Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản bằng phương pháp hình học

B TR GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O NGă I H CăTH NGăLONG NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă CH NGăMINHăMỌTăSỌăBÂTă C ăBANăB NGăPH NGăTH Că NGăPHAPăHINHăHOC LU NăV NăTH CăS TOÁNăH C HÀ N I - N M 2016 B TR GIÁOăD CăVÀă ÀOăT O NGă I H CăTH NGăLONG NGUYÊNăTHIăăMINHăTRANGă-ăMAăHOCăVIÊN:ăC00271 CH NGăMINHăMỌTăSỌăBÂTă C ăBANăB NGăPH NGăTH Că NGăPHAPăHINHăHOC LU NăV NăTH CăS :ăTOAN VA THÔNG KÊ CHUYÊN NGÀNH: PH NG PHAP TOÁN S C P MÃ S : 60460113 NG IăH NG D N KHOA H C: PGS.TS V TH KHÔI HÀ N I - N M 2016 Thang Long University Libraty L I C Mă N Luơn v n đ Nôi v i s h gia xin đ c hoan tai tr ng hoc Th ng Long Ha ng dơn va chố bao tơn tốnh cua PGS- TS Vu Thê Khôi Tac c g i l i cam n sơu s c t i PGS- TS Vu Thê Khôi ng đa đông viên, h i th y ng dơn nhiêt tốnh giup đ tac gia hoan luơn v n Tac gia cung xin g i l i cam n cac thơy cô giao BGH, Phong đao tao – Khoa sau đai hoc tr ng đai hoc Th ng Long Ha Nôi đa tao điêu kiên cho tac gia hoc tơp, ren luyên va hoan khoa hoc thac sy ông th i tac gia xin chơn cam n t i cac thơy cô giao tr c tiêp đ ng l p giang day va h ng dơn khoa hoc l p cao hoc toan A3 đa nhiêt tốnh t ng bai giang, trang bi t ng nơc thang kiên th c đê tac gia v ng tin nghiên c u va hoan thiên luơn v n Tuy nhiên s hiêu biêt cua tac gia nhiêu han chê nên qua trốnh nghiên c u va lam luơn v n không tranh khoi nh ng thiêu sot, tac gia rơt mong nh n đ c s chố bao t n tình, nh ng đong gop y kiên quy bau cua quy thơy cô va cac đôc gia quan tơm t i mang kiên th c đ c nghiên c u luơn v n Tac gia xin chơn cam n! Hà n i, 25 thang n m 2016 Tac gia ăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăăNguyênăThiăMinhăTrang Thang Long University Libraty M ă ÂU Cac bai toan vê bơt đ ng th c noi chung la cac bai toan kho đôi v i hoc sinh phô thông đa sô hoc sinh phô thông tiêp cac bai toan bơt đ ng th c theo ph ng phap đai sô dê dang h n so v i viêc tiêp cac bai toan bơt đ ng th c theo ph phap hốnh hoc ch a đ ng phap hốnh hoc Ly do: M t la ph c phô biên rông rai, hai la ph ng ng pháp nƠy đòi h i em ph i ch c ki n th c, v ng k n ng, bi t v n d ng linh ho t vi c k t h p gi a đ i s vƠ hình h c vƠo bƠi toán cho phù h p M t khác tơm ly chung cac em h c sinh đ u r t s gi i bai toan liên quan đên ch ng minh b t đ ng th c vƠ n u có gi i c ng ch th a nh n nh ng công th c c ng nh l i gi i có s n môt cach thu đông mƠ không hi u b n ch t vơn đê Chính hi u đ quan tr ng ch c b t đ ng th c lƠ m t ph n ng trình ph thông vƠ h c t t b t đ ng th c s thúc đ y t toán h c c a h c sinh phát tri n m nh m nên tác gi đư manh dan tốm hiêu, nghiên c u va chon đê tai “Ch ng minh môt sô bât đ ng th c c ban b ng ph ng phap hinh hoc” cho lu n v n c a nh m m c đích phát huy tốnh tốch c c, t duy, sang tao c a em đ i v i m ng ki n th c nƠy T em có th v ng tin khám phá cách gi i m i nƠy vƠo bƠi ch ng minh b t đ ng th c khó, c ng nh chinh ph c bƠi toán ch ng minh b t đ ng th c đ thi đ i h c hƠng n m Tóm l i thông qua lu n v n nƠy, tác gi mu n: - T ng thêm v n ki n th c cho em h c sinh - Kh i d y ni m đam mê toán h c c a em - T o cho em thói quen t rèn luy n cho có m t kh n ng t toán h c khoa h c GI I THI U Luơn v n “Ch ng minh môt sô bât đ ng th c c ban b ng ph ng phap hinh hoc ” gôm co - M đơu - Ba ch ng nôi dung Ch ng I Ph Ch ng nƠy d a theo Ch ng pháp bi u di n s d ng b ng đ dƠi đo n th ng ng I c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ tƠi li u tham kh o [4], [5], [7], [8], [9], [10], [12], [13], [14] Ch ng nƠy trình bƠy ch ng minh cac b t đ ng th c b ng cách so sánh đ dƠi c a đo n th ng vƠ s d ng m t ph đ ng th c AM-GM cho hai s d ng pháp d i đơy đ thi t l p b t ng vƠ m t s b t đ ng th c khác Nguyên ly bao ham Nguyên ly tr c đia So sánh Pythagore B t đ ng th c tam giác (đa giác) So sánh đ th c a hàm s Ch ngăII Ph Ch ng nƠy d a theo Ch ng pháp bi u di n s d ng b ng di n tích ho c th tích ng II c a tƠi li u tham kh o [1] vƠ tƠi li u tham kh o [2], [3], [6], [11], [15] Ch ng nƠy trình bƠy ch ng minh b t đ ng th c b ng cách s d ng cac sô d ho c th tích c a m t v t th theo ph ng bi u thi cho sô đo di n tích ng pháp nguyên lý bao hƠm, dùng nguyên lý bao hƠm đ thiêt l p b t đ ng th c AM- GM vƠ m t s b t đ ng th c khác có liên quan Ch ngăIII M t s bƠi t p áp d ng Ch ng nƠy l y t tƠi li u tham kh o [1] vƠ ph n l n tác gi t gi i Ch ng nƠy trình bƠy m t s bƠi t p ch ng minh b t đ ng th c c b n theo ph - ng pháp đ c nêu ch ng I vƠ ch ng II Kêt luơn va tai liêu tham khao Thang Long University Libraty CH PH NGăI NGăPHAPăBIÊUăDIÊNăSỌăD NGăB NGă ỌăDAIă OANăTH NG M t công c đ n gi n va r t hiêu qua viêc ch ng minh m t b t đ ng th c lƠ coi s d Trong ch ng nƠy vƠ ch ng biêu th cho đô dai cac đo n th ng ng ti p theo, ta ch ng minh cac b t đ ng th c b ng cách so sánh đ dƠi đo n th ng va s d ng m t nh ng ph ng pháp sau đơy Nguyên ly bao ham Ch ng minh m t đo n th ng lƠ m t t p c a m t đoan th ng khác Chúng ta s t ng quát ph ch ng ti p theo coi s d ng pháp nƠy ng lƠ bi u th cho sô đo cua di n tích vƠ th tích Các b t đ ng th c s đ c ch ng minh thông qua m i quan h t p h p Nguyên ly tr c đia Th c t lƠ đ ng ng n nh t n i hai m lƠ đo n th ng n i hai m So sánh Pythagore M nh đ I.19 cuôn sach c s c a Euclid “Trong b t kì hình tam giác nƠo c nh đ i di n v i góc l n h n lƠ c nh l n h n” Do m t tam giác vuông c nh huy n lƠ c nh l n nh t Vì v y đ so sánh hai đo n th ng ta coi m t đo n th ng ng v i c nh bên vƠ đo n l i ng v i c nh huy n c a m t tam giác vuông B t đ ng th c tam giác (đa giác) M nh đ I.20 cuôn sach c s phat biêu r ng “Trong m t tam giác, t ng c a hai c nh b t kì l n h n c nh th ba” Do