SKKN đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối và ứng dụng image marked

ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ ỨNG DỤNG Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng thường có câu khảo sát hàm số vấn đề liên quan đến đồ thị hàm số Một nội dung thường gặp vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối ứng dụng Đây vấn đề mà học sinh thường cảm thấy lúng túng khó khăn gặp phải Bài viết cung cấp cho giáo viên tài liệu tham khảo để hướng dẫn học sinh giải trọn vẹn nhanh gọn gặp toán dạng I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Các phép biến đổi đơn giản a Hai điểm M  x; y  M   x;  y  đối xứng với qua trục hoành b Hai điểm M  x; y  M    x; y  đối xứng với qua trục tung c Hai điểm M  x; y  M    x;  y  đối xứng với qua gốc toạ độ O Từ phép biến đổi đơn giản ta có Các phép biến đổi đồ thị a Đồ thị hai hàm số y  f  x  y   f  x  đối xứng với qua trục hoành b Đồ thị hai hàm số y  f  x  y  f   x  đối xứng với qua trục tung c Đồ thị hai hàm số y  f  x  y   f   x  đối xứng với qua gốc tọa độ O Hệ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hệ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Từ kết ta có dạng đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối II CÁC DẠNG CƠ BẢN Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (G) hàm số y  f  x   f  x  f  x   Lời giải Ta có y  f  x     f  x  f  x     Suy  G    C1    C2  với  C1  phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh y C   ,  C2   phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh y C    Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x  , vẽ đồ thị (G) hàm số y  x3  x  Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (H) hàm số y  f  x  Lời giải Vì  x  x nên y  f  x  hàm số chẵn, suy đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng Vì ( H )   C3    C4  với  C3  phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung  x   ,  C4  phần đối xứng  C3  qua trục tung Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x  x  , vẽ đồ thị (H) hàm số y  x  x2  x  Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  f  x  , suy cách vẽ đồ thị (K) hàm số y  f  x   f  x  f  x   Lời giải Ta có y  f  x     f  x  f  x   Suy ( K )   H1    H  với  H1  phần đồ thị (H) hàm số y  f  x  nằm phía   trục hồnh y H   ,  H  phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (H)   phía trục hồnh y H   Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x  x  , vẽ đồ thị (K) hàm số y  x  x2  x  u  x u  x , suy cách vẽ đồ thị (L) hàm số y  v  x v  x Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  u  x u  x    u  x  v  x Lời giải y   v  x  u  x  u  x    v  x  Suy  L    C1    C2  với  C1  phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn điều kiện u  x    C2  phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn u  x  Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  2x  2x  , vẽ đồ thị (L) hàm số y  x3 x3  2x  x  2 x   x   Ta có y  x3  x  x   x  Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  u  x u  x , suy cách vẽ đồ thị (M) hàm số y  v  x v  x u  x v  x    u  x  v  x Lời giải y   v  x  u  x  v  x    v  x  Suy  M    C3    C4  với  C3  phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn điều kiện v  x    C4  phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn v  x  Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  2x  2x  , vẽ đồ thị (M) hàm số y  x3 x3  2x  x  x   x   Ta có y  x   2x   x   x  Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  u  x u  x , suy cách vẽ đồ thị (N) hàm số y  v  x v  x u  x u  x 0  v  