Chuyên đề Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ bản nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức.. Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo [r]

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Sự biến thiên hàm số và ứng dụng Mục lục Loại Sự biến thiên hàm số không chứa tham số A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ .3 C Bài tập 12 D Hướng dẫn và đáp số 14 Loại Sự biến thiên hàm số chứa tham số 18 A Tóm tắt lý thuyết 18 B Một số ví dụ 20 C Bài tập 24 D Hướng dẫn và đáp số 25 Loại Ứng dụng xét phương trình 28 A Nguyên tắc chung 28 B Một số ví dụ 29 C Bài tập 39 D Hướng dẫn và đáp số 41 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Sự biến thiên hàm số không chứa tham số A Tóm tắt lý thuyết * Định nghĩa: Cho f :  a;b    +) f gọi là đồng biến trên K nếu: x1 , x2   a;b  , x1  x  f  x1   f  x  +) f gọi là nghịch biến trên K nếu: x1 , x2   a;b  , x1  x  f  x1   f  x  Nếu sử dụng định nghĩa thì ta gặp khó khăn nhiều bài toán xét tính đơn điệu hàm số Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu hàm số * Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a;b  Khi đó +) f '  x   x   a;b   f đồng biến trên  a;b  +) f '  x   x   a;b   f nghịch biến trên  a;b  +) f '  x   x   a;b   f không đổi trên  a;b  Để xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  , ta làm sau: +) Bước 1: Tìm tập xác định hàm số +) Bước 2: -) Tính f '  x  -) Tìm nghiệm phương trình f '  x   -) Xét dấu f '  x  (nếu cần) +) Bước 3: Lập bảng biến thiên hàm số +) Bước 4: Kết luận biến thiên hàm số Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x   x  3x  9x  Giải +) TXÑ    x  1 +) f '  x   3x  6x   x  2x  , f '  x    x2  2x     x    +) Bảng biến thiên: x -1 -∞ + f '(x) _ +∞ + +∞ f(x) -25 -∞ lim f  x    , lim f  x    x  x  +) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3;  , nghịch biến trên  1;3  Chú ý: Giới hạn vô cực hàm đa thức: Xét đa thức bậc n f  x   an xn  an 1xn 1   a1x  a0 ( n  * , an  ) Ta có   neáu an  , lim f  x    x    neáu an    neáu an    neáu an lim f  x    x    neáu an   neáu a  n  0, n chaün  0, n leû  0, n chaün  0, n leû Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Một số quy tắc xét dấu: a Dấu nhị thức bậc nhất: Xét g  x   ax  b ( a  ) Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu g  x  (quy tắc “phải cùng trái khác”): x _ b a _∞ _ ag(x) +∞ + b Dấu tam thức bậc hai: Xét g  x   ax  bx  c ( a  ,   b  4ac ) Ta có ba trường hợp sau đây: TH1:   : ag  x   x TH2:   : ag  x   x Dấu “  ” xảy  x   b 2a TH3:   : g  x  có hai nghiệm phân biệt x1  x Ta có  x  x1 ag  x    x1  x  x , ag  x      x  x2 Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu g  x  trường hợp (quy tắc “trong trái ngoài cùng”): x ag(x) _∞ x2 x1 + _ +∞ + c Dấu đa thức: Tất các bài toán xét dấu đa thức có thể quy xét dấu đa thức có dạng: k k k P  x   a  x  x1   x  x    x  xn  n , đó: Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 - a  là hệ số lũy thừa bậc cao P  x  - x1  x    xn là các nghiệm P  x  , - k , …, k n là các số nguyên dương, k i gọi là bội nghiệm xi Ta có quy tắc sau đây dấu đa thức P  x  : - Khi x lớn nghiệm lớn ( xn ) thì P  x  cùng dấu với a - P  x  không đổi dấu x qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu x qua nghiệm bội chẵn d Hệ (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa thức đó đổi dấu liên tiếp x qua các nghiệm Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x    x3  3x  3x  Giải +) TXÑ   +) f '  x   3x2  6x   3  x  1  x Dấu “  ” xảy  x  +) Bảng biến thiên: x -∞ _ f '(x) +∞ _ +∞ f(x) -∞ lim f  x    , x  lim f  x    x  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 +) Kết luận: f nghịch biến trên  Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy f '  x   x   và f '  x    x  , nhiên f nghịch biến trên  Tổng quát hơn, ta có: +) f '  x   x   a;b  , dấu xảy số hữu hạn điểm thuộc  a;b   f đồng biến trên  a;b  +) f '  x   x   a;b  , dấu xảy số hữu hạn điểm thuộc  a;b   f đồng biến trên  a;b  Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x   3x4  4x  12x  24x  Giải +) TXÑ       +) f '  x   12x  12x  24x  