CHUYÊN đề sự BIẾN THIÊN của hàm số và KHẢO sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số trên.. Khảo sát sự biến thiê

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

§1 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến,hàm đơn điệu trên một khoảng Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ

đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm

1 Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm

Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b;  Khi đó

 f x '  0  x a b;   f đồng biến trên a b; ;

 f x '  0  x a b;   f nghịch biến trên a b; ;

 f x '  0  x a b;   f không đổi trên a b; 

Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xétdấu của đạo hàm Như vậy ta cần nắm được

 Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;

 Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;

 Quy tắc xét dấu của một biểu thức

2 Quy tắc xét dấu một biểu thức

Giả sử hàm y g x   không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1, x2, …, x n đôimột khác nhau và x1 x2   x n Ký hiệu I là một trong các khoảng  ; x1,

x x1 ; 2, …, x n1 ;x n, x  n;  Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trênđó

2 '

1

y x





 Ta thấy với mọi x TXĐ, dấu của y' chính

là dấu của tam thức bậc hai x2  2x Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

1

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

3 -1

+∞

+∞

∞ _

0

0 0

1 1

x x

Kết luận f đồng biến trên   ;0 và 2; , nghịch biến trên 0;1 và 1; 2

Ví dụ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số 2

x





 vớimọi x   1;1 Do đó với mọi x   1;1, y'

trái dấu với x Ta có bảng biến thiên của

hàm số như hình bên

+

_

_ 0 1

0 0

1 0

1 _

y

y'

+∞

∞ x

Kết luận hàm số đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên 0;1

Ví dụ 3 Xét sự biến thiên của hàm số y 1  x 1 x

Do đó với mọi x   1;1, y' trái dấu với

x Ta có bảng biến thiên của hàm số như

2

1 0

1 _

y

y'

+∞

∞ x

Kết luận hàm số đồng biến trên  1;0 ,nghịch biến trên 0;1

Nhận xét Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy

tắc xét dấu cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau,

ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình

2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Ví dụ 4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y 2x 1  x2

Giải Ta thấy x TXÑ  1  x2  0  x   1;1 Vậy TXÑ   1;1 .

2

2 1 ' 2

-1

1

2 5 _

f x ( )

f ' x ( )

+∞

∞ x

Kết luận hàm đã cho đồng biến trên 1; 2

Kết luận: hàm số đồng biến trên 0; 2,nghịch biến trên 2;6

3

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

1

x y x



13) y x  2 3  x;14) 2

15) y x 2;16) yx2 2x ;17) y 4 x 2  4 5  x;18) y x  3 3 3 x  3 4 4 x  3 1  x 3 1 3  x 4 1 4  x;

Bài 1 1 Hàm số nghịch biến trên ; 2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng

   ; 4 và 2;  , đồng biến trên  4; 2; 3 Hàm số đồng biến trên ; 4 Hàm sốnghịch biến trên các khoảng    ; 1 và 1;2

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

0 _

11 Hướng dẫn.

_

_

3 2

3 2

0 0

∞

2 2 2

3 1 1

x y

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

3 2

x x



Hàm số nghịch biến trên 0;1,đồng biến trên 1; 

3 4 3 4

3 2

3 5

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

7

§2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Trong tiết học này, ta quan tâm đến các vấn đề sau:

1 Sự biến thiên của hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương, hàm “bậc nhấtbậc nhất”

a) Hàm bậc ba

Hàm bậc ba cĩ dạng y ax 3 bx2 cx d (a 0) Ta cĩ y' 3  ax2  2bx c là tam thứcbậc hai cĩ   ' b2  3ac Ta cĩ bảng sau:

a  Sự biến thiên của y

 Đồng biến trên các khoảng  ; x1 và x 2 ; ;

 Nghịch biến trên khoảng x x1 ; 2

  0  Đồng biến trên 

a b Sự biến thiên của y

  0  y nghịch biến trên   ;0, đồng biến trên   ;0;

   Nghịch biến trên các khoảng  ; 2b 

 2b ; 

a

 

  0  Đồng biến trên   ;0, nghịch biến trên   ;0

c) Hàm “bậc nhấtbậc nhất”

Hàm “bậc nhấtbậc nhất ” cĩ dạng y ax b

 khơng đổi dấu trên tập xác định Do đĩ:

 ad bc  0  y đồng biến trên từng khoảng xác định;

 ad bc  0  y nghịch biến trên từng khoảng xác định

2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

f đồng biến (nghịch biến) trên a b;   f cĩ ít nhất một khoảng đồng biến(nghịch biến) và a b;  là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đĩ

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1.Xét sự biến thiên của hàm số y 4x3 mx

' 12

y  x m Ta cĩ hai trường hợp sau

 Trường hợp 1 m 0  y ' 0   x  hàm số đồng biến trên 

 Trường hợp 2 m 0  y' cĩ hai nghiệm phân biệt 1

  và đổi dấu liên tiếp khi

x đi qua các nghiệm.

