Nội dung của đề tài bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các đề thi và được phân thành từng dạng. Trong quá trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp để quý thầy, cô giáo có thể lựa chọn nội dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.
Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số Chun đề: MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ A ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong q trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ơn tập, củng cố các kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải tốn chuẩn bị cho các kỳ thi sắp đến là một cơng việc rất quan trọng và cần thiết cho mỗi người thầy, cơ giáo. Nên mỗi một thầy, cơ giáo cần phải đổi mới phương pháp dạy học, chọn lọc nội dung và tìm ra phương pháp giải tốn cho học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu để kích thích học sinh hứng thú say mê, sáng tạo và tìm ra hướng giải quyết bài tốn đó. Chúng ta cần phải chọn lọc nội dung trọng tâm, dung lượng kiến thức, ứng dụng các kiến thức đã học để giúp các em rèn luyện kỹ năng và tư duy để tìm ra phương pháp giải những dạng tốn thường gặp trong các kỳ thi mà sách giáo khoa chưa đề cập đến nhiều Để góp phần nhỏ vào việc ơn tập mơn Tốn 12 cho học sinh, bản thân xin trình bày một phần nội dung ơn tập: “Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số” Ta thường gặp một số “Bài tốn liên quan đến đồ thị hàm số” trong Bài 1 của các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thơng và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là dạng tốn có liên quan đến việc “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, là một trong những nội dung tốn học có tính chất phát triển tư duy lơgic, hình thành kỹ năng thực hành và phát huy khả năng vận dụng sáng tạo vào thực tiễn cuộc sống sau này cho học sinh. Qua những năm giảng dạy nội dung này, tơi nhận thấy kết quả học tập của đa số học sinh chưa cao, khoảng trên 65% chưa đạt theo chuẩn. Việc tìm hiểu ngun nhân và biện pháp khắc phục để nâng cao chất lượng học tập của học sinh là thực sự cần thiết đối với mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy. Thực tế cho thấy: – Khả năng phân tích bài tốn cịn lúng túng, kỹ năng tính tốn cịn chậm và thiếu chính xác – Liên hệ với những kiến thức ở lớp dưới cịn nhiều hạn chế – Thiếu chủ động, tư tưởng ngại khó khi gặp phải bài tốn phức tạp, nhiều dữ kiện ràng buộc – Đa số các em chỉ làm phần Khảo sát hàm số mà chưa làm được Bài tốn liên quan đến đồ thị Để giúp các em lấy được trọn vẹn điểm số của Bài 1 trong các Đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thơng, cũng như Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng dưới đây xin đưa ra một số giải pháp như sau: B GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Việc trang bị cẩn thận cho học sinh những phương pháp cơ bản, những kỹ năng ban đầu là rất cần thiết, củng cố được niềm tin và tạo cơ sở tiền đề cho các em tiếp tục phát huy khả năng sáng tạo để có thể tự giải được các dạng tốn tương tự: Giảng dạy thật chu đáo các bài tốn cơ bản, chẳng hạn: + Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số; + Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số; + Tìm tọa độ giao điểm của hai đường; + Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong Hướng dẫn cho học sinh cách phân tích định hướng giải quyết bài tốn, biết quy lạ về quen Đặc biệt cần hướng dẫn cho các em biết cách phân rã một bài tốn phức tạp thành những bài tốn con đơn giản đã biết cách giải Dành thời gian hợp lý để học sinh tự giải quyết được những bài toán tương đối đơn giản, gây được sự tự tin và hứng thú học tập cho các em. Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số Sau khi học sinh tự giải được bài toán cơ bản ở trên, để tiếp tục nâng cao năng lực tư duy cho các em, giáo viên có thể mở rộng, tăng độ phức tạp của bài tốn bằng cách: Đưa vào tham số và thêm những ràng buộc giữa các dữ kiện của bài tốn C Q TRÌNH THỰC HIỆN: Qua q trình giảng dạy, bản thân nhận thấy rằng: Để một tiết ơn tập đạt chất lượng và hiệu quả thiết thực thì học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, tích cực hoạt động tham gia xây dựng bài học, người thầy phải chủ động vạch hướng giải quyết bằng cách hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi ý, gợi mở từng bước để dẫn dắt các em tìm hướng giải và lời giải đúng, từ đó các em mới có hứng thú, say mê vào việc giải quyết bài tốn. Muốn vậy thì chúng ta phải chuẩn bị kỹ và tiến hành các khâu sau: I./ Nghiên cứu nội dung cần ơn tập: Nghiên cứu kỹ nội dung cần ơn tập, cần củng cố cho học sinh Vạch ra phương án kiểm tra nội dung kiến thức chuẩn bị cho tiết ơn tập Trước khi ơn tập “Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số” thì thầy, cơ giáo cần dặn dị học sinh ơn tập trước các kiến thức đã học và kiến thức cơ bản có liên quan: + Định nghĩa điểm cực trị của hàm số; Điều kiện đủ để hàm số có cực trị + Đường tiệm cận của đồ thị và cách tìm phương trình của đường tiệm cận + Giao điểm và cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường + Khoảng cách và các cơng thức tính khoảng cách + Bất đẳng thức Cơsi; Định lý Viét và các ứng dụng II./ Thành lập hệ thống các dạng bài tập Cần thành lập hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao Phân thành từng dạng bài tập có liên quan với nhau III./ Phân tiết dạy: Dựa vào tình hình thực tế giảng dạy, thời lượng ơn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp dạy để thầy, cơ giáo lựa chọn nội dung kiến thức, phân bổ các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp IV./ Chọn các bài tập mẫu: Chọn ra các bài tập mẫu, trọng tâm thường gặp ở đề thi để tiến hành ơn tập trên lớp Dựa theo trình độ của học sinh trong lớp dạy để chọn các bài tập trọng tâm, chọn bài tập từ dễ đến khó, đầy đủ các dạng: V./ Chọn các bài tập tương tự: Sau khi thầy, cơ giáo đã hướng dẫn ơn tập kiến thức thơng qua các bài tập mẫu thì chúng ta tiếp tục cung cấp cho học sinh các bài tập tương tự để các em tự học, tự rèn luyện. Đây là yếu tố rất cần thiết giúp học sinh tự củng cố kiến thức, phát huy tính độc lập, chủ động, tự tin làm bài. Trên cơ sở các bài tập mẫu học sinh tự lực, chủ động rèn luyện phương pháp, kỹ năng giải, củng cố kiến thức đã thu nhận từ thầy, cơ giáo để từ đó các em tự giải quyết được các bài tốn khác. Các bài tập tương tự này thầy, cơ giáo gợi ý hướng dẫn phương pháp và có thể cho đáp số bài tốn để học sinh giải xong đối chiếu kết quả tìm được của mình D NỘI DUNG: Bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các đề thi và được phân thành từng dạng. Trong q trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số lượng ơn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp để q thầy, cơ giáo có thể lựa chọn nội dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp Phần 1: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì f '( x0 ) = (Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó khơng có đạo hàm) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại (x0; f (x0 )) song song hay trùng với trục hồnh Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị. a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x ) và (x 0; b) Khi đó: Nếu f '( x ) < 0, ∀x (a; x0 ) và f '( x ) > 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0 Nếu f '( x ) > 0, ∀x ( a; x0 ) và f '( x ) < 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0 (Chú ý: Khơng cần xét hàm số f(x) có hay khơng có đạo hàm tại điểm x = x0 ) b.) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) = và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó: Nếu f "( x0 ) < thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 Nếu f "( x0 ) > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 II BÀI TẬP Trước khi đi vào giải những bài tốn nâng cao kỹ năng, để kiểm tra tình hình nắm kiến thức của học sinh, thầy cơ giáo có thể hỏi bài cũ với kiến thức cơ bản hoặc tương tự như sau: Bài 1. Xác định m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu: a.) y = x − 3x + mx + m − b.) y = x − 2(m + 1)x − m c.) y = x + 2mx + x −1 Gợi ý giải: a.) + y ' = 3x − 6x + m ; y ' = � 3x − 6x + m = (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt � ∆ ' = 9− 3m > � m < Vậy, với m < 3 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu b.) + y ' = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số y ' = � 4x (x − m − 1) = � x=0 x = m + (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác � m + 1> � m > −1 Vậy, với m < −1 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu c.) x − 2x − 2m − x − 2x − 2m − =0 + y ' = ; y ' = � (x − 1)2 (x − 1)2 x x − 2x − 2m − 1= (*) + Đặt: g(x ) = x − 2x − 2m − + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ∆'> 2m + > m > −1 � � � �� �� � m > −1 −2m − � m −1 �g(1) � Vậy, với m < −1 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu Bài 2. Cho hàm số: y = x3 − mx + (m − m + 1) x + � � Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1. Lưu ý: Hàm số y = ax + bx + cx + d ,(a 0) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi y '(x ) = y '(x ) = (hoặc ) y ''(x0 ) < y ''(x0 ) > Sau đó thầy, cơ giáo cho học sinh ghi nhớ: Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d , (a 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương: y = ax + bx + c, (a 0) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ax + bx + c Hàm số: y = , (aa ' 0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm a 'x + b ' phân biệt khác − b' a' Để tăng thêm những vướng mắc cho học sinh, giáo viên có thể đưa vào tham số hay những ràng buộc dữ kiện của bài tốn Một vấn đề phức tạp là tổ hợp của nhiều vấn đề đơn giản, một bài tốn khó là sự kết nối của nhiều bài tốn đơn giản. Chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, rồi bằng óc phân tích và tổng hợp chúng ta có thể giải quyết được những bài tốn khó. Đứng trước một bài tốn phức tạp, có nhiều ràng buộc học sinh thường lúng túng, khơng biết bắt đầu giải quyết từ đâu. Giáo viên cần Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số phân tích và hướng dẫn cho các em biết cách phân rã bài tốn ban đầu thành những bài tốn con, rà sốt lại những mạch kiến thức đã học có liên quan để giải quyết Bài tập 1. Cho hàm số y mãn x1 − x2 x mx mx Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x1 ,x2 thoả 4? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Điều kiện để hai điểm cực trị x1 ,x2 thoả mãn x1 − x2 Gợi ý giải: 2 * y ' = x − 2mx + m ; y ' = � x − 2mx + m = 0 (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt � ∆ ' > � m2 − m > � * Ta có: x1 − x2 4 m1 (x1 x ) �16 � ( x1 + x ) − 4x1x �16 (**) { x + x = 2m + Áp dụng định lý Viét vào phương trình (*), ta có: x11 x2 =2 m 17 (**) � 4m2 − 4m �16 � m − m − �0 � + 17 m 17 + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m hoặc m m + 17 Bài tập 2. Cho hàm số y = x3 − 3mx − 3x + 3m + có đồ thị là ( Cm ) Xác định m để đồ thị ( Cm ) có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu; 2.) Điều kiện để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị nhỏ nhất Gợi ý giải: 2 * y ' = x − 6mx − 3; y ' = � x − 2mx − = 0, (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt � ∆ ' = m + 1> 0,∀m �R Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số ln có hai điểm cực trị * Tìm tọa độ các điểm cực trị của ( Cm ) : Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị, khi đó hồnh độ điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*). Cách 1: Vì A, B ( Cm ) nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có: A(m + m + 1; −2m − 2m m + − m + + 2) , B(m − m + 1; −2m3 + 2m m + 1+ m + + 2) Cách 2: 3 Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: y = y '.