24  12 x  x  2x   12  x  1 x  +) Bảng biến thiên: x ∞ _ f '(x) + _ +∞ + +∞ 16 f(x) -7+16 -7-16 lim f  x    x         +) Kết luận: f nghịch biến trên ;  và 1; , đồng biến trên  2;1 và  2; Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2x   2x Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x   Giải  +) TXÑ   \ +) f '  x     1 2x   2  x   \ +) Bảng biến thiên: x _∞ +∞ _ f '(x) _ +∞ _1 f(x) _1 _∞ 2 2x  lim f  x   lim  lim x  1 , x  x   2x x   x  lim  x    f  x    , lim  x  f  x     * Kết luận: f nghịch biến trên ; và ; (nghịch biến trên khoảng xác định) 2 Chú ý: * Cách tính giới hạn vô cực hàm phân thức hữu tỷ: chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao mẫu Chẳng hạn: lim 3x  4x  x   x  3x   3  x x2 x3 lim x  1   x2 x3   (lũy thừa bậc cao mẫu là x ) 1 * Cách xác định các giới hạn phía: lim x  x f x g x với điều kiện f  x0   , g  x0   Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 +) a  x0 x   x0 ;a  : g  x  cùng dấu với f  x0   +) a  x0 x   x0 ;a  : g  x  trái dấu với f  x0   lim x  x Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x   g  x f  x lim g  x x  x     f  x   g  x x  x +) a  x0 x   a;x0  : g  x  cùng dấu với f  x0   +) a  x0 x   a;x0  : g  x  trái dấu với f  x0   f  x lim f  x    g x   x  x0 lim x2  x  x 1 Giải +) TXÑ   \ 1 +) f '  x   x  2x  x 12 +) Bảng biến thiên: x _∞ + f '(x) _ _ +∞ + +∞ +∞ f(x) -1 _∞ _∞ 1 x 1 x 1 x2  x  x   , lim f x  lim x   lim f  x   lim  lim   1 x  x  x  x   x  x   x x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 lim  x  f  x    , lim  x  f  x    +) Kết luận: f đồng biến trên  ;0  và  2;  , nghịch biến trên  0;1 và  1;2  Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số f  x    x Giải +) TXÑ   -1;1 +) f '  x   x  x2 x   1;1 +) Bảng biến thiên _∞ _ x f '(x) + +∞ _ f(x) 0 * Kết luận: f đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 Ví dụ Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số f  x    x  x  Giải * TXÑ   -1;1 * f '  x   1 x  1 x   x  1 x  1 x x  1 x   x  1 x2 x   1;1 * Bảng biến thiên Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x _∞ _ 1 f '(x) + +∞ _ f(x) 2 * Kết luận: f đồng biến trên  1;0  , nghịch biến trên  0;1 Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm thực các quy tắc xét dấu (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta xét dấu đạo hàm cách giải bất phương trình Ví dụ Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  2x   x2 Giải +) x  TXÑ   x   x   1;1 Vậy TXÑ   1;1 +) y '   x 1 x x   1;1 , ta có   x2  x 1 x , x   1;1  y '    x2  x    x2  x  x    2 4  x  x    x y'   x  +) Bảng biến thiên 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x _∞ -1 f '(x) + +∞ _ f(x) -2 +) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên  1;  , nghịch biến trên  ;1  5    11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 1) y  2x  2x2  x  2) y   x  2x  16x  31 3) y  x  3x  3x  4) y  x4  x3  x  5) y  3x4  22x  51x  36x  6) y   x5  x3  7) y  2 x 1 x 8) y  3x  2x  9) y   x  2x  x 10) y   x x 11) y  23x x 1 12) y  x  x 13) y  x    x 14) y  x2  2x  15) y  x  16) y  x  2x 17) y  x    x 18) [ĐHA08] y  2x  2x   x   x 19) y  x   3 x   4 x    x  3  x  4  x 20) y   x  x   x 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài Chứng minh 1) y  x  đồng biến trên  3;  2) y  x  nghịch biến trên các khoảng  2;0  ,  0;2  x 3) y  3x nghịch biến trên khoảng xác định 2x  4) y  2x2  3x đồng biến trên khoảng xác định 2x  5) y   x  x2  nghịch biến trên  6) y  x  cos2 x đồng biến trên  13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Hướng dẫn và đáp số 1) Hàm số nghịch biến trên  2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 4  và  2;  , đồng biến trên  4;2  3) Hàm số đồng biến trên  2   4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và ; , đồng biến trên các khoảng 1;  và  2;    2  5) Hàm số đồng biến trên các khoảng ; và  3;  , nghịch biến trên các khoảng ; 2 và  3;  6) Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;  23  và  23 ;   , nghịch biến trên   23 ; 23        Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu x qua 7) Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  