Luận văn Thạc sỹ Toán học: Tập giá trị của hàm số và ứng dụng

Luận văn tổng hợp và trình bày các định lý của hàm số thực liên quan đến Tập giá trị của nó; tổng hợp và trình bày các phương pháp tìm Tập giá trị của hàm số thực trong toán học phổ thông cùng các ứng dụng vào phương trình, bất phương trình. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI HỌC THĂNG LONG PHẠM TUẤN KHƯƠNG TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thăng Long - Năm 2015 ĐẠI HỌC THĂNG LONG PHẠM TUẤN KHƯƠNG TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS VŨ HOÀI AN Thăng Long - Năm 2015 Thang Long University Libraty i Mục lục Các kí hiệu Danh mục từ viết tắt ii Mở đầu 1 Tập giá trị hàm số 1.1 Hàm số liên tục 1.1.1 Các định lí hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị 1.1.2 1.2 Các định lí hàm số khả vi liên quan với vấn đề nhận giá trị 1.1.3 Bài tập áp dụng 10 Các phương pháp xác định tập giá trị hàm số thực 13 1.2.1 Phương pháp thứ ví dụ áp dụng 13 1.2.2 Phương pháp thứ hai ví dụ áp dụng 18 1.2.3 Phương pháp thứ ba ví dụ áp dụng 23 Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực vào phương trình, bất phương trình 2.1 2.2 28 Ứng dụng vào phương trình 29 2.1.1 Các phương pháp ứng dụng 29 2.1.2 Ví dụ áp dụng 30 Ứng dụng vào bất phương trình 42 2.2.1 Các phương pháp ứng dụng 43 i 2.2.2 2.3 Ví dụ ứng dụng 43 Bài tập tổng hợp 49 Kết Luận 72 Tài liệu tham khảo 73 Thang Long University Libraty ii Các kí hiệu • R: Tập số thực • f : Hàm số thực • [a; b]: Đoạn đóng tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • (a;b): Khoảng mở tập hợp số thực với đầu mút a, b a < b • ∀: Với • ∃: Tồn •A B : Hợp hai tập hợp A B •A B :Giao hai tập hợp A B • TXĐ: Tập xác định • SBT: Sự biến thiên • BBT: Bảng biến thiên • CĐ: Cực đại • CT: Cực tiểu • TCĐ: Tiệm cận đứng • TCN: Tiệm cận ngang • GTLN: Giá trị lớn • GTNN: Giá trị nhỏ I MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong tốn học phổ thơng, tốn liên quan đến tập giá trị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình, tìm m để phương trình, bất phương trình có nghiệm, tìm giá trị nhỏ - giá trị lớn hàm số tốn khó, tốn thường xuất đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học đề thi học sinh giỏi mơn tốn Vấn đề ngày thu hút quan tâm nhiều học sinh giáo viên trung học phổ thông Tập giá trị hàm số khái niệm Khái niệm liên quan đến vấn đề sau toán học cao cấp Vấn đề A Giả sử A, B hai tập khác rỗng, f ánh xạ từ A đến B b ∈ B Khi đó, f có nhận giá trị b? Chú ý rằng, Vấn đề A phát biểu theo ngơn ngữ phương trình sau: Vấn đề B Giả sử A, B hai tập khác rỗng, f ánh xạ từ A đến B b ∈ B Khi đó, phương trình f (x) = b có nghiệm A? Đối với tốn học phổ thơng, ta thường gặp vấn đề sau: Vấn đề C Cho bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số m Tìm m để bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình Thang Long University Libraty thỏa mãn điều kiện nghiệm Vấn đề B, Vấn đề C thường xuyên xuất Báo Toán học Tuổi trẻ, đề thi tốt nghiệp phổ thông, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi mơn tốn, tài liệu tốn nâng cao dành cho học sinh, giáo viên toán trung học sở, trung học phổ thông Đối với hàm số thực toán học cao cấp, [1], Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang đề cập đến vấn đề nhận giá trị, xác định tập giá trị thông qua định lý hàm liên tục hàm khả vi Các định lý sở để giải Vấn đề B, Vấn đề C Quy trình giải Vấn đề C gồm bước: - Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định A phù hợp với bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình - Bước Xác định f (A) - Bước Cho b ∈ f (A) Quy trình giải Vấn đề C gồm bước: - Bước 1: Thiết