NGUYÊN hàm, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG image marked

Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT Kiến thức Theo u cầu chuẩn kiến thức mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần hiểu, nhớ khái niệm kết • Các khái niệm: − Định nghĩa nguyên hàm hàm số (trên khoảng K ) − Định nghĩa tích phân − Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận tích phân, − Khái niệm diện tích hình thang cong − Khái niệm thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox • Các kết quả: −  f ( x ) dx = F ( x ) + C  F ( x ) = f ( x ) ' Chú ý: Khoảng K khoảng xác định f ( x) Vì vậy, cách xác, phải có F' ( x) = f ( x) , x  K Do đó, −  xdx = ln x + C kết sai  f ( x ) dx = f ( x ) + C ' Kết có nghĩa f ( x) nguyên hàm f ' ( x) (nếu f ( x) f ' ( x) có tập xác định) − − − − − − Các tính chất nguyên hàm Công thức đổi biến số nguyên hàm Công thức nguyên hàm phần Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp Các tính chất tích phân Cơng thức đổi biến số tích phân Cơng thức tích phân phần Cơng thức tính diện tích hình thang cong Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong − Cơng thức tính thể tích khối xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox Kỹ Theo yêu cầu Chuẩn kỹ mơn Tốn lớp 12 THPT hành, học sinh cần luyện tập để thành thục kỹ đây: • Có khả tái khái niệm, két nêu mục đây, tình cụ thể; • Biết kiểm tra hàm số F ( x ) có phải nguyên hàm hàm số f ( x) hay không • Biết kiểm tra tính đắn khẳng định  f ( x ) dx = F ( x ) + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word • Biết tính đạo hàm hàm số đơn giản ( học chương trình Tốn 11) phục vụ u cầu kiểm tra xem hàm số F ( x ) có phải nguyên hàm hàm số f ( x) hay không ( kiểm tra tính đắn khẳng định • • •  f ( x ) dx = F ( x ) + C ) Biết dùng tính chất ngun hàm cơng thức ngun hàm hàm số thường gặp để tính nguyên hàm hàm số đơn giản Biết tính tích phân hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa tốn tìm ngun hàm; sử dụng phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần Biết số dạng hàm số tích phân phần: x f ( x ) , f ( x) hàm số ekx + b , cos( kx + b) , sin ( kx + b) , ln ( kx + b) • Biết biến đổi biểu thức lượng giác, biết giải phương trình lượng giác đơn giản ( học chương trình Tốn 10 Tốn 11) • Biết tính diện tích hình thang cong tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong • Biết tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong quanh trục Ox • Vơi tốn tính tích phân hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , tốn tính diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức Đặc biệt, học sinh nên nắm tính chất: Nếu hàm số liên tục khơng triệt tiêu điểm khoảng có dấu khơng đổi khoảng học lớp 11 Một số ví dụ Ví dụ (Câu 23 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x − A  f ( x ) dx = ( 2x − 1) C  f ( x ) dx = − 2x − + C 2x − + C B  f ( x ) dx = ( 2x − 1) D  f ( x ) dx = 2x − + C 2x − + C Hướng dẫn giải: − Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ kiểm tra tính đắn khẳng định  f ( x ) dx = F ( x ) + C phải nhứ cách tính đạo hàm thức, tích hai hàm số ( ) ' Cách giải: Áp dụng công thức ( ) ' 2x − = (( 2x − 1) ( 2x − 1) ' 2x − ) = u = 2 2x − = u' u ( uv) = u' v + uv' ta có: 2x − 2x − = ( 2x − 1) 2x − + ( 2x − 1) ' ' ' ( 2x − ) ' http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word = 2x − + ( 2x − 1) = 2x − 2x − Do với số thực k : ' k k 2x − =  2x − 2x − ( ) ( k ( 2x − 1) ( k ( 2x − 1) ) 2x − ) = ' 2x − = 3k 2x − ' 2x −  3k =  k = Vậy B đáp án − Cách 2: Học sinh viết f ( x ) = ( 2x − 1) tính  f ( x ) dx phương pháp đổi biến số Ví dụ (Câu 25 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT):  Tính tích phân I =  cos3 x sin xdx B I = − A I = −  4 D I = − C I = Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân hàm lượng giác x Có hai cách tính tích phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa tích phân coskx , sinkx đổi biến số để đưa tính tích phân hàm lũy thừa Cách giải 1: Áp dụng cơng thức biến tích thành tổng, ta có: + cos2x cos2 x = , cos x sin x = sin2x 2 1  cos3 x sin x = sin2x (1 + cos2x ) = ( sin2x + sin2x cos2 x ) 4 1 = sin2x + sin4x    1 1  Do đó, I =   sin2x + sin4x dx =  sin2xdx +  sin4xdx 40 80  0 Áp dụng công thức  sin kxdx = cososcoskx + C cos2n = , ta :    1 0 sin4xdx = − cos4x = − (1 − 1) = Tương tự 0 sin2xdx = 0 Do I = , C đáp án Cách giải 2: Đặt t = cos x sin x = − ( cos x ) nên sinxdx = −dt ' Đổi cận: x =  t = , x =   t = −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word −1 t4 Do đó, I = −  t dt =  t dt = −1 =0 −1 Ví dụ (Câu 26 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): e Tính tích phân: I =  x ln xdx e2 − e2 + e2 − C I = D I = 4 Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân tích phân phương pháp tích phân phần A I = B I = Đặt u = ln x , dv = xdx du = x2 dx , v = Do áp dụng cơng thức tính tích phân x phần, ta có: e e x2 x2 e2 e2 x2 e2 e2 − e2 + I = ln x −  dx = −  xdx = − = − = 2 x 2 2 2 4 1 1 e e D đáp án Ví dụ (Câu 27 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x đồ thị hàm số y = x − x2 D 13 37 81 B C 12 12 Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm kỹ tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Trước tiên, cần tìm giao điểm hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3) Sau cần viết cơng thức tính diện tích tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) cuối phải tính tích phân đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đồ thị A ( ) x3 − x = x − x2  x3 + x2 − 2x =  x x2 + x − = (1) Phương trình có nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng −2;0;1 Từ đó, diện tích cần tính S =  x3 + x2 − 2x dx Chú ý (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2;0) , ( 0;1) −2 , suy x3 + x2 − 2x không đổi dấu khoảng đó,  x3 + x2 − 2x dx = −2 =  −2 ( −2 ) x3 + x2 − 2x dx +  x3 + x2 − 2x dx x3 + x2 − 2x dx + (x ) + x2 − 2x dx Tính tích phân dấu giá trị tuyệt đối, ta