ba đ ng th ng t o thƠnh m t tam giác đ dƠi c a m t c nh b t kì tam giác bé h n ho c b ng t ng đ dƠi hai c nh l i (t giac lƠ m t tr ng t cho đa giác) VƠ bơt đ ng th c tam ng h p đ c bi t c a nguyên ly tr c đ a 5 So sánh đ th c a hàm s N u đ th c a hƠm s n m phía đ th c a hƠm s m t kho ng giá tr kho ng giá tr VƠ đo n th ng n i t t i m đ ng th c m có đ dƠi l n h n ho c b ng không nên b t đ c thiêt l p Hìnhă1.1 Trong hình 1.1 phía ta kh ng đ nh r ng có th k t h p s d ng v i chi u dƠi c a cac đo n th ng B tăđ ng th căliênăquanăt iăhìnhătamăgiác 1.1 Theo nguyên ly tr c đia, n u ba s d ng vƠ tam giác ABC lƠ đ dƠi c nh c a Ng c l i phat biêu c ng v i nguyên lý bao hƠm Không m t tính t ng quát ta có th gi s Khi đo v i b t đ ng th c hình 1.2, ta th y đo n th ng co đô dai th ng co đô dai đ đ c minh h a c bao phu b i hai đo n vƠ Th c t , đơy cung lƠ trình mƠ b t c ng i nƠo c ng dung đ d ng m t hình tam giác v i đ dƠi c nh cho tr c b ng th c k vƠ compa Thang Long University Libraty Hìnhă1.2 K t qu đ n gi n nƠy có m t s h qu h u ích, đ c bi t tam giác đa cho lƠ tam giác vuông Xet tam giac vuông co chiêu dai cac canh bên la Ví d Cho , va chiêu dai canh huyên la Khi đo, nhốn vao hốnh 1.3 ta thơy r ng Nêu ta cho ho c a  b  a b thố Hìnhă1.3 Trong ch ng nƠy s b t g p ph ng pháp khác c a vi c tìm trung bình s Có l giá tr trung bình n i ti ng nh t lƠ Trung Bình Công, trung bình công c a hai s vƠ bình khác lƠ c n b c hai c a trung bình bình ph trung bình bình ph ng đôi v i hai s vƠ C n b c hai c a trung bình bình ph thu t n va ng ca gia tri d ng th lƠ lƠ Giá tr trung ng, c n b c hai c a ng xu t hi n v t lý, k i ta s d ng đ đo đ l n cua nh ng đai l ng l n ơm, ch ng h n nh sóng ng nhơn Trong hình 1.4 s d ng hai l n b t đ ng th c tam giác đ ch r ng đ i v i hai s d ng vƠ , c n b c hai c a trung bình bình ph gi a trung bình công vƠ ng l n trung bình công [5], t c lƠ a b Hìnhă1.4 Các ý t đ ng th c sau đ ng t ng t đ c áp d ng cho ba s d ng vƠ bơt c thiêt lơp a b c Hìnhă1.5 Co thê thơy t hình 1.5 bên trái [5], b t đ ng th c nƠy d n đ n ch n cho tông chi u dƠi c nh c a m t tam giác đ c t o nên t ba đ ng chéo Thang Long University Libraty suy đô thi c a hƠm s th c x y n m phía đ th hƠm s V y ( ) Bài ̀.1.6 Ch ng minh r ng n u Ch ng minh Ta có ng (1)  T d n đ n ch ng minh bƠi toán: N u vƠ Th t v y, xét hai hƠm s Khi Suy vƠ v i vƠ lƠ hƠm đ ng bi n nên M t khác lƠ ti p xúc v i đ ng cong t i Vì nên Hay đ th hƠm s n m phía đ th ham sô V y Bài ̀.1.7 cho la ham l i (0; + ) T ( ) biêu th đ dƠi c nh c a m t tam giác vƠ lƠ n a chu vi Ch ng minh b t đ ng th c sau a) x A z (1) b) z (2) y x Ch ng minh S d ng đ i bi n Ravi B x y C t 56 Thang Long University Libraty suy a) B t đ ng th c (1)  Ch ng minh b t đ ng th c Áp d ng b t đ ng th c gi a trung bình u hòa vƠ trung bình c ng cho ba s d ng ta có  V y y z ( ) b) B t đ ng