Ứng dụng đạo hàm xét sự tiếp xúc của hai đồ thị
Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ VÊn ®Ò 1: Chøng minh hai ®å thÞ tiÕp xóc víi nhau VÊn ®Ò 2: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó hai ®å thÞ tiÕp xóc víi nhau VÊn ®Ò 3: Hä ®å thÞ tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh d¹ng I VÊn ®Ò 4: Hä ®å thÞ tiÕp xóc víi mét ®å thÞ cè ®Þnh d¹ng II Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 sự tiếp xúc của hai đồ thị A. Tóm tắt lí thuyết Mệnh đề: Hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: = = )x('g)x('f )x(g)x(f . Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Chứng minh hai đồ thị tiếp xúc với nhau Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hai đồ thị hàm số sau tiếp xúc với nhau: y = x 3 3x 2 + 1 và y = 9x + 6. Giải Xét hệ phơng trình: = +=+ 9x6x3 6x91x3x 2 23 = = +=+ 3x 1x 6x91x3x 23 x = 1. Vậy, hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm M(1, 3). Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng hai đồ thị hàm số sau tiếp xúc với nhau: y = x 2 4x + 1 và y = 3x 2 + 4x 1. Giải Xét hệ phơng trình: 2 += +=+ 4x64x2 1x4x31x4x 22 = +=+ 1x 1x4x31x4x 22 x = 1. Vậy, hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau tại điểm M(1, 2). Vấn đề 2: tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị tiếp xúc với nhau Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 2x 3 3(m + 3)x 2 + 18mx 8. Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : = = 0'y 0y =++ =++ 0m18x)3m(6x6 08mx18x)3m(3x2 2 23 = = =++ mx 3x 08mx18x)3m(3x2 23 = = = 624m 1m 27 35 m . Vậy, với m = 27 35 , m = 1, m = 4 2 6 thoả mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 2: Cho hàm số : y = (x 1)(x 2 + mx + m). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc . Giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : 3 = = 0'y 0y =+ =++ 0x)1m(2x3 0)mmxx)(1x( 2 2 == == == 2/1mvà1x 0mvà0x 4mvà2x Vậy : - Với m = 4, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M 1 ( 2, 0). - Với m = 0, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M 2 (0, 0). - Với m = 2 1 , đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M 3 (1, 0). Ví dụ 3: Cho hàm số : (C a ) : y = f(x) = x 3 ax. a. Lập phơng trình Parabol qua A( 3 , 0), B( 3 , 0) tiếp xúc với (C 3 ). b. Tìm x để t x sao cho f(x) = f(t). Giải a. Với a = 3, hàm số có dạng : y = x 3 3x. Parabol (P) : y = x 2 + x + đi qua A( 3 , 0), B( 3 , 0) có dạng : (P) : y = x 2 3. (1) (C 3 ) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : = = x23x3 3xx3x 2 23 = = x23x3 0)3x)(x( 2 2 == == 3x 3x Vậy, tồn tại hai Parabol là (P 1 ): y = 3 x 2 3 3 và (P 2 ): y = - 3 x 2 +3 3 thoả mãn điều kiện đầu bài. b. Ta có f(x) = f(t) x 3 ax = t 3 at (t x)(t 2 + xt + x 2 a) = 0 g(t) = t 2 + xt + x 2 a = 0. Vậy để t x sao cho f(x) = f(t) 4 = > 0)x(g 0 0 g g > 3 a 2|x| 0a . Ví dụ 4: Cho hàm số : y = (x + 1) 2 (x 1) 2 . Tìm b để (P) : y = 2x 2 + b tiếp xúc với đồ thị hàm số. Giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = 2x 2 + b khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : = +=+ x4x4x4 bx2)1x()1x( 3 222 = = =+ 2x 0x 0b1x4x 24 = = 3b 1b . Vậy, với b = 1 hoặc b = 3 đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol y = 2x 2 + b. Ví dụ 5: Cho hàm số : y = mmx 4m)x2x)(1m( 2 + ++ . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1. Giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1 khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : = + + = + + + 0 )mmx( m)1m4( m 1m 1 mmx 1m4 )3x.( m 1m 2 = = 9 10 m 2m . Vậy, với m = 2 hoặc m = 9 10 đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = 1. Ví dụ 6: Cho hàm số : (C) : y = 1x 1xx 2 + . 5 Xác định a để đồ thị (C) tiếp xúc với Parabol y = x 2 + a. Giải Đồ thị (C) tiếp xúc với parabol y = x 2 + a khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm : = += + x2 )1x( x2x ax 1x 1xx 2 2 2 2 = += + 0x ax 1x 1xx 2 2 a = 1. Vậy, với a = 1 đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x 2 + a. Vấn đề 3: Họ đồ thị tiếp xúc với một đồ thị cố định dạng I Với yêu cầu " Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định có dạng cho sẵn ", chúng ta thực hiện theo các bớc sau : Bớc 1: Với dạng đồ thị cố định cho sẵn, ta đợc : Đờng thẳng là (d) : Ax + by + C = 0. Parabol là (P) : y = ax 2 + bx + c. Bớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị với mọi gía trị của tham số, ta xác định đợc đồ thị cố định. Ví dụ 1: Cho hàm số : (C) : y = x 2 + (2m + 1)x + m 2 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định. Giải Giả sử đờng thẳng (d) : y = ax + b luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số, khi đó hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m : =++ +=+++ )2(a1m2x2 )1(bax1mx)1m2(x 22 Thay (2) vào (1) đợc : (2m + 1 a) 2 4(m 2 1 b) = 0, m 4(1 a)m + (1 a) 2 + 4(1 + b) = 0, m 6 =++ = 0)b1(4)a1( 0)a1(4 2 = = 1b 1a . Vậy, (C) luôn tiếp xúc với đờng thẳng cố định (d) : y = x 1 với mọi m. Ví dụ 2: Cho hàm số : y = mx mx)m1( + ++ . Chứng minh rằng với mọi m 0, đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định. Giải Giả sử đờng thẳng (d) : y = ax + b luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số. Khi đó, hệ phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số m 0 : = + += + ++ a )mx( m bax mx mx)m1( 2 2 =++ 0)1b(m)1b)(1a(2m)1a( 0a 222 ,m 0 = =+ = 0)1b( 0)1b)(1a(2 0)1a( 0a 2 2 , m 0 = = 1b 1a . Vậy, đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đờng thẳng cố định (d) : y = x + 1 với mọi m 0. Ví dụ 3: Cho hàm số : y = mx m1x)m1(x2 2 +++ . Chứng minh rằng với mọi m khác 1, đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định. Giải Xác định điểm cố định : 7 Giả sử M(x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ (C m ). Khi đó : y 0 = mx 1mx)m1(x2 0 0 2 0 +++ ,m 1 =+ 0xyx1x2m)1yx( 0mx 000 2 000 0 , m 1 =+ = 0xyx1x2 01yx mx 000 2 0 00 0 = = 2y 1x 0 0 M( 1, 2). Vậy, họ (C m ) luôn đi qua một điểm cố định M( 1, 2). Xác định đờng thẳng cố định. Ta có : y' = 2 22 )mx( 1m2mmx4x2 + y'( 1) = 1. Khi đó phơng trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng : (d) : y = 1(x + 1) 2 (d) : y = x 1. Vậy, đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng (d) : y = x 1 tại điểm M( 1, 2). Chú ý : Chúng ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách thực hiện theo các bớc : Bớc 1: Xác định phơng trình đờng thẳng cố định luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số. Bớc 2: Xác định toạ độ tiếp điểm và nhận xét rằng tiếp điểm là một điểm cố định của đồ thị. Ví dụ 4: Cho hàm số : y = 1mx )1mx)(m2(xm2 222 + ++ . Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một Parabol cố định. Giải Viết lại hàm số dới dạng : y = 2mx m 2 + 1mx 2 + , ta có : 8 x lim [y (2mx m 2 )] = 0 nên y = 2mx m 2 là đờng tiệm cận xiên. Giả sử Parabol (P) : y = ax 2 + bx + c luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên, khi đó hệ sau có nghiệm với mọi m 0 : += ++= bax2m2 cbxaxmmx2 22 =+ 0)mc(a4)m2b( 0a 22 , m 0 =+ 0ac4bbm4m)a1(4 0a 22 , m 0 = = = 0ac4b 0b4 0)a1(4 0a 2 , m 0 = = = 0c 0b 1a Vậy, tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với (P) : y = x 2 với mọi m0. Vấn đề 4: Họ đồ thị tiếp xúc với một đồ thị cố định dạng II Với yêu cầu " Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định không có dạng cho sẵn ", chúng ta thực hiện theo các bớc sau : Bớc 1: Xác định dạng của y = g(x) bằng cách khử m từ hệ : = = 0 dm df )m,x(fy y = g(x). Bớc 2: Đi chứng minh y = f(x, m) luôn tiếp xúc với y = g(x) với mọi gía trị của tham số. Ví dụ 1: Cho hàm số : (C) : y = 2x 2 + (2m 1)x + m 2 + 4m. 9 Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định. Giải Xét hệ : = = 0 dm df )m,x(fy =++ +++= )2(04m2x2 )1(m4mx)1m2(x2y 22 (I) Khử m từ hệ (I) bằng cách rút m từ (2) thay vào (1) ta đợc : y = x 2 5x 4. Ta đi chứng minh (C) luôn tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x 2 5x 4. Thật vậy, xét hệ phơng trình : =+ =+++ 5x21m2x4 4x5xm4mx)1m2(x2 222 = =++ 2mx 0)2mx( 2 x = m 2 hệ có nghiệm. Vậy, đồ thị hàm số tiếp xúc với đồ thị cố định y = x 2 5x 4 với mọi m. Ví dụ 2: Cho hàm số : (C) : y = x 3 + 4x 2 + mx + 2 m 2 . Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đồ thị cố định. Giải Xét hệ : = = 0 dm df )m,x(fy =+ +++= )2(0mx )1( 2 m mxx4xy 2 23 (I) Khử m từ hệ (I) bằng cách rút m từ (2) thay vào (1) đợc : y = x 3 + 2 7 x 2 . 10 . 1 đồ thị hàm số tiếp xúc với Parabol y = x 2 + a. Vấn đề 3: Họ đồ thị tiếp xúc với một đồ thị cố định dạng I Với yêu cầu " Chứng minh rằng đồ thị hàm. 4, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M 1 ( 2, 0). - Với m = 0, đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox tại tiếp điểm M 2 (0, 0). - Với m = 2 1 , đồ thị