Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Trang 1các bài toán mở đầu về hàm số
chủ đề 1 tập xác định và tập giá trị của hàm số
I Kiến thức cơ bản
1 định nghĩa
Định nghĩa Với một hàm số y=f(x), ta có:
D={xR|y tồn tại}, khi đó D gọi là tập xác định của hàm số
I={yR|x tồn tại}, khi đó If gọi là tập giá trị của hàm số
2 phơng pháp giải toán
Bài toán 1 (Tìm tập xác định của hàm số ): Tìm tập xác định của hàm số y=f(x).
phơng pháp chung
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) ta lựa chọn một trong hai
ph-ơng pháp sau:
Phơng pháp 1 Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm:
D={xR|f(x)R }
Phơng pháp 2 Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D=R\E
Chú ý Thông thờng f(x) cho bởi biểu thức đại số thì với:
f(x)=2 k
1(x)
f (kZ) điều kiện là
0 ) x ( f
nghia co
) x ( f
1
f(x)= f ( x )
1( x )]2
nghia co
)
x
(
f
0 ) x ( f
&
nghia co
)
x
(
f
2
1
f(x)=logf1(x) f2(x)] điều kiện là
0 ) x ( f
&
nghia co
)
x
(
f
1 ) x ( f 0
&
nghia co
)
x
(
f
2 2
1
f(x)=
) x ( f
) x ( f
2
1 điều kiện là
0 ) x ( f
&
nghia co ) x ( f nghia co ) x (
2 2
Bài toán 2 (Tìm tập giá trị của hàm số ): Tìm tập giá trị của hàm số y=f(x).
phơng pháp chung
Muốn tìm tập giá trị I của hàm số y=f(x) có miền xác định D ta lựa chọn một trong bốn phơng pháp sau:
Phơng pháp 1 Tìm tập các giá trị của y để phơng trình f(x)=y có nghiệm với
ẩn xD
Phơng pháp 2 Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
Phơng pháp 3 Sử dụng đạo hàm lập bẳng biến thiên của hàm số y=f(x) trên
miền D, từ đó tìm đợc I
Phơng pháp 4 Tập giá trị I là hình chiếu vuông góc của đồ thị hàm số lên
trục tung
Chú ý Phơng trình:
ax+b=0 có nghiệm
0 a
0 b a
ax2+bx+c=0 (a0) có nghiệm 0
asinx+bcosx=c có nghiệm a2+b2 c2
Ví dụ 1 (Đề 3): Tìm tập xác định của hàm số y= x x2 x1
Giải
Hàm số có nghĩa (xD) khi:
Trang 2
0 1 x x x
0 1 x
x
2 2
x2 x1-x
2
x
0 x 0 x
0
x
0
x
x
Vậy D=R
Ví dụ 2 (Đề 81): Tìm tập xác định của hàm số y= log (x3 1).logx 1x 2
Giải
Hàm số có nghĩa khi:
log ).
1 x
( log
0 x
1 1 x 0
0 1 x
1 x 0
1 x 3
x 3
2 ) 1 x ( log
) 1 x ( log 1 x 0
x 3 x
( x 1 ) 2
log
1
x
0
3
1
x
2 3
) 1 x ( 1 x
1 x
0
x2
Vậy D=[2,+)
Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện để hàm số xác định với mọi xK, bài toán đợc chuyển về việc tìm điều kiện để bất phơng trình f(x) 0, xK (có thể là hệ gồm nhiều bất phơng trình khác nhau), nh vậy chúng ta cần nhớ lại kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu tam thức trên một miền - Có thể tham khảo trong cuốn Đại số sơ cấp của Lê Hồng Đức đã đợc nhà xuất bản Hà Nội ấn hành năm 2002 hoặc cuốn Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ
Đại số trong bộ Học và ôn tập Toán Trung học phổ thông của Lê Hồng Đức.