th c (2) t x y - Ch ng minh Bình ph x z ng đ x y ng v i b t đ ng th c x z y z ng hai v c a b t đ ng th c trên, ta có (luôn đúng) (3) x - Ch ng minh Ta có T (3) vƠ (4) suy x V y y z y ( ) 57 z x y z 3.2 BƠiăt păápăd ngăch ngăII BƠiă3.2.1 M t d ch v chuy n phát nhanh th ng h n ch kích c c a m t b u kiên mƠ s ti p nh n, gói b u ki n không th v t 165 inches chi u dƠi c ng ph n xung quanh, t c lƠ dƠi + r ng + cao Tìm kích th c c a gói b u ki n đ c nh n v i th tích l n nh t? L i gi i l nl G i t bi u di n cho chi u dƠi, r ng, cao c a gói b u ki n Khi bƠi toán tr thƠnh: Tìm giá tr l n nh t c a th tích hình h p th a mưn Ký hi u V lƠ th tích hình h p suy t Áp d ng AM-GM cho ba s d ng ta có: Khi Suy V y gói b u ki n nh n đ c có th tích l n nh t chi u dƠi g p đôi chi u r ng vƠ chi u cao BƠiă3.2.2 S d ng ph hai s d ng pháp quy n p vƠ b t đ ng th c AM-GM cho ng đ ch ng minh b t đ ng th c AM-GM cho 2k s d ng, Ch ng minh 58 Thang Long University Libraty V i theo b t đ ng th c AM-GM cho ta có Gi s b t đ ng th c c ng v i V i t c lƠ ta có : Ta c n ch ng minh b t đ ng th c c ng v i , ta có Hay ch ng minh r ng v i Th t v y ( ) BƠiă3.2.3 Cho lƠ bi u th di n tích c a m t t giác Q v i đ dƠi c nh theo th t (t c lƠ a vƠ c đ i nhau; b vƠ d đ i nhau) Thi t l p b t đ ng th c sau a vƠ b c d Ch ng minh Xét t giác ABCD ta có: , lƠ 59 vƠ di n tích a) Ta có ( ) ng th c x y Ch ng minh t ng t ta có b) Theo k t qu cơu a) Ta có Hay ng th c x y (t c Q lƠ hình ch nh t) ( ) c) Theo cơu b) Áp d ng b t đ ng th c AM-GM cho hai s , ta có t c Q h�nh vu�ng ng th c x y V y vƠ ( ) d) Áp d ng b t đ ng th c AM- RMS cho b n s d ng , ta có Hay 60 Thang Long University Libraty t c Q lƠ hình vuông ng th c x y V y ( ) BƠiă3.2.4 Ch ng minh r ng a Mediant c a hai phơn s có m u s lƠ trung bình c ng b Mediant c a hai phơn s có t s lƠ trung bình u hòa Ch ng minh a Gi s phơn s có m u s lƠ: Khi mediant c a lƠ ( ) V y Mediant c a hai phơn s có m u s lƠ trung bình c ng b Gi s hai phơn s có t s lƠ Khi mediant c a lƠ ( ) V y mediant c a hai phơn s có t s lƠ trung bình u hòa BƠiă3.2.5 Cho lƠ s d ng Ch ng minh r ng Ch ng minh Cách Áp d ng B T Chebyshev (2.2c), ta có:  ng th c x y Hay V y ( ) Cách 61 Áp d ng b t đ ng th c gi a trung bình u hòa vƠ trung bình c ng cho ba s , ta có   BƠiă3.2.6 Cho ( ) vƠ Ch ng minh b ng hình v Ch ng minh Ta có: suy ch ng minh C n ch ng minh T hình v ta th y: Các hình vuông có di n tích v a khít bên m t hình vuông có di n tích l p Do ( ) BƠiă3.2.7 Ch ng minh r ng b t đ ng th c Schur d n t i b t đ ng th c Padoa Ch ng minh Ta có v i b t đ ng th c Schur có d ng  62 Thang Long University Libraty  b t đ ng th c Schur d n t i b t đ ng th c Padoa ( ) V yv i BƠiă3.2.8 S d ng b t đ ng th c Chebysev đ thi t l p b t đ ng th c Mengoli Ch ng minh Áp d ng b t đ ng th c Chebysev (2.2c), ta có V y b t đ ng th c Mengoli đư đ c thi t l