http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( −2  x4 x3  x + x − 2x dx =  + − x2  =   −2 3 )  x x3 2 x + x − x dx =  + −x  =− 0 12  0 37 Từ S= + = Đáp án A 12 12 Ví dụ (Câu 28 Đề minh họa mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): Kí hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1) ex , trục tung trục hoành ( ) Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox D V = ( e2 − 5)  A V = − 2e C V = e2 − B V = ( − 2e)  Hướng dẫn giải: Học sinh thường lúng túng muốn vẽ đồ thị hàm số y = 2( x − 1) ex Thực ra, ta khơng cần vẽ hình H mà cần giải phương trình tìm hồnh độ giao điểm hai đường y = 2( x − 1) ex y = (trục hồnh), phương trình 2( x − 1) ex = Phương trình có nghiệm x = Do đó, cơng thức tính V V =   ( ( x − 1) ex ) dx Tính tích phân này, ta tìm V Ở đây, phương trình xác định hồnh độ giao điểm hai đường y = 2( x − 1) ex y = 2( x − 1) ex = Phương trình có nghiệm x = Do đó, ( V =   ( x − 1) e x ) dx =   ( x − 1) 4e2 x dx Đặt u = ( x − 1) , dv = 4e dx du = 2( x − 1) dx , v = 2e2 x 2x Do 1 1 2x 2x 2x 2x  ( x − 1) 4e dx = ( x − 1) 2e −  2.e ( x − 1) dx = −2 −  4e ( x − 1) dx (1) 2 0 0 Lại đặt u = x − , dv = 4e dx du = dx , v = 2e 2x 2x Do  4e ( x − 1) dx = ( x − 1) 2e 2x 2x Từ (1) (2) suy  ( x − 1) 1 ( ) −  2e2 x dx = − e2 x = − e2 − = − e2 (2) 0 ( ) 4e2 x dx = −2 − − e2 = e2 − Suy V = ( e2 − 5)  Đáp án D II MỘT SỐ CÂU HỎI LUYỆN TẬP http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word NGUYÊN HÀM 1 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A  f ( x ) dx = C  f ( x ) dx = 2x + 2x + + C 2x + + C Tìm hàm số F ( x ) , biết F ' ( x ) = ( 2x − 1) − A f ( x ) = sin x ( + cos x )  f ( x ) dx = 2x + + C D  f ( x) dx = 2x + +C ( x − 1) 1 − +C x − 2x − 1 C − D F ( x ) = x − 2x − 1 − +C 2x − x − 1 − +C C F ( x ) = x − 2x − B F ( x ) = A F ( x ) = Tìm hàm số f ( x) , biết f ' ( x ) = B cos x ( + sin x ) +C −1 +C + sin x sin x +C B f ( x ) = + sin x +C D f ( x ) = + cos x C f ( x ) = Tìm hàm số F ( x ) thỏa mãn điều kiện F ' ( x ) = x + +C x2 B F ( x ) = x2 + ln x x2 + ln x + C D F ( x ) = x2 + ln x + C A F ( x ) = − C F ( x ) = Tìm nguyên hàm f ( x) = 2017x 2017x +C  ln2017 2017x+1 + C C  f ( x ) dx = x +1 f ( x ) dx = A x B  f ( x ) dx = 2017 D  f ( x ) dx = 2017 x x +C ln2017 + C Tìm nguyên hàm f ( x) = xe A  xe f ( x ) dx = +C ln x xe+1 B  f ( x ) dx = +C e+ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C  f ( x ) dx = e.x e−1 D  f ( x ) dx = xe + C +C Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f ( x ) = A F ( x ) = x2 − x − x +1 B F ( x ) = x2 + x ( x + 1) ? x2 + x + x +1 x2 − 3x − x +1    Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = − biết F   = sin x 2 C F ( x ) = x2 + x +1 D F ( x ) = A F ( x) = x B F ( x ) = sin x +  C F ( x) = cot x D F ( x ) = cot x +  −1 Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x) = 3x + 2x + đồ thị y = F ( x ) cắt trục tung điểm có tung ' độ e A F ( x) = x2 + x + e B F ( x) = cos2x + e− C F ( x) = x3 + x2 + x + D F ( x) = x3 + x2 + x + e 10 Biết  f ( u) du = F ( u) + C Tìm khằng định  f ( 2x − 3) dx = 2F ( x ) − + C B  f ( 2x − 3) dx = F ( 2x − 3) + C A C  f ( 2x − 3) dx = F ( 2x − 3) + C D  f ( 2x − 3) dx = 2F ( 2x − 3) + C   11 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn điều kiện f ' ( x) = + cos2x f   = 2 2 Tìm khẳng định sai? B f ( x) = 2x − sin2x +  A f ( x ) = 2x + sin2x +    D f  −  = C f ( 0) =   1 2x − 12 Tìm nguyên hàm F ( x ) f ( x ) = x biết F ( 0) = e x + ln2 − 2x + ln2 A F ( x ) = x C F ( x ) = x e ( ln2 − 1) e ( ln2 − 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x x    1 +  −   ln2 −  e   e  ln2 − TÍCH PHÂN B F ( x ) = 13 Cho a  b  c , b b a c  2 D F ( x ) =    e c  f ( x) dx = ,  f ( x) dx = Tính  f ( x) dx a c A c  f ( x) dx = −2 B a  f ( x) dx = a c c C D  f ( x ) dx =  f ( x) dx = a a 14 Biết f ( x) hàm liên tục  f ( x ) dx = , tính  f ( 3x ) dx 0 3 A  f ( 3x ) dx = B C   f ( 3x ) dx = 0 x f ( 3x ) dx = D  f ( 3x ) dx = 0 f ( 0) =  , 15 Biết hàm số f ( x) có đạo hàm f ( x) liên tục '   f ( x ) dx = 3 Tính ' f ( ) B f ( ) = − A f ( ) = 16 Xét tích phân I =  xdx 1+ x − C f ( ) = 4 D f ( ) = 2 đặt t = x − Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? 2t + 2t dt t + 1 A dx = 2tdt B I =    C I =   2t − 2t + −  dt t +   D I = 17 Đặt I =  A dx = dx x x −9 3sin t dt cos2 t x = − 3ln2 3 Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? cost B dx x x2 − = sin tdt 3cost tan t http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  C I =   sin tdt 3cost tan t D I =  36 dx x = 2tan t Trong khẳng định sau, khẳng định sai ? + x2 18 Đặt I =  B dx = (1 + tan2 t ) dt A + x2 = (1 + tan2 t )  C I =  dt D I = 19 Xét tích phân I =  xdx x +1 1+ 3 Nếu đặt t = + x + khẳng định khẳng định sau đúng? 3 B I = 2 ( t − 3t + 2) dt A I =  ( t − t ) dt 4 C I = 2 ( t − 3t + 2) dt D I =  ( t + t ) dt 20 Khẳng định ?    2 2 B  sin xdx   cos2 xdx A  sin xdx   cos xdx  2 0     2 2 0 0 D  sin2 xdx = 2 cos2 xdx C  sin2 xdx =  cos2 xdx 21 Khẳng định sai ? A ( tan x − x ) = tan2 x '    B 0   C  x tan xdx = x ( tan x − x ) 04 −  ( tan x − x ) dx  x tan xdx =     d cos x − + + xdx   0 cos x 0  D  x tan xdx =  + 2 − ln2 32 22 Tìm khẳng định sai ? ' sin x   = A    cos x  cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  B   x sin x x 3 dx = − dx 0 cos2 x cos x 0 cos x   1  + sin x  dx = ln  C  cos x  − sin x  0  D x sin x 2 dx = − ln − x (  cos ) 23 Khẳng định sai ? A Với t = − 3cos x cos x = 2tdt − t2 sin xdx = 3  B Nếu đặt t = − 3cos x  cos x + sin x − 3cos x   − dt    − t + t  dx =   − dt = − ( 4ln ( t − 4) + ln ( t + 1) ) C     − t 1+ t   D  cos x + sin x − 3cos x ln3  24 Tính I = A I = 6e − dx = 3e2 x+1 − dx ex B I = 4e + ln2 25 Tính I = ln  + ln2 C I = + 2ln2 A I = C I = − 3ln2 D I = − − ln2 x +1+ x e+ + e ( D I = 5e − B I = e e3x + dx ex + A I = 26 Tính I =  C I = 6e + dx   − 1 B I =   e+ + e  D I = ( e + 1) e + − e e + −2 ) ( ( e + 1) e + − e e − ) a 27 Giải phương trình ẩn a sau  cos xdx = 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A a = C a =   + k2 , k 2+ 28 Biết a = e dx  ex −1  + k2 , k D a = k , k B a = − e2 − e Khẳng định ? B a  A a = D a = C a  1  ( ) 29 Biết a =  ecosx + cos x cos xdx − e + Tìm khẳng định sai ?  