Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM A. TNH N IU CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số Phần V ứng dụng đạo hàm A. tính đơn điệu của hàm số Mở đầu 1. nhắc lại Một hàm số y=f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x 1 , x 2 bất kỳ thuộc khoảng đó mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). Một hàm số y=f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a, b) nếu với x 1 , x 2 bất kỳ thuộc khoảng đó mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). 2. hàm số hằng Định lí 1. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x)=0, x(a, b) thì hàm số y=f(x) không đổi trong khoảng (a, b) . 3. điều kiện cần của tính đơn điệu Định lí 2. Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b). a. Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a, b) thì f'(x)0 , x(a, b). b. Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a, b) thì f'(x)0 , x(a, b). Chứng minh. a. Giả sử hàm số f(x) tăng trong khoảng (a, b). -Nếu x>0 thì f(x+x)>f(x) hay y>0. -Nếu x<0 thì f(x+x)<f(x) hay y<0. Do đó ta luôn có: x y >0 f'(x)= x y lim 0x 0 , x(a, b) (đpcm). b. Chứng minh tơng tự. 4. điều kiện đủ của tính đơn điệu Định lí 3. Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b). a. Nếu f'(x)>0, x(a, b) thì f(x) tăng trong khoảng (a, b). b. Nếu f'(x)<0, x(a, b) thì f(x) giảm trong khoảng (a, b). Ta có mở rộng của định lí 3 nh sau: 2 Chủ đề 1: Sự chiều biến thiên của hàm số Định lí 4. Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b). a. Nếu f'(x) 0, x(a, b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a, b), thì f(x) tăng trong khoảng (a, b). b. Nếu f'(x)0, x(a, b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của (a, b), thì f(x) giảm trong khoảng (a, b). Ta đi tóm tắt định lí 4 trong các bảng biến thiên sau: x - a b + y ' + y x - a b + y ' - y 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số chủ đề 1 sự biến thiên của hàm số II. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x). phơng pháp chung Chúng ta cần thực hiện các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm f'(x), rồi giải phơng trình f'(x)=0. Bớc 3 : Tính các giới hạn. Bớc 4 : Lập bảng biến thiên của hàm số. Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số y=f(x)=2x 3 -3x 2 +1. Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=6x 2 -6x suy ra y'=0 6x 2 -6x=0 x=0 hoặc x=1. Giới hạn: x lim y=- và + x lim y=+. Bảng biến thiên x - 0 1 + y' + 0 - 0 + y - 1 0 + Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của hàm số y=x 4 -2x 3 +2x+1 Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=4x 3 -6x 2 +2 suy ra y'=0 (x-1)(2x 2 -x-1)=0 = = 2/1x 1x . Giới hạn : x lim y= + x lim y=+. Bảng biến thiên x - -1/2 1 + y' - 0 + 0 + y + + Ví dụ 3: Xét chiều biến thiên của hàm số y= 1x 1x + . Giải. Miền xác định D=R\{1}. Đạo hàm: y'= 2 )1x( 2 <0 xD hàm số luôn nghịch biến. 4 Chñ ®Ò 1: Sù chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè Giíi h¹n : −∞→ x lim y= +∞→ x lim y = 1 − → 1x lim y=-∞ , + → 1x lim y=+∞ B¶ng biÕn thiªn x -∞ 1 +∞ y' - - y 1 +∞ -∞ 1 VÝ dô 4: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y= x1 4x4x 2 − +− . Gi¶i. MiÒn x¸c ®Þnh D=R\{1}. §¹o hµm: y'= 2 2 )x1( xx2 − − , suy ra y'=0 ⇔ 2x-x 2 =0 ⇔ = = 2x 0x . Giíi h¹n: −∞→ x lim y=+∞ , +∞→ x lim y =-∞ − → 1x lim y=+∞ , + → 1x lim y=-∞. B¶ng biÕn thiªn x -∞ 0 1 2 +∞ y' - 0 + + 0 - y +∞ 4 +∞ -∞ 0 -∞ VÝ dô 5: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y= 2 x 1x − . Gi¶i. MiÒn x¸c ®Þnh D=R\{0}. §¹o hµm: y'= 4 2 x xx2 − , suy ra y'=0 ⇔ 2x-x 2 =0 ⇔ = = 2x 0x . Giíi h¹n: −∞→ x lim y= +∞→ x lim y =0 vµ − → 0x lim y= + →0x lim y=-∞. B¶ng biÕn thiªn x -∞ 0 2 +∞ y' - + 0 - y 0 -∞ -∞ 1/4 0 VÝ dô 6: XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y= 3x2x 2 −− . Gi¶i. Ta cã ®iÒu kiÖn: x 2 -2x-3≥0 ⇔ −≤ ≥ 1x 3x ⇒ D=(-∞, -1]∪[3, +∞). §¹o