Lý thuyết và công thức môn toán 12 chương 3 nguyên hàm, tích phân và ứng dụng file word image marked

III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUN HÀM Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '( x) = f ( x) , x  K • Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K họ nguyên hàm f ( x ) K là:  f ( x)dx = F ( x) + C ,C  R • Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất •  f '( x)dx = f ( x) + C •   f ( x)  g( x)dx =  f ( x)dx   g( x)dx Nguyên hàm số hàm số thường gặp •  0dx = C • ax •  a dx = + C (0  a  1) ln a  dx = x + C   +1 x • • x •  xdx = ln x + C •  e dx = e dx =  +1 + C, x x •  kf ( x)dx = k  f ( x)dx (k  0) +C (  −1) x  cos xdx = sin x + C •  sin xdx = − cos x + C •  •  cos2 x sin2 x dx = tan x + C dx = − cot x + C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1 •  cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a  0) •  sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a  0) ax+ b ax+b e + C, (a  0) a • e •  ax + bdx = a ln ax + b + C dx = Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du = F (u) + C u = u( x) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x) u '( x)dx = F u( x) + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần u , v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: Nếu  udv = uv −  vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x)dx phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f ( x ) có dạng: f ( x ) = gu( x).u'( x) ta đặt t = u( x)  dt = u '( x)dx  Khi đó: f ( x)dx =  g(t )dt ,  g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính  g(t )dt theo t , ta phải thay lại t = u ( x ) • Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến − x = a cost, 0 t  x = a tan t , − x = a cot t, 0 t  a2 − x2 hoaëc a2 + x2 hoaëc  x = a sin t ,  t t   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P ( x ) đa thức x, ta thường gặp dạng sau:  P( x).e dx  P( x).cos xdx  P( x).sin xdx  P( x).ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv ex dx cosxdx sinxdx P(x) x VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f ( x ) , ta cần tìm hàm g ( x ) cho nguyên hàm hàm số f ( x )  g ( x ) dễ xác định so với f ( x ) Từ suy nguyên hàm f ( x ) Bước 1: Tìm hàm g ( x ) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f ( x )  g ( x ) , tức là: F( x) + G( x) = A( x) + C1  F( x) − G( x) = B( x) + C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x) = (*)  A( x) + B( x) + C nguyên hàm f ( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x) = P( x) Q( x) – Neáu bậc P ( x )  bậc Q ( x ) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P ( x )  bậc Q ( x ) Q ( x ) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f ( x ) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: ( x − m)(ax + bx + c) = A B = + ( x − a)( x − b) x − a x − b A Bx + C + , vớ i  = b2 − 4ac  x − m ax + bx + c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ( x − a) ( x − b) f(x) laø haøm vô tỉ 2 = A B C D + + + x − a ( x − a) x − b ( x − b)2  ax + b  + f ( x ) = R x, m  cx + d   đặt t = m → ax + b cx + d +   → f ( x ) = R  ( x + a)( x + b)    đặt t = x+a+ x+b • f ( x ) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin( x + a) − ( x + b)  sin(a − b)  1 ,  sửdụng = =  sin(a − b)  sin( x + a).sin( x + b) sin(a − b) sin( x + a).sin( x + b)  + sin( x + a) − ( x + b)  sin(a − b)  1 ,  sửdụng = =  sin(a − b)  cos( x + a).cos( x + b) sin(a − b) cos( x + a).cos( x + b)  + cos( x + a) − ( x + b) 1 , = sin( x + a).cos( x + b) cos(a − b) sin( x + a).cos( x + b) + Nếu  cos(a − b)   sửdụng =  cos(a − b)   R(− sin x,cos x) = − R(sin x,cos x) đặt + Neáu R(sin x, − cos x) = − R(sin x,cos x) đặt t = cosx t = sinx + Neáu R(− sin x, − cos x) = − R(sin x,cos x) đặt t = tanx (hoặc t = cotx ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word §2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục K a, b K Nếu F nguyên hàm f K thì: F ( b) – F ( a) đgl tích phân f từ a đến b b kí hiệu  f ( x)dx a b  f ( x)dx = F(b) − F(a) a • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a  f ( x)dx =  f (t )dt =  f (u)du = = F(b) − F(a) • Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục không âm đoạn  a; b diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b laø: b S =  f ( x)dx a Tính chất tích phân •  f ( x)dx = • b b a a  kf ( x)dx = k f ( x)dx • b a a b  f ( x)dx = − f ( x)dx • (k : const ) b b b a a a b c b a a c   f ( x)  g( x)dx =  f ( x)dx   g( x)dx •  f ( x)dx =  f ( x)dx +  f ( x)dx • Nếu f ( x )   a; b b  f ( x)dx  a • Nếu f ( x )  g ( x )  a; b b b a a  f ( x)dx   g( x)dx Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word b u( b) a u( a)  f u( x).u'( x)dx =  f (u)du đó: u = u ( x ) có đạo hàm liên tục K , y = f ( u) liên tục hàm hợp f u ( x )  xác định K , a, b K b) Phương pháp tích phân phần b b b Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K , a, b K thì:  udv = uv a −  vdu a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho  vdu dễ tính  udv VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F ( x ) f ( x ) , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân: b  f ( x)dx = F(b) − F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x)dx a Nếu g( x) = f u( x).u'( x) b u( b) a u( a)  g( x)dx =  viết g(x) dạng: f (u)du  Dạng 2: Giả sử ta cần tính  f ( x)dx  x = x ( t ) (t  K ) vaø a, b  K thoả mãn  = x ( a) ,  = x ( b) Đặt    b b a a f ( x)dx =  f  x(t ) x '(t )dt =  g(t )dt ( g(t ) = f  x(t ).x '(t ) ) Dạng thường gặp trường hợp sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f(x) có chứa Cách đổi bieán − x = a cost, 0 t  x = a tan t , − x = a cot t, 0 t  a2 − x2 hoaëc a2 + x2 hoaëc  x = a sin t , x=  t t      t   − ;  \ 0  2 a , sin t x2 − a2    phần a VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân  0;   \ x = pháp , tích t phân hoặcphương   cost 2 Với P ( x ) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b  P( x).e dx x a b b b a a a  P( x).cos xdx  P( x).sin xdx  P( x).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv ex dx cosxdx sinxdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f ( x ) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f ( x ) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word VAÁN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ • Nếu hàm số f ( x ) liên tục hàm số lẻ  − a; a • Nếu hàm số f ( x ) liên tục hàm số chẵn a  −a a  f ( x)dx = −a treân  − a; a a f ( x)dx = 2 f ( x)dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: Bước 1: Phân tích I = a  f ( x)dx = −a Bước 2: Tính tích phân J =  −a  a f ( x)dx +  f ( x)dx 0 a    J =  f ( x)dx; K =  f ( x)dx    −a   f ( x)dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x −a – Neáu f ( x ) hàm số lẻ J = –K  I = J + K = – Neáu f ( x ) hàm số chẵn J = K  I = J + K = 2K Daïng Nếu f ( x ) liên tục hàm chẵn R thì:  f ( x)   x dx =  f ( x)dx − a + (với   R.+ + a  0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I=   f ( x) f ( x) dx = dx +  x  x  x dx − a + − a + a +1 f ( x) Để tính J ta đặt:   f ( x) f ( x)  J =  dx; K =  dx  x x   − a + a +1   t = – x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word    Daïng Nếu f ( x ) liên tục  0;   2 Để chứng minh tính chất ta đặt:   f (sin x)dx = t=  f (cos x)dx  −x Dạng Nếu f ( x ) liên tục f (a + b − x) = f ( x) hoaëc f (a + b − x) = − f ( x) đặt: Đặc biệt, t = a+ b– x a + b =  đặt t = – x a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f ( x ) ta cần tìm hàm g ( x ) cho nguyên hàm hàm số f ( x )  g ( x ) dễ xác định so với f ( x ) Từ suy nguyên hàm f ( x ) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g ( x ) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f ( x )  g ( x ) , tức là:  F( x) + G( x) = A( x) + C1   F( x) − G( x) = B( x) + C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x) = (*)  A( x) + B( x) + C nguyên hàm f ( x ) VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n = f ( x, n)dx (n ẻ Ơ ) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta a thường gặp số yêu cầu sau: • Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn I n theo caùc I n− k (1  k  n) • Chứng minh công thức truy hồi cho trước • Tính giá trị I n cụ thể ñoù http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn  a; b – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b là: b S =  f ( x) dx a • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục đoạn  a; b – Hai đường thẳng b (1) hàm số x = a, x = b laø: ( 2) S =  f ( x) − g( x) dx a Chú ý: • Nếu đoạn  a; b , hàm số f ( x ) không đổi dấu thì: b  a f ( x) dx = b  f ( x)dx a • Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f ( x) = f ( x ) – g ( x ) = đoạn  a; b Giả sử tìm nghieäm c, d ( c  d ) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  a c d b a c d f ( x) dx =  f ( x) dx +  f ( x) dx +  f ( x) dx http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10 c =  f ( x)dx + a d  f ( x)dx + c b  f ( x)dx d (vì đoạn  a; c , c; d  ,  d; b haøm số f ( x ) không đổi dấu) • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x = g ( y ) , x = h ( y ) ( g vaø h hai hàm số liên tục đoạn  c; d  ) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S =  g( y) − h( y) dy c Thể tích vật thể • Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S( x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S( x ) liên tục đoạn  a; b Thể tích B là: b V =  S( x)dx a • Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C ) : y = f ( x ) , trục hoành, x = a, x = b ( a  b) sinh quay quanh truïc Ox : b V =   f ( x)dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy : (C ) : x = g ( y ) , truïc tung, y = c, y = d laø: d V =   g2 ( y)dy c http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 11 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 12 ... VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F ( x ) f ( x ) , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân: b  f ( x)dx... Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f ( x ) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f ( x ) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích. .. n) • Chứng minh công thức truy hồi cho trước • Tính giá trị I n cụ thể http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ? ?3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình