đư đ a ra m t ph ng pháp v phép tính s p x c n b c hai c a m t s

…Ph ng pháp c a Newton d a trên ý t ng nƠy

gian ba chiêu cua môt hình l p ph ng Trong hình 2.5 chúng ta nh n

Chebyshev (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894):

(i) Nêu , thi

(ii) Nêu thi

ng th c x y ra khi vƠ ch khi

Ch ng minh

+ TH s d ng k t qu trong ví d 2.1.3 v i

trong hình 2.6, m i c p hình ch nh t có phơn che khuơt co diên tốch nho

h n ho c b ng diên tốch cua môt c p hốnh ch nhơt co tông diên tốch

va do đo

29

ng th c x y ra khi

V y b t đ ng th c Nesbitt đư đ c ch ng minh

BƠiătoán 2.2.2 B t đ ng th c Voicu [15]

gôm chiêu dai, rông va chiêu cao cua hốnh hôp ch nhơt nh minh hoa trong hốnh 2.7 Ch ng minh r ng

tan tan tan

ng th c x y ra n u vƠ ch n u hốnh h p lƠ m t hình l p ph ng

Hinhă2.7

Ch ng minh

tan tan tan

ng th c x y ra khi suy ra

Voicu đư đ c ch ng minh

Cho , khi đó Áp d ng

ng th c x y ra khi vƠ ch khi

Suy ra tan tan tan Nghốa la hốnh hôp đa cho trên la

hốnh lơp ph ng

2.3 Cácăb tăđ ng th c AM-GM cho ba s

đ ng v i bơt đ ng th c

b ng di n tích c a ba hình vuông bên ph i vƠ chúng trùng

NgoƠi ra b t đ ng th c B đ 2.3.a c ng có th đ c ch ng minh

b ng vi c áp d ng b t đ ng th c AM- GM cho các c p s : vƠ ; vƠ

vƠ

BƠiătoán 2.3.1 B t đ ng th c c a Guba [6]

Cho a, b, c biêu thi chiêu dai, chiêu rông, chiêu cao cua môt hốnh

hôp Khi đo bơt đ ng th c Guba chố ra r ng

Ch ng minh

S dung bô đê 2.3 ta co

Ch ng minh [2] Trong hốnh 2.9 riêng cac hốnh ch nhơt mƠu tr ng

bên trái có di n tích khác v i di n tích các hình ch nh t mƠu tr ng bên ph i Còn các hình ch nh t còn l i c hai hình đ c tô mƠu gi ng

nhau vƠ k đ ng chéo gi ng nhau thì co diên tốch giông nhau, theo bô đê

2.3 ta có chiêu cao cua hốnh ch nhơt bên trai nho h n ho c b ng chiêu

hốnh ch nhơt mau tr ng bên phai vƠ hai hình ch nh t trùng khít lên

33

c ng có th minh h a b t đ ng th c nƠy b ng cách dùng thê tốch cua ba

hình nh không gian ba chi u trong hình 2.10 va ta thơy r ng th tích

b ng th tích c a ba hốnh chop co đay la hốnh vuông c nh l n l t

chóp nói trên đ c l p vƠo m t hình l p ph ng c nh b ng a (minh hoa hốnh 2.10) Do đó

Hay ng th c xay ra khi va chố khi

BƠiătoán 2.3.3 Tìm chiêu cao va th tích c a hình tr n i ti p đ c trong

m t hình nón co bán kính đay và chiêu cao

L i gi i

Goi vƠ biêu thi t ng ng bán kính đáy vƠ chiêu cao c a hình

tr Nêu ta g n hốnh non vao m t ph ng toa đô sao cho tơm cua m t đay

H ìnhă2.11