lập hàm f với tập xác định A phù hợp với bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình - Bước Xác định f (A) - Bước Cho Cho m ∈ f (A) Chú ý rằng, Bước 1, nhiều phải đặt ẩn phụ Khi đó, cần tìm điều kiện cho ẩn phụ thơng qua việc tìm tập giá trị hàm số Với cách tiếp cận đây, thấy rằng: Trong tốn học phổ thơng, vấn đề phương trình với ẩn số thực gắn kết với vấn đề hàm số thực góc độ Lý thuyết phân bố giá trị Theo hướng tiếp cận đây, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề: Tập giá trị hàm số Ứng dụng Đây vấn đề Tốn học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Luận văn tổng hợp trình bày định lý hàm số thực liên quan đến Tập giá trị nó; tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số thực toán học phổ thơng ứng dụng vào phương trình, bất phương trình Luận văn tài liệu tham khảo, tài liệu ôn tập, ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông dành cho học sinh trung học phổ thông, giáo viên tốn trung học phổ thơng, trung học sở, học viên cao học chuyên ngành Phương phápToán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: - Tập giá trị hàm số thực tốn học phổ thơng Đối tượng nghiên cứu luận văn là: - Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực tốn học phổ thơng vào phương trình, bất phương trình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa giải tích 12, Báo toán học tuổi trẻ, đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học mơn tốn, tài liệu tham khảo mơn tốn nâng cao II NỘI DUNG Luận văn chia thành chương với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Tập giá trị hàm số Trong chương nghiên cứu Vấn đề A, Vấn đề B Mục tiêu tổng hợp trình bày định lý hàm số thực liên quan đến Tập giá Thang Long University Libraty trị Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực toán học phổ thông Chương 2: Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực vào phương trình , bất phương trình Trong chương này, nghiên cứu Vấn đề C Mục tiêu tổng hợp trình bày ứng dụng Tập giá trị hàm số hàm số thực tốn học phổ thơng vào phương trình, bất phương trình Trong q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Vũ Hồi An Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.Tơi xin cảm ơn q thầy, giảng dạy lớp cao học tốn khóa trường Đại học Thăng Long mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Cuối xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thăng Long tạo điều kiện cho học tập môi trường tốt Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót, tác giả mong dạy đóng góp ý kiến q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả: Phạm Tuấn Khương Chương Tập giá trị hàm số Trước tiên chúng tơi trình bày lại định lý hàm liên tục hàm khả vi [1] Các định lý sở để giải vấn đề nhận giá trị hàm số thực.Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực tốn học phổ thơng kèm theo số Ví dụ minh họa 1.1 1.1.1 Hàm số liên tục Các định lí hàm số liên tục liên quan đến vấn đề nhận giá trị Định nghĩa 1.1 Cho hàm f : A −→ R; x0 ∈ A Nếu ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0,sao cho ∀x ∈ A : |x − x0 | < δ : |f (x) − f (x0 )| < ε ta nói f liên tục điểm x0 Nếu f liên tục điểm x0 ∈ A ta nói f liên tục A Nếu f khơng liên tục điểm x0 ∈ A ta nói f gián đoạn điểm x0 Nhận xét 1.2 f liên tục x0 với lân cận V f (x0 ) tồn lân cận U x0 cho: f (U ∩ A) ⊂ V Nếu x0 ∈ A điểm lập f liên tục x0 Định lý 1.3 Điều kiên cần đủ để f liên tục x0 dãy {xn } ⊂ A mà x −→ x0 lim f (xn ) = f (x0 ) n−→∞ Định lý 1.4 Nếu f g hai hàm xác định A liên tục Thang Long University Libraty 59 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m m m m 16 108 50 m ∈ R 47 