3  + a −   = − sin ,  A sin     3  + a −   = − cos ,  B cos    3  + a −   = − tan ,  C tan     3  + a −   = − cot  ,  D cot     a − 2a sin2 x 0 1+ sin2x dx , a số cho 30 Tính   a − 2a sin x A  dx = 2a − a + sin2x a − 2a sin2 x a B  dx = −1 + sin2x   a − 2a sin x a 0 + sin2x dx = ln 2 C a − 2a sin2 x 0 1+ sin2x dx = ln a D 31 Tìm khẳng định sai ?   10 + sin2xdx  = cos2 x + 4sin2 x A B    sin2xdx C   =1 2 cos x + 4sin x   e 32 Biết  10 + sin2xdx − = cos2 x + 4sin2 x D  3sin2xdx cos2 x + 4sin2 x +  dx = 10 a + 3ln x ln x a dx = , a, b hai số nguyên dương phân số tối giản b x b Khẳng định sai ?   A  (1 − cos x ) sin xdx = n 2n B  (1 − cos x) n sin xdx = n+1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   C  (1 − cos x ) n sin xdx = n−1 D  (1 − cos x ) sin xdx = n 2n −  34 Trong giá trị n cho sau đây, tìm n để  cos n x sin xdx = B n = A n = 1 35 Biết ( 3x − 1) dx = 3ln a − x + 6x + b 15 64 D n = C n = , a, b nguyên dương a phân số tối giản Hãy b tính ab B ab = 12 A ab = −5  36 Cho  (1 + tan x ) cos x dx = D ab = C ab = a a ,trong a, b nguyên dương phân số tối giản Khẳng định b b ? A a  b B ab = 37 Khẳng định sai ? C a − 10b =   A sin   ( − x ) sin xdx  = 0  1  B cos  ( − x ) sin xdx  = 20   3  C tan   ( − x ) sin xdx  = −1 40     D cos 2 ( − x ) sin xdx  = −1   D a2 + b2 =   38 Tính sin    x cos xdx  0    A sin    x cos xdx  = 0    B sin    x cos xdx  = 0    C sin    x cos xdx  =  0  39 Tìm khẳng định sai ?   D sin    x cos xdx  = 0  1x x  e dx −   = cos ,  A sin   0  1x x  e dx −   = sin ,  B cos  0  1  C sin    xex dx −   = sin ,  0  1  D cos   xex dx −   = cos ,  0  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   B a b + =7 a   2x + − 3x +  dx = ln b , 40 Biết a phân số tối giản b a, b nguyên dương Khẳng định sai ? A a − b = 11 41 Biết F ' ( x ) = C a + b  22 D a+ b =7 a sin2 x cos2 x + b         , F  = − , F  = , F  = 2 sin x cos x 6  3  4 Tìm hàm số F ( x ) / A F ( x ) = x +  B F ( x ) = x +  ( tan x − cot x ) − 3  12 ( tan x − cot x ) C F ( x) = 9x − 2 D F ( x ) = x −  ( tan x − cot x ) +   42 Tính sin x − cos x  (1 + sin x + cos x ) dx   sin x − cos x A  dx = − + 2 (1 + sin x + cos x ) B dx = −1 +  C sin x − cos x  (1 + sin x + cos x )  sin x − cos x  (1 + sin x + cos x ) dx = + 2 D sin x − cos x  (1 + sin x + cos x ) dx = 2 43 Tính ln x dx x3  ln x + ln2 1 x3 dx = 16 ln x + ln2 C  dx = x 16 ln x − 2ln2 dx = x 16 2 A B  ln x + 2ln2 dx = x 16 2 D   44 Tính sin2x cos xdx + cos x    2 sin2x cos xdx A  = −1 + ln2 + cos x B sin2x cos xdx = −1 + 3ln2 + cos x  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   C sin2x cos xdx 0 + cos x = −1 + 2ln2 sin2x cos xdx = + 2ln2 + cos x D   45 Tính dx  cos2x   ( dx A  = ln − cos2x ) B dx C  = ln + cos2 x 46 Tính   )  cos2x = ln ( + D dx ) dx 2x + + dx 2x + + C   dx  A  cos2x = ln ( − = − ln3 B  dx − ln2 2x + + D  dx 2x + + dx 2x + + = − 2ln2 = − ln2  47 Tính  sin x + 3cos x dx   A  sin x + 3cos x dx = − 2 B  sin x + 3cos x dx =   C  sin x + 3cos x dx = D  sin x + 3cos x dx = − 48 Tính  ( x − 2) e 2x dx A 2x  ( x − 2) e dx = C 2x  ( x − 2) e dx = + 3e2 B − 3e2 D 2x  ( x − 2) e dx = 2x  ( x − 2) e dx = −5 − 3e2 − 3e2   sin  x −  4  dx 49 Tính  sin2x + (1 + sin x + cos x )  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word   sin  x −  4+ 4  dx = A  sin2x + (1 + sin x + cos x )    sin  x −  −4 + 4  dx = B  sin2x + (1 + sin x + cos x )    sin  x −  4−3 4  dx = C  sin2x + (1 + sin x + cos x )    sin  x −  −4 − 4  dx = D  sin2x + (1 + sin x + cos x )  e x 50 Tính ln2 xdx 5e2 − B  x ln xdx = 32 5e3 − A  x ln xdx = 32 e e e C 3  x ln xdx = 5e4 − 32 e D x ln2 xdx = 5e − 32  tan4 x 0 cos2x dx 51 Tính   A ( tan x 0 cos2x dx = − + ln + )   ( tan x 10 C  dx = + ln + cos2x 4x − 52 Tính  A  C  ( tan4 x 10 0 cos2x dx = − 27 + ln + B 2x + + 4x − 2x + + 4x − 2x + + ) ( tan4 x 10 D  dx = − + ln + cos2x ) dx dx = 10 + ln2 dx = −22 + ln2 B  D  4x − dx = 22 + ln2 dx = 22 + ln3 2x + + 4x − 2x + + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word )  53 Tính  sin2x + sin x + 3cos x dx  A   sin2x + sin x + 3cos x dx = B C  sin2x + sin x + 3cos x   dx = 27 23 dx = 35 29  sin2x + sin x 34 dx = 27 + 3cos x 54 Tính + ln x  ( x + 1) 2 D  sin2x + sin x + 3cos x dx + ln x −3 + ln27 − ln16 A  dx = ( x + 1) 3 C + ln x  ( x + 1) dx = + ln27 + ln16 B + ln x  ( x + 1) dx = + ln27 − ln16 dx = − ln27 − ln16 D + ln x  ( x + 1) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 55 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b hình vẽ bên Khẳng định sai ? (hình vẽ trang 67) b A S =  f ( x ) dx a b B S =  − f ( x ) dx a b C S =  f ( x ) dx b D S = a  f ( x ) dx a 56 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số f ( x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b hình vẽ bên Khẳng định ? (hình vẽ trang 67) b A S =  f ( x ) dx a b B S =  − f ( x ) dx a b C S =  f ( x ) dx b D S = a  f ( x ) dx a 57 Kí hiệu S diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành hai đường thẳng x = −1 , x = hình vẽ bên Tìm khẳng định đúng? (hình vẽ trang 67) A S =  x dx −1 C S =  x dx −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word −1 B S = −  x3dx +  x3dx D Khơng có khẳng định 58 Kí hiệu S( t ) diện tích hình thang vng giới hạn đường thẳng y = 2x + , trục hoành hai đường thẳng x = , x = t (1  t  5) Khẳng định sai ? A S( t ) = ( t + 2)( t − 1) B S( t ) nguyên hàm f ( t ) = 2t + , t  1;5 C Hình thang vng giới hạn đường thẳng y = 2x + , trục hoành hai đường thẳng x = , x = có diện tích S =  ( 2x + 1) dx D Hình thang vuông giới hạn đường thẳng y = 2x + , trục hoành hai đường thẳng x = , x = có diện tích 30 59 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = cos x , y = sin x hai đường thẳng