Lý thuyết và công thức môn toán 12 chương 3 nguyên hàm tích phân và ứng dụng file word doc

III PHÂN VÀ III.NGUN NGUNHÀM HÀM–§1 –TÍCH TÍCH PHÂNHÀM VÀỨNG ỨNG NGUN DỤNG DỤNG Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K neáu: F '(x)  f (x) , x �K  Nếu F  x nguyên hàm f  x K họ nguyên hàm f  x K là: f (x)dx  F (x)  C ,C �R �  Mọi hàm số f  x liên tục K có nguyên hàm K Tính chất f '(x)dx  f (x)  C  � f (x)dx �� g(x)dx  � kf (x)dx  k� f (x)dx (k �0)  f (x) �g(x)dx  �  � Nguyeân hàm số hàm số thường gặp  0dx  C �  dx  x  C �  x dx  �  dx  ln x  C � x  e dx  e �  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C (a �0) � a x 1  C,  1 ( �1) x x C  � sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C (a �0) a Phương pháp tính nguyên hàm ax  C (0  a �1) lna  axdx  �  cos xdx  sin x  C � sin xdx   cos x  C  �  dx  tan x  C � cos2 x  �2  e �  dx  ln ax  b  C � ax  b a dx   cot x  C sin x ax b dx  1 ax b e  C, (a �0) a a) Phương pháp đổi biến số f (u)du  F (u)  C Nếu � u  u(x) có đạo hàm liên tục thì: f  u(x) u'(x)dx  F  u(x)  C � b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: udv  uv  � vdu � VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm biến số f (x)dx � phương pháp đổi  Dạng 1: Nếu f  x có dạng: f  x  g u(x) u'(x) ta đặt t  u(x) � dt  u'(x)dx Khi đó: f (x)dx  � g(t)dt , � g(t)dt dễ dàng tìm � Chú ý: Sau tính g(t)dt � theo t , ta phải thay lại t  u x  Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x  a sint,  a2  x2 hoaëc x  a cost, x  a tant, a2  x2 hoaëc x  a cot t,   �t � 2 �t �     t 2 0 t   VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P  x đa thức x, ta thường gặp dạng sau: x P (x).e dx � P (x).cos xdx � P (x).sin xdx � P (x).ln xdx � u P(x) P(x) P(x) lnx dv exdx cosxdx sinxdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f  x , ta cần tìm hàm g x cho nguyên hàm hàm số f  x �g x dễ xác định so với f  x Từ suy nguyên hàm f  x Bước 1: Tìm hàm g x Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f  x �g x , tức laø: �F (x)  G(x)  A(x)  C1 �F (x)  G(x)  B(x)  C � (*) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F (x)  cuûa f  x  A(x)  B(x)  C nguyên hàm VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f (x)  P (x) Q(x) – Nếu bậc P  x � bậc Q  x ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P  x  bậc Q  x Q  x có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f  x thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: A B   (x  a)(x  b) x  a x  b (x  m)(ax2  bx  c)  A Bx  C  , v� � i   b2  4ac  x  m ax  bx  c A B C D    (x  a)2(x  b)2 x  a (x  a)2 x  b (x  b)2 f(x) hàm vô tỉ  � ax  b � + f  x  R �x, m � � cx  d � đặt t  m  ax  b cx  d + t  x a  x b � � f  x  R � � (x  a)(x  b) � � � � đặt  f  x hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: sin(a  b) � sin (x  a)  (x  b) � 1 � du� ng 1  + , �s� � sin(a  b) � sin(x  a).sin(x  b) sin(a  b) sin(x  a).sin(x  b) � + + t  cosx sin(a  b) � sin (x  a)  (x  b) � 1 � du� ng 1  , �s� � sin(a  b) � cos(x  a).cos(x  b) sin(a  b) cos(x  a).cos(x  b) � cos(a  b) � cos (x  a)  (x  b) � 1 s� � du� ng 1  , � � cos(a  b) � sin(x  a).cos(x  b) cos(a  b) sin(x  a).cos(x  b) � + Neáu R( sin x,cos x)   R(sin x,cos x) đặt t  sinx đặt t  tanx (hoặc t  cotx ) + Nếu R(sin x,  cos x)   R(sin x,cos x) đặt + Neáu R( sin x,  cosx)   R(sin x,cos x) §2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b�K Nếu F nguyên hàm f K thì: F  b – F  a đgl tích phân f từ a b đến b kí hiệu f (x)dx � a b f (x)dx  F (b)  F (a) � a  Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f (x)dx  � f (t)dt  � f (u)du   F (b)  F (a) �  YÙ nghóa hình học: Nếu hàm số y  f  x liên tục không âm a; b� đoạn � � �thì diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y  f  x , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b laø: b S � f (x)dx a Tính chất tích phân  f (x)dx  �  b b a a kf (x)dx  k� f (x)dx (k : const) �  b b b a a a b c b a a c f (x)dx �� g(x)dx  � f (x)dx  � f (x)dx  � f ( x)dx  f (x) �g(x)dx  � � a; b�  Nếu f  x �0 � � �thì b f (x)dx �0 � a a; b�  Neáu f  x �g x � � �thì b b a a f (x)dx �� g(x)dx � Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b a a b f (x)dx   � f (x)dx �  b u(b) a u(a) f  u(x) u'(x)dx  � �f (u)du đó: u  u x có đạo hàm liên tục u x � K , y  f  u liên tục hàm hợp f � � �xác định K , a, b�K b) Phương pháp tích phân phần u , v Nếu hai hàm số có đạo hàm liên tục K , a, b�K thì: b b b udv  uv  � vdu � a a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu � dễ a b tính udv � a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F  x f  x , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân: b f (x)dx  F (b)  F (a) � a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g(x)dx � a Nếu g(x)  f  u(x) u'(x) b u(b) a u(a) g(x)dx  � viết g(x) dạng: �f (u)du  Dạng 2: Giả sử ta cần tính �f (x)dx  Đặt x  x t (t �K ) vaø a, b�K thoả mãn   x a ,   x b  b b  a a f  x(t) x'(t)dt  � g(t)dt �f (x)dx  �  g(t)  f  x(t) x'(t) Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x  a sint,  a2  x2 x  a cost, x  a tant, a2  x2 hoaëc x  a cot t, x   �t � 2 �t �     t 2 0 t   �  � t ��  ; \  0 � 2� � a , sint x2  a2 � � a VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân x  phương , t �pháp 0;  \ � tích � phân cost �2 phần Với P  x đa thức x, ta thường gặp dạng sau: b b b b a a a a P (x).exdx � P (x).cos xdx � P (x).sin xdx � P (x).l n xdx � u P(x) P(x) P(x) lnx dv exdx cosxdx sinxdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f  x có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f  x sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ  a; a�  Nếu hàm số f  x liên tục hàm số lẻ � � �thì a �f (x)dx  a  a; a�  Nếu hàm số f  x liên tục hàm số chẵn � � �thì a a a f (x)dx �f (x)dx  2� Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: Bước 1: Phân tích I  a a a a f (x)dx �f (x)dx  �f (x)dx  � Bước 2: Tính tích phân J  t  – x a � � �J  �f (x)dx; K  � f (x)dx� � � � a � �f (x)dx phương pháp đổi biến Đặt a – Nếu f  x hàm số lẻ J  – K � I  J  K  – Neáu f  x hàm số chẵn J  K      � I  J  K  2K Daïng Nếu f  x liên tục hàm chẵn R thì:  f (x)  (với  �R. + vaø a  0) � x dx  �f (x)dx  a  Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I   f (x) f (x) dx  dx  �x �x �x dx  a   a  a 1 f (x) Để tính J ta đặt:  � f (x) f (x) � �J  � dx; K  � dx� x x � � a  a  �  � t  – x �� 0; Dạng Nếu f  x liên tục � � 2� �   0 �f (sin x)dx  �f (cos x)dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t  x Dạng Nếu f  x liên tục f (a  b  x)  f (x) hoaëc f (a  b  x)   f (x) đặt: t  a b– x Đặc biệt, a  b   neáu  a  b  2             đặt t – x đặt t  2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f  x ta cần tìm hàm g x cho nguyên hàm hàm số f  x �g x dễ xác định so với f  x Từ suy nguyên hàm f  x Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g x Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f  x �g x , tức là: �F (x)  G(x)  A(x)  C1 �F (x)  G(x)  B(x)  C � (*) Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F (x)  cuûa f  x  A(x)  B(x)  C nguyên hàm VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b f (x, n)dx Giả sử cần tính tích phân I n  � ( n ��) phụ thuộc vào số a nguyên dương n Ta thường gặp số yêu cầu sau:  Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn I n theo I n k (1 �k �n)  Chứng minh công thức truy hồi cho trước  Tính giá trị I n0 cụ thể §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị  C  hàm số y  f  x liên a; b� tục đoạn � � � – Trục hoành – Hai đường thẳng x  a, x  b là: b S � f (x)dx a  1  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y  f  x , y  g x  liên tục đoạn � a; b� � � – Hai đường thẳng x  a, x  b laø: b S � f (x)  g(x) dx a  2 Chú ý: a; b�  Nếu đoạn � � �, hàm số f  x không đổi dấu thì: b b a a �f (x)dx  f (x)dx �  Trong caùc công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f  x  f  x – g x  đoạn � a; b� Giả sử tìm nghiệm c, d  c  d � � Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b a a c d �f (x)dx  �f (x)dx  �f (x)dx  �f (x)dx = c d a c f (x)dx  � f (x)dx  � b f (x)dx � d (vì a; c� c; d� d; b� đoạn � � �, � � �, � � �hàm số f  x không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x  g y , x  h y (g h hai hàm số liên tục c; d� ) đoạn � � � – Hai đường thẳng x  c, x  d d S � g(y)  h(y)dy c Thể tích vật thể  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S  x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a �x �b) Giả sử S  x liên tục đoạn � a; b� � � Thể tích B là: b V� S(x)dx a  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường:  C : y  f  x , trục hoành, x  a, x  b  a  b sinh quay quanh truïc Ox : b V � f 2(x)dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy :  C  : x  g y , truïc tung, y  c, y  d laø: d V � g2(y)dy c  ... � a VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F  x f  x , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phaân: b f (x)dx... tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f  x có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f  x sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân. .. tìm nguyên hàm hàm số lượng giác VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân