Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng

Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng thường có câu khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số. Một nội dung thường gặp là vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng của nó. Đây là vấn đề mà học sinh thường cảm thấy lúng túng và khó khăn khi gặp phải. Bài viết này cung cấp cho giáo viên một tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giải quyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài toán dạng này.

Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  VÀ ỨNG DỤNG Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng thường có câu khảo sát hàm số  và các vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số. Một nội dung thường gặp là vẽ đồ  thị của hàm  số  có chứa dấu giá trị  tuyệt đối và  ứng dụng của nó. Đây là vấn đề  mà học sinh thường   cảm thấy lúng túng và khó khăn khi gặp phải.  Bài viết này cung cấp cho giáo viên một tài liệu tham khảo để  hướng dẫn học sinh   giải quyết trọn vẹn và nhanh gọn khi gặp bài tốn dạng này I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Các phép biến đổi đơn giản a. Hai điểm  M ( x;  y )  và  M ( x; − y )  đối xứng với nhau qua trục hoành  b. Hai điểm  M ( x;  y )  và  M ( − x;  y )  đối xứng với nhau qua trục tung  c. Hai điểm  M ( x;  y )  và  M ( − x; − y )  đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O  Từ các phép biến đổi đơn giản này ta có 2. Các phép biến đổi đồ thị a. Đồ thị của hai hàm số  y = f ( x )  và  y = − f ( x )  đối xứng với nhau qua trục hoành b. Đồ thị của hai hàm số  y = f ( x )  và  y = f ( − x )  đối xứng với nhau qua trục tung c. Đồ thị của hai hàm số  y = f ( x )  và  y = − f ( − x )  đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O Hệ quả 1. Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hệ quả 2. Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Từ các kết quả trên ta có các dạng cơ bản về đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt  đối II. CÁC DẠNG CƠ BẢN Dạng 1. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = f ( x ) , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của hàm số  y = f ( x) Lời giải. Ta có  y = f ( x ) = Suy ra  ( G ) = ( C1 ) f ( x )     khi  f ( x ) − f ( x )   khi  f ( x ) < 0  ( C2 )  với  ( C1 )  là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh  ( y( C ) ) ,  cịn  ( C2 )  là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hồnh  ( y( C) v( x) − u ( x)   khi  v ( x ) < 0  v ( x) ( C4 )  với  ( C3 )  là phần của đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn điều kiện  v ( x ) >  và  ( C4 )  là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa  mãn  v ( x ) < Ví dụ 5. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = 2x − 2x − , vẽ đồ thị (M) của hàm số  y = x−3 x−3 2x −     khi  x > 2x − x−3 = Ta có  y = 2x − x−3 −   khi  x < 3  x−3                                                                                     Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = y= u ( x) , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của hàm số  v( x) u ( x) v( x) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          4 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ u ( x) = Lời giải.  y = v( x) Suy ra  ( N ) = ( C5 ) ( y( C) ) u ( x) u ( x)     khi   v ( x) v ( x) − u ( x) u ( x)   khi   < 0  v ( x) v ( x) ( C6 )  với  ( C5 )  là phần của đồ thị (C) nằm phía trên trục hồnh   và  ( C6 )  là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục  ( ) hồnh  y( C ) < 2x − 2x − , vẽ đồ thị (N) của hàm số  y = x−3 x−3 2x − 2x −     khi  2x − x−3 x−3 = Ta có  y = 2x − 2x − x−3 −   khi   < 0  x−3 x−3 Ví dụ 6. Từ đồ thị (C) của hàm số  y =                                                                                     Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = y= u( x ) v( x ) u ( x) , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của hàm số  v( x) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          5 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Lời giải. Vì  − x = x  nên  y = u( x ) v( x )  là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (Q) nhận trục tung làm  ( C8 )  với  ( C7 )  là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục  ) , còn  ( C8 )  là phần đối xứng của  ( C7 )  qua trục tung trục đối xứng. Vì vậy  (Q) = ( C7 ) tung  ( x x −4 2x − , vẽ đồ thị (Q) của hàm số  y = x −3 x−3                                                                               Ví dụ 7. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = y= u( x ) v( x ) Lời giải.  y = u( x ) = v( x ) Suy ra  ( R ) = ( Q1 ) ( u( x ) trục hoành  y( Q ) v( x ) −     khi   u( x ) v( x )   khi   u ( x) , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của hàm số  v( x) u( x ) v( x ) v( x ) < 0  u( x ) ( Q2 )  với  ( Q1 )  là phần đồ thị (Q) của hàm số  y = ( ) u( x ) v( x )  nằm phía trên   , cịn  ( Q2 )  là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (Q) ở phía  ) dưới trục hồnh  y( Q ) < Ví dụ 8. Từ đồ thị (C) của hàm số  y = x −4 2x − , vẽ đồ thị (R) của hàm số  y = x −3 x−3 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          6 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ x −4 = Ta có  y = x −3 x −4 x −4     khi  f ( x ) = x −3 x −3 − x −4 x −4   khi  f ( x ) = < 0  x −3 x −3 ( H )  với  ( H1 )  là phần đồ thị của (H) của hàm số  y = f ( x )  nằm phía  trên trục hồnh  ( y( H ) ) , cịn  ( H )  là phần đối xứng qua trục hồnh của phần đồ thị (H) ở  Suy ra  ( K ) = ( H1 ) ( ) phía dưới trục hồnh  y( H ) < III. ỨNG DỤNG.                                                                                                                          Bài tập 1. (Đề TSĐH khối A năm 2006)   1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  y = x − x + 12 x −             2) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt  x − x + 12 x = m Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = x − x + 12 x −  như hình vẽ                                                                                     ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          7 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 2) Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) của hàm số  y = x − x + 12 x −  ta vẽ được đồ  thị ( C1 )  của hàm số  y = x − x + 12 x − Từ đó suy ra phương trình  x − x + 12 x = m  có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  phương trình  x − x + 12 x − = m −  có 6 nghiệm phân biệt  Đường thẳng  y = m −  cắt đồ thị  ( C1 )  tại 6 điểm phân biệt  � < m − < � < m < Bài tập 2. (Đề TSĐH khối B năm 2009) Cho hàm số  y = x − x      (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2 2) Với các giá trị nào của m, phương trình  x x − = m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ? Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = x − x  như hình vẽ    2) Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số  y = x − x  ta vẽ được đồ thị  ( C2 )    hàm số  y = x − x 2 Từ đó suy ra phương trình  x x − = m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi  phương trình   x − x = 2m  có đúng 6 nghiệm thực phân biệt  Đường thẳng  y = 2m   cắt đồ thị  ( C2 )  tại 6 điểm phân biệt  � < 2m < � < m < Bài tập 3. Cho hàm số  y = x − 3x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Tìm m để phương trình  sin t ( cos 2t − ) = 2m  có 4 nghiệm phân biệt  t Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = x − 3x  như hình vẽ [ 0;  2π ) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­   Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          8 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                                                                                  2) Ta có phương trình  sin t ( cos 2t + ) = 2m � sin t ( − 2sin t + ) = 2m   � sin t ( − sin t ) = m � sin t − 3sin t = m    (1) Đặt  x = sin t , vì  t [ 0;  2π )  nên  x �[ −1;  1]  và mỗi giá trị  x �( −1;  1)  cho hai giá trị  π 3π � π 3π �. Cịn khi  x =  thì  t = ; khi  x = −1  thì  t = 2 �2 Khi đó phương trình (1) trở thành  x − 3x = m    (2) t [ 0;  2π ) \ � �; Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  t nghiệm phân biệt  x �( −1;  1) [ 0;  2π )  khi và chỉ khi phương trình (2) có hai  Đường thẳng  y = m  cắt đồ thị (G) của hàm số  y = x − 3x   tại hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  ( −1;  1) Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số  y = x − 3x  ta vẽ được đồ thị (G) của hàm số  y = x − 3x  như hình