2. Với nhị thức f(x)=ax+b, ta có:
(1) f(x)0, x
0 b 0 a
(2) f(x)0, x
0 ) ( 0 a
(3) f(x)0, x
0 ) ( 0 a
(4) f(x)0, x(,)
0 )
(
f
0 )
(
&
&
&
&
f(x)0, x
0 b 0 a
0 ) ( 0 a
0 ) ( 0
f(x)0, x(,)
0 ) ( f
0 ) ( f
Ví dụ 3 (Đề 41): Cho hàm số y=
) 2 m mx ( log
m x ) 1 m (
(0<a1)
a Tìm miền xác định của hàm số khi
m=-2
1
b Tìm các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi x1
Giải
Hàm số nghĩa khi:
0 ) 2 m mx
( log
0 2 m mx
0 m x
) 1 m
(
a
) 3 ( 1
2 m
mx
) 2 ( 0
2 m
mx
) 1 ( 0 m
x ) 1 m
(
a Với
m=-2
1
hàm số có nghĩa khi:
0 ) 2 x 2 ( log
0 2 x 2
0 2 x
2
a
1 2 x 2 5 x
1 x
3
x
5
x
1 x
5 x 3
3 x 1
Vậy D=[-1, 3)(3,5)
Trang 3b Hàm số xác định với mọi x1 khi (1), (2) và (3) đồng thời thoả mãn với mọi x1 Ta có:
g(x)=(m+1)x-m0 x1
0 ) 1 ( g
0 1 m
0 1
1 m
m-1
h(x)=mx-m+2>0 x1
0 ) 1 ( h 0 m
0 2
0 m
m0
Do đó (1), (2) đồng thời thoả mãn với x1 khi m0, khi đó
q(x)=mx-m+2=m(x-1)+22 (3) đúng
Vậy, với m0 hàm số xác định với mọi x1
Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y= 1| x2 mxm15| xác định với x[1, 3] Giải
Hàm số nghĩa khi:
1-|2x2+mx+m+15|0 |2x2+mx+m+15|1 (1) Bài toán đợc chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x[1, 3] Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ
Điều kiện cần
Bất phơng trình nghiệm đúng với x[1, 3] nghiệm đúng với x=1, x=2, tức là ta có:
1
| 23 m
3
|
1
| 17 m
2
|
1 23 m 3 1
1 17 m 2 1
3 22 m
8
8 m
9
m=-8
Vậy m=-8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x[1, 3]
Điều kiện đủ
Với m=-8, ta có:
(1) |2x2-8x+7|1 -12x2-8x+71
0 6 x 8 x
2
0 8 x 8 x
2
2 2
0 3 x 4 x
0 ) 2 x (
2 2
1x3
Vậy với m=-8 hàm số xác định với x[1, 3]
Cách 2: Sử dụng định nghĩa
Sử dụng phép biến đổi tơng đơng, ta đợc:
(1)
) 3 ( 0 16 m mx x
2 ) x ( g
) 2 ( 0 14 m mx x
2 ) x (
2 2
(I)
Vậy (1) nghiệm đúng với x[1, 3]
(I) nghiệm đúng với x[1, 3]
(2) và (3) nghiệm đúng với x[1, 3]
a (2) nghiệm đúng với x[1, 3]
f(x)=0 có nghiệm x1, x2 thoả mãn x11<3x2
0 ) 3 ( af
0 ) 1 ( af
0 32 m 4
0 16 n
b (3) nghiệm đúng với x[1, 3]
4 3
4 3
x x 3 1 nghiệm có
0 ) x ( g
3 1 x x nghiệm có
0 ) x ( g
nghiệm
ô v 0 ) x ( g
Trang 4
3 2 / S
0 ) 3 ( ag
1 2 / S
0 ) 1 ( ag 0 0
12 m
0 34
m 4
4 m
0 18
m 2
0 128
m 8 m
0 128
m 8 m
2 2
m-8
Vậy với m=-8 hàm số xác định với x[1, 3]
Ví dụ 5 Cho hàm số y= (m1)x2 2mx2m Tìm tập xác định của các hàm số sau tuỳ theo tham số m:
Giải
Hàm số nghĩa khi:
-(m+1)x2+2mx-2m 0 (m+1)x2-2mx+2m0 (1) Bài toán đợc chuyển về việc giải và biện luận bất phơng trình (1)
Trờng hợp 1 m+1=0 m=-1, khi đó:
(1) 2x-20 x1 D=(-, 1]
Trờng hợp 2 m+10 m-1
Ta có: a=m+1; ’=m2-2m(m+1)=-m2-2m
Bảng xét dấu:
-a Với m<-2, ta có:
0 '
0 a
f(x)<0, xR nghiệm của (1) là xR D=R
b Với m=-2, ta có:
0 '
0 a
f(x)0, xR nghiệm của (1) là xR D=R
c Với -2<m<-1, ta có:
0 '
0 a
Khi đó f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt
1 m
' m x
&
1 m
' m
Trờng hợp này a<0 nên x2<x1 do đó:
- nghiệm của (1) là xx2 xx1 D=(-, x2][x1, +)
d Với -1<m<0, ta có:
0 '
0 a
f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Trờng hợp này a>0 nên x2>x1 do đó:
nghiệm của (1) là x1xx2 D=[x1, x2]
e Với m=0, ta có:
0 '
0 a
0 x khi 0 ) x (
0 x , 0 ) x (
nghiệm của (1) là x=0 D={0}
f Với m>0, ta có:
0 '
0 a
f(x)>0, xR (1) vô nghiệm D=
Kết luận:
- Với m-2, thì D=R
Trang 5- Với -2<m<-1, thì D=(-, x2][x1, +).
- Với m=-1, thì D=(-, 1]
- Với -1<m<0, thì D=[x1, x2]
- Với m=0, thì D={0}
- Với m>0, thì D=
Ví dụ 6: Tìm tập giá trị của hàm số y=
x cos 2
x sin 3
Giải
Hàm số xác định với mọi x
Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình
x cos
2
x sin
3
=y có nghiệm đối với ẩn x
Phơng trình (1) có nghiệm 32+(-y)2 (2y)2 y23 - 3 y 3 Vậy: I=[- 3 , 3 ]
Ví dụ 7: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y=
1 x
4 x 2
Giải
Hàm số có nghĩa khi: x-10 x1 D=R\{1}
Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình
1
x
4
x
2
=y có nghiệm đối với ẩn x
a Nếu y-2=0 y=2
(1) 0=6 mâu thuẫn phơng trình vô nghiệm
b Nếu y-20 y2
Khi đó (1) có nghiệm x=
2 y
4 y
Kiểm tra điều kiện x1
2 y 4 y
1 luôn đúng Vậy hàm số có D=R\{1} & I=R\{2}
Ví dụ 8 (Đề 70): Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y=
4 x x
1 x
2
Giải
Hàm số có nghĩa khi: x2+x+40 luôn đúng D=R
Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình
4 x
x
1 x
2
=y có nghiệm đối với ẩn x
Trờng hợp 1: Với y=0
Phơng trình (1) -2x+1=0 x=
2
1 Trờng hợp 2: Với y0
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
0 0 y
0 ) 1 y 4 ( y 4 ) 2 y ( 0 y
2
) 19 2 ( 15 1 y ) 19 2 ( 15
Vậy, (1) có nghiệm khi:
15
19 2
4
15
19 2
4
Trang 6Do đó tập giá trị I của hàm số là: I=[
15
19 2
4
,
15
19 2
4
]
Ví dụ 9 (Đề 16): Cho hàm số y=
a x
1 x
2
Xác định a để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1]
Giải
Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình y=
a x
1 x
2
có nghiệm đối với ẩn x
Trờng hợp 1: Với y=0
Khi đó: (1) -x-1=0 x=-1
Khi đó ta phải có điều kiện MS(-1)0 1+a0 a-1
Trờng hợp 2: Với y0
Phơng trình (1) có nghiệm
0 1-4y(ay-1) 0 f(y)=4ay2-4y-10 (2) Vậy, để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1] thì bất phơng trình (2) phải nghiệm đúng với y[0,1]
Xét các trờng hợp:
Nếu a=0, khi đó
(2) -4y-10
y-4
1 thoả mãn
Nếu a>0, khi đó điều kiện là:
0 ) 0 ( af 4
0 ) 1 ( af 4
0 1
0 5 a 4
a
4
5
0<a
4
5
Nếu a<0, khi đó (2) luôn đúng với y[0,1]
Kết luận: để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1] điều kiện là -1 a
4
5
Ví dụ 10: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số:
y=( x 2 1 ) 2003 x+( x 2 1 )2003 x Giải
Hàm số có nghĩa khi:
x2-1>0 |x|>1 D=(-, -1)(1, +)
Để tìm tập giá trị của hàm số ta sử dụng bất đẳng thức