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 15 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m 64 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 225 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m 64 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3,4 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 + Bất phương trình có nghiệm tập A4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m −4 −4 −4 m −6 m m m Thang Long University Libraty 60 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm tập A4 m 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3,4 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m −4 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m −4 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m −4 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m −6 + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) ∀x tập Aj với j = 1,2,3,4 m, i = 1, 2, có nghiệm 61 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m tập A2 m tập A3 m tập A4 m tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A4 m m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x 16 108 50 47 15 * Xét bất phương trình f3 (x) tập A1 m tập A2 m tập A3 m tập A4 m 64 225 64 9) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ [0; 16] 13 + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ ; + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [1; 2] m ∈ [0; 9] 10) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m 16 13 Thang Long University Libraty 62 + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 11) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 12) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm ∀x [1; 2] m + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 13) Tìm m để phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập A2 ∩ A3 ∩ A4 Ta có A2 ∩ A3 ∩ A4 = [1; 2] + Bất phương trình f1 (x) m có nghiệm ∀x [1; 2] m 13 + Bất phương trình f2 (x) m có nghiệm [1; 2] m + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [1; 2] m 16 14) Tìm m để phương trình sau fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta 15 f1 (A4 ) = [−4; 50] ; f2 (A4 ) = 3; ; f3 (A4 ) = [0; 64] + Phương trình f1 (x) = m có nghiệm [−4; 50] m ∈ [−20; 132496] 15 21 327 + Phương trình f2 (x) = m có nghiệm 3; m ∈ ; 34 63 + Phương trình f3 (x) = m có nghiệm [0; 64] m ∈ [0; 16769025] 15) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) + Bất phương trình f2 (x) + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [−4; 50] m 132496 15 327 m có nghiệm 3; m 34 m có nghiệm [0; 64] m 16769025 16) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) + Bất phương trình f2 (x) + Bất phương trình f3 (x) m có nghiệm [−4; 50] m −20 21 15 m m có nghiệm 3; m có nghiệm [0; 64] m 17) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) m m có nghiệm ∀x [−4; 50] −20 + Bất phương trình f2 (x) 327 34 + Bất phương trình f3 (x) 21 m có nghiệm ∀x [0; 64] m m có nghiệm ∀x 3; m 18) Tìm m để bất phương trình sau fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm Thang Long University Libraty 64 tập fi (A4 ) , i = 1, 2, Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = fi (x) , i = 1, 2, ta nhận + Bất phương trình f1 (x) m m có nghiệm ∀x [−4; 50] 132496 + Bất phương trình f2 (x) 327 34 + Bất phương trình f3 (x) 16769025 m có nghiệm ∀x 3; 327 34 m m có nghiệm ∀x [0; 64] m Bài tập 2.41 Cho hàm số x+3 ; f3 (x) = x4 − 2x2 + x−1 Các tập A1 = [−1; 3] ; A2 = [0; 4] ; A3 = [3; 5] , A = f3 (sinx − cosx) 1) Khảo sát biến thiên hàm số fi với i = 1,2,3 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số fi với i = 1,2,3 tập Aj với j = 1,2,3 2sinx + cosx + 3) Tìm