( x − m) − (2m + 2) x + 2m + Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình: y = − (2m2 + 2) x + 2m + (**) Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có: A(m + m + 1; −2m3 − 2m m + − m + + 2) , B(m − m + 1; −2m3 + 2m m + 1+ m + + 2) uuur + AB = (−2 m + 1;4m m + 1+ m + 1) � AB = (m + 1)(4m + 8m + 5) = (m + 1)[4(m + 1)2 + 1] �2 Cách 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có: A(x1; −(2m + 2)x1 + 2m + 2) , B(x2; −(2m + 2)x + 2m + 2) � AB = (x2 − x1)2 + (2m + 2)2(x2 − x1)2 = (4m + 8m + 5)[(x2 + x1)2 − 4x1x2 ] x1 + x2 = 2m - Áp dụng định lý Viét vào phương trình (*), ta có: x x = 1 � AB = (4m + 8m + 5)(4m + 4) = [4(m + 1)2 + 1](m + 1) + ABmin = � m = + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m = Giáo viên cho học sinh nhận xét: Việc thay hoành độ của A, B vào hàm số khá phức tạp, dễ dẫn đến kết quả sai. Chỉ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình (*) có biệt thức là số chính phương Bài tập 3. Cho hàm số y = x + mx + 12x + Xác định m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu vng góc với đường thẳng y = x 7? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số; 3.) Điều kiện để hai đường thẳng vng góc với nhau Gợi ý giải: * y ' = 3x + 2mx + 12 y ' = � 3x + 2mx + 12 = 0 (*) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt � ∆ ' > � m − 36 > � m < −6 m>6 9 * Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng: y = ( x + m).y '+ (8− m )x − m + Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình y = (8− m )x − m + * Hai đường thẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng 1 2 81 � 1.(8− m ) = −1� 8− m = −1� 81− 2m = � m = �m=� 9 2 + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m = Bài tập 4. Cho hàm số y = x − 3(2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + (1) Tìm m đê đơ thi ham sơ (1) co hai điêm c ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri đơi x ̣ ́ ứng nhau qua đường thăng (d): y = x + 2 ̉ Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số; 3.) Điều kiện để hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng Gợi ý giải: * y ' = x − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1) y ' = � x − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1) = � x − (2m + 1) x + m ( m + 1) = (*) + Vì ∆ = > 0, ∀m nên phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt x = m, x = m + * Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có: A(m;2m + 3m + 1) , B(m + 1;2m + 3m ) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình: y = − x + 2m3 + 3m + m + Có thể học sinh giải cách khác: Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: y = [ x − (2m + 1)].y' − x + 2m3 + 3m + m + Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt: y = − x + 2m3 + 3m + m + Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn đến kết quả sai 2 * Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I (m + ;2m + 3m + ) + A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi: AB ⊥ (d ) I (d(V ), ới I là trung điểm AB) Với mọi m đường thẳng AB ln vng góc với (d) I �(d ) � 2m + 3m + 1 = m + + � 2m + 3m − m − = � (m + 1)(2m + m − 2) = 2 m = −1 m= −1 17 Giáo viên cho học sinh ghi nhớ: 1.) A và B cách đều đường thẳng (d) � d ( A, d ) = d (B, d ) 2.) A và B cách đều gốc tọa độ O OA = OB Trường THPT Trường Chinh Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số O AB OA = OB AB ⊥ (d ) 4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) I (d ),(Với I là trung điểm AB) 3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O Bài tập 5. Cho hàm số y tam giác vuông cân 2m x Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của x4 Gợi ý giải: + y ' = 4x − 4m x = 4x (x − m ) y ' = 2 x=0 x − m = (*) + Hàm số có ba điểm cực trị Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ۹ m + Gọi A(0;1), B(m; −m + 1),C (−m; −m + 1) là các điểm cực trị của đồ thị uuur + Tính: AB = (m; − m ) � AB = m + m uuur AC = (− m; −m ) � AC = m + m8 + Vì ∆ABC cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác vng cân khi và uuur uuur uuur uuur chỉ khi AB ⊥ AC � AB.AC = � −m + m = � m 2(m − 1) = m=0 m= + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m = Bài tập 6. Cho hàm số y = x + 2mx + m2 + m (1) , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −2 b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120o Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) b) + y ' = x3 + 4mx = x( x + m) ; y ' = x=0 x = − m (*) + Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 �m