y=( x 2 1 ) 2003 x+( x 2 1 )2003 x C ô si
x 2003 2
x
2003
2 1 ) ( x 1 )
x
Mặt khác
xlim y=+
Vậy D=(-, -1)(1, +) & I=[2, +)
Ví dụ 11: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số:
y=asin2x+bsinx.cosx+c.cos2x
Giải
Hàm số xác định với mọi x D=R
Để tìm tập giá trị của hàm số ta biến đổi hàm số về dạng:
Trang 7y=
2
a
(1-cos2x)+
2
b sin2x+
2
c (1+cos2x)=
2
b sin2x+
2
a
c cos2x+
2
b
a
Ta biết rằng |A.sin+B.cos| A 2 B 2 , do đó:
2
b
a
2 a c 2
b
2
b
a
2 a c 2
b
Vậy D=R & I=[
2
b
a
2
a c 2
b
2
b
a
2
a c 2
b
Ví dụ 12: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= 3 x + 6 x Giải
Điều kiện:
0 x 6
0 x 3
-3x6
Vậy, tập xác định của hàm số là D=[-3,6]
Để tìm tập giá trị của hàm số ta xét hàm số y= 3 x + 6 x
Đạo hàm:
y'=
x 3 2
1
-x 6 2
1
, y'=0
x 3 2
1
-x 6 2
1
=0 3 x = 6 x x=
2
3
Bảng biến thiên
Từ đó: tập giá trị của hàm số là I=[3, 3 2 ]
Ví dụ 13: Tìm tập giá trị của hàm số: y= x x
2
2
3
2
1 Giải
Xét hàm số t=2x2-x với |x|
2
1 :
Miền xác định D=(,
-2
1 ][
2
1 , +)
Đạo hàm:
t'=4x-1 suy ra t'=0 4x-1=0 x=
4
1
Bảng biến thiên:
2
2
3
2
3
1
+
Trang 8Do đó tập giá trị của hàm số là: I=[1, +).
Ví dụ 14: Tìm tập giá trị của hàm số: y=1+ x2 x 3
Giải
Biến đổi hàm số về dạng:
3 x
x2
(*) 1 ) 1 y ( ) 2 x ( 1 y
2
Phơng trình (*) là phơng trình đờng tròn (C) có:
(C):
1 R bkinh
) 1 , 2 ( tam
Chiếu đờng tròn (C) lên trục Oy, ta đợc: 0y2
Do đó, từ hệ (I) suy ra:
2 y 0
1
Vậy, tập giá trị của hàm số là: I=[1,2]
Ví dụ 15: Tìm tập giá trị của hàm số: y=1+ x2 x9
Giải
Biến đổi hàm số về dạng:
9 x 6 x
3 2
(*) 1 12 ) 1 y ( 4 ) 1 x ( 1 y
2
Phơng trình (*) là phơng trình Elíp (E) có:
Tâm I(1, 1)
Trục lớn song song với Oy có độ dài bằng 4
3 chứa 2 tiêu điểm F1(1, 1-2 2 ),
F2(1, 1+2 2 )
Trục nhỏ song song với Ox có độ dài bằng 4
Chiếu Elíp (E) lên Oy, ta đợc: 1-2 2 y1+2 2
Do đó, từ hệ (I) suy ra:
3 2 1 y 3 2
1
1
y
1y1+2 2 Vậy, tập giá trị của hàm số là: I=[1, 1+2 2 ]
II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (HVKHQS-97/Đề 2):Tìm tập xác định của hàm số y=
2 x
x x 3 log
2 2
/ 1
bài giải
Hàm số có nghĩa khi:
0 2 x x x 2 3 log
0 2 x
x x 2
3
2
2
2
(*) 1 2
x x x 2 3
0 2
x x x 2 3
2 2
1 x 2
13
3
3 x 2
13
3
Vậy D=[
2
13
3
2
13
3
Chú ý:
a Hàm logarit nghịch biến khi cơ số nhỏ hơn 1
