Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị
I.Kiến thức cơ bản
⇔ với phép biến đổi toạ độ:
−
=
−
=
b y Y
a x
X
⇔
+
=
+
=
b Y y
a X x
hàm số Y=F(X)-b là hàm số lẻ
Bài toán 1. CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi toạ độ
−
=
−
=
b y Y
a x
X
⇔
+
=
+
=
b Y y
a X x
hàm số có dạng: Y+b=f(X+a) ⇔ Y=F(X) (1) Bớc 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ
Bớc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng
Giải
Với phép biến đổi toạ độ
+
=
−
=
1 y
Y
1 x
X
⇔
−
=
+
=
1 Y y
1 X x
hàm số Y-1=(X+1)3-3(X+1)2+1=(X+1)3-3(X+1)2+1⇔ Y=X3-3X (1) Hàm số (1) là hàm số lẻ
Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(1, -1) làm tâm đối xứng
xứng- Đề nghị bạn đọc chứng minh
−
+ nhận điểm I(1, 1) làm tâm đối xứng Giải
Trang 2Với phép biến đổi toạ độ
−
=
−
=
1 y
Y
1 x
X
⇔
+
=
+
=
1 Y y
1 X x
Khi đó :
Y+1=((XX+11))−11
+ +
⇔ Y=((XX+11))−11
+ +
-1=
X 2
(1)
Hàm số (1) là hàm số lẻ
Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 1) làm tâm đối xứng
Tổng quát Đồ thị hàm phân thức y= vu((xx)) (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất) nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng- Đề nghị bạn đọc chứng minh
Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ
−
=
−
=
b y Y
a x
X
⇔
+
=
+
=
b Y y
a X x
hàm số có dạng: Y+b=f(X+a) ⇔ Y=F(X) (1) Bớc 2: Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng
⇔ hàm số (1) là hàm số lẻ ⇔tham số
Bớc 3: Kết luận
I(1, 0) làm tâm đối xứng
Giải
Với phép biến đổi toạ độ
=
−
=
y
Y
1 x
X
⇔
=
+
=
Y y
1 X x
hàm số có dạng :
Y=-m 1 (X+1)3+3m(X+1)2-2 là hàm lẻ
Trang 3Y=-m1 (X+1)3+3m(X+1)2-2
=-m
1
X3
+3(m-m
1 )X2
+3(2m-m
1
)X+3m-m
1 -2 (1)
Hàm số (1) là hàm số lẻ
⇔
=
−
−
=
−
0 2 m
1 m
3
0 ) m
1 m
(3
⇔ m=1
Vậy, với m=1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 0) là tâm đối xứng
Bài toán 3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng qua điểm I(a, b)
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) & B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số
Bớc 2: Hai điểm A & B đối xứng qua điểm I(a, b)
⇔
= +
=
+
b2 y y
a2 x x
B A
B A
⇒ toạ độ A & B
1 x
m x m 2
x2 2 2
+
+ + Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
Giải
Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số có dạng :
A(xA,
1 x
m x m 2 x
A
2 A 2 2 A
+
+ +
) & B(xB,
1 x
m x m 2 x
B
2 B 2 2 B
+
+ +
) Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
⇔
= +
+ +
+ +
+ +
= +
)2 (
0 1
x
m x m 2
x 1
x
m x m 2 x
)1 ( 0
x x
B
2 B 2 2 B A
2 A 2 2
A
B A
Thay (1) vào (2) ta đợc: (2m2-1) 2
A
Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (3) phải có nghiệm
Trang 4Do 0< 2
A
x ≠1 nên:
0<
1 m
2
m
2
2
− ≠1 ⇔
−
<
≠
−
≠
<
2
2 m
1
1 m 2
2
Bài toán 4. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua điểm I.(x0, y0)
phơng pháp chung
Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua điểm I(x0, y0) Bớc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)∈(H) ⇔∃M1(x1, y1)∈(C) sao cho M đối xứng
với M1 qua I(x0, y0) ⇔∃ x1, y1 thoả mãn:
= +
= +
=
0 1
0 1
1 1
y2 y y
x2 x x
) x(
f y
(I)
Bớc 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H)
2 x
) 1 x
−
− Tìm phơng trình đờng cong
đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua điểm I(1, 1)
Giải
Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua điểm I(1, 1)
Khi đó, với mỗi M(x, y)∈(H) ⇔∃M1(x1, y1)∈(C) với: y1=
2 x
) 1 x (
1
2 1
−
−
(1) sao cho M đối xứng với M1 qua điểm I(1, 1) ⇔∃ x1, y1 thoả mãn:
= +
=
+
2 y
y
2 x
x
1
1
⇔
−
=
−
=
y 2 y
x 2 x
1
1
Thay (I) vào (1), ta đợc: y=
x
1
x2 + . Vậy, đờng cong (H) có phơng trình : y=
x
1
x2 + . II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐHNN I-99): Cho hàm số y=
1 x
x + Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm hai đ-ờng tiệm cận làm tâm đối xứng
bài giải
Trang 5Ta có: tiệm cận đứng: x=-1 vì xlim1
−
→ y=∞ tiệm cận ngang: y=1 vì xlim→∞y=1.
Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận, ta có: I(-1, 1)
Ta đi chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thị Thật vậy:
Với phép biến đổi toạ độ:
−
=
+
=
1 y Y
1 x
X
⇔
+
=
−
=
1 Y y
1 X x
hàm số Y+1=(XX−1−)1+1 ⇔ Y=(XX−1−)1+1
-1=-X 1
(1)
Hàm số (1) là hàm lẻ
Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(-1, 1) làm tâm đối xứng
Bài 2 (ĐH Huế/Khối A&B - 2000): Cho hàm số
y=x-1 x
1 + Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng
bài giải
Ta có: tiệm cận đứng: x=-1 vì xlim1
−
→ y=∞ tiệm cận xiên: y=x vì xlim→∞(y-x)=0.
Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận, ta có: I(-1, -1)
Ta đi chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thị Thật vậy:
Với phép biến đổi toạ độ:
+
=
+
=
1 y
Y
1 x
X
⇔
−
=
−
=
1 Y y
1 X x
Khi đó :
Y-1=X-1-(X−11)+1 ⇔ Y=
X-X
1
là hàm lẻ
Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(2, 1) làm tâm đối xứng
Bài 3 (ĐHL-99): Cho hàm số y=
2 x
1 m 2 x ) 4 m (
x2
−
+
−
−
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2, 1) làm tâm đối xứng
bài giải
Điểm I(2, 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ:
Trang 6
−
=
−
=
1 y
Y
2 x
X
⇔
+
=
+
=
1 Y y
2 X x
hàm số sau là hàm lẻ
Y+1=
2 ) 2 X (
1 m 2 ) 2 X )(
4 m ( ) 2 X (
− +
+
− +
− + + Xét hàm số:
2 ) 2 X (
1 m 2 ) 2 X )(
4 m ( ) 2 X (
− +
+
− +
− +
X
3 m 2 X )
1
m
(
X
2 2 + − − − (1)
Hàm số (1) là hàm lẻ ⇔ m-1=0 ⇔ m=1
Vậy, với m=1 đồ thị hàm số nhận I(2, 1) làm tâm đối xứng
Bài 4 (ĐHTS - 2000): Cho hàm số y=
2 x
m 5 mx 4
x2
−
+
m) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
bài giải
Hai điểm A(xA,
2 x
m 5 mx 4 x
A A
2 A
−
+
−
) & B(xB,
2 x
m 5 mx 4 x
B B
2 B
−
+
−
) thuộc (Cm) Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
⇔
=
−
+
− +
−
+
−
= +
)2 (
0 2
x
m 5 mx 4
x 2
x
m 5 mx 4 x
)1 ( 0
x x
B B
2 B A
A
2
A
B A
Thay (1) vào (2) ta đợc:
(2m-1) 2
A
Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (3) phải có nghiệm
Do 0<x2A≠4 nên:
0<
1 m
2
m
5
− ≠4 ⇔
<
≠
<
0
4 m 2
1
Vậy, với 21 <m≠ 34 hoặc m<0 thoả mãn điều kiện đầu bài
Bài 5 (ĐHTL-99): Cho hàm số y=x3-3mx2+3(m2-1)x+1-m2 (Cm) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Trang 7bài giải
Hai điểm: A(xA, yA) với yA= 3
A
x - 3m 2
A
x +3(m2-1)xA+1-m2, (1) B(xB, yB) với yB= 3
B
x - 3m 2
B
x +3(m2-1)xB+1-m2, (2) thuộc đồ thị hàm số
Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
⇔
= +
=
+
)4(
0 y y
)3(
0 x x
B A
B A
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta đợc: 3m 2
A
Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (5) phải có nghiệm
Do 0< 2
A
x nên:
0<
m
3
m
1− 2 ⇔
<
<
−
<
1 m 0 1 m
Vậy, với m<-1 hoặc 0<m<1 thoả mãn điều kiện đầu bài
III.Bài tập đề nghị
là tâm đối xứng
1 x
2 x
x2
−
+ + (C) Tìm tất cả các cặp điểm M1, M2 trên (C) đối xứng với nhau qua điểm I(0, 5/2)
1 x
m mx
−
+
− Xác định m để đồ thị của hàm số
có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
a (ĐH Đà nẵng-97): y=x3-(m+3)x2+mx+m+5 (Cm)
b (ĐNTCKT - 96): y=x3+mx2+7x+3
c (HVKTQS - 99): y=-x3+(1-m)x2+(4-m)x+1
d (ĐHTS - 2000): y=
2 x
m 5 mx 4
x2
−
+
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt
đối xứng nhau qua gốc toạ độ