Chuyên đề Sự biến thiên của hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNGSỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG §1.. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

§1 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệutrên một khoảng Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét sự biếnthiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm

1 Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm

Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b Khi đó; 

 f x  '  0  x a b;   f đồng biến trên a b ;; 

 f x  '  0  x a b;   f nghịch biến trên a b ;; 

 f x  '  0  x a b;   f không đổi trên a b ; 

Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạohàm Như vậy ta cần nắm được

 Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;

 Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;

 Quy tắc xét dấu của một biểu thức

2 Quy tắc xét dấu một biểu thức

Giả sử hàm y g x   không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x , 1 x , …, 2 x đôi một khác n

nhau và x1x2 x n Ký hiệu I là một trong các khoảng  ; x1, x x , …, 1; 2 x n1;x n,

x  Khi nó nếu n;  g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó.

2'

1

x x y

x





 Ta thấy với mọi x TXĐ, dấu của 'y chính là dấu của

tam thức bậc hai x2 2x Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

3-1

+∞

+∞

∞_

0

00

11

x x

Kết luận f đồng biến trên  ;0 và 2;  , nghịch biến trên  0;1 và  1; 2 

Ví dụ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số 2

x   Do đó với mọi x   1;1, 'y trái dấu

với x Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình

bên

+

_

_01

00

10

1_

y

y'

+∞

∞x

Kết luận hàm số đồng biến trên 1;0 , nghịch biến trên 0;1 

Ví dụ 3 Xét sự biến thiên của hàm số y 1 x 1x

Do đó với mọi x   1;1, 'y trái dấu với x Ta

có bảng biến thiên của hàm số như hình bên

2

+

_

_022

10

1_

y

y'

+∞

∞x

Kết luận hàm số đồng biến trên 1;0 ,nghịch biến trên 0;1 

Nhận xét Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ

bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàmbằng cách giải một bất phương trình

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Ví dụ 4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y2x 1 x2

-1

1

2 5 _

f x ( )

f ' x ( )

+∞

∞ x

Kết luận hàm đã cho đồng biến trên 1; 2

Kết luận: hàm số đồng biến trên 0; 2 , nghịchbiến trên 2;6 

C BÀI TẬP

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây



13) y x 2 3 x;14) x22x ;315) y x 2;16) yx2 2x ;17) y4 x 245 x;18) y x 3 33 x 3 44 x 3 1 x3 13  x4 14  x;

Bài 1 1 Hàm số nghịch biến trên ; 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ; 4 và

2;  , đồng biến trên  4; 2; 3 Hàm số đồng biến trên ; 4 Hàm số nghịch biến trên các

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng   ; 1 và 1;); 8Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng ; 3

0 _

x x





Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0

và 0;1 , đồng biến trên các khoảng  1; 2 và

3 2

0 0

∞

2 2 2

3 11

x y

x x



Hàm số nghịch biến trên 0;1 , đồngbiến trên 1;  

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

x y x





số nghịch biến trên  ; 2 , đồng biến trên 2;  ; 16 Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 ;0 và 1; 2 , đồng biến trên các khoảng  0;1 và  2;  ;

3 4 3 4

32

35

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7

§2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:

1 Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “bậc nhất

 Đồng biến trên các khoảng  ; x1 và x  ;2; 

 Nghịch biến trên khoảng x x 1; 2

 0  Đồng biến trên 

   Nghịch biến trên các khoảng  ; x1 và x 2; 

a b Sự biến thiên của y

 0  y nghịch biến trên  ;0, đồng biến trên  ;0;

 Đồng biến trên các khoảng  2b ;0

Hàm “bậc nhất

bậc nhất ” cĩ dạng

ax b y

 khơng đổi dấu trên tập xác định Do đĩ:

2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

f đồng biến (nghịch biến) trên a b ;   f cĩ ít nhất một khoảng đồng biến (nghịch biến) và

a b là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đĩ.; 

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Xét sự biến thiên của hàm số y4x3mx

Giải Ta cĩ TXĐ , y' 12 x2m Ta cĩ hai trường hợp sau

 Trường hợp 1 m 0  ' 0y    x  hàm số đồng biến trên 

 Trường hợp 2 m 0  'y cĩ hai nghiệm phân biệt 1

;12

 ; x1 và x  (xem bảng biến thiên).2; Hàm số nghịch biến trên 0;  

 0;  x2;  x 2 0

 1 m  1 0  m .Tóm lại hàm số đã cho nghịch biến trên

 TH1: m 0  'y có nghiệm duy nhất x 0 và đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0.

Bảng biến thiên:

4

+∞

+ _

 TH2: m 0  'y có ba nghiệm phân biệt là 0 và

44

m y

m   ; 7  3m 3

§3 Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình

 

f x m (1)

được đưa về xét sự tương giao giữa đường thẳng

y m với đồ thị (C) của hàm số yf x  Sau đây là

B MỘT SỐ VÍ DỤ

1) Tìm m để (1) có nghiệm

2) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt.

Giải Điều kiện: x 1 Xét f x   x 1 x, x 1 Ta có

3 4

1 _

4

m  ;

2)  1 có 2 nghiệm phân biệt  đường thẳng

y m có 2 điểm chung với đồ thị hàm số yf x 

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 1; 2

2 +

2 0

 1 có 6 nghiệm phân biệt  0m1

Ví dụ 5 [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m, phương trình sau có hai nghiệm thực

Ví dụ 6 [ĐHD04] Chứng minh phương trình sau có đúng 1 nghiệm

Ví dụ 7 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

f t

f ' t ( )

+∞

∞

t Ta thấy x, t  1t  ( ' 01 ( ) cho đúng hai nghiệm ' 0) cho đúng một nghiệmx.

Do đó (1) có 2 nghiệm phân biệt  (3) cónghiệm t  1  m1 0  m  1

Ví dụ 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải Ta có

(1)  sinx cosx 1 sin cos x x m

2

t

x x 

Do đó, với phép đặt ẩn phụ (2), phương trình (1) trở thảnh

112

+

+ +

(với x   1;1)  f x cùng dấu với '  x   x  1;1 .

Bảng biến thiên của f x : 

0

-1

+ _ 0

1 0

Với phép đặt ẩn phụ như trên, phương trình đang xét trở thành:

0

-1

1 3 0

+ _

3

m

Bài 2 [ĐHA02] Tìm k để phương trình x33x2k3 3k2  có ba nghiệm phân biệt.0

Bài 3 Chứng minh với mọi m   2; 2 , phương trình x3 3x2m2  luôn có ít nhất hai0nghiệm phân biệt

Bài 4 Tìm m để phương trình x4 2x24m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0 2; 2

Bài 5 Tìm m để phương trình x22x2 m1 x2 2xm 1 0 có nghiệm thuộc đoạn

Bài 6 [ĐHA02] Cho phương trình 2 2

log x log x 1 2m1 0

1) Giải phương trình khi m 2

2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

Bài 7 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x13 m x 12 0

Bài 8 Giải phương trình 2x 3x 3 2

Bài 2 k   1;0  0; 2  2;3 Bài 4 2m0 Bài 5 HD đặt t x 22x ĐS:3