CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng Mục lục Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 3 A. Tóm tắt lý thuyết 3 B. Một số ví dụ 4 C. Bài tập 11 D. Hướng dẫn và đáp số 13 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 17 A. Tóm tắt lý thuyết 17 B. Một số ví dụ 18 C. Bài tập 21 D. Hướng dẫn và đáp số 22 Loại 3. Ứng dụng xét phương trình 25 A. Tóm tắt lý thuyết 25 B. Một số ví dụ 26 C. Bài tập 35 D. Hướng dẫn và đáp số 36 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3 Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số A. Tóm tắt lý thuyết  Định nghĩa: Cho   : ;f a b   . +) f được gọi là đồng biến trên khoảng   ; a b nếu: 1 x  ,   2 ; x a b  , 1 2 x x   . +) f được gọi là nghịch biến trên   ; a b nếu: 1 x  ,   2 ; x a b  , 1 2 x x       1 2 f x f x  . Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số.  Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng   ; a b . Khi đó +)   ' 0 f x    ; x a b    f đồng biến trên   ; a b . +)   ' 0 f x    ; x a b    f nghịch biến trên   ; a b . +)   ' 0 f x    ; x a b    f không đổi trên   ; a b .  Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số   y f x  , ta làm như sau: +) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. +) Bước 2: -) Tính   ' f x . -) Tìm nghiệm của phương trình   ' 0 f x  . -) Xét dấu của   ' f x (nếu cần). +) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. +) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số. BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2 3 9 2 f x x x x     . Giải +) TXĐ   . +)     2 2 ' 3 6 9 3 2 3 f x x x x x       ,   ' f x có hai nghiệm là 1 x   và 3 x  . +) Bảng biến thiên: +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) + + _ 0 0 -25 7 +∞3-1 -∞ x   lim x f x    ,   lim x f x    . +) Kết luận: f đồng biến trên   ;1  và   3;  , nghịch biến trên   1;3  . Chú ý. 1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n   1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a        ( * n  , 0 n a  ). Ta có   0 lim 0 neáu neáu n x n a f x a          ,   0 0 lim 0 0 neáu , chaün neáu , leû neáu , chaün neáu , leû n n x n n a n a n f x a n a n                  . 2. Một số quy tắc xét dấu: BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5 a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét   g x ax b   ( 0 a  ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của   g x (quy tắc “phải cùng trái khác”): _ _ b a _ + ag x( ) 0 +∞ ∞ x b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét   2 g x ax bx c    ( 0 a  , 2 4 b ac    ). Ta có ba trường hợp sau đây: TH1: 0   :   0 ag x  x  . TH2: 0   :   0 ag x  x  . Dấu “  ” xảy ra  2 b a x   . TH3: 0   :   g x có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x  . Ta có   0 ag x   1 2 x x x   ,   0 ag x   1 2 x x x x      . Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của   g x trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”): + 0 x 2 x 1 _ _ + ag x( ) 0 +∞ ∞ x c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa thức có dạng:         k k k 1 2 n 1 2 n P x a x x x x x x     , trong đó: - a 0  là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của   P x . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6 - 1 2 n x x x     là các nghiệm của   P x , - 1 k , …, n k là các số nguyên dương, i k được gọi là bội của nghiệm i x . Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức   P x : - Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( n x ) thì   P x cùng dấu với a . -   P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội chẵn. d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2 3 3 1 f x x x x      . Giải +)   TXÑ . +)     2 2 ' 3 6 3 3 1 0 f x x x x         x  . Dấu “  ” xảy ra  1 x  . +) Bảng biến thiên: 0 1 +∞ -∞ f x( ) f ' x( ) _ _ 0 +∞ -∞ x   lim x f x    ,   lim x f x    . +) Kết luận: f nghịch biến trên  . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7 Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy   ' 0 f x  x    và   ' 0 f x   1 x  , tuy nhiên f vẫn nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có: +)   ' 0 f x    ; x a b   , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc   ; a b  f đồng biến trên   ; a b . +)   ' 0 f x    ; x a b   , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc   ; a b  f đồng biến trên   ; a b . Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số   4 3 2 f x 3x 4x 12x 24x 5      . Giải +)   TXÑ . +)         3 2 3 2 2 f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2            . +) Bảng biến thiên: _ -7+16 2 -7-16 2 16 0 2 +∞ f x( ) f ' x( ) + + _ 0 0 +∞ 02 ∞ x   lim x f x    . +) Kết luận: f nghịch biến trên   ; 2   và   1; 2 , đồng biến trên   2;1  và   2;  . Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số   2 3 1 2 x f x x    . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8 Giải +)   TXÑ 1 2 \  . +)       7 2 1 2x 1 2 f x \' x 0        . +) Bảng biến thiên: ∞ _ +∞ _ _ 1 1 _ _ 1 2 _ f x( ) f ' x( ) +∞ ∞ x   3 1 2 2 3 lim lim lim 1 1 2 2 x x x x x x f x x            ,     1 2 lim x f x     ,     1 2 lim x f x     . * Kết luận: f nghịch biến trên   1 2 ;  và   1 2 ;  (nghịch biến trên từng khoảng xác định). Chú ý: * Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn: 2 3 2 3 3 7 4 2 3 3 5 3 4 7 0 lim lim 0 3 5 1 1 x x x x x x x x x x x                 (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là 3 x ). * Cách xác định các giới hạn một phía:     0 lim x x f x g x   với điều kiện   0 0 f x  ,   0 0 g x  . +) 0 a x     0 ; x x a   :   g x cùng dấu với   0 f x      0 lim x x f x g x     . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9 +) 0 a x     0 ; x x a   :   g x trái dấu với   0 f x      0 lim x x f x g x     . +) 0 a x     0 ; x a x   :   g x cùng dấu với   0 f x      0 lim x x f x g x     . +) 0 a x     0 ; x a x   :   g x trái dấu với   0 f x      0 lim x x f x g x     . Ví dụ 5. Xét sự biến thiên của hàm số 2 1 1 x x y x     . Giải +) TXĐ   \ 1   . +)   2 2 2 ' 1 x x y x    . +) Bảng biến thiên: 3 -1 +∞ +∞ ∞ _ ∞ _ + + __ 2 1 0 0 0 _ y y ' +∞ ∞ x   2 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x f x x x              ,   1 1 lim lim 1 1 x x x x f x x         ,   1 2 lim x f x           ,   1 2 lim x f x           . +) Kết luận: f đồng biến trên   ;0  và   2;  , nghịch biến trên   0;1 và   1;2 . Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số 2 1 y x   . Giải +) TXĐ   1;1   . BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 +) 2 ' 1 x y x    (   1;1 x  ). +) Bảng biến thiên + _ _ 0 1 00 1 0 1 _ y y' +∞ ∞ x +) Kết luận: hàm số đồng biến trên   1;0  , nghịch biến trên   0;1 . Ví dụ 7. Xét sự biến thiên của hàm số 1 1 y x x     . Giải +) TXĐ   1;1   . +)     2 2 1 1 1 1 ' 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x y x x x x x x x                   1;1 x   . +) Bảng biến thiên 2 + _ _ 0 2 2 1 0 1 _ y y' +∞ ∞ x +) Kết luận: hàm số đồng biến trên   1;0  , nghịch biến trên   0;1 . [...]... dẫn và đáp số 1) Hàm số nghịch biến trên  2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2;   , đồng biến trên  4; 2  3) Hàm số đồng biến trên  4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  12 ; 2  , đồng biến trên các khoảng  1; 12  và  2;   5) Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1  và  3;   , nghịch biến trên các khoảng 2  12 ; 2  và  3;    6) Hàm số. .. violet.vn/phphong84 16 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Loại 2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số A Tóm tắt lý thuyết Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây 1 Bài toán 1 Số khoảng đơn điệu của hàm số * Hàm bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d ( a  0 ) Ta có: y '  3ax 2  2bx  c , y ' là tam thức bậc hai có  '  b 2  3ac Ký hiệu x1  x2 là các nghiệm của y ' trong trường hợp... điểm M  0; m  ( M  Oy ) và vuông góc với Oy  Thay vì sử dụng đồ thị hàm số, ta có thể dùng bảng biến thiên (bảng biến thiên cho ta hình ảnh về đồ thị hàm số) 2 Một số kết luận hay sử dụng  Phương trình  * có nghiệm  d có điểm chung với  C   Số nghiệm của phương trình  * bằng số điểm chung của đường thẳng d với C   Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C  THS PHẠM HỒNG... 24 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Loại 3 Ứng dụng xét phương trình A Tóm tắt lý thuyết y 1 Nguyên tắc Để xét phương trình g  x; m   0 *  , (C ) ta biến đổi tương đương phương trình về dạng f  x   m (bước m d O x này được gọi là cô lập tham số) Do đó, việc xét phương trình  * được đưa về xét sự tương giao của đường thẳng d : y  m với đồ thị hàm số y  f  x  C  ... GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 0  và  4;   , đồng biến trên các khoảng  0; 2  và  2; 4  10) +) TXÑ   \ 0; 2 +) y '  4 x 1 x2  x 2  +) Bảng biến thiên: x _∞ _ f '(x) 2 1 0 _ 0 +∞ +∞ + lim y  0 , lim y   , lim y   , + x  x 0 x 0 +∞ 0 f(x) 0 lim y   , lim y    x 2 0 x 2 _∞ _∞ +) Hàm số nghịch biến... CỦA HÀM SỐ +∞ m+1 _ 0 + lim y   , x  +∞ lim y   y(m) x  y y(m+1) -∞ Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số đồng biến trên  ; m  và  m  1;   Do đó hàm số đồng biến trên 1; 2  khi và chỉ khi 1; 2    ; m  m  2    1; 2    m  1;   m  0  Ví dụ 4 Xét sự biến thiên của hàm số y  x 4  mx 2  4 Giải +) TXÑ   +) y '  4 x 3  2mx  2 x  2 x 2  m  TH1: m ... ; 0  và  0;1 , đồng biến trên các khoảng 1; 2  và  2;   11) +) TXÑ   +) y '  3 1 x 2    x 1 2 2 +) Bảng biến thiên: x _∞ -1 _ f '(x) 0 1 + 0 +∞ _ 3 f(x) lim y  0 x  2 0 0 _ 3 2 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;...BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình Ví dụ 8 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  2 x  1  x 2 Giải +) x  TXÑ  1 ... biến thiên: x f '(x) +∞ 0 ∞ _ 0 + +∞ lim y   x  f(x) 4 +) Kết luận: hàm số đồng nghịch biến trên  ; 0  đồng biến trên  0;   THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 20 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TH2: m  0  , y ' có ba nghiệm phân biệt là 0 và   m , y ' đổi dấu liên tiếp khi x đi qua 2 các nghiệm +) Bảng biến thiên: ...    hàm số đồng biến trên  * TH2: m  0  y ' có hai nghiệm phân biệt x1    m m , x2   12 12 +) Bảng biến thiên x x1 -∞ + y' 0 +∞ x2 _ 0 + lim y   , x  +∞ lim y   y(x1) x  y yx2 -∞ THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 18 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ    m m +) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng . Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 3 A. Tóm tắt lý thuyết 3 B. Một số ví dụ 4 C. Bài tập 11 D. Hướng dẫn và đáp số 13 Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 17 A GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1 Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng Mục lục. THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