p ( ) BƠiă3.2.9 Ch ng minh r ng t t c hình h p ch nh t hình vuông có di n tích m t ngoƠi nh nh t Ch ng minh Ký hi u lƠ di n tích m t ngoƠi; l nl t lƠ chi u dƠi, r ng vƠ chi u cao V lƠ th tích c a hình h p Khi ng th c x y vƠ ch Do n u V c đ nh hình vuông có di n tích m t ngoƠi lƠ nh nh t ( ) 63 BƠiă3.2.10 Dùng hình nh, ch ng minh r ng v i m i , ta có Ch ng minh Ta có: ch ng minh (b), ta có hình sau T hình v ta th y hình vuông có di n tích l p v a khít bên hình vuông c nh Còn hình vuông c nh l p v a khít bên hình đ hình vuông có di n tích lƠ ct ob i (2) T (1) vƠ (2) ta có: ( ) V y BƠiă3.2.11 Cho lƠ ba c nh c a tam giác Ch ng minh r ng Ch ng minh 64 Thang Long University Libraty Nhìn vƠo hình v ta th y hình vuông có c nh c nh l n l t lƠ a,b,c l p v a khít bên hình ch nh t có di n tích lƠ Suy di n tích c a hình vuông nh h n ho c b ng di n tích c a hình ch nh t V y ( ) BƠiă3.2.12 Ch ng minh công th c t ng quát c a t ng Mediant tr ng h p t ng quát sau: lƠ s th c vƠ N u Ch ng minh lƠ s th c d max Không m t tính t ng quát, ta gi s : Khi Ta có mediant c a T max lƠ ng t , ta c ng có Mediant c a vƠ lƠ … vƠ Mediant c a 65 lƠ ng Suy V y ta có: BƠiă3.2.13 C p hình d max ( ) i đơy minh h a m t b t đ ng th c c b n ó lƠ b t đ ng th c nƠo? a) b) L i gi i T hình (b) ta có: Hay ơy lƠ b t đ ng th c c b n AM-GM BƠiă3.2.14 N u lƠ lƠ ba c nh c a m t tam giác vuông có c nh huy n Ch ng minh Vì a, b, c lƠ ba c nh c a m t tam giác vuông có c nh huy n lƠ c nên ta có T b t đ ng th c C n ch ng minh b t đ ng th c Th t v y: V y ( ) 66 Thang Long University Libraty BƠiă3.2.15 Cho Ch ng minh b ng hình v : Ch ng minh T hình v ta th y Do ( ) 67 KÊTăLUÂN Trong luơn v n tác gi đư đ c, nghiên c u vƠ vi t l i m t s k t qu sau Thi t l p đ c b t đ ng th c AM-GM cho hai s d ng vƠ m t s b t đ ng th c trung bình khác b ng cách s d ng m t ph ng pháp nh : So sánh Pythagore, b t đ ng th c tam giác, nguyên lý tr c đ a vƠ so sánh đ th hƠm s Thi t l p đ c b t đ ng th c AM –GM t ba s đ n n s d ng, b t đ ng th c Guha, b t đ ng th c Chebyshev, b t đ ng th c Schur vƠ m t s b t đ ng th c khác b ng cách s d ng ph ng pháp nguyên lý bao hƠm V n d ng đ c ph ng pháp nói vƠo vi c gi i bƠi toán ch ng minh m t s b t đ ng th c c b n b ng ph ng pháp hình h c vƠ m t s bƠi toán có liên quan 68 Thang Long University Libraty TAIăLIÊUăTHAMăKHAO [1] Alsina, Claudi, and Roger B Nelsen When Less is More: Visualizing Basic Inequalities No 36 MAA, 2009 [2] Alsina, C, “The arithmetic mean- geometric mean inequality for three positive numbers”, Mathematics Magazine, 73 (2000), p 97 [3] Arnol'd, V I, Yesterday and Long Ago, Springer, Berlin, 2006 [4] D rrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover, New York, 1965 [5] Ferréol, R, personal communication (2006) [6] Guba, S G, "Zadaca 1797”, Mat V kole (1977), p 80 [7] Kazarinoff, N D, Geometric Inequalities, Mathematical Association of America, Washington, 1961 [8] Maor, E, Trigonometric Delights, Princeton University Press, Princeton, 1998 [9] Nelsen, R B, "The harmonic mean-geometric mean-arithmetic meanroot mean square inequality," Mathematics Magazine, 60 (1987), p 158 [10] Nelsen, R, B, “The sum of a positive number and its reciprocal is at leats two (four proofs)”, Mathematics Magazine, 67 (1994b), p 374 [11] Nesbitt, A M, "Problem 1514”, Educational Times, (1903), pp 3738 [12] Niven, I, Maxima and Minima Without Calculus, Mathematical Association of America, Washington, 1981 [13] Padoa, A, "Una questione di minimo," Periodico di Matematiche, (1925), pp 80-85 [14] Shklarsky, O, N N Chentzov and I M Yaglon, The USSR Olympiad Problem Book, W H Freeman and Co., San Francisco, 1962 [15] Voicu, I, "Problem 18666", Gaz Mat., 86 (1981), p 112 69 C NGăHÒAăXÃăH IăCH ăNGH AăVI TăNAM c l p – T – H nh phúc GI YăXÁCăNH NăCH NHăS AăLU NăV NăTH CăS H vƠ tên tác gi lu n v n: Nguy n Th Minh Trang tƠi lu n v n: CH NG MINH M T S NG TH C C B N vƠo biên b n cu c h p H i đ ng ch m lu n v n th c s ngƠy B NG PH B T NG PHÁP HÌNH H C Chuyên ngƠnh: Toán vƠ Th ng Kê Mư H c viên: C00271 C s đƠo t o: Tr C n c 07/06/2016 t i Tr ng ng i h c Th ng Long i h c Th ng Long vƠ nh n xét, góp ý c th c a thƠnh viên h i đ ng, tác gi lu n v n đư th c hi n ch nh s a sau: Ch nh l i m t s cơu v n trình bƠy Ch nh l i d u ch m cơu, l i trình bƠy v n b n Hà n i, ngày 10 tháng 07 n m 2016 Xácănh năc aăgiáoăviênăh ngăd n Tácăgi ălu năv n Nguy năTh ăMinhăTrang Xácănh năc aăCh ăt chăH iăđ ngăch mălu năv n Thang Long University Libraty [...]... ghép Trong hình 2.1 ta minh h a c hai cách trên b i vi c thiêt l p b t đ ng th c AM- GM cho các s d ng vƠ Hình 2.1 24 Thang Long University Libraty - Trong hình 2.1 , m i tam giác c ng gi ng nh m t tam giác trong hình 1.3, đ u có di n tích lƠ vƠ b n hình tam giác có cùng di n tích nói trên thì v a bên trong m t hình vuông có c nh lƠ - Trong hình 2.1 hai hình vuông có chi u dƠi c nh lƠ hình vuông...c a các m t bên c a m t hình h p ch nh t ho c hình h p v i chi u dƠi biên 1.2 vƠ nh hình bên ph i c a hốnh 1.5 ng g păkhúc Nguyên lý tr c đ a đ i v i nh ng đ 1.4 vƠ 1.5, có th đ ng g p khúc đ c minh h a hình c m r ng cho các b t đ ng th c khác Ví d Cho b n s d ng b t kì vƠ ta có Bơt đ ng th c đ c minh h a trong hình 1.6 [7] Hình 1.6 T đo ta co thê m r ng cho bi n s vƠ thu... c nƠy vƠ anh y đư r t ng c nhiên b i cơu tr l i c a ông Ostrowski: “T t nhiên lƠ b t đ ng th c gi a trung bình c ng vƠ trung bình nhơn” 13 BƠiătoán 1.4.1 Trong t t c các hình ch nh t n i ti p đ đ c trong m t ng tròn bán kính , hình vuông có di n tích l n nh t Hình 1.10 Ch ng minh Gi s vƠ bi u th đ dƠi các c nh c a m t hình ch nh t khi đó Kí hi u lƠ di n tích c a hình ch nh t Áp d ng b t đ ng th c AM-... chi u dƠi c nh lƠ vƠ hai ph kín lên m t hình vuông co c nh la 2.1 Baăvíăd Víăd 2.1.1 Cho lƠ các s d ng, khi vƠ ch khi Hình 2.2 T hình 2.2 ta th y r ng hai hình ch nh t có cùng c nh đáy lƠ vƠ có các c nh bên l n l vƠ t lƠ khi đó, di n tích b ng di n tích vƠ có di n tích theo th t đó lƠ c a hình ch nh t bên trái nh h n ho c c a hình ch nhơt bên ph i va hai hình ch nh t trên trung khốt lên nhau khi... ng trong hình 2.4 b ng vi c s d ng th tích c a hình h p Hình 2.5 2.2 B tăđ ng th c Chebyshev K t qu c a ví d 2.1.3 đ d ng đ c s thiêt l p b t đ ng th c Chebyshev (Pafnuty Lvovich Chebyshev, 1821-1894): nhălýă2.2 Cho va (i) Nêu , khi đo , thi (ii) Nêu thi ng th c x y ra khi vƠ ch khi ho c Ch ng minh s d ng k t qu trong ví d 2.1.3 v i + TH ta đ c Khi đó nh minh h a trong hình 2.6, m i c p hình ch nh... ng minh BƠiătoán 2.2.2 B t đ ng th c Voicu [15] Cho biêu thi cac goc đ c tao b i đ ng cheo v i cac canh gôm chiêu dai, rông va chiêu cao cua hốnh hôp ch nhơt nh minh hoa trong hốnh 2.7 Ch ng minh r ng tan tan tan ng th c x y ra n u vƠ ch n u hốnh h p lƠ m t hình l p ph Hinhă2.7 Ch ng minh Bi n đ i v trái, ta có 29 ng tan tan tan ng th c x y ra khi suy ra tan tan tan Hay hình h p ch nh t đư cho lƠ hình. .. ng th c Guba chố ra r ng Ch ng minh S dung bô đê 2.3 ta co 31 ng cheo cua khôi vƠ Va do đo ( Hay Vơy bơt đ ng th c Guba đa đ ng th c x y ra khi c ch ng minh nhălýă2.3.b Cho Hình 2.9 Ch ng minh [2] Trong hốnh 2.9 riêng cac hốnh ch nhơt mƠu tr ng bên trái có di n tích khác v i di n tích các hình ch nh t mƠu tr ng bên ph i Còn các hình ch nh t còn l i nhau vƠ k đ c hai hình đ c tô mƠu gi ng ng chéo gi... thê tốch cua ng ng lƠ ho c ta minh h a b ng hình nh không gian ba chi u trong hình 2.10 va ta thơy r ng th tích c a hốnh hôp ch nh t v i đô dai cac canh la nh h n ho c b ng th tích c a ba hốnh chop co đay la hốnh vuông c nh l n l lƠ va chiêu cao cua ba chop theo th t đo cung la chóp nói trên đ c l p vƠo m t hình l p ph t Ba hình ng c nh b ng a (minh hoa hốnh 2.10) Do đó Hình 2.10 BƠiătoán 2.3.2 Trong... [14]: Hình 1.7 9 1.3 n-giácătrongăm-giác M t -giác lƠ m t đa giác c nh N u ta v m t đa giác bên trong m t đa giác khác (minh h a hình 1.8) Hi n nhiên ta co b t đ ng th c di n tích nh ng liêu có x y ra b t đ ng th c chu vi? Nhìn chung cơu tr l i lƠ không vì ta luôn có th v đ c bên trong đa giác nƠy m t đa giác khác có chu vi l n b t kì Nh ng n u ta chố xet cac đa giác l i thì cơu tr l i lƠ có Vơy môt hình. .. đ a trung h i th ng thì gi i pháp t i u chính lƠ đ t d i da bò trong hình bán nguy t [12] i u mƠ truy n thuy t đư k l i cho chúng ta đúng nh nh ng gì Dido đư lƠm Bơy gi chúng ta gi i quy t m t bai toan có liên quan: Hình d ng c a hình ch nh t co diên tốch l n nhơt trong hình 1.11 lƠ gì? Hình 1.11 N u vƠ bi u th đ dƠi các c nh c a hình ch nh t vƠ dƠi c a d i da bò thì Tốm lƠ chi u sao cho di n tích