Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên

Ứng dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÊn ®Ò 1: XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè VÊn ®Ò 2: XÐt tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè chøa tham sè VÊn ®Ò 3: Sù biÕn thiªn cña hµm sè trªn mét miÒn Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 xét tính đơn điệu của hàm số A. Tóm tắt lí thuyết 1. hàm số hằng Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b) và f'(x) = 0, x (a; b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a; b). 2. điều kiện cần của tính đơn điệu Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). a. Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a; b) thì f'(x) 0 , x (a; b). b. Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a; b) thì f'(x) 0 , x (a; b). 3. điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). a. Nếu f'(x) > 0, x (a; b) thì f(x) tăng trong khoảng (a; b). b. Nếu f'(x) < 0, x (a; b) thì f(x) giảm trong khoảng (a; b). Ta có mở rộng của định lí 3 nh sau: Định lí 4: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a; b). a. Nếu f'(x) 0, x (a; b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a; b), thì f(x) tăng trong khoảng (a; b). b. Nếu f'(x) 0, x (a; b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a; b), thì f(x) giảm trong khoảng (a; b). Ta tóm tắt định lí 4 trong các bảng biến thiên sau: x a b + y' + y x a b + y' y 4. Điểm tới hạn Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) và x 0 (a; b). Điểm x 0 đợc gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f(x 0 ) không xác định hoặc bằng 0. 2 B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Ta thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Miền xác định. Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi tìm các điểm tới hạn (thông thờng là việc giải phơng trình y' = 0). Bớc 3: Tính các giới hạn (nếu cần). Bớc 4: Lập bảng biến thiên của hàm số. Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = x 3 3x 2 9x + 5. Giải Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 3x 2 6x 9, y' = 0 3x 2 6x 9 = 0 x = 1 hoặc x = 3. Giới hạn: x lim y = x lim [x 3 (1 x 3 2 x 9 + 3 x 5 ) = ++ xkhi xkhi . Bảng biến thiên: x 1 3 + y' + 0 0 + y CĐ 10 CT 22 + Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = x 3 3x 2 + 3x + 7. Giải Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 3x 2 6x + 3 = 3(x 1) 2 0 xR Hàm số luôn đồng biến. Giới hạn: x lim y = x lim [x 3 (1 x 3 + 2 x 3 + 3 x 7 ) = ++ xkhi xkhi . Bảng biến thiên: x 1 + y' + 0 + y + 3 Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 3ax 2 + 2bx + c y' = 0 3ax 2 + 2bx + c = 0. Giới hạn: x lim y = x lim ax 3 (1 + ax b + 2 ax c + 3 ax d ) = < >+ 0akhi 0akhi . Bảng biến thiên: Dấu của y' phụ thuộc vào dấu của a (a > 0 hay a < 0) và dấu của ' = b 2 3ac (' > 0 hay ' 0), do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau. Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = x 4 2x 2 1. Giải Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 4x 3 4x, y' = 0 4x 3 4x = 0 x = 0 hoặc x = 1. Giới hạn: x lim y = + x lim y = + . Bảng biến thiên x 1 0 1 + y' 0 + 0 0 + y + CT 2 CĐ 1 CT 2 + Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng có phơng trình: y = f(x) = ax 4 + bx 2 + c, với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 4ax 3 + 2bx = 2x(2ax 2 + b), y' = 0 2x(2ax 2 + b) = 0. Do đó, phơng trình y' = 0 hoặc có một nghiệm (a.b 0) hoặc có ba nghiệm phân biệt. , do đó ta có bốn trờng hợp biến thiên khác nhau. 4 Giíi h¹n: ∞→ x lim y = ∞→ x lim ax 4 (1 + 2 ax b + 4 ax c ) =    <∞− >∞+ 0akhi 0akhi . B¶ng biÕn thiªn: DÊu cña y' phô thuéc vµo dÊu cña a (a > 0 hay a < 0) vµ dÊu cña a.b, do ®ã ta cã bèn trêng hîp biÕn thiªn kh¸c nhau. VÝ dô 4: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: (C): y = x 4 − 2x 3 + 2x + 1. Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = R. §¹o hµm: y' = 4x 3 − 6x 2 + 2, y' = 0 ⇔ (x − 1)(2x 2 − x − 1) = 0 ⇔      −= = 2 1 x 1x . Giíi h¹n: −∞→ x lim y = +∞→ x lim y = + ∞. B¶ng biÕn thiªn: x − ∞ − 1/2 1 + ∞ y' − 0 + 0 + y + ∞ 5/16 + ∞ VÝ dô 5: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = 1x 1x − + . Gi¶i. MiÒn x¸c ®Þnh D = R \ {1}. §¹o hµm: y'= 2 )1x( 2 − − < 0 ∀x ∈ D ⇒ hµm sè lu«n nghÞch biÕn. Giíi h¹n: −∞→ x lim y= +∞→ x lim y = 1 vµ − → 1x lim y = - ∞ , + → 1x lim y = + ∞ B¶ng biÕn thiªn: x -∞ 1 +∞ y' - - y 1 +∞ -∞ 1 5 Nhận xét: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng: (H): y = dcx bax + + , với c 0, D = ad bc 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = R\{ c d }. Đạo hàm: y' = dcx bcad + , - Nếu D = ad bc > 0 hàm số đồng biến trên D. - Nếu D = ad bc < 0 hàm số nghịch biến trên D. Giới hạn: x lim y = c a và c/dx lim y = . Bảng biến thiên: Tr ờng hợp D > 0 Tr ờng hợp D < 0 x d/c + x d/c + y' + + y' y c a + c a y c a + c a Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = 1x 2x2x 2 + . Giải Miền xác định D = R\{1}. Đạo hàm: y' = 2 2 )1x( x2x , y' = 0 x 2 2x = 0 x = 0 hoặc x = 2. Giới hạn: x lim y = 1x lim y = và + x lim y = + 1x lim y = + . Bảng biến thiên: x 0 1 2 + y' + 0 0 + CĐ + 2 + 6 y 2 CT Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng: (H): y = edx cbxax 2 + ++ , với ad 0, tử, mẫu không có nghiệm chung. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Viết lại hàm số dới dạng: y = f(x) = x + + edx + . Miền xác định D = R\{ d e }. Đạo hàm: y' = 2 )edx( d + = 2 2 )edx( d)edx( + + , Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = (dx + e) 2 d. Giới hạn: x lim y = và d/ex lim y = . Bảng biến thiên: Tr ờng hợp > 0 Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm x 1 < x 2 . x x 1 e/d x 2 + y' + 0 0 + y CĐ + CT + Phơng trình y' = 0 vô nghiệm x e/d + y' + + y + + Tr ờng hợp < 0 Phơng trình y' = 0 có hai nghiệm x 1 < x 2 x x 1 e/d x 2 + y' 0 + + 0 y CT + CĐ Phơng trình y' = 0 vô nghiệm x e/d + y' 7 y + + Ví dụ 7: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = 1xx 1xx 2 2 ++ + . Giải Miền xác định D = R. Đạo hàm: y' = 22 2 )1xx( 2x2 ++ , y' = 0 2x 2 2 = 0 x = 1. Giới hạn: x lim y = 1. Bảng biến thiên: x 1 1 + y' + 0 0 + y 1 CĐ 3 1/3 CT 1 Nhận xét: Hàm phân thức bậc hai trên bậc hai có dạng: (H): y = 11 2 1 2 cxbxa cbxax ++ ++ , với a, a 1 0, tử, mẫu không có nghiệm chung. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = R\{xR | a 1 x 2 + b 1 x + c 1 = 0}. Đạo hàm: y' = 2 11 2 1 1111 2 11 )cxbxa( bcbcx)caac(2x)baab( ++ ++ , Giới hạn: x lim y = 1 a a . 0 xx lim y = , với x 0 là nghiệm của đa thức ở mẫu số. Bảng biến thiên: có 18 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên Ví dụ 8: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = 3x2x 2 . Giải Ta có điều kiện: 8 x 2 2x 3 0 1x 3x D = ( ; 1][3; + ). Đạo hàm: y' = 3x2x2 2x2 2 = 3x2x 1x 2 , y' = 0 x 1 = 0 x = 1. Giới hạn: x lim y = + x lim y = + . Bảng biến thiên: x 1 1 3 + y' + y + 0 0 + Nhận xét: Hàm vô tỉ dạng: (H): y = cbxax 2 ++ , với a 0. Khi đó, nếu sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Miền xác định D = {xR | ax 2 + bx + c 0}. Đạo hàm: y' = cbxax2 bax2 2 ++ + , Bảng biến thiên: có 4 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên Ví dụ 9: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: y = x x4 . Giải Ta có điều kiện: 4 x 0 x 4 D = ( ; 4]. Đạo hàm: y' = x4 x42 x = x42 x38 , y' = 0 8 3x = 0 x = 3 8 < 4. Giới hạn: x lim y = . Bảng biến thiên: x 8/3 4 + y' + 0 9 y − ∞ 33 16 0 + ∞ VÝ dô 10: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = (x − 5) 3 2 x . Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = R. §¹o hµm: y' = 3 2 x + 3 x3 )5x(2 − = 3 x3 )5x(2x3 −+ = 3 x3 10x5 − , y' = 0 ⇔ 5x − 10 = 0 ⇔ x = 2. Ngoµi ra, ta cßn cã ®iÓm tíi h¹n x = 0. Giíi h¹n: −∞→ x lim y = − ∞ vµ +∞→ x lim y = + ∞. B¶ng biÕn thiªn: x − ∞ 0 2 + ∞ y' + || − 0 + y − ∞ 0 −3 3 4 + ∞ VÝ dô 11: Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña hµm sè: y = 1x 3x 2 + + . Gi¶i MiÒn x¸c ®Þnh D = R. §¹o hµm: y' = 1x)1x( x31 22 ++ − , y' = 0 ⇔ 1 − 3x = 0 ⇔ x = 3 1 . Giíi h¹n: −∞→ x lim y = −∞→ x lim 1x 3x 2 + + = −∞→ x lim 2 x 1 1 x 3 1 +− + = − 1, +∞→ x lim y = +∞→ x lim 1x 3x 2 + + = +∞→ x lim 2 x 1 1 x 3 1 + + = 1. 10 . sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số, ta có: Viết lại hàm số dới dạng: y = f(x) = x + + edx + . Miền xác định D = R{ d e }. Đạo hàm: . c 0}. Đạo hàm: y' = cbxax2 bax2 2 ++ + , Bảng biến thiên: có 4 trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên Ví dụ 9: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: