Bài viết này đã nêu ra 6 tính chất của các điểm cực trị của đồ thị hàm số và một số ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng bài viết này cung cấp cho các bạn một tài liệu để giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào các trường Đại học và Cao đẳng có kết quả.
Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + bx + c VÀ ỨNG DỤNG Các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong các năm gần đây, chúng ta thường gặp câu khảo sát hàm số y = ax + bx + c ( a ) và các vấn đề liên quan đến các điểm cực trị của đồ thị hàm số này. Để giúp học sinh ơn thi có hiệu quả, bài viết này đưa ra các tính chất thường gặp của các điểm cực trị của hàm số y = ax + bx + c và một số ứng dụng của nó I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hàm số y = ax + bx + c ( a ) trên ﾡ Ta có y = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) Suy ra y = x=0 2ax + b = 0 (1) Ở đây chúng ta chỉ xét trường hợp hay gặp là đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi y = có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 � ab < (*) x=0 Với điều kiện (*) ta có y = b Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là x= − 2a � � b b b2 � b2 � A ( 0; c ) , B � − − ; c − � và C � − ; c − � 2a 4a � 4a � � � 2a 2b b − 8ab Khi đó ta có AB = AC = và BC = − a 16a Sau đây là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vng Vì AB = AC nên tam giác ABC là tam giác cân tại A. Suy ra tam giác ABC là tam giác ﾡ vuông khi và chỉ khi BAC = 900 hay tam giác ABC vuông cân tại A. 2b b − 8ab 2 Khi đó BC = AB � BC = AB � − = � b + 8a = a 16a Tính chất 1: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một ab < tam giác vuông khi và chỉ khi b + 8a = 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều Ta có tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC � AB = BC Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng b − 8ab 2b � =− � b3 + 24a = 16a a Tính chất 2: Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một ab < tam giác đều khi và chỉ khi b + 24a = 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc α cho trước Có ba trường hợp xảy ra Trường hợp 1: α > 900 Khi đó tam giác ABC là tam giác tù. Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC có ﾡ một góc α > 900 khi và chỉ khi BAC =α ﾡ Áp dụng định lý cơsin vào tam giác ABC ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab 2 � BC = AB ( − cos α ) � − = ( − cos α ) � −16a = ( b3 − 8a ) ( − cos α ) a 16a 3 � b + 8a − ( b − 8a ) cos α = Trường hợp 2: α = 900 ( ta đã xét ở tính chất 1) Trường hợp 3: α < 900 ﾡ =C ﾡ = α thì ﾡA = 1800 − 2α , suy ra cos A = cos ( 1800 − 2α ) = − cos 2α + Nếu B ﾡ Áp dụng định lý cơsin vào tam giác ABC ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC 2b b − 8ab 2 � BC = AB ( + cos 2α ) � − = ( + cos 2α ) � −16a = ( b3 − 8a ) ( + cos 2α ) a 16a 3 � b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = 3 + Nếu ﾡA = α thì tương tự trường hợp 1, ta có b + 8a − ( b − 8a ) cos α = Tính chất 3. Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc α cho trước khi và chỉ khi ab < và 3 hoặc b + 8a − ( b − 8a ) cos α = nếu α > 900 hoặc b3 + 8a = nếu α = 900 3 ﾡ =C ﾡ = α < 900 hoặc b + 8a + ( b − 8a ) cos 2α = nếu B 3 hoặc b + 8a − ( b − 8a ) cos α = nếu ﾡA = α < 900 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC = OA (với O là gốc tọa độ) 2b = c � ac + 2b = Ta có BC = OA � BC = OA2 � − a Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng Tính chất 4 Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều ab < kiện BC = OA (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi ac + 2b = 5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích tam giác đó Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó � b2 � b2 b2 0; c − �. Suy ra AH = − = H có tọa độ H � 4a � 4a a � Vậy diện tích tam giác ABC là S ABC 2b b b5 = BC AH = − = − a 4a 32a Tính chất 5. Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab < của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi S= − b5 32a 6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm của BC với � b2 � b2 b2 H 0; c − AH = − = trục Oy. Khi đó H có tọa độ là � � và 4a � 4a a � AH AH = Từ tam giác vng AHC, ta có sin ﾡACH = AC AB AB AB b − 8ab a Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta được R = = = 16a b2 sin ﾡACH AH b3 − 8a Suy ra R = 8ab Tính chất 6. Đồ thị hàm số y = ax + bx + c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab < của một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi b − 8a R= 8ab II. ỨNG DỤNG Ví dụ 1. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2012 khối A và khối A1) Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vng Lời giải. Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác m > −1 � −2 ( m + 1) < ab < m > −1 �m=0 vuông khi và chỉ khi 3 m=0 b + 8a = ( m + 1) = −8 ( m + 1) + = Ví dụ 2. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2011 khối B) Cho hàm số y = x − ( m + 1) x + m (1), m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị cịn lại Lời giải Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC khi � −2 ( m + 1) < ab < m > −1 và chỉ khi � m = �2 ac + 2b = m − 4m − = m − ( m + 1) = Ví dụ 3. Cho hàm số y = x − 2mx − (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường trịn ab < ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị R R= b − 8a 8ab −2m < ( −2m ) − R= ( −2m ) m>0 1� � m + � m3 + Suy ra R = � 2� m� R= 2m Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có 1� 1 � 1 3 m + + = = R = � � m 2� 2m 2m � 2m 2m 4 1 � m3 = � m = Vậy R = � m = 2 2m Ví dụ 4. Cho hàm số y = x − 2mx + (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường trịn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1 Lời giải Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xn, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường trịn đi qua ba −2m < ab < m>0 điểm này có bán kính R khi và chỉ khi b3 − 8a hay ( −2m ) − R= R= 8ab ( −2m ) m3 + R= 2m m3 + Theo đề bài ta có R = , suy ra 1 = � m3 − 2m + = � ( m − 1) ( m + m − 1) = 2m m =1 −1 + −1 Đối chiếu với điều kiện m > ta được m = , m = m= 2 Ví dụ 5. Cho hàm số y = x + ( m − ) x + m − 5m + ( Cm ) Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều Lời giải Áp dụng tính chất 2, đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm ab < cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều khi và chỉ khi b + 24a = � ( m − 2) < ( m − ) + 24 = m0 m3 = �1� m − − ( 8m + ) � − �= � 2� m>0 12m3 − = m>0 1 �m= m= 3 Ví dụ 7. Cho hàm số y = x − 2mx + m + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xn, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế Chuyên đề: Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + c và ứng dụng Lời giải. Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác −2m < ab < m>0 5 có diện tích S = 32 khi và chỉ khi b ( −2m ) S= − 32 = m5 32 = − 3 32a 32.1 m>0 m>0 � m = 322 = m5 m = 322 Ví dụ 8. Cho hàm số y = x + 2mx + m − Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 300 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc α = 300 khi và chỉ khi ta có hai trường hợp sau ab < + Nếu góc ở đỉnh α = 300 thì (1) b + 8a − ( b3 − 8a ) cos α = + Nếu góc ở đáy α = 300 thì Và (2) +2+ =0 ) =0 ( � m = −3 + m