vẽ Dựa vào đồ thị (G) ta có đường thẳng  y = m  cắt đồ thị (G) của hàm số  y = x − 3x  tại hai  điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  ( −1;  1)  khi và chỉ khi  < m < Bài tập 4. Cho hàm số  y = x − x − 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số �π π � = m  có 6 nghiệm phân biệt  t �� − ;   �    2) Tìm m để phương trình  tan t − cos t � 2� Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = x − x −  như hình vẽ                     ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xn, Phú Vang, Thừa Thiên Huế                                                          9 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­    2) Ta có phương trình  tan t − = m � tan t − tan t − = m    (1) cos t �π π � − ;   � nên  x ﾡ  Hàm số  x = tan t  là đồng biến trên khoảng  Đặt  x = tan t , vì  t �� � 2� �π π � − ;   � nên mỗi giá trị x cho tương ứng một giá trị t � � 2� Khi đó phương trình (1) trở thành  � x − x − = m       (2) �π π � − ;   � khi và chỉ khi phương  Suy ra phương trình (1) có 6 nghiệm t phân biệt thuộc  � � 2� trình (2) có 6 nghiệm x phân biệt thuộc  ﾡ Đường thẳng  y = m  cắt đồ thị  (C2 )  của hàm  số  y = x − x −  tại 6 điểm phân biệt Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) của hàm số  y = x − x − , suy ra đồ thị  (C2 )  của hàm số  y = x − x −  như hình vẽ Dựa vào đồ thị  (C2 ) , suy ra đường thẳng  y = m  cắt đồ thị  (C2 )  của hàm số  y = x − x −  tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi  < m <                                                    2x x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  2) Biện luận theo tham số m số nghiệm  x �[ −1;  2]  của phương trình sau ( m − 2) x − m = Bài tập 5. Cho hàm số  y = 3) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm t phân biệt  :   ( m − ) t + − m = t Lời giải 2x 1) Đồ thị (C) của hàm số  y =  như hình vẽ x −1                                                                                  ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 10 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                                                                                                                                                           2) Ta có phương trình   ( m − ) x − m = � m ( x − 1) = x      (1) , vì nếu  x =  thì phương trình (1) trở thành  =  (vơ lý) Ta có  x 2x Khi đó phương trình (1) � m =  , với  x �( −1;  1) �( 1;  2] x −1 Số nghiệm  x �[ −1;  2]  của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị  ( C3 )  của hàm số  y= 2x  và đường thẳng  y = m  trên khoảng  ( −1;  1)  hoặc nửa khoảng  ( 1;  2] x −1 Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) của hàm số  y = y= 2x  suy ra đồ thị  ( C3 )  của hàm số  x −1 2x  như hình vẽ. Dựa vào đồ thị  ( C3 ) ta có: x −1 +   m < : phương trình (1) có 2 nghiệm  x �( −1;  1) +   m = : phương trình (1) có 1 nghiệm  x = +   < m < : phương trình (1) vơ nghiệm  +   m = : phương trình (1) có 1 nghiệm  x = +   m > : phương trình (1) có 1 nghiệm  x ( 1;  2 ) � � 3) Điều kiện  t  Ta có   ( m − ) t + − m =   � m �t + − 1�= t +     (2) t t � t � 1 Đặt  x = t + � x = t + = t + �2  (khi  x = � t =  hoặc  x = −2 � t = −1 ) t t t Khi đó phương trình (2) trở thành   m ( x − 1) = x   � m = 2x          (3) x −1 Chú ý rằng  x = t +   � t − xt + = t � t = x � x −  nên mỗi giá trị  ( ) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 11 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ x �( −�; −2 ) �( 2; +�)  tương ứng với hai  giá trị  t ﾡ \ { 0}  Suy ra: Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt  t  khi và chỉ khi phương trình (3) có  2 nghiệm  x �( −�; −2 ) �( 2; +�) 2x   x −1 cắt đường thẳng  y = m  tại 2 điểm phân  biệt có hồnh độ  x �( −�; −2 ) �( 2; +�) � < m < Đồ thị  ( C3 )  của hàm số  y = 2x + x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  2) Tìm m  để phương trình  log t − m − 2log t − =  có hai nghiệm t phân biệt Lời giải 2x + 1) Đồ thị (C) của hàm số  y =  như hình vẽ x −1 Bài tập 6. Cho hàm số  y =       2) Điều kiện  t >  Đặt  x = log t  thì  t = e x , suy ra mỗi giá trị  x ﾡ  tương ứng với  một giá trị  t >  Khi đó phương trình đã cho trở thành  x − m − x − =    (1) Nếu  x =  thì phương trình (1)  � −1 =  (vơ lý) 2x + Do đó  x  Khi