x = , x = A S= ( ) −1  ( B S= − ) D S= 2 − C S= 2 60 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = 2x2 + 3x + parabol   y = x2 − x − Tính cos   S   A cos  =  S   B cos  = −  S   C cos  =  S   D cos  =  S 61 Gọi S số đo diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x sin x , trục hoành hai đường thẳng x = , x =  Khẳng định sai ? B cos2S= D sin S= S S =1 C tan = 62 Kí hiệu S1, S2 diện tích hình vng cạnh diện tích hình phẳng giới hạn A sin đường y = x2 + , y = , x = −1 , x = Chọn khẳng định A S1 = S2 B S1  S2 C S1 = S2 D S2 =6 S1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 63 Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y = ln x , y = , x = , x=e e  1 viết dạng S = a  −  Tìm khằng định sai  e A a2 − 3a + = B a2 − a − = C a2 + 3a − = D 2a2 − 3a − = 64 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường parabol y = x2 − 3x + hai đường thẳng y = x − 1, x = D S= 799 111 B S= C S= 300 42 65 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn hai đường y2 + x − = , x + y − = A S= A S= B S= C S= 4,5 D S= 66 Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x , x − 2y + = , y = Tính S A S= 20 B S= 30 C S= 40 D S= 50 67 Kí hiệu S1, S2 , S3 diện tích hình vng đơn vị (có cạnh đơn vị), hình tròn đơn vị (có bán kính đơn vị), hình phẳng giới hạn hai đường y = − x2 , y = 2(1− x) Tính tỉ số S1 + S3 S2 A S1 + S3 = S2 B S1 + S3 = S2 C S1 + S3 = S2 D S1 + S3 = S2 68 Kí hiệu V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ bên) xung quanh trục Ox Khẳng định ? ( hình vẽ trang 69) b b B V =   f ( x ) dx A V =  f ( x ) dx a a b  C V =    f ( x ) dx  a  b D V =   f ( x ) dx a 69 Gọi V thể tích hình cầu bán kính R Khẳng định sai ? A Hình cầu bán kính R khối tròn xoay thu quay nửa hình giới hạn đường y = R2 − x2 ( −R  x  R) đường thẳng y = xung quang trục Ox http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( R B V =  −R R2 − x2 ) dx R  x3  C V =   R2 x −   −R  D Khơng có khẳng định 70 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = xung quanh trục Ox A V =  B V = 9 C V = 18,6 D V = 93 71 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường  y = tan x , y = , x = , x = xung quanh trục Ox A V =  B V = 2 C V =  D V =  ln2 72 Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = − x2 , y = xung quanh trục Ox A V = 2 B V = 71 82 C V = 512 15 D V =  73 Kí hiệu V1, V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = −2x + đường cong y = − x2 xung quanh trục Ox Hãy so sánh V1 , V2 A V1  V2 C V1  V2 B V1 = V2 D V1 = 2V2 74 Kí hiệu V1, V2 thể tích hình cầu bán kính đơn vị thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng H giới hạn đường cong y = xung quanh trục Ox Hãy tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 đường y = , x = , x = 2− x V1 V2 C V1 = V2 D V1 =2 V2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word III GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN Gợi ý – Hướng dẫn giải Câu Để kiểm tra đẳng thức ( u) = ' u' ' Dùng