tập giá trị hàm số f1 ( ) sinx − 2cosx + 4) Xác định tập A 5) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 9) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 f1 (x) = x3 − 3x2 ; f2 (x) = Lời giải 65 1) Khảo sát biến thiên hàm số fi với i = 1, 2, * Xét hàm số f1 (x) = x3 − 3x2 - TXĐ: D = R - Sự biến thiên + Chiều biến thiên f1 (x) = 3x2 − 6x, f1 (x) = ⇒ x = x = Hàm số đồng biến khoảng (-∞;0) (2;+∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) + Cực trị Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y = Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y = −4 + Giới hạn lim f1 (x) = +∞; lim f1 (x) = −∞ x−→+∞ x−→−∞ + Bảng biến thiên x −∞ f1 (x) + f1 (x) −∞ ✶ ✏✏ ✏✏ 0 +∞ ❳❳ ❳❳❳ ③ ❳ −4 + ✶+∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏ x+3 x−1 - TXĐ D = R\ {1} - Sự biến thiên + Chiều biến thiên: f2 (x) = * Xét hàm f2 (x) = −4 (x − 1)2 Hàm sô NB (−∞; 1) (1; +∞) + Cực trị Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn lim f2 (x) = 1; lim f2 (x) = x−→+∞ x−→−∞ Thang Long University Libraty 66 lim f2 (x) = −∞; lim+ f2 (x) = +∞ x→1 ⇒ TCN:y = 1; TCĐ:x = x→1− −∞ x f1 (x) f1 (x) +∞ - €€ € - +∞€€ €€ q € −∞ €€ € €€ q * Xét hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + - TXĐ :D = R - Sự biến thiên + Chiều biến thiên f3 (x) = 4x3 − 4x, f3 (x) = ⇒ x = −1 x = x = Hàm số NB khoảng (-∞;-1) (0;1) Hàm số ĐB khoảng (-1;0)và (1;+∞) + Cực trị Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y = Hàm số đạt cực tiểu x = ±1 ⇒ y = + Giới hạn: lim f3 (x) = +∞; lim f3 (x) = −∞ x−→−∞ x−→+∞ + Bảng biến thiên x −∞ f3 (x) f3 (x) -1 - +∞ ❳ ❳❳ ③ ❳ + - +∞ + +∞ ✿ ❳❳❳ ✘ ✘ ✿ ✘ ✘ ❳③ ✘✘✘ ❳ ✘✘ 2) Tìm GTLN;GTNN hàm số fi với i = 1, 2, tập Aj với j = 1, 2, * Xét với hàm f1 (x) = x3 − 3x2 67 Dựa vào BBT ta có kết luận sau: + Trên tập A1 = [−1; 3] ta có max f1 (x) = f1 (0) = f1 (3) = 0; f1 (x) = f1 (3) = f1 (−1) = −4 + Trên tập A2 = [0; 4] ta có max f1 (x) = f1 (2) = 16; f1 (x) = f1 (0) = −4 + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f1 (x) = f1 (5) = 50; f1 (x) = f1 (3) = x+3 x−1 Dựa vào BBT ta có kết luận sau + Trên tập A1 = [−1; 3] giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f2 (x) + Trên tập A2 = [0; 4] khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f2 (x) + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f2 (x) = f2 (3) = 3; f2 (x) = f2 (5) = * Xét với hàm f2 (x) = * Xét với hàm f3 (x) = x4 − 2x2 + + Trên tập A1 = [−1; 3] ta có max f3 (x) = f3 (3) = 13; f3 (x) = f3 (±1) = + Trên tập A2 = [0; 4] ta có max f3 (x) = f3 (4) = 36; f3 (x) = f3 (1) = + Trên tập A3 = [3; 5] ta có max f3 (x) = f3 (5) = 79; f3 (x) = f3 (3) = 13 3) Tìm tập giá trị hàm số f1 sin x + cos x + sin x − cos x + Theo kết phần trước ta có tập giá trị hàm số g (x) = 2sinx + cosx + sinx − 2cosx + T = − ; Dựa vào BBT hàm số tập T ta có tập giá trị hàm f1 [−4; 0] Thang Long University Libraty 68 4) Xác định tập A √ √ Đặt t = cosx − sinx với − ≤ t ≤ √ √ Khi :A = f3 (t) với − ≤ t ≤ √ Dựa vào bảng biến thiên hàm y = f3 (x) ta A = −6 − 2; 5) Tìm m để phương trình fi (x) = m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét phương trình f1 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ [−4; 0] + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ [−4; 16] + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [0; 50] * Xét phương trình f2 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞) + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ (−∞; −3]∪ ; +∞ + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [2; 3] * Xét phương trình f3 (x) = m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ [3; 13] + Phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ [3; 36] + Phương trình có nghiệm tập A3 m ∈ [13; 79] 6) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 16 50 69 * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 7) Tìm m để bất phương trình fi (x) m ∈ R m ∈ R m m 13 36 79 m m m, i = 1, 2, có nghiệm tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m −4 + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m −4 + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m ∈ R + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm tập A3 m 13 8) Tìm m để bất phương trình fi (x) m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Thang Long University Libraty 70 Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x + Bất phương trình có nghiệm ∀x −4 −4 * Xét bất phương trình f2 (x) 9) Tìm m để bất phương trình fi (x) tập A3 m tập A1 m 3 13 tập A2 m tập A3 m m, i = 1, 2, có nghiệm ∀x tập Aj với j = 1,2,3 * Xét bất phương trình f1 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m * Xét bất phương trình f2 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m * Xét bất phương trình f3 (x) m Dựa vào bảng biến thiên ta kết sau + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A1 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A2 m + Bất phương trình có nghiệm ∀x tập A3 m Kết luận chương 16 50 13 36 79 71 Trong Chương 2, chúng tơi trình bày phương pháp ứng dụng tập xác định hàm số xác định hàm-tập ví dụ minh họa Cụ thể là: Các phương pháp ứng dụng vào phương trình Các phương pháp ứng dụng vào bất phương trình Thang Long University Libraty 72 Kết luận Luận văn Trong luận văn, chúng tơi trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số thực ứng dụng vào phương trình, bất phương trình Cụ thể I Đối với phương trình Phương Pháp thứ nhất: Dùng định nghĩa để tìm tập giả trị hàm số thực Phương pháp thứ hai: Dùng bảng biến thiên để tìm tìm tập giả trị hàm số thực Phương pháp thứ ba: Dùng định nghĩa bảng biến thiên để tìm tập giả trị hàm số thực II.Đối với bất phương trình Các phương pháp ứng dụng vào phương trình Các phương pháp ứng dụng vào bất phương trình Luận văn sau hồn thành em hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên THPT cho học sinh trình dạy học nhà trường Dự kiến sau hoàn thành luận văn em tiếp tục nghiên cứu Vấn đề 1, hợp hàm số 73 Tài liệu tham khảo 1.Vũ Hoài An, Giới thiệu Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình phức p-adic, Bài giảng 2.Nguyễn Văn Khuê - Phạm Ngọc Thao - Lê Mậu Hải - Nguyễn Đình Sang, Tốn cao cấp-Tập I(A1 ) - Giải tích biến, Nhà xuất Giáo Dục-1997 3.Tốn học & Tuổi Trẻ (9-2012), số 423, Nhà xuất Giáo Dục 4.Toán học & Tuổi Trẻ (10-2012),số 424, Nhà xuất Giáo Dục 5.Toán học & Tuổi Trẻ (10-2011), số 1, Nhà xuất Giáo Dục 6.Toán học & Tuổi Trẻ (8-2012), số 422, Nhà xuất Giáo Dục Đề thi Đại học - Mơn tốn(2000-2014), Bộ Dục Đào Tạo Đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thơng - Mơn tốn (2000-2014), Bộ Dục Đào Tạo Lê Hồng Đức - Đào Thiện Khải - Lê Hữu Trí, Đạo hàm Và Ứng Dụng, Nhà xuất Hà Nội Thang Long University Libraty ... liên quan đến Tập giá Thang Long University Libraty trị Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực tốn học phổ thơng Chương 2: Ứng dụng Tập giá trị hàm số thực vào phương... cận đây, luận văn nhằm nghiên cứu vấn đề: Tập giá trị hàm số Ứng dụng Đây vấn đề Tốn học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Luận văn tổng hợp trình bày định lý hàm số thực liên quan đến Tập giá trị nó;... vấn đề nhận giá trị hàm số thực.Tổng hợp trình bày phương pháp tìm Tập giá trị hàm số hàm số thực tốn học phổ thơng kèm theo số Ví dụ minh họa 1.1 1.1.1 Hàm số liên tục Các định lí hàm số liên tục