Chủ đề: Tập xác định và Tập giá trị của hàm số

Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"

Phần I các bài toán mở đầu về hàm số chủ đề 1 tập xác định và tập giá trị của hàm số I. Kiến thức cơ bản 1. định nghĩa Định nghĩa. Với một hàm số y=f(x), ta có: D={xR|y tồn tại}, khi đó D gọi là tập xác định của hàm số. I ={yR|x tồn tại}, khi đó I f gọi là tập giá trị của hàm số. 2. phơng pháp giải toán Bài toán 1. ( Tìm tập xác định của hàm số ): Tìm tập xác định của hàm số y=f(x). phơng pháp chung Muốn tìm tập xác định D của hàm số y=f(x) ta lựa chọn một trong hai ph- ơng pháp sau: Phơng pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm: D={xR|f(x)R }. Phơng pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là: D=R\E. Chú ý. Thông thờng f(x) cho bởi biểu thức đại số thì với: f(x)= k2 1 )x(f (kZ) điều kiện là 0)x(f nghiaco)x(f 1 1 . f(x)= )x(f 1 2 )]x(f[ điều kiện là > nghiaco)x(f 0)x(f&nghiaco)x(f 2 11 . f(x)= )]x(f[log 2)x(f 1 điều kiện là > < 0)x(f&nghiaco)x(f 1)x(f0&nghiaco)x(f 22 11 . Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức và Nhà giáo u tú Đào Thiện Khải phụ trách. 13 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số f(x)= )x(f )x(f 2 1 điều kiện là 0)x(f&nghiaco)x(f nghiaco)x(f 22 1 . Bài toán 2. ( Tìm tập giá trị của hàm số ): Tìm tập giá trị của hàm số y=f(x). phơng pháp chung Muốn tìm tập giá trị I của hàm số y=f(x) có miền xác định D ta lựa chọn một trong bốn phơng pháp sau: Phơng pháp 1. Tìm tập các giá trị của y để phơng trình f(x)=y có nghiệm với ẩn xD. Phơng pháp 2. Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc. Phơng pháp 3. Sử dụng đạo hàm lập bẳng biến thiên của hàm số y=f(x) trên miền D, từ đó tìm đợc I. Phơng pháp 4. Tập giá trị I là hình chiếu vuông góc của đồ thị hàm số lên trục tung. Chú ý. Phơng trình: ax+b=0 có nghiệm == 0a 0ba . ax 2 +bx+c=0 (a0) có nghiệm 0. asinx+bcosx=c có nghiệm a 2 +b 2 c 2 . Ví dụ 1 (Đề 3): Tìm tập xác định của hàm số y= 1xxx 2 ++ . Giải Hàm số có nghĩa (xD) khi: ++ + 01xxx 01xx 2 2 1xx 2 + -x + < 22 x1xx 0x 0x > 0x 0x x. Vậy D=R. Ví dụ 2 (Đề 81): Tìm tập xác định của hàm số y= 2xlog).1x(log 1x 3 x + + . Giải. Hàm số có nghĩa khi: 14 Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số + > +< >+ < + 02xlog).1x(log 0x 11x0 01x 1x0 1x 3 x 3 + + < 2 )1x(log )1x(log 1x0 x 3 x + < + 2)1x(log 1x0 3 1x ++ < 23 )1x(1x 1x0 x2. Vậy D=[2,+). Chú ý : 1. Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện để hàm số xác định với mọi xK, bài toán đợc chuyển về việc tìm điều kiện để bất phơng trình f(x) 0, xK (có thể là hệ gồm nhiều bất phơng trình khác nhau), nh vậy chúng ta cần nhớ lại kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất và dấu tam thức trên một miền - Có thể tham khảo trong cuốn Đại số sơ cấp của Lê Hồng Đức đã đợc nhà xuất bản Hà Nội ấn hành năm 2002 hoặc cuốn Phơng pháp giải Phơng trình, Bất phơng trình và Hệ Đại số trong bộ Học và ôn tập Toán Trung học phổ thông của Lê Hồng Đức. 2. Với nhị thức f(x)=ax+b, ta có: (1). f(x)0, x = 0b 0a . (2). f(x)0, x 0)(f 0a . (3). f(x)0, x 0)(f 0a . & & & & f(x)0, x = 0b 0a . f(x)0, x 0)(f 0a . f(x)0, x 0)(f 0a . f(x)0, x(,) 15 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số (4). f(x)0, x(,) 0)(f 0)(f . 0)(f 0)(f . Ví dụ 3 (Đề 41): Cho hàm số y= )2mmx(log mx)1m( a + + (0<a1). a. Tìm miền xác định của hàm số khi m=- 2 1 . b. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi x1. Giải Hàm số nghĩa khi: + >+ + 0)2mmx(log 02mmx 0mx)1m( a + >+ + )3(12mmx )2(02mmx )1(0mx)1m( . a Với m=- 2 1 hàm số có nghĩa khi: + >+ + 0) 2 5 x 2 1 (log 0 2 5 x 2 1 0 2 1 x 2 1 a + < 1 2 5 x 2 1 5x 1x < 3x 5x 1x << < 5x3 3x1 . Vậy D=[-1, 3)(3,5). b Hàm số xác định với mọi x1 khi (1), (2) và (3) đồng thời thoả mãn với mọi x1. Ta có: g(x)=(m+1)x-m0 x1 + 0)1(g 01m 01 1m m-1. h(x)=mx-m+2>0 x1 > 0)1(h 0m > 02 0m m0. Do đó (1), (2) đồng thời thoả mãn với x1 khi m0, khi đó q(x)=mx-m+2=m(x-1)+22 (3) đúng. 16 Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số Vậy, với m0 hàm số xác định với mọi x1. Ví dụ 4 Tìm m để hàm số y= |15mmxx2|1 2 +++ xác định với x[1, 3]. Giải Hàm số nghĩa khi: 1-|2x 2 +mx+m+15|0 |2x 2 +mx+m+15|1. (1) Bài toán đợc chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x[1, 3]. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ Điều kiện cần Bất phơng trình nghiệm đúng với x[1, 3] nghiệm đúng với x=1, x=2, tức là ta có: + + 1|23m3| 1|17m2| + + 123m31 117m21 3 22 m8 8m9 m=-8. Vậy m=-8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x[1, 3]. Điều kiện đủ Với m=-8, ta có: (1) |2x 2 -8x+7|1 -12x 2 -8x+71 + + 06x8x2 08x8x2 2 2 + 03x4x 0)2x( 2 2 1x3. Vậy với m=-8 hàm số xác định với x[1, 3]. Cách 2: Sử dụng định nghĩa Sử dụng phép biến đổi tơng đơng, ta đợc: (1) +++= +++= )3(016mmxx2)x(g )2(014mmxx2)x(f 2 2 . (I) Vậy (1) nghiệm đúng với x[1, 3] (I) nghiệm đúng với x[1, 3] (2) và (3) nghiệm đúng với x[1, 3]. a. (2) nghiệm đúng với x[1, 3] f(x)=0 có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 1<3x 2 17 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số 0)3(af 0)1(af + + 032m4 016n2 m-8. b. (3) nghiệm đúng với x[1, 3] = = = 43 43 xx31nghiệmcó0)x(g 31xxnghiệmcó0)x(g nghiệmôv0)x(g 32/S 0)3(ag 12/S 0)1(ag 0 0 + + 12m 034m4 4m 018m2 0128m8m 0128m8m 2 2 m-8. Vậy với m=-8 hàm số xác định với x[1, 3]. Ví dụ 5 Cho hàm số y= m2mx2x)1m( 2 +++ .Tìm tập xác định của các hàm số sau tuỳ theo tham số m: Giải Hàm số nghĩa khi: -(m+1)x 2 +2mx-2m 0 (m+1)x 2 -2mx+2m0. (1) Bài toán đợc chuyển về việc giải và biện luận bất phơng trình (1) Trờng hợp 1. m+1=0 m=-1, khi đó: (1) 2x-20 x1 D=(-, 1]. Trờng hợp 2. m+10 m-1. Ta có: a=m+1; =m 2 -2m(m+1)=-m 2 -2m. Bảng xét dấu: 18 Chñ ®Ò 1: TËp x¸c ®Þnh vµ tËp gi¸ trÞ cña hµm sè m -∞ -2 -1 0 +∞ a - - 0 + + ∆’ - 0 + + 0 - a. Víi m<-2, ta cã:    <∆ < 0' 0a ⇒ f(x)<0, ∀x∈R ⇒ nghiÖm cña (1) lµ ∀x∈R ⇒ D=R. b. Víi m=-2, ta cã:    =∆ < 0' 0a ⇒ f(x)≤0, ∀x∈R ⇒ nghiÖm cña (1) lµ ∀x∈R ⇒ D=R. c. Víi -2<m<-1, ta cã:    >∆ < 0' 0a Khi ®ã f(x)=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1m 'm x& 1m 'm x 21 + ∆+ = + ∆− = . Trêng hîp nµy a<0 nªn x 2 <x 1 do ®ã: x -∞ x 2 x 1 +∞ f(x) - 0 + 0 - ⇒ nghiÖm cña (1) lµ x≤x 2 ∨ x≥x 1 ⇒ D=(-∞, x 2 ]∪[x 1 , +∞). d. Víi -1<m<0, ta cã:    >∆ > 0' 0a ⇒ f(x)=0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2 Trêng hîp nµy a>0 nªn x 2 >x 1 do ®ã: x -∞ x 1 x 2 +∞ f(x) + 0 - 0 + ⇒ nghiÖm cña (1) lµ x 1 ≤x≤x 2 ⇒ D=[x 1 , x 2 ]. e. Víi m=0, ta cã:    =∆ > 0' 0a ⇒    == ≠∀> 0xkhi0)x(f 0x,0)x(f ⇒ nghiÖm cña (1) lµ x=0 ⇒ D={0}. f. Víi m>0, ta cã: 19 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số < > 0' 0a f(x)>0, xR (1) vô nghiệm D=. Kết luận: - Với m-2, thì D=R. - Với -2<m<-1, thì D=(-, x 2 ][x 1 , +). - Với m=-1, thì D=(-, 1]. - Với -1<m<0, thì D=[x 1 , x 2 ]. - Với m=0, thì D={0}. - Với m>0, thì D=. Ví dụ 6: Tìm tập giá trị của hàm số y= xcos2 xsin3 + . Giải Hàm số xác định với mọi x. Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình xcos2 xsin3 + =y có nghiệm đối với ẩn x. Phơng trình 3sinx-ycosx=2y (1) Phơng trình (1) có nghiệm 3 2 +(-y) 2 (2y) 2 y 2 3 - 3 y 3 . Vậy: I=[- 3 , 3 ]. Ví dụ 7: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= 1x 4x2 + . Giải Hàm số có nghĩa khi: x-10 x1 D=R\{1}. Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình 1x 4x2 + =y có nghiệm đối với ẩn x Phơng trình (y-2)x=y+4. (1) a. Nếu y-2=0 y=2. (1) 0=6 mâu thuẫn phơng trình vô nghiệm. b. Nếu y-20 y2 Khi đó (1) có nghiệm x= 2y 4y + Kiểm tra điều kiện x1 2y 4y + 1 luôn đúng Vậy hàm số có D=R\{1} & I=R\{2}. Ví dụ 8 (Đề 70): Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= 4xx 1x2 2 ++ . Giải Hàm số có nghĩa khi: x 2 +x+40 luôn đúng D=R. Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình 20 Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số 4xx 1x2 2 ++ =y có nghiệm đối với ẩn x Phơng trình yx 2 +(y-2)x+4y+1=0 (1) Trờng hợp 1 : Với y=0. Phơng trình (1) -2x+1=0 x= 2 1 . Trờng hợp 2 : Với y0. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 0y + 0)1y4(y4)2y( 0y 2 + )1924( 15 1 y)1924( 15 1 0y . Vậy, (1) có nghiệm khi: 15 1924 y 15 1924 + Do đó tập giá trị I của hàm số là: I=[ 15 1924 , 15 1924 + ]. Ví dụ 9 (Đề 16): Cho hàm số y= ax 1x 2 + + . Xác định a để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1]. Giải. Để tìm tập giá trị của hàm số ta đi tìm điều kiện của y để phơng trình y= ax 1x 2 + + có nghiệm đối với ẩn x Phơng trình yx 2 -x+ay-1=0 (1) Trờng hợp 1 : Với y=0. Khi đó: (1) -x-1=0 x=-1. Khi đó ta phải có điều kiện MS(-1)0 1+a0 a-1. Trờng hợp 2 : Với y0 Phơng trình (1) có nghiệm 0 1-4y(ay-1) 0 f(y)=4ay 2 -4y-10 (2) Vậy, để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1] thì bất phơng trình (2) phải nghiệm đúng với y[0,1]. Xét các trờng hợp: Nếu a=0, khi đó (2) -4y-10 y- 4 1 thoả mãn. 21 Phần I: Các bài toán mở đầu về hàm số Nếu a>0, khi đó điều kiện là: 0)0(af4 0)1(af4 01 05a4 a 4 5 0<a 4 5 . Nếu a<0, khi đó (2) luôn đúng với y[0,1]. Kết luận: để tập giá trị của y chứa đoạn [0, 1] điều kiện là -1 a 4 5 . Ví dụ 10: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= x20032 )1x( + x20032 )1x( . Giải Hàm số có nghĩa khi: x 2 -1>0 |x|>1 D=(-, -1)(1, +). Để tìm tập giá trị của hàm số ta sử dụng bất đẳng thức. y= x20032 )1x( + x20032 )1x( siôC 2 x20032x20032 )1x.()1x( =2 Mặt khác x lim y=+. Vậy D=(-, -1)(1, +) & I=[2, +). Ví dụ 11: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y=asin 2 x+bsinx.cosx+c.cos 2 x. Giải Hàm số xác định với mọi x D=R. Để tìm tập giá trị của hàm số ta biến đổi hàm số về dạng: y= 2 a (1-cos2x)+ 2 b sin2x+ 2 c (1+cos2x)= 2 b sin2x+ 2 ac cos2x+ 2 ba + Ta biết rằng |A.sin+B.cos| 22 BA + , do đó: 2 ba + - 22 2 ac 2 b + y 2 ba + + 22 2 ac 2 b + Vậy D=R & I=[ 2 ba + - 22 2 ac 2 b + , 2 ba + + 22 2 ac 2 b + ]. Ví dụ 12: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= x3 + + x6 . Giải. Điều kiện: 22 . (ĐHBK-86):Tìm tập xác định của hàm số sau tuỳ theo giá trị của tham số m. 26 Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số y= 1x 3x)3m(mx 2 + +++ bài giải Hàm số. Ví dụ 12: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: y= x3 + + x6 . Giải. Điều kiện: 22 Chủ đề 1: Tập xác định và tập giá trị của hàm số + 0x6 0x3