Chủ đề: Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM A. TNH N IU CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số chủ đề 2 sự biến thiên của hàm số chứa tham số I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x, m). Tuỳ theo giá trị của tham số m hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số. phơng pháp chung Chúng ta cần thực hiện các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc 2 : Tính đạo hàm y', thiết lập phơng trình y'=0. (1) Bớc 3 : Giải và biện luận phơng trình (1) từ đó đa ra bàng biến thiên cho mỗi trờng hợp. Chú ý : 1. Nếu y' là hàm bậc nhất dạng: ax+b thì cần xét ba khả năng: a=0, a>0, a<0. 2. Nếu y' là hàm số bậc hai dạng: ax 2 +bx+c thì cần xét xét 2 khả năng: a. Với a=0 b. Với a0: lập bảng xét dấu của a và , từ đó có đợc các trờng hợp riêng lẻ. Ví dụ 1: Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y= 2 1 (m 2 -4)x 2 -(3m-6)x+ 2 9 theo m. Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=(m 2 -4)x-3m+6 suy ra y'=0 (m 2 -4)x-3m+6=0. (1) Ta đi xét ba trờng hợp: Trờng hợp 1 : a=0 m 2 -4=0 m=2. - Với m=2 y'=0 Hàm số là hàm hằng. - Với m=-2 y'=12>0 x Hàm số luôn đồng biến. Giới hạn: x lim y= x lim (12x+ 2 9 )= - + x lim y = + x lim (12x+ 2 9 )= +. Bảng biến thiên x - + y' + y - + Trờng hợp 2 : a<0 m 2 -4<0 |m|<2. 2 Chủ đề 2: Sự chiều biến thiên của hàm số chứa tham số Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x 0 = 2m 3 + . Giới hạn: x lim y= + x lim y = -. Bảng biến thiên x - x 0 + y' + 0 - y - y(x 0 ) - Trong đó: y(x 0 )=y( 2m 3 + )= 2m 18 + . Trờng hợp 3 : a>0 m 2 -4>0 |m|>2. Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x 0 = 2m 3 + . Giới hạn: x lim y= + x lim y = +. Bảng biến thiên x - x 0 + y' - 0 + y + y(x 0 ) + Ví dụ 2: Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=mx 3 -3(m-1)x 2 +3(m-2)x+1 theo m. Giải. Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=3mx 2 -6(m-1)x+3(m-2) y'=0 mx 2 -2(m-1)x+m-2=0 (1) Trờng hợp 1 : m=0 Khi đó: (1) 2x-2=0 x=1 Giới hạn: x lim y= x lim ( 3x 2 -6x+1)=+. Bảng biến thiên x - 1 + y' - 0 + y + -2 + Trờng hợp 2 : m>0. Khi đó: (1) x 1 =1, x 2 = m 2m và x 1 >x 2 Giới hạn: x lim y=- & + x lim y = +. Bảng biến thiên x - x 2 x 1 + y' + 0 - 0 + 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số y - + Trờng hợp 3 : m<0 Khi đó: (1) x 1 =1, x 2 = m 2m và x 1 <x 2 Giới hạn: x lim y=+ & + x lim y =-. Bảng biến thiên x - x 1 x 2 + y' - 0 + 0 - y + - II. các bài toán chọn lọc Bài 1 (Đề 12): Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=x n +(c-x) n với c>0 và n nguyên lớn hơn 1. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=nx n-1 -n(c-x) n-1 , y'=0 nx n-1 -n(c-x) n-1 =0 x n-1 =(c-x) n-1 . (1) Ta đi xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 : Nếu n chẵn n-1 lẻ. Suy ra (1) có nghiệm là x= 2 c . Trờng hợp 2 : Nếu n lẻ n-1 chẵn. Suy ra (1) có nghiệm là x= 2 c . Vậy phơng trình (1) luôn có nghiệm duy nhất là x= 2 c và f( 2 c )=2( 2 c ) n . Giới hạn: x lim y= + x lim y = + Bảng biến thiên x - c/2 + y' - 0 + y + f(c/2) + Bài 2 (Đề-47): Hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=4x 3 +ax theo a. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=12x 2 +a, suy ra y'=0 12x 2 +a=0. (1) ta có =-48a. Ta đi xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 : 0 a0 4 Chủ đề 2: Sự chiều biến thiên của hàm số chứa tham số Khi đó y'=12x 2 +a 0 x Hàm số luôn đồng biến. Giới hạn: x lim y= x lim (4x 3 +ax)=-, + x lim y = + x lim (4x 3 +ax)=+. Bảng biến thiên x - + y' + y - + Trờng hợp 2 : >0 a<0. Suy ra phơng trình (1) có hai nghiệm là x= 12/a . Bảng biến thiên x - - 12/a 12/a + y' + 0 - 0 + y - y CĐ y CT + Trong đó: y CĐ =y(- 12 a )=- 3 a2 12 a , y CT =y( 12 a )= 3 a2 12 a . Bài 3 (Đề-101): Khảo sát sự biến thiên của hàm số y= 1x ax 2 + + theo a. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'= 1x)1x( 1ax 22 ++ + suy ra y'=0 1-ax=0. (1) Ta đi xét ba trờng hợp: Trờng hợp 1 : a=0. Suy ra y'= 1x)1x( 1 22 ++ >0 x Hàm số luôn đồng biến. Giới hạn: x lim y= x lim 1x ax 2 + + = x lim 2 x/11 x/a1 + + =-1; + x lim y = + x lim 1x ax 2 + + = + x lim 2 x/11 x/a1 + + =1. Bảng biến thiên x - + y' + y -1 1 Trờng hợp 2 : a>0. Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x= a 1 . Bảng biến thiên 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số x - 1/a + y' + 0 - y -1 y(1/a) 1 Trong đó: y( a 1 )= 1 a 1 a a 1 2 + + = 2 a1 + . Trờng hợp 3 : a<0. Khi đó phơng trình (1) có nghiệm x= a 1 . Bảng biến thiên x - 1/a + y' - 0 + y -1 y(1/a) 1 Chú ý. Nếu phơng trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 phụ thuộc tham số thì cần xét hai khả năng: x 1 <x 2 và x 1 >x 2 . Bài 4 (Đề-84): Tuỳ theo a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số y=4x 3 +(a+3)x 2 +ax. bài giải Miền xác định D=R. Đạo hàm: y'=12x 2 +2(a+3)x+a y'=0 12x 2 +2(a+3)x+a =0. (1) ta có '=(a+3) 2 -12a=(a-3) 2 0. Ta đi xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1 : =0 a=3. Suy ra y'=3(2x+1) 2 0 x Hàm số luôn đồng biến. Giới hạn: x lim y=- và + x lim y =+. Bảng biến thiên x - -1/2 + y' + y - + Trờng hợp 2 : >0 a3. Suy ra phơng trình (1) có hai nghiệm là x 1 = - 2 1 hoặc x 2 = - 6 a . Xét hai khả năng sau: Khả năng 1 . x 1 <x 2 - 2 1 <- 6 a a<3. Khi đó ta có bảng biến thiên x - -1/2 -a/6 + 6 Chủ đề 2: Sự chiều biến thiên của hàm số chứa tham số y' + 0 - 0 + y - y(-1/2) y(-a/6) + Khả năng 2 . x 1 >x 2 a>3. Khi đó ta có bảng biến thiên x - -a/6 -1/2 + y' + 0 - 0 + y - y(-a/6) y(-1/2) + Trong đó: y(- 2 1 )= 4 a1 và y(- 6 a )= 108 a9a 23 . III. Bài tập đề nghị Bài tập 1. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m a. y=x 3 +3mx 2 +3(m 2 -1)x+m 3 -3m b. y=-x 3 +mx 2 -4. c. y=x 3 +3x 2 +mx+m d. y=- 3 1 mx 3 +mx 2 -x e. y= 3 1 x 3 -mx 2 +(2m-1)x-m+2 Bài tập 2. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m a. y= x 4 -2mx 2 +2m+m 4 b. y=x m .(4-x) 2 . Bài tập 3. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m a. y= 1x 8mmxx 2 ++ b. y= mx 1mxx 2 + ++ c. y= 1x 1mxx 2 + d. y= m2x m3mx2x 22 + e. y= 2x 2x6mx 2 + + f. y= mx mm4x)1m(mx 322 + ++++ Bài tập 4. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số tuỳ theo giá trị của m a. y=-x+1-m 2 x4 7 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số b. y=x- mxx 2 + Bài tập 5. (HVNH 99): Cho hàm số : y=-x 3 +ax 2 -4. a. Với mỗi giá trị của tham số a khảo sát chiều biến thiên của hàm số. b. Xác định a để mọi đờng thẳng y=m với -4<m<0 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. 8 . V: ứ ng dụng của đạo hàm A. Tính đơn điệu của hàm số chủ đề 2 sự biến thiên của hàm số chứa tham số I. Kiến thức cơ bản Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x, m).. giá trị của tham số m hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số. phơng pháp chung Chúng ta cần thực hiện các bớc sau: Bớc 1 : Tìm miền xác định của hàm số. Bớc