— 3(sin A + sin B + sin C) < (cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B +
tan C) (2) — Giả sử A < B < C = > tan A < tanỉ<tanC và cosA > cos B > cosC.
— Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có — 3(tan Acos A + tan B cos B + tan c cos C) <
< (cos A + cos B + cos C)(tan A + tan B + T A N C ) — Suy ra
— 3(sinA + sin5 + sinC)<(cosA + cos5 + cosC)(tanA + tan5 + tanC) Suy ra (2) đúng. Vậy (1) đúng.
— Ví dụ 3. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng
— 7 T ( tan A tan B tanC>
— --- - - - --- 1 - — 1 —
( 9
- - - - -1- -—- -1- -—-
^ A B c )
■ = > 3.2/?(sin A + sin B + sin C) < +
—
(1
tan
— 3^ A B c )
( 1
— tan A > tan B > tan c tanA tan B tan c
— A B C Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số cùng chiều
ta có: —
—— —
— Hay (tanA + tan5 + tanC)> —
— \
A B Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
— Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác A B C đềụ
— Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tam giác A B C ta luôn có — acosA +
bcosB + ccosC 1 a+b+c 2
— Giải:
— Giả sử a<b<c ta có A<B<C^cosA>cosB>cosC.
— Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có:
3 ( A cos A + B cos B + C cos C) < ( A + B + c)(cos A +
cos B + cos C)
— mà ữong tam giác ABC ta luôn có bất đẳng thức cơ bản: — cosA + cos5 + c o s C < ^ — 2 — nên: Gi 1 Giả sử A > B > C
tanC > ( A + B tanA tan 5 tanC
A
V A + + +
B B
tan A tan 5 tanC
+
3 (tan A + tan B + tan c)
^tan A tan B tanC^ + —— + ——
— acosA + ècosfi + ccosC 3 _1
A + B + C 2.3 2 2
— r?
— Vậy bât đăng thức được chứng minh.Gi
— a=b = c
— cos A = cos B = cos c hay
A A B C đềụ A = B = C
— Bài tập tương tự
— Bài 1. Cho tam giác A B C . Chứng minh rằng:
— sin 2 A + sin 2 B + sin 2C < sin A + sin B + sin c.
— Bài 2.Cho A A B C nhọn. Chứng minh
— cosA + cos5 + cosC cotA + cot- 6
+ cotC sin A + sin 5 + sin c 3
— Bài 3.Cho đa giác N cạnh có độ dài tương ứng là A L , A 2 , . . . . A >1 và chu vi P thỏa mãn — 1 1 1 - + ——— + ... + —— = 1 — —--- — p — 2 a x p — 2 a 2 p — 2a n — 2 — KẾT LUẬN
— Bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng ừong Đại số, hay nhưng rất khó. Bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi ở phổ thông, olimpic toán học. Trong khóa luận của em đưa ra một số ứng dụng của
các bất đẳng thức cổ điển như: Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jenssen và bất đẳng thức Chebyshev.
— Do làn đàu tiên làm quen vói công tác nghiên cứu khoa hoc. Mặc dù rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng những do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.
— 1 1 13
— ___________________ b 2 >_________è2_ 2 b 2
— ăa2+b2+aab) Ja2+ b2 + a ự+h2Ỹj~2 + aăa2+b2)
— Tương tự ta có
— a2
— 2 В
—sinAsinC<cos —
— 2
— Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C hay AABC đềụ
— Ví dụ 5. Đặt T = -(l + tan2jc)<0với mọi xeío;—
V 2 _
— J_(l + tan2 xỳỉx - -tanx + c, =-tan л: (chọn С] = 0) J- tanjcdx = lncosx + C2 = lncosx(chọn C2 = 0)