hµm: 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số y'= 3x2x2 2x2 2 = 3x2x 1x 2 y'=0 x-1=0 x=1. Giới hạn: x lim y= + x lim y =+. Bảng biến thiên x - -1 1 3 + y' - + y + 0 0 + Ví dụ 7: Xét chiều biến thiên của hàm số y=x x4 . Giải. Ta có điều kiện: 4-x0 x4 D=(-, 4]. Đạo hàm: y'= x4 - x42 x = x42 x38 y'=0 8-3x=0 x= 3 8 <4. Giới hạn: x lim y=-. Bảng biến thiên x - 8/3 4 + y' + 0 - y - 33 16 0 + Ví dụ 8: Xét chiều biến thiên của hàm số y= 2 1 x 2 -lnx. Giải. Ta có điều kiện: x>0 D=(0, +). Đạo hàm: y'=x- x 1 y'=0 x- x 1 =0 x 1x 2 =0 x=1. Giới hạn: + x lim y= + 0x lim y=+. Bảng biến thiên x - 0 1 + y' - 0 + y + 1/2 + Ví dụ 9: Xét chiều biến thiên của hàm số y= x e x . Giải. Miền xác định D=R\{0}. Đạo hàm: 6 Chủ đề 1: Sự chiều biến thiên của hàm số y'= 2 xx x exe y'=0 xe x -e x =0 e x (x-1)=0 x=1. Giới hạn : x lim y=0, + x lim y =+ 0x lim y=- , + 0x lim y=-. Bảng biến thiên x - 0 1 + y' - - 0 + y 0 + - e + Ví dụ 10. a. CMR hàm số y=lnx tăng trên miền xác định của nó. Từ đó xét dấu hàm số y=lnx-1. b. Xét chiều biến thiên của hàm số y= xln x . Giải. a Xét hàm số y=lnx Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'= x 1 >0 với x D hàm số đồng biến trên D. Xét dấu của hàm số y=lnx-1, ta có: y=0 lnx-1=0 x=e. Nhận xét rằng : x>e lnx>1 y>0. x<e lnx<1 y<0. Ta có bảng xét dấu: x - 0 e + y' | - 0 + Nhận xét: xét hàm đơn điệu giống nh xét dấu nhị thức. b Ta lần lợt có: Miền xác định D=(0, +)\{1}. Đạo hàm: y'= 2 )x(ln 1xln y'=0 lnx-1=0 x=e. Giới hạn : + 0x lim y=0, + x lim y =+ 7 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số 1x lim y=- , + 1x lim y=+. Bảng biến thiên x - 0 1 e + y' - - 0 + y 0 + - e + III.các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề-87): Xét chiều biến thiên của hàm số y= 1x 3x 2 + + . bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'= 1x)1x( x31 22 ++ y'=0 1-3x=0 x = 3 1 . Giới hạn: x lim y= x lim 1x 3x 2 + + = x lim 2 x 1 1 x 3 1 + + =-1, + x lim y = + x lim 1x 3x 2 + + = + x lim 2 x 1 1 x 3 1 + + =1. Bảng biến thiên x - 1/3 + y' + 0 - y -1 10 1 Vây: - Hàm số đồng biến trên khỏang (-, 3 1 ). - Hàm số nghịch biến trên khỏang ( 3 1 , +). - Hàm số đạt cực đại tại x= 3 1 và giá trị cực đại y max =y( 3 1 )= 10 . Bài 2 (ĐHXD-99): Xét chiều biến thiên của hàm số y= 1x x 2 2 . bài giải Ta có điều kiện: x 2 -1>0 |x|>1 D=(-, -1)(1, +). 8 Chñ ®Ò 1: Sù chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè §¹o hµm: y'= 1x)1x( x2x 22 3 −− − ⇒ y'=0 ⇔ x 3 -2x=0 ⇔ x=0 hoÆc x=± 2 . Giíi h¹n: −∞→ x lim y= +∞→ x lim y= − −→ 1x lim y= + → 1x lim y=+∞ B¶ng biÕn thiªn x -∞ - 2 -1 1 2 +∞ y' - 0 + - 0 + y +∞ 2 +∞ +∞ 2 +∞ Bµi 3 (§Ò-3): XÐt chiÒu biÕn thiªn cña hµm sè y= 1xxx 2 +−+ . bµi gi¶i Ta cã ®iÒu kiÖn: x+ 1xx 2 +− ≥0 ⇔ 1xx 2 +− ≥-x ⇔ ≥+− ≥− ≥+− ≤− 22 2 x1xx 0x 01xx 0x ⇔ ≤ ≥ 0x 0x ⇔ ∀x. VËy D=R. §¹o hµm: y'= 1xxx2 )'1xxx( 2 2 +−+ +−+ = 1xx.1xxx4 1x21xx2 22 2 +−+−+ −++− . NhËn xÐt: 2 1xx 2 +− +2x-1= 3)1x2( 2 +− +2x-1>|2x-1|+2x-1≥0. VËy y'>0 ∀x ⇔ Hµm sè lu«n ®ång biÕn. Giíi h¹n : −∞→ x lim y= −∞→ x lim 1xxx 2 +−+ = −∞→ x lim 1xxx 1x 2 +−− − = −∞→ x lim = 2 2 . +∞→ x lim y =+∞. B¶ng biÕn thiªn x -∞ +∞ y' + 9 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số y 2 /2 + IV. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số a. y=1+4x-x 2 . b. y=2x 2 -3x+1. c. y= 3 1 x 3 -3x 2 +8x-2. d. y=x 2 (4-x 2 ). e. y=x 4 -2x 3 +2x+1. f. y= y=(lnx-1)lnx. g. y=xlnx h. y=e x -x. i. y= 2x 2x + . j. y= x2 2xx 2 + . k. y= 1x x 2 + . l. y= 3x4x 1 2 + m. y= 1xx2 2x3x 2 2 + + . n. y= x xln . o. (ĐHAN -97) y=-2x+4 1x 2 + . p. (ĐHL -94) y=-x+2 4x 2 + . 10 . 1/2 + Ví dụ 9: Xét chiều biến thiên của hàm số y= x e x . Giải. Miền xác định D=R{0}. Đạo hàm: 6 Chủ đề 1: Sự chiều biến thiên của hàm số y'= 2 xx. chiều biến thiên của hàm số y= xln x . Giải. a Xét hàm số y=lnx Miền xác định D=(0, +). Đạo hàm: y'= x 1 >0 với x D hàm số đồng biến trên D. Xét