Bảng biến thiên:

Ở đây, xlim y.KL: hàm số đồng nghịch biến trên cáckhoảng    ;  2m và 4;  2m và đồngbiến trên   2m;0 và   2m; 

m 2

4

4

-4 - m 2 4

4 4

m y

§3 Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để xét phương trình

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong nhiều trường hợp, việc xét phương trình

 

f x m (1)được đưa về xét sự tương giao giữa đường

thẳng y m với đồ thị (C) của hàm số yf x 

Sau đây là một số kết luận hay gặp

 (1) có nghiệm khi và chỉ khi d có điểm

B MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho phương trình x 1  x m

(1)

1) Tìm m để (1) có nghiệm

2) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

Giải Điều kiện: x 1 Xét f x  x 1  x, x 1 Ta có

5 4

_

1

5 4

3 4

1 _

f x

f ' x ( )

+∞

∞

x 2)  1 có 2 nghiệm phân biệt  đường thẳng

y m có 2 điểm chung với đồ thị hàm số

2 +

Ta thấy f ' 2  0 và

x x

Ta thấy với x  2, f x'  cùng dấu với 4x x 2  2 x2  1

x f x

Kết luận:

_1 1 2

+

_

_ 0

2 0

x  1 có 6 nghiệm phân biệt  0 m 1

Ví dụ 5 [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m, phương trình sau có hainghiệm thực phân biệt:

Do đó, để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh (1) cónghiệm duy nhất thuộc 1; Xét f x x5  x2  2x 1, x 1 Ta có

(1) có nghiệm duy nhất thuộc 1; 

(1)  sinx cosx 1 sin cos  x x m.

Đặt sin cos 2 sin

+

+ +

4 0 2

Bảng biến thiên của g t  :

(1) có nghiệm  (3) có nghiệm0; 2

   2 1  m 1

1

+ 0

Bảng biến thiên của f t  là:

1 3 -1 0

0

-1

1 3 0

+ _

2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  1;3 3 

 

Bài 7 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 13 m x  12  0

Bài 8 Giải phương trình 2x 3x 3 2

Bài 2 k   1;0  0; 2  2;3 Bài 4  2 m 0 Bài 5 HD đặt

là tập nghiệm của  1

KHẢO SÁT HÀM SỐ A.Hàm hữu tỷ:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Chứng minh đường thẳng d: y = – x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại haiđiểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

2 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm trên đoạn [0,2π/3].

sin6x + cos6x = m (sin4x + cos4x)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Câu 6: (2,0 điểm) Cho hàm số y x 2

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–6; 5)

Câu 7: (2 điểm): Cho hàm số y = 2x 3

x 2



 có đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

2 Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệmcận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất

Câu 8: (2 điểm): Cho hàm số y 2x 1

x 1





 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ΔOAB vuông tại O.OAB vuông tại O

Câu 9: (2 điểm) Cho hàm số y 2x 1

x 1





 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A

và B Gọi I là giao hai tiệm cận, tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 10: (2 điểm) Cho hàm số y 2x 3

x 2





 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đườngtiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm điểm M saocho đường tròn ngoại tiếp ΔOAB vuông tại O.IAB có diện tích nhỏ nhất

Câu 11: (2 điểm) Cho hàm số y = x 3

x 1





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Cho điểm Mo(xo; yo) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại Mo cắt cáctiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạnthẳng AB

Câu 12: Cho hàm số y x

x 1



 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâmđối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Câu 13: (2,0 điểm) Cho hàm số y 2x 1

x 1





 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của(C) nhỏ nhất

2 Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y=-2x+7.

2.Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếptuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại J,K sao cho đường tròn ngoại tiếptam giác IJK có diện tích nhỏ nhất

B Hàm đa thức bậc ba:

Câu 16: Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0

2 Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = – 4x2

Câu 17 Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1, m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1

2 Xác định các giá trị của m để hàm số y = f(x) không có cực trị

Câu 18: Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1

2 Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Câu 19: (2,0 điểm) Cho hàm số y 1m 1 x 3 mx2 3m 2 x

3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó

Câu 20 Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 9x + m – 2 (1) có đồ thị là (Cm)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1

2 Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị đối xứng vớinhau qua đường thẳng

y = x/2

Câu 21 Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –3

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D,

E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Câu 24: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m, trong đó m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Câu 25 (2 điểm) Cho hàm số y =  x3  3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trênkhoảng (0; +∞)

Câu 26: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và Nvuông góc với nhau

Câu 27 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 9x – m, với m là tham sốthực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1

2 Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x 1  x 2  2

Câu 28: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 9x – m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Xác định các giá trị m để hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2

Câu 29: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1

2 Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2

Câu 30: (2 điểm): Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = –x3 + (2m + 1)x2 – (m + 1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1

2 Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx – (m + 1)

Câu 31: (2 điểm)

Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu,đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Câu 32: (2 điểm)

Cho hàm số y = (1/3)x3 – mx2 +(m2 – 1)x + 1 có đồ thị (Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2) khi m = 2

2 Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.

Câu 33: (2,0 điểm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = x3 – 3x2 + 2

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x2 2x 2) m

1 Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1

Câu 36 (2 điểm) Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + mx – 2 (1), m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

Câu 37 Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (1) m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) với m = 2

2 Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳngd: x + y + 7 = 0 góc α sao cho cos 1

26

Câu 38: (2 điểm) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x +1 có đồ thị(Cm)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞)

Câu 40: Cho hàm số y = x4 + mx3 – 2x2 – 3mx + 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0

2 Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu

Câu 41 Cho hàm số y = 8x4 – 9x2 + 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình8cos4x – 9cos2x + m = 0 với x  [0; π]

Câu 44 (2 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 (1), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

Câu 45: (2 điểm) Cho hàm số y = x4 – (2m + 1)x2 + 2m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau

CHUYÊN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ

A/ Mở đầu : Trong các , kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh ,kỳ thi chọn học sinh

giỏi quốc gia , kỳ thi chọn học sinh giỏi Olimpic , kỳ thi đại học ta thấy xuất hiệnBÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ Đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt và sáng tạo để

giải chúng Sau nhiều năm giảng dạy học sinh giỏi , bản thân tôi rút ra được một

số kinh nghiệm và phân loại chúng thành các dạng sau :