1;   ) 8) Hàm số đồng biến trên khoảng xác định (đồng biến trên các khoảng  ;  32  và  32 ;  ) 9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  4;  , đồng biến trên các khoảng  0;2  và  2;4  10) +) TXÑ   \ 0;2 +) y '   x  1 x2 x    +) Bảng biến thiên: 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x _∞ _ f '(x) _ +∞ +∞ + lim y  , lim y   , lim y   , + x  0 x  x  0 +∞ f(x) 0 lim y   , lim y   x  2 x  2 _∞ _∞ +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  0;1 , đồng biến trên các khoảng  1;2  và  2;  11)  1 x2 +) TXÑ   +) y '   x2  1  +) Bảng biến thiên: x _∞ -1 _ f '(x) + +∞ _ f(x) lim y  x  0 _ +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  1;  , đồng biến trên  1;1  12) +) TXÑ   0;   +) y '  x 1 6x x +) Bảng biến thiên: 15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x _∞ _ f '(x) +∞ lim y   , + +∞ x  0 +∞ f(x) lim y  lim  x     x   x x  +) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;    2  13) Hàm số nghịch biến trên 2; , đồng biến trên ; 13) Hàm số nghịch biến trên  ; 1 , đồng biến trên  1;   15) Gợi ý: y  x    x  22  y '  x  Hàm số nghịch biến trên  ;2  , đồng biến x2 trên  2;  16) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  1;2  , đồng biến trên các khoảng  0;1 và  2;  17) +) TXÑ   2;5     ( x   2;5  ) y '   x    x  x  +) y '   3  5 x     x 2 1 4 1  4    x  3 x  2;    y '  , tương tự: x  ;5 2   4 3    x         y'  +) Bảng biến thiên: 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 _∞ x f '(x) + +∞ _ 24 f(x) 43 43  2 2  +) Hàm số nghịch đồng trên 2; , nghịch biến trên ;5 Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17) 18) Hàm số đồng biến trên  0;2  , nghịch biến trên  2;6  19) Hàm số đồng biến trên  3; 1 , nghịch biến trên  1;1  20) Hàm số nghịch biến trên  0;1 , đồng biến trên  1;2  17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Sự biến thiên hàm số chứa tham số A Tóm tắt lý thuyết Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây Bài toán Số khoảng đơn điệu hàm số * Hàm bậc ba: y  ax  bx  cx  d ( a  ) Ta có: y '  3ax  2bx  c , y ' là tam thức bậc hai có  '  b  3ac Ký hiệu x1  x là các nghiệm y ' trường hợp y ' có hai nghiệm phân biệt Ta có bảng sau: a Sự biến thiên y   Hai khoảng đồng biến là  ;x1  và  x2 ;     0  Một khoảng nghịch biến là  x1 ;x   Đồng biến trên   Hai khoảng nghịch biến là  ;x1  và  x2 ;     0  Một khoảng đồng biến là  x1 ;x   Nghịch biến trên  * Hàm bậc bốn trùng phương: y  ax4  bx  c ( a  )   Ta có: y '  4ax  2bx  4ax x  b a b  0   2a Sự biến thiên y  y nghịch biến trên  ;0  , đồng biến trên  ;0    và  0;    Hai khoảng đồng biến là    ;0  và   ;    Hai khoảng đồng biến là  ;    và  0;    Hai khoảng nghịch biến là    ;0  và   ;   b  Hai khoảng nghịch biến là ;   2a b 2a   * Hàm “ 0 b 2a b 2a b 2a  b 2a b 2a b 2a  y đồng biến trên  ;0  , nghịch biến trên  ;0  baäc nhaát ax  b ”: y  ( a , c , ad  bc  ) baäc nhaát cx  d 18 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ta có y '  a b c d  cx  d   ad  bc  cx  d  không đổi dấu trên tập xác định Do đó: +) ad  bc   y đồng biến trên khoảng xác định +) ad  bc   y nghịch biến trên khoảng xác định Bài toán Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng * Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên  a;b   f có ít khoảng đồng biến (nghịch biến) và  a;b  là tập khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó * Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng trên  a;b  Khi đó +) f đồng biến trên  a;b   f '  x   x   a;b  +) f nghịch biến trên  a;b   f '  x   x   a;b  19 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Xét biến thiên hàm số y  4x  mx Giải +) TXÑ   +) y '  12x2  m * TH1: m   y '  x    hàm số đồng biến trên  * TH2: m   y ' có hai nghiệm phân biệt x1    m , x2   m 12 12 +) Bảng biến thiên x x1 -∞ + y' +∞ x2 _ + lim y   , x  +∞ lim y   y(x1) x  y yx2 -∞ +) Kết luận:  hàm số đồng biến trên ;   m  12  và    m ;  , 12  nghịch biến trên   m ;  m 12 12 Ví dụ Tìm m để hàm số y   x  2x2   2m  1 x  3m  nghịch biến trên  Giải +) TXÑ   +) y '   x  4x  2m  y ' là tam thức bậc hai có hệ số x là 1  ,  '  2m  Do đó: 20 Lop12.net