x u  x  v  x Lời giải y   v  x  u  x u  x  0  v  x v x     Suy  N    C5    C6  với  C5  phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh y C    C6  phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (C) nằm phía trục hồnh   y   0 C 2x  2x  , vẽ đồ thị (N) hàm số y  x3 x3 2x   2x  0  2x   x  x3  Ta có y  x3  x  x   x3  x  Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  Lời giải Vì  x  x nên y  u x  v x  u x  u  x , suy cách vẽ đồ thị (Q) hàm số y  v  x v x  hàm số chẵn, suy đồ thị (Q) nhận trục tung làm trục đối xứng Vì (Q)   C7    C8  với  C7  phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung  x   ,  C8  phần đối xứng  C7  qua trục tung Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x 4 2x  , vẽ đồ thị (Q) hàm số y  x3 x 3 Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  u x  u  x , suy cách vẽ đồ thị (R) hàm số y  v  x v x  Lời giải y  u x  v x  u  x  u x  0  v x v x       u x   u x   0  v x v x      Suy  R    Q1    Q2  với  Q1  phần đồ thị (Q) hàm số y    u x  v x  nằm phía trục hồnh y Q   ,  Q2  phần đối xứng qua trục hồnh phần đồ thị (Q) phía   trục hoành y Q   Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x 4 2x  , vẽ đồ thị (R) hàm số y  x3 x 3 2 x  x 4 f  x   0  x 3 x 4  x 3 Ta có y   x 3  x  f x  x     x 3  x 3  Suy ( K )   H1    H  với  H1  phần đồ thị (H) hàm số y  f  x  nằm phía   trục hoành y H   ,  H  phần đối xứng qua trục hoành phần đồ thị (H)   phía trục hồnh y H   III ỨNG DỤNG Bài tập (Đề TSĐH khối A năm 2006) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  x  12 x  2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x  x  12 x  m Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  x3  x  12 x  hình vẽ 2) Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x  12 x  ta vẽ đồ thị  C1  hàm số y  x  x  12 x  Từ suy phương trình x  x  12 x  m có nghiệm phân biệt phương trình x  x  12 x   m  có nghiệm phân biệt  Đường thẳng y  m  cắt đồ thị  C1  điểm phân biệt   m     m  Bài tập (Đề TSĐH khối B năm 2009) Cho hàm số y  x  x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Với giá trị m, phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt ? Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  x  x hình vẽ 2) Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) hàm số y  x  x ta vẽ đồ thị  C2  hàm số y  x  x Từ suy phương trình x x   m có nghiệm thực phân biệt phương trình x  x  2m có nghiệm thực phân biệt  Đường thẳng y  2m cắt đồ thị  C2  điểm phân biệt   2m    m  Bài tập Cho hàm số y  x3  x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình sin t  cos 2t    2m có nghiệm phân biệt t   0; 2  Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  x3  x hình vẽ 2) Ta có phương trình sin t  cos 2t    2m  sin t 1  2sin t    2m  sin t   sin t   m  sin t  3sin t  m (1) Đặt x  sin t , t   0; 2  nên x   1; 1 giá trị x   1; 1 cho hai giá trị  3   3  t   0; 2  \  ;  Còn x  t  ; x  1 t  2 2  Khi phương trình (1) trở thành x3  x  m (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt t   0; 2  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x   1; 1  Đường thẳng y  m cắt đồ thị (G) hàm số y  x3  x hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  1; 1 Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) hàm số y  x3  x ta vẽ đồ thị (G) hàm số y  x3  x hình vẽ Dựa vào đồ thị (G) ta có đường thẳng y  m cắt đồ thị (G) hàm số y  x3  x hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc  1; 1  m  Bài tập Cho hàm số y  x  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình tan t      m có nghiệm phân biệt t    ;  cos t  2 Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  x  x  hình vẽ 2) Ta có phương trình tan t   m  tan t  tan t   m (1) cos t    Đặt x  tan t , t    ;  nên x   Hàm số x  tan t đồng biến khoảng  2      ;  nên giá trị x cho tương ứng giá trị t  2 Khi phương trình (1) trở thành  x  x   m (2)    Suy phương trình (1) có nghiệm t phân biệt thuộc   ;  phương trình  2 (2) có nghiệm x phân biệt thuộc   Đường thẳng y  m cắt đồ thị (C2 ) hàm số y  x  x  điểm phân biệt Áp dụng dạng 1, từ đồ thị (C) hàm số y  x  x  , suy đồ thị (C2 ) hàm số y  x  x  hình vẽ Dựa vào đồ thị (C2 ) , suy đường thẳng y  m cắt đồ thị (C2 ) hàm số y  x  x  điểm phân biệt  m  2x Bài tập Cho hàm số y  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo tham số m số nghiệm x   1; 2 phương trình sau  m  2 x  m  3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm t phân biệt :  m  2 t  m  t Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  2) Ta có phương trình 2x hình vẽ x 1  m   x  m   m  x  1  x (1) Ta có x  1 , x  1 phương trình (1) trở thành  (vơ lý) 2x Khi phương trình (1)  m  , với x   1; 1  1; 2 x 1 Số nghiệm x   1; 2 phương trình (1) số giao điểm đồ thị  C3  hàm số y 2x đường thẳng y  m khoảng  1; 1 nửa khoảng 1; 2 x 1 Áp dụng dạng 2, từ đồ thị (C) hàm số y  2x 2x suy đồ thị  C3  hàm số y  x 1 x 1 hình vẽ Dựa vào đồ thị  C3  ta có: + + + + + m  : phương trình (1) có nghiệm x   1; 1 m  : phương trình (1) có nghiệm x   m  : phương trình (1) vơ nghiệm m  : phương trình (1) có nghiệm x  m  : phương trình (1) có nghiệm x  1;  3) Điều kiện t  Ta có  m  2 t    1  m   m  t   1  t  t t t   (2) 1 Đặt x  t   x  t   t   (khi x   t  x  2  t  1 ) t t t Khi phương trình (2) trở thành m  x  1  x  m  2x x 1 (3) 10 Chú ý x  t    t  xt   t  x  x  nên giá trị x   ; 2    2;   tương ứng với hai t giá trị t   \ 0 Suy ra: Phương trình (2) có nghiệm phân biệt t  phương trình (3) có nghiệm x   ; 2    2;   2x x 1 cắt đường thẳng y  m điểm phân biệt có hồnh độ x   ; 2    2;     m   Đồ thị  C3  hàm số y  2x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình log t  m  2log t   có hai nghiệm t phân biệt Lời giải 2x  1) Đồ thị (C) hàm số y  hình vẽ x 1 Bài tập Cho hàm số y  2) Điều kiện t  Đặt x  log t t  e x , suy giá trị x   tương ứng với giá trị t  Khi phương trình cho trở thành x  m  x   (1) Nếu x  phương trình (1)  1  (vô lý) 2x  Do x  Khi (1)  m  (2) x 1 11 Áp dụng dạng 5, từ đồ thị (C) hàm số y  2x  2x  suy đồ thị  C4  hàm số y  x 1 x 1 hình vẽ Dựa vào đồ thị  C4  ta có Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt t  phương trình (2) có hai 2x  nghiệm x    Đồ thị  C4  hàm số y  cắt đường thẳng y  m hai điểm phân x 1 biệt  m  x 1 2 x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số   2) Tìm m để phương trình sin 2t  2sin t  2m sin  2t    2m  có hai nghiệm t 4   3   phân biệt thuộc đoạn   ;   8 Lời giải x 1 1) Đồ thị (C) hàm số y  hình vẽ 2 x Bài tập Cho hàm số y    2) Ta có phương trình sin 2t  2sin t  2m sin  2t    2m  4     sin 2t  1  cos x   2m sin  2t    2m  4     sin 2t  cos x   2m sin  2t    2m  4       sin  2t     2m sin  2t    2m  (1) 4 4   3    t  Đặt x  sin  2t   Vì  8 4  12 3      2t     2t   4   Suy 1  sin  2t    4       sin  2t    4    x Do giá trị x    2;  tương  3   ứng với giá trị t    ;   8 Khi phương trình (1) trở thành x   mx  2m    x   m   x  (2) Nếu x  (2)   (vơ lý) x 1 Vậy x  , (2)  m  2 x (3) Áp dụng dạng 4, từ đồ thị (C) hàm số y  hình vẽ Từ đồ thị  C5  suy ra: x 1 x 1 , suy đồ thị  C5  hàm số y  2 x 2 x  3   Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt t    ;  phương trình (3) có  8 x 1 hai nghiệm phân biệt x    2;   Đồ thị  C5  hàm số y  cắt đường thẳng 2 x y  m hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc đoạn   2;    m  3x  Bài tập Cho hàm số y  x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình  t   m  t   có nghiệm t phân biệt Lời giải 1) Đồ thị (C) hàm số y  3x  hình vẽ x2 2) Ta có phương trình  t   m  t   (1) Điều kiện 3  t  Đặt x   t  x   t  suy t    x Do với giá trị x   0; 3 tương ứng với hai giá trị t   3; 3 13 Khi phương trình (1) trở thành x   m x   (2) 3x  (3) x2 Phương trình (1) có nghiệm t phân biệt thuộc  3; 3 phương trình (2) có Nếu x  phương trình (2)   (vơ lý) nên x  Do (2)  m  nghiệm x phân biệt thuộc  0; 3  Đường thẳng y  m cắt đồ thị  C6  hàm số 3x  điểm phân biệt có hồnh độ thuộc  0;    2; 3 x2 3x  Áp dụng dạng 6, từ đồ thị (C) hàm số y  suy đồ thị  C6  hàm số x2 3x  hình vẽ y x2 3x  Từ đồ thị  C6  suy đường thẳng y  m cắt đồ thị  C6  hàm số y  điểm x2 phân biệt có hồnh độ thuộc  0;    2; 3  m  m  2 x Bài tập Cho hàm số y  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số    2) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt t    ;  :  2 cos t  m sin t   m  1  Lời giải y 1) Đồ thị (C) hàm số y  x2 hình vẽ x 1 2) Phương trình cho tương đương với  sin t  m sin t   m  1   m  sin t  1  sin t (1)    Đặt x  sin t , t    ;   x   1; 1  2 Khi (1) trở thành m  x  1  x  m  x2 (2), với x   1; 1 x 1 14 Áp dụng dạng 7, từ đồ thị (C) hàm số y  x2 x2 , suy đồ thị  C7  hàm số y  x 1 x 1 hình vẽ Từ suy ra:    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t    ;  phương trình (2) có hai  2 x2 nghiệm phân biệt x   1; 1  Đồ thị  C7  hàm số y  cắt đường thẳng y  m x 1 hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc khoảng  1; 1  m  Trên số dạng thường gặp đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối số toán ứng dụng Mong viết góp phần cung cấp tài liệu cho giáo viên để giảng dạy học sinh ôn thi vào đại học cao đẳng có hiệu Cuối cùng, kính chúc q thầy sức khỏe, hạnh phúc thành đạt Nguyễn Văn Thiết MỤC LỤC 15 Lời mở đầu ……………………………………… trang I CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……………………………………………… 1 Các phép biến đổi đơn giản Các phép biến đổi đồ thị Hệ Hệ II CÁC DẠNG CƠ BẢN …………………………………………… Dạng Đồ thị hàm số y  f  x  ……………………………… Dạng Đồ thị hàm số y  f  x  …………………………………2 Dạng Đồ thị hàm số y  f  x  ……………………………… Dạng Đồ thị hàm số y  u  x v  x ……………………………… Dạng Đồ thị hàm số y  u  x ……………………………… v  x Dạng Đồ thị hàm số y  u  x ……………………………… v  x Dạng Đồ thị hàm số y  Dạng Đồ thị hàm số y  u x  v x  ……………………………… v x  ……………………………… u x  III ỨNG DỤNG …………………………………………………… Bài tập …………………………………………………… Bài tập …………………………………………………… Bài tập …………………………………………………… Bài tập …………………………………………………… Bài tập …………………………………………………… Bài tập ………………………………………………… 11 Bài tập ………………………………………………… 12 Bài tập ………………………………………………… 13 Bài tập ………………………………………………… 14 Kết luận ………………………………………………… 15 Mục lục ………………………………………………… 16 16 ... 1  Đồ thị  C7  hàm số y  cắt đường thẳng y  m x 1 hai điểm phân biệt có hồnh độ thuộc khoảng  1; 1  m  Trên số dạng thường gặp đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối số tốn ứng. .. phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn điều kiện u  x    C2  phần đối xứng qua trục hồnh phần đồ thị (C) có hồnh độ thỏa mãn u  x  Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  2x  2x  , vẽ đồ thị (L)...  C8  phần đối xứng  C7  qua trục tung Ví dụ Từ đồ thị (C) hàm số y  x 4 2x  , vẽ đồ thị (Q) hàm số y  x3 x 3 Dạng Từ đồ thị (C) hàm số y  u x  u  x , suy cách vẽ đồ thị (R) hàm