Chủ đề: Hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

chủ đề 4 hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị I.Kiến thức cơ bản Định nghĩa 1: Điểm I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị y=f(x) với phép biến đổi toạ độ: = = byY axX += += bYy aXx hàm số Y=F(X)-b là hàm số lẻ. Bài toán 1. CMR đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Với phép biến đổi toạ độ = = byY axX += += bYy aXx hàm số có dạng: Y+b=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ. Bớc 3 : Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. Ví dụ 1: CMR đồ thị hàm số y=x 3 -3x 2 +1 nhận điểm I(1, -1) làm tâm đối xứng. Giải. Với phép biến đổi toạ độ += = 1yY 1xX = += 1Yy 1Xx hàm số Y-1=(X+1) 3 -3(X+1) 2 +1=(X+1) 3 -3(X+1) 2 +1 Y=X 3 -3X (1) Hàm số (1) là hàm số lẻ. Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(1, -1) làm tâm đối xứng. Tổng quát. Đồ thị hàm bậc ba y=ax 3 +bx 2 +cx+d nhận điểm uốn làm tâm đối xứng- Đề nghị bạn đọc chứng minh. Ví dụ 2: CMR đồ thị hàm số y= 1x 1x + nhận điểm I(1, 1) làm tâm đối xứng. Giải. Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 37 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Với phép biến đổi toạ độ = = 1yY 1xX += += 1Yy 1Xx Khi đó : Y+1= 1)1X( 1)1X( + ++ Y= 1)1X( 1)1X( + ++ -1= X 2 (1) Hàm số (1) là hàm số lẻ Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 1) làm tâm đối xứng. Tổng quát. Đồ thị hàm phân thức y= )x(v )x(u (bậc nhất trên bậc nhất và bậc hai trên bậc nhất) nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng- Đề nghị bạn đọc chứng minh. Bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y=f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng. phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Thực hiện phép biến đổi toạ độ = = byY axX += += bYy aXx hàm số có dạng: Y+b=f(X+a) Y=F(X) (1) Bớc 2 : Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng hàm số (1) là hàm số lẻ tham số . Bớc 3 : Kết luận. Ví dụ 3 (Đề 76): Xác định m để đồ thị hàm số y=- m 1 x 3 +3mx 2 -2 nhận điểm I(1, 0) làm tâm đối xứng. Giải. Với phép biến đổi toạ độ = = yY 1xX = += Yy 1Xx hàm số có dạng : Y=- m 1 (X+1) 3 +3m(X+1) 2 -2 là hàm lẻ. Ta có: 38 Chủ đề 4: Hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị Y=- m 1 (X+1) 3 +3m(X+1) 2 -2 =- m 1 X 3 +3(m- m 1 )X 2 +3(2m- m 1 )X+3m- m 1 -2 (1) Hàm số (1) là hàm số lẻ = = 02 m 1 m3 0) m 1 m(3 m=1. Vậy, với m=1 đồ thị hàm số nhận điểm I(1, 0) là tâm đối xứng. Bài toán 3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng qua điểm I(a, b). phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Lấy hai điểm A(x A , y(x A )) & B(x B , y(x B )) thuộc đồ thị hàm số. Bớc 2 : Hai điểm A & B đối xứng qua điểm I(a, b) =+ =+ b2yy a2xx BA BA toạ độ A & B. Ví dụ 4 (Đề 18): Cho hàm số y= 1x mxm2x 222 + ++ . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. Giải. Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số có dạng : A(x A , 1x mxm2x A 2 A 22 A + ++ ) & B(x B , 1x mxm2x B 2 B 22 B + ++ ) Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ = + ++ + + ++ =+ )2(0 1x mxm2x 1x mxm2x )1(0xx B 2 B 22 B A 2 A 22 A BA Thay (1) vào (2) ta đợc: (2m 2 -1) 2 A x =m 2 (3) Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (3) phải có nghiệm. 39 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Do 0< 2 A x 1 nên: 0< 1m2 m 2 2 1 < < 2 2 m1 1m 2 2 . Bài toán 4. Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua điểm I.(x 0 , y 0 ). phơng pháp chung Chúng ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1 : Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C): y=f(x) qua điểm I(x 0 , y 0 ). Bớc 2 : Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) sao cho M đối xứng với M 1 qua I(x 0 , y 0 ) x 1 , y 1 thoả mãn: =+ =+ = 01 01 11 y2yy x2xx )x(fy (I) Bớc 3 : Khử x 1 , y 1 từ hệ (I) ta đợc phơng trình của đờng cong (H). Ví dụ 5 (ĐHQG - 95): Cho hàm số : y= 2x )1x( 2 . Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị hàm số (C) qua điểm I(1, 1). Giải. Gọi (H) là đờng cong đối xứng với (C) qua điểm I(1, 1). Khi đó, với mỗi M(x, y)(H) M 1 (x 1 , y 1 )(C) với: y 1 = 2x )1x( 1 2 1 (1) sao cho M đối xứng với M 1 qua điểm I(1, 1) x 1 , y 1 thoả mãn: =+ =+ 2yy 2xx 1 1 = = y2y x2x 1 1 . (I) Thay (I) vào (1), ta đợc: y= x 1x 2 + . Vậy, đờng cong (H) có phơng trình : y= x 1x 2 + . II.Các bài toán chọn lọc Bài 1 (ĐHNN I-99): Cho hàm số y= 1x x + . Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm hai đ- ờng tiệm cận làm tâm đối xứng. bài giải 40 Chủ đề 4: Hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị Ta có: tiệm cận đứng: x=-1 vì 1x lim y= tiệm cận ngang: y=1 vì x lim y=1. Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận, ta có: I(-1, 1). Ta đi chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thị. Thật vậy: Với phép biến đổi toạ độ: = += 1yY 1xX += = 1Yy 1Xx hàm số Y+1= 1)1X( 1X + Y= 1)1X( 1X + -1=- X 1 (1) Hàm số (1) là hàm lẻ. Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(-1, 1) làm tâm đối xứng. Bài 2 (ĐH Huế/Khối A&B - 2000): Cho hàm số y=x- 1x 1 + . Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng. bài giải Ta có: tiệm cận đứng: x=-1 vì 1x lim y= tiệm cận xiên: y=x vì x lim (y-x)=0. Gọi I là giao điểm hai đờng tiệm cận, ta có: I(-1, -1). Ta đi chứng minh I là tâm đối xứng của đồ thị. Thật vậy: Với phép biến đổi toạ độ: += += 1yY 1xX = = 1Yy 1Xx Khi đó : Y-1=X-1- 1)1X( 1 + Y= X- X 1 là hàm lẻ. Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(2, 1) làm tâm đối xứng. Bài 3 (ĐHL-99): Cho hàm số y= 2x 1m2x)4m(x2 2 ++ . Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2, 1) làm tâm đối xứng. bài giải Điểm I(2, 1) là tâm đối xứng của đồ thị khi với phép biến đổi toạ độ: 41 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số = = 1yY 2xX += += 1Yy 2Xx hàm số sau là hàm lẻ Y+1= 2)2X( 1m2)2X)(4m()2X(2 2 + ++++ Xét hàm số: Y = 2)2X( 1m2)2X)(4m()2X(2 2 + ++++ -1= X 3m2X)1m(X2 2 + (1) Hàm số (1) là hàm lẻ m-1=0 m=1 Vậy, với m=1 đồ thị hàm số nhận I(2, 1) làm tâm đối xứng. Bài 4 (ĐHTS - 2000): Cho hàm số y= 2x m5mx4x 2 + (C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. bài giải Hai điểm A(x A , 2x m5mx4x A A 2 A + ) & B(x B , 2x m5mx4x B B 2 B + ) thuộc (C m ) Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ = + + + =+ )2(0 2x m5mx4x 2x m5mx4x )1(0xx B B 2 B A A 2 A BA Thay (1) vào (2) ta đợc: (2m-1) 2 A x =5m (3) Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (3) phải có nghiệm. Do 0< 2 A x 4 nên: 0< 1m2 m5 4 < < 0m 3 4 m 2 1 . Vậy, với 2 1 <m 3 4 hoặc m<0 thoả mãn điều kiện đầu bài. Bài 5 (ĐHTL-99): Cho hàm số y=x 3 -3mx 2 +3(m 2 -1)x+1-m 2 (C m ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. 42 Chủ đề 4: Hàm số lẻ - Tâm đối xứng của đồ thị bài giải Hai điểm: A(x A , y A ) với y A = 3 A x - 3m 2 A x +3(m 2 -1)x A +1-m 2 , (1) B(x B , y B ) với y B = 3 B x - 3m 2 B x +3(m 2 -1)x B +1-m 2 , (2) thuộc đồ thị hàm số. Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ =+ =+ )4(0yy )3(0xx BA BA Thay (1), (2), (3) vào (4) ta đợc: 3m 2 A x =1-m 2 (5) Để tồn tại hai điểm A & B thì phơng trình (5) phải có nghiệm. Do 0< 2 A x nên: 0< m3 m1 2 << < 1m0 1m . Vậy, với m<-1 hoặc 0<m<1 thoả mãn điều kiện đầu bài. III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Xác định m để đồ thị hàm số y=-x 3 +3mx 2 -2mx+1 nhận điểm I(1, 1) là tâm đối xứng. Bài tập 2. (ĐHQG TPHCM Đề số 1 97) Cho hàm số y= 1x 2xx 2 ++ (C). Tìm tất cả các cặp điểm M 1 , M 2 trên (C) đối xứng với nhau qua điểm I(0, 5/2). Bài tập 3. Cho hàm số y= 1x mmxx 22 + . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. Bài tập 4. Cho các hàm số : a. (ĐH Đà nẵng-97): y=x 3 -(m+3)x 2 +mx+m+5 (C m ). b. (ĐNTCKT - 96): y=x 3 +mx 2 +7x+3. c. (HVKTQS - 99): y=-x 3 +(1-m)x 2 +(4-m)x+1. d. (ĐHTS - 2000): y= 2x m5mx4x 2 + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (C m ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. 43 . trình (3) phải có nghiệm. Do 0< 2 A x 4 nên: 0< 1m2 m5 4 < < 0m 3 4 m 2 1 . Vậy, với 2 1 <m 3 4 hoặc m<0 thoả mãn điều kiện đầu bài m5mx4x A A 2 A + ) & B(x B , 2x m5mx4x B B 2 B + ) thuộc (C m ) Hai điểm A & B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ = + + + =+ )2(0 2x m5mx4x