đó (1)  � m =     (2) x −1 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 12 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Áp dụng dạng 5, từ đồ thị (C) của hàm số  y = 2x +  suy ra đồ thị  ( C4 )  của hàm số  x −1 2x +  như hình vẽ. Dựa vào đồ thị  ( C4 )  ta có  x −1 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  t >  khi và chỉ khi phương trình (2) có hai  2x + nghiệm  x ﾡ Đồ thị  ( C4 )  của hàm số  y =  cắt đường thẳng  y = m  tại hai điểm  x −1 phân biệt  � m > y= x −1 2− x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  � π� 2t + �− 2m =  có hai nghiệm  2) Tìm m  để phương trình  sin 2t − 2sin t + 2m sin � � 4� � 3π π � − ;  t phân biệt thuộc đoạn  � � 8� � Lời giải x −1 1) Đồ thị (C) của hàm số  y =  như hình vẽ 2− x Bài tập 7. Cho hàm số  y = � π� 2t + �− 2m =   2) Ta có phương trình  sin 2t − 2sin t + 2m sin � � 4� � π� � sin 2t − ( − cos x ) + 2m sin � 2t + �− 2m = � 4� � π� � sin 2t + cos x − + 2m sin � 2t + �− 2m = � 4� ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 13 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ � π� � π� sin � 2t + �− + 2m sin � 2t + �− 2m =       (1) � 4� � 4� 3π π � π� 2t + �. Vì  − t Đặt  x = sin � 8 � 4� 3π π π π π �− �2t � � − �2t + � 4 � π� 2t + � Suy ra  −1 sin � � 4� � π� � − � sin � 2t + �� � 4� � − �x � − 2;   � Do đó mỗi giá trị  x �� � � tương  � 3π π � − ;  ứng với một giá trị  t �� � 8� � Khi đó phương trình (1) trở thành             x − + mx − 2m = �      � x − = m ( − x )     (2) Nếu  x =  thì (2) � =  (vơ lý).  x −1 Vậy  x , do đó (2) � m =     (3) 2− x Áp dụng dạng 4, từ đồ thị (C) của hàm số  y = y= x −1  như hình vẽ. Từ đồ thị  ( C5 )  suy ra: 2− x x −1 , suy ra đồ thị  ( C5 )  của hàm số  2− x � 3π π � − ;  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  t ��  khi và chỉ khi phương trình (3)  � 8� � x −1 − 2;   � có hai nghiệm phân biệt  x �� � � Đồ thị  ( C5 )  của hàm số  y = − x  cắt đường  thẳng  y = m  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn  � − 2;   � � �� < m � 3x − Bài tập 8. Cho hàm số  y = x−2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  2) Tìm m  để phương trình  − t − − m − t − =  có 4 nghiệm t phân biệt Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = 3x −  như hình vẽ x−2 2) Ta có phương trình  − t − − m − t − =     (1) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 14 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Điều kiện  −3 t  Đặt  x = − t thì  x = − t  suy ra  t = Do đó với mỗi giá trị  x [ 0;  3]  tương ứng với hai giá trị  t �[ −3;  3]   − x      Khi đó phương trình (1) trở thành  x − − m x − =   (2) Nếu  x =  thì phương trình (2) � =  (vơ lý) nên  x  Do đó (2) � m = 3x −     (3) x−2 Phương trình (1) có 4 nghiệm t phân biệt thuộc  [ −3;  3]  khi và chỉ khi phương trình (2) có 2  nghiệm x phân biệt thuộc  [ 0;  3] Đường thẳng  y = m  cắt đồ thị  ( C6 )  của hàm số 3x −  tại 2 điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  [ 0;  2 ) ( 2;  3] x−2 3x − Áp dụng dạng 6, từ đồ thị (C) của hàm số  y =  suy ra đồ thị  ( C6 )  của hàm số  x−2 3x − y=  như hình vẽ x−2 3x − Từ đồ thị  ( C6 )  suy ra đường thẳng  y = m  cắt đồ thị  ( C6 )  của hàm số  y =  tại 2  x−2 điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  [ 0;  2 ) ( 2;  3]  khi và chỉ khi  < m  hoặc  m x2 Bài tập 9. Cho hàm số  y = x −1 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số  �π π � − ; � 2) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt  t �� : � 2� cos t + m sin t − ( m + 1) = y= ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 15 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Lời giải 1) Đồ thị (C) của hàm số  y = x2  như hình vẽ x −1 2) Phương trình đã cho tương đương với  1 − sin t + m sin t − ( m + 1) =                                             � m ( sin t − 1) = sin t       (1)                                            �π π � − ; �� x �( −1;  1)   Đặt  x = sin t ,  t �� � 2� x2 Khi đó (1) trở thành  m ( x − 1) = x � m =    (2), với mọi  x �( −1;  1) x −1 Áp dụng dạng 7, từ đồ thị (C) của hàm số  y = x2 , suy ra đồ thị  ( C7 )  của hàm số  x −1 x2 y=  như hình vẽ. Từ đó suy ra: x −1 �π π � − ;   � khi và chỉ khi phương trình (2) có  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  t �� � 2� x2 hai nghiệm phân biệt  x �( −1;  1) Đồ thị  ( C7 )  của hàm số  y =   cắt  đường thẳng  x −1 y = m  tại hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc khoảng  ( −1;  1) � m <                                                                                                                                                            Trên đây là một số dạng thường gặp về đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối  và một số bài tốn ứng dụng của nó. Mong rằng bài viết này góp phần cung cấp tài liệu cho  giáo viên để giảng dạy học sinh ơn thi vào đại học và cao đẳng có hiệu quả Cuối cùng, kính chúc q thầy cơ sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt.                                                                                                    ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 16 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                                                                                                  Nguy ễn Văn Thiết                                                            MỤC LỤC                                          Lời mở đầu                         ……………………………………… trang 1                       I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT  ……………………………………………… 1                             1. Các phép biến đổi đơn giản                                      2. Các phép biến đổi đồ thị                                                 Hệ quả 1                                                Hệ quả 2                               II. CÁC DẠNG CƠ BẢN  ……………………………………………  1                            Dạng 1. Đồ thị hàm số  y = f ( x )  ………………………………   1                            Dạng 2. Đồ thị hàm số  y = f ( x )  …………………………………2                            Dạng 3. Đồ thị hàm số  y = f ( x )  ………………………………   2                            Dạng 4. Đồ thị hàm số  y = u ( x) v( x)   ………………………………   3                            Dạng 5. Đồ thị hàm số  y = u ( x)   ………………………………   3 v ( x)                            Dạng 6. Đồ thị hàm số  y = u ( x)   ………………………………   4 v( x)                            Dạng 7. Đồ thị hàm số  y =                            Dạng 8. Đồ thị hàm số  y = u( x ) v( x ) u( x ) v( x )    ………………………………   5                 ………………………………   6                       III. ỨNG DỤNG  ……………………………………………………   6                                Bài tập 1.  ……………………………………………………      6                                Bài tập 2.  ……………………………………………………      7                                Bài tập 3.  ……………………………………………………      8                                Bài tập 4.   ……………………………………………………     9 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 17 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­                                Bài tập 5.  ……………………………………………………      9                                Bài tập 6.   …………………………………………………       11                                Bài tập 7.  …………………………………………………        12                                Bài tập 8.  …………………………………………………        13                                Bài tập 9.  …………………………………………………        14                    Kết luận              …………………………………………………         15                    Mục lục              …………………………………………………          16                                                                                     ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Thầy giáo Nguyễn Văn Thiết, trường THPT Vinh Xuân, Phú Vang, Th ừa Thiên Huế 18 ... Áp? ?dụng? ?dạng 1, từ? ?đồ? ?thị? ?(C) của? ?hàm? ?số? ? y = x − x − , suy ra? ?đồ? ?thị? ? (C2 )  của? ?hàm? ?số? ? y = x − x −  như hình vẽ Dựa vào? ?đồ? ?thị? ? (C2 ) , suy ra đường thẳng  y = m  cắt? ?đồ? ?thị? ? (C2 )  của? ?hàm? ?số? ?... Trên đây là một? ?số? ?dạng thường gặp về? ?đồ? ?thị? ?của? ?hàm? ?số? ?chứa? ?dấu? ?giá? ?trị? ?tuyệt? ?đối? ? và? ?một? ?số? ?bài tốn? ?ứng? ?dụng? ?của nó. Mong rằng bài viết này góp phần cung cấp tài liệu cho  giáo viên để giảng dạy học sinh ơn thi vào đại học? ?và? ?cao đẳng có hiệu quả... Áp? ?dụng? ?dạng 6, từ? ?đồ? ?thị? ?(C) của? ?hàm? ?số? ? y =  suy ra? ?đồ? ?thị? ? ( C6 )  của? ?hàm? ?số? ? x−2 3x − y=  như hình vẽ x−2 3x − Từ? ?đồ? ?thị? ? ( C6 )  suy ra đường thẳng  y = m  cắt? ?đồ? ?thị? ? ( C6 )  của? ?hàm? ?số? ?