b Khi giải bất phơng trình (*) không đợc thực hiện phép nhân chéo
Bài 2 (ĐHD Hà nội-99):Tìm tập xác định của hàm số y=lg
1 2
1 x 2
x
x 1
bài giải
x
y
1
2
I
x
y
1 O -2
I 1
4 1+2
1-2
Trang 9Hàm số g(x)=21-x-2x+1 nghịch biến, có g(1)=0, nên
g(x)>0 g(x)>g(1) x<1
g(x)<0 g(x)<g(1) x>1
Hàm số có nghĩa khi:
1 2
1 x 2
x
x
1
>0
0 1 x 2 2
0 1 2
0 1 x 2 2
0 1 2
x 1 x 1
1 x 0 x 1 x 0 x
0<x<1 Vậy D=(0, 1)
Bài 3 (CĐSP Hà nội-97):Tìm tập xác định của hàm số y= log ( x2 x 2 4 x)
bài giải
Hàm số có nghĩa khi:
0 ) x 4 2 x 3 x ( log
0 x 4 2 x 3 x
0 2 x 3 x
2 2 2 2
1 x 4 2 x 3 x
0 x 4 2 x 3 x
0 2 x
3
x
2
2
3 x 2 x x
0 2 x x
2 2
2 2
2
) 3 x ( 2 x x 0 3 x 0 3 x
0 2 x x
1 x 2 x
Vậy D=(-, 1] [2, +)
Bài 4 (ĐHNN/Đề 2-97): Cho hàm số f(x)= sin4x cos4x 2msinx.cosx
Tìm các giá trị của m để f(x) xác định với mọi x
bài giải
Ta có:
sin4x+cos4
x-2msinx.cosx=1-2
1 sin2
2x-msin2x=-2
1 (sin22x+2msin2x-2)
Đặt t=sin2x, điều kiện -1t1, đợc: g(t)=t2+2mt-2
Để f(x) xác định x
g(t)0, t[-1, 1]
0 ) 1 ( g
0 ) 1 ( g
2 / 1 m
2 / 1 m
-2
1
m
2
1
Vậy, với
-2
1
m
2
1 hàm số f(x) xác định với mọi x
Bài 5 (ĐHBK-86):Tìm tập xác định của hàm số sau tuỳ theo giá trị của tham số m.
y=
1 x
3 x ) 3 m (
mx2
bài giải
Hàm số có nghĩa khi:
0 1
x
0 3 x ) 3 m (
mx 2
0 1 x
) 1 ( 0 ) 1 x )(
3 mx (
(I)
Trờng hợp 1 Nếu m=0, hệ (I) có dạng:
0 1 x
0 ) 1 x
(
3
x>-1 D=(-1, +)
Trờng hợp 2 Nếu m0, thì
(mx+3)(x+1)=0 có hai nghiệm là 1 và
-m
3
Xét hiệu:
H=-m
3 -(-1)=
m
3
m
Trang 10Bảng xét dấu:
Nếu m<0 thì
-m
3
>-1
Khi đó:
(1)
-1x-m
3 D=(1,
-m
3 ]
Nếu 0<m<3 thì
-m
3
<-1
Khi đó:
(1)
1 x
m / 3 x
D=(,
-m
3 ](-1, +)
Nếu m=3 thì (1) đúng với mọi x, do đó: D=R\{-1}
Nếu m>3 thì
-m
3
>-1
Khi đó:
(1)
1 x
m / 3 x
D=(-, -1)[-
m
3 , +)
Kết luận:
Nếu m<0 thì D=(1,
-m
3 ]
Nếu m=0 thì D=(-1, +)
Nếu 0<m<3 thì D=(,
-m
3 ](-1, +)
Nếu m=3 thì D=R\{-1}
Nếu m>3 thì D=(-, -1)[-
m
3 , +)
Bài 6 (ĐHAN/Khối A-97): Tìm tập giá trị của hàm số y= x2 x4- x2 2x4
bài giải
Điều kiện:
0 4 x 2 x
0 4 x 2 x
2
2
luôn đúng
Vậy D=R
Đạo hàm:
y'=
4 x x
1 x
2
-4 x x
1 x
2
y'=0
4 x x
1 x
2
-4 x x
1 x
2
=0
(x-1) x2 x 4
(*)
(x-1)2[(x+1)2+3] = (x+1)2[(x-1)2+3] x=0,
thử lại: thay x=0 vào (*) ta đợc - 4 = 4 (mâu thuẫn)
Vậy, phơng trình (*) vô nghiệm y' không đổi dấu trên toàn bộ trục số, ta
có y'(0)=1>0