công thức  f ( x ) dx = F ( x ) + C cần kiểm tra đẳng thức F ( x) = f ( x) u ' '   −u Câu Dùng công thức   =  u u Câu Cần nhớ sin ( n ) = 0, n  Câu 10 Đặt u = 2x − u' = 1 I =  f ( 2x − 3) dx =  f ( u) dx =  f ( u) u' dx =  f ( u ( x ) ) u' ( x ) dx 2 Áp dụng công thức đổi biến số, ta I= 1 F ( u ( x ) ) + C = F ( 2x − 3) + C 2 x  2 Câu 12 f ( x ) =   − e− x  e Câu 14 Đặt t = 3x Câu 15 Vì f ( x) nguyên hàm f ' ( x) nên   f ( x ) dx = f ( ) − f ( 0) ' Câu 20 Đổi biến số t =  −x Câu 28 Đặt t = ex − , ta tính e ( ( ) dx = ln e2 + e + − −1 x ) − e2 − e = e2 + e+ − e2 − e = ( ) ln e2 + e+1 Từ đó, a = e Vậy đáp A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Câu 29 Tính  (e cosx ) + cos x cos xdx ta kết e − +  , từ a =  Câu 30 Đưa thừa số a ngồi dấu tích phân  Câu 31 B D cho sin2xdx  cos x + 4sin x 2 = 10 − trái với C Vậy C khẳng định sai Câu 32 Đặt t = + 3ln x Câu 33 Đặt t = 1− cosx Câu 34 Đặt t = cos x Câu 36 Đặt t = 1+ tan x Câu 37 Xem lại cơng thức quy gọn góc (giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt) Câu 41 Áp dụng tính chất '  f ( x ) dx = f ( x ) + C ( f ( x) nguyên hàm f ( x) ) ' Câu 42 Đặt t = 1+ sin x + cosx Câu 43 Đặt u = ln x , dv = dx x3 Câu 44 Đặt t = 1+ cosx Câu 47 Đặt t = + cos3x   Câu 49 sin  x −  = ( sin x − cos x ) 4  sin2x + (1 + sin x + cos x ) = ( sin x + cos x + 1) Đặt t = sin x + cosx + Câu 51 cos2x = cos2 x (1 − tan2 x ) Đặt t = tan x Câu 53 Đặt t = + 3cos x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ln x  ( x + 1) Câu 54 Tính dx phương pháp tích phân phần −1 Câu 60 S =  x2 + 4x + dx = −3  Câu 61 S =  x sin x dx =   1 Câu 63 S =  ln x dx =  −  , suy a = Khẳng định C sai  e e e Câu 66 Hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x , x − 2y + = , y = có diện tích S1 =  y − 2y + dy = , S = 30S1 = 40 Câu 67 S3 =  ( ) − x2 − (1 − x ) dx =  −1 Đáp án Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ Câu Đáp án Mức độ A 26 C 51 B B 27 D 52 B 3 C 28 A 53 C D 29 A 54 B A 30 C 55 A B 31 C 56 C C 32 D 57 B D 33 B 58 D D 34 C 59 A 10 C 35 B 60 B 11 B 36 C 61 D 12 B 37 D 62 D 13 B 38 B 63 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 14 C 39 D 64 B 15 C 40 C 65 C 16 D 41 B 66 C 17 B 42 A 67 C 18 D 43 B 68 D 19 B 44 C 69 D 20 C 45 C 70 D 21 D 46 C 71 D 22 D 47 C 72 C 23 C 48 C 73 B 24 A 49 C 74 B 25 A 50 C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... Biết tính tích phân hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa tốn tìm nguyên hàm; sử dụng phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần... quốc gia năm 2017 Bộ GD&ĐT): e Tính tích phân: I =  x ln xdx e2 − e2 + e2 − C I = D I = 4 Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân tích phân phương pháp tích phân phần A I = B I = Đặt u = ln x...  Tính tích phân I =  cos3 x sin xdx B I = − A I = −  4 D I = − C I = Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân hàm lượng giác x Có hai cách tính tích phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành