Ph ơng pháp hàm số
Phơng trình và hệ phơng trình bất phơng
trình Bài 1 (KD_2006)
CMR với mọi a>0 Hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
(2)
x x
y x a
HD
ĐK x,y>-1
Từ (2) thay và (1) chỉ ra f’(x)>0 khi a>0 và x>-1
F(x) đồng biến và liên tục (-1;+∞)
Kết luận phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài 2 (KD_2004)
CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm
5 2
x x x
Bài 3 (Đề DB _2004)
CMR phơng trình sau có đúng một nghiệm duy nhất
1 ( 1)
Bài 4 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
2
2
f x e x
Tìm GTNN của hàm số và CMR
ph-ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 5 Giải phơng trình 1 cos (2 4cosx) 3.4cosx
x
HD: Đặt cosx=y , -1≤y≤1 theo bài ra ta có phơng trình 1y(2 4 ) 3.4 y y
hay f(y)=0 với
3.4
2 4
y y
Tính f’(y)=0 là phơng trình bậc 2 theo 4y
có không quá 2 nghiệm Vởy theo định lý Rolle thì phơng trình f(y)=0 có không quá 3 nghiệm mặt khác ta có y=0; y=1/2; y=1 là 3 nghiệm của phơng trình f(y)=0 : suy ra phơng trình đã cho có nghiệm là
Bài 6 (Đề DHQG _2000) Cho ( ) 1 6 2 2 1
6
x x
HD: x=1 bất phơng trình thoả mãn không phụ thuộc vào m chỉ cần tìm m sao cho bất phơng trình thoả mãn với mọi x thuộc [0;1)
Chú ý
1 1
6
x x
h x x x
là hàm số đồng biến và h(1)=0 thì h(x)<0 với mọi x thuộc miền đang xét Do đó chỉ ccần tìm m sao cho f(x)≤ 0 với mọi x
Đặt t=6x sử dụng BBT trên [1;6] dáp số m≤1/2
Bài 7 Cho phơng trình x 1 3 x 3 x x1 m
1) Giải phơng trình khi m=2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Trang 2HD x1 x3 2 2 2 m2
Bài 8 Cho phơng trình cos x2 m cos x 2 1tgx
1) Giải phơng trình khi m=1
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc
0;
3
x
HD Đặt t=tgx t 0; 3
Đa phơng trình về dạng
2
1 ( ) 1
t
t
Chỉ ra f’(t)<0 với t thuộc miền trên ĐS
2
1
Bài 9 Cho phơng trình
2 4 3
2
x
Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
HD: D ;1 3;
2
2
x
Lập BBT:
KL:
m<-1/2 vô nghiệm
;
m
có 1 nghiệm duy nhất
1
;
2
m
có 2 nghiệm
Chứng minh bất dẳng thức
Bài 1 Chứng minh rằng
2
n
trong đó n là số nghuyên lớn hơn 1 và 0 x
n
HD: Xét hàm số
2
Lấy đạo hàm f x'( )cosxcos 2x cos n n cosnx Dễ thấy y=cost nghịch biến trên [0;) và cost=0 khi t=0 từ đó 1
n
i
Suy ra hàm
số f(x) tăng thực sự trên
0;
n
nên f(x)>0
Bài toán cực trị
Bài 1 (Đề DB _2004)
Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phơng trình
2 4
Tìm GTLN của biểu thức A x 2y2 2x khi m thay đổi
Trang 3Bài 2 (KB_2006)
Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
HD
Xét M(1-x;y) và N(1+x;y) ta có OM+ON≥MN
Suy ra x12y2 x12y2 4 4 y2
xày ra khi x=0
2
A y y f y
Lập Bảng biến thiên khi y>2 và y<2 Qua BBT suy ra
1
3
A khi x y
Bài 3 (Đề DB _2004)
Cho hàm số
2
2
f x e x
Tìm GTNN của hàm số và CMR
ph-ơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm
Bài 4: Tìm GTNN của hàm số
4 2
HD
2
ĐS ẳ Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số f x( )cos x4 sin2xcos sinx x
HD
2
với t thuộc [-1;1]
2
3
a
f t t t
Tìm GTLN,GTNN của f(t) theo tham số a Vì f’(t) có nghiệm t=a/3 so sánh với 1 ĐS
2
1
LN
y f
1
4 2
1
4 2
NN
a
a
Dùng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số Chú ý
Nêu định nghĩa của đạo hàm
Bài 1 Tính giới hạn
3 2 2 1
lim
1
x
A
x
(ĐHTCKT 2001)
HD : f x( ) 5 x 3 x27 f 1 0
3
12
x
Suy ra
1 1
1
1
x
x
f x
A
x
Trang 4Bµi 2 TÝnh giíi h¹n
3 2 0
lim
sin
x
A
x
(§HQGHN 2000)
HD : f x( ) 2x 1 3 x2 1 f 0 0
3
x
v× 0
sin
x
x x
Suy ra
0
0
' 0 0
1
x
f x
A
sinx x
Bµi 3 TÝnh giíi h¹n 0
lim
x
A
(§H GTVT 1998)
HD : f x( ) 1 2x 1 sinx f 0 0, ' 0f 0
4
Suy ra
0
0
' 0 0
0
x
f x
A
x
Bµi 4 TÝnh giíi h¹n
sin 2 sin 0
lim
sin
x x x
A
x
(§H Hµng H¶i 1999)
HD : f x( )esin 2x esinx f 0 0,
Suy ra
sin 2 sin 0
' 0 0
x x
x
f x
A
x x
Bµi 5 TÝnh giíi h¹n
3 2 4
1 lim
x
tgx A
x
(§H Hµng H¶i 1999)
HD :
3
4
f x tgx f
4
g x x g
Suy ra
2 '
1
' 4
f A g
Bµi 6 TÝnh giíi h¹n
Trang 5 2 9 0
lim
x
A
x
(§H Hµng H¶i 1999)
HD : f x( )x22001 1 59 x 2001 f 0 0,
0
x
x
Bµi 7 TÝnh c¸c giíi h¹n sau
x a
a
x a
3
1
2
lim
x x
x x
x
3 2 3 3
0
lim
x
x
2
2
0
lim
x
x
x
x
(§HSP2 2000)
2
2 3 2
0
1
lim
x
x
x
3 2
0
lim
x
x
(§H Thuû Lîi)