SKKN: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số

Nội dung của đề tài bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các đề thi và được phân thành từng dạng. Trong quá trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớp để quý thầy, cô giáo có thể lựa chọn nội dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp.

Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số Chun đề: MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ A­ ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong q trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ơn tập, củng cố các  kiến thức và rèn luyện kỹ  năng giải tốn chuẩn bị  cho các kỳ  thi sắp đến là một cơng việc rất  quan trọng và cần thiết cho mỗi người thầy, cơ giáo. Nên mỗi một thầy, cơ giáo cần phải đổi  mới phương pháp dạy học, chọn lọc nội dung và tìm ra phương pháp giải tốn cho học sinh dễ  hiểu, dễ tiếp thu để kích thích học sinh hứng thú say mê, sáng tạo và tìm ra hướng giải quyết bài  tốn đó. Chúng ta cần phải chọn lọc nội dung trọng tâm, dung lượng kiến thức,  ứng dụng các   kiến thức đã học để giúp các em rèn luyện kỹ năng và tư duy để tìm ra phương pháp giải những  dạng tốn thường gặp trong các kỳ thi mà sách giáo khoa chưa đề cập đến nhiều Để  góp phần nhỏ  vào việc ơn tập mơn Tốn 12 cho học sinh, bản thân xin trình bày một   phần nội dung ơn tập: “Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số” Ta thường gặp một số “Bài tốn liên quan đến đồ thị hàm số” trong Bài 1 của các đề thi Tốt  nghiệp Trung học phổ thơng và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Đây là dạng tốn có liên quan đến   việc “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, là một trong những nội dung tốn học có tính   chất phát triển tư duy lơ­gic, hình thành kỹ năng thực hành và phát huy khả  năng vận dụng sáng   tạo vào thực tiễn cuộc sống sau này cho học sinh. Qua những năm giảng dạy nội dung này, tơi  nhận thấy kết quả học tập của đa số  học sinh chưa cao, khoảng trên 65% chưa đạt theo chuẩn.  Việc tìm hiểu ngun nhân và biện pháp khắc phục để nâng cao chất lượng học tập của học sinh   là thực sự cần thiết đối với mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy. Thực tế cho thấy:   – Khả năng phân tích bài tốn cịn lúng túng, kỹ năng tính tốn cịn chậm và thiếu chính xác – Liên hệ với những kiến thức ở lớp dưới cịn nhiều hạn chế – Thiếu chủ động, tư tưởng ngại khó khi gặp phải bài tốn phức tạp, nhiều dữ kiện ràng buộc – Đa số các em chỉ làm phần Khảo sát hàm số mà chưa làm được Bài tốn liên quan đến đồ thị Để giúp các em lấy được trọn vẹn điểm số của Bài 1 trong các Đề thi Tốt nghiệp Trung học   phổ thơng, cũng như Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng dưới đây xin đưa ra một số giải pháp   như sau: B­ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Việc trang bị cẩn thận cho học sinh những phương pháp cơ  bản, những kỹ  năng ban đầu là  rất cần thiết, củng cố được niềm tin và tạo cơ sở tiền đề cho các em tiếp tục phát huy khả năng  sáng tạo để có thể tự giải được các dạng tốn tương tự:  ­ Giảng dạy thật chu đáo các bài tốn cơ bản, chẳng hạn:   + Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số;   + Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số;   + Tìm tọa độ giao điểm của hai đường;   + Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong  ­ Hướng dẫn cho học sinh cách phân tích định hướng giải quyết bài tốn, biết quy lạ về quen ­ Đặc biệt cần hướng dẫn cho các em biết cách phân rã một bài tốn phức tạp thành những bài  tốn con đơn giản đã biết cách giải ­ Dành thời gian hợp lý để  học sinh tự  giải quyết được những bài toán tương đối đơn giản,   gây được sự tự tin và hứng thú học tập cho các em.  Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ  Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số ­ Sau khi học sinh tự giải được bài toán cơ  bản  ở trên, để  tiếp tục nâng cao năng lực tư  duy   cho các em, giáo viên có thể mở rộng, tăng độ phức tạp của bài tốn bằng cách:  Đưa vào tham số  và thêm những ràng buộc giữa các dữ kiện của bài tốn C­ Q TRÌNH THỰC HIỆN: Qua q trình giảng dạy, bản thân nhận thấy rằng: Để  một tiết ơn tập đạt chất lượng và   hiệu quả thiết thực thì học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, tích cực hoạt động tham gia xây dựng   bài học, người thầy phải chủ động vạch hướng giải quyết bằng cách hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi   ý, gợi mở  từng bước để  dẫn dắt các em tìm hướng giải và lời giải đúng, từ  đó các em mới có  hứng thú, say mê vào việc giải quyết bài tốn. Muốn vậy thì chúng ta phải chuẩn bị kỹ và tiến   hành các khâu sau: I./ Nghiên cứu nội dung cần ơn tập: ­ Nghiên cứu kỹ nội dung cần ơn tập, cần củng cố cho học sinh ­ Vạch ra phương án kiểm tra nội dung kiến thức chuẩn bị cho tiết ơn tập Trước khi ơn tập “Một số  bài tốn thường gặp về  đồ  thị  hàm số”  thì thầy, cơ giáo cần  dặn dị học sinh ơn tập trước các kiến thức đã học và kiến thức cơ bản có liên quan: + Định nghĩa điểm cực trị của hàm số; Điều kiện đủ để hàm số có cực trị + Đường tiệm cận của đồ thị và cách tìm phương trình của đường tiệm cận + Giao điểm và cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường + Khoảng cách và các cơng thức tính khoảng cách + Bất đẳng thức Cơ­si; Định lý Vi­ét và các ứng dụng  II./ Thành lập hệ thống các dạng bài tập ­ Cần thành lập hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao ­ Phân thành từng dạng bài tập có liên quan với nhau III./ Phân tiết dạy:  ­ Dựa vào tình hình thực tế giảng dạy, thời lượng ơn tập, năng lực tư duy của học sinh trong   lớp dạy để thầy, cơ giáo lựa chọn nội dung kiến thức, phân bổ  các dạng bài tập cụ thể  cho phù   hợp IV./ Chọn các bài tập mẫu: ­ Chọn ra các bài tập mẫu, trọng tâm thường gặp ở đề thi để tiến hành ơn tập trên lớp ­ Dựa theo trình độ của học sinh trong lớp dạy để chọn các bài tập trọng tâm, chọn bài tập   từ dễ đến khó, đầy đủ các dạng: V./ Chọn các bài tập tương tự: ­ Sau khi thầy, cơ giáo đã hướng dẫn ơn tập kiến thức thơng qua các bài tập mẫu thì chúng ta   tiếp tục cung cấp cho học sinh các bài tập tương tự để các em tự học, tự rèn luyện. Đây là yếu tố  rất cần thiết giúp học sinh tự củng cố kiến thức, phát huy tính độc lập, chủ động, tự tin làm bài.  ­ Trên cơ  sở  các bài tập mẫu học sinh   tự  lực, chủ  động rèn luyện phương pháp, kỹ  năng  giải, củng cố kiến thức đã thu nhận từ thầy, cơ giáo để từ đó các em tự giải quyết được các bài  tốn khác.  ­ Các bài tập tương tự này thầy, cơ giáo gợi ý hướng dẫn phương pháp và có thể cho đáp số  bài tốn để học sinh giải xong đối chiếu kết quả tìm được của mình D­ NỘI DUNG: Bao gồm hệ thống các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số, thường gặp trong các   đề  thi và được phân thành từng dạng. Trong q trình giảng dạy, tùy vào tình hình thực tế, thời  Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ  Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số lượng ơn tập, năng lực tư  duy của học sinh trong lớp để  q thầy, cơ giáo có thể  lựa chọn nội   dung kiến thức, các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp Phần 1: MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:  Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm  x0  và hàm số có đạo hàm tại điểm  x0  thì  f '( x0 ) = (Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó khơng có đạo hàm) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị  hàm số tại  (x0; f (x0 ))  song song hay trùng với trục hồnh Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.       a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm  x0  và có đạo hàm trên các khoảng  (a; x )  và  (x 0; b)  Khi đó:  Nếu  f '( x ) < 0, ∀x (a; x0 )  và  f '( x ) > 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm  x0  Nếu  f '( x ) > 0, ∀x ( a; x0 )  và  f '( x ) < 0, ∀x ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm  x0 (Chú ý: Khơng cần xét hàm số f(x) có hay khơng có đạo hàm tại điểm  x = x0 ) b.) Giả sử hàm số  f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm  x0 ,  f '( x0 ) =  và f(x)  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm  x0  Khi đó:  Nếu  f "( x0 ) <  thì hàm số đạt cực đại tại điểm  x0  Nếu  f "( x0 ) >  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm  x0 II BÀI TẬP Trước khi đi vào giải những bài tốn nâng cao kỹ  năng, để  kiểm tra tình hình nắm kiến   thức của học sinh, thầy cơ giáo có thể hỏi bài cũ với kiến thức cơ bản hoặc tương tự  như   sau: Bài 1.  Xác định  m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu:  a.)  y = x − 3x + mx + m − b.)  y = x − 2(m + 1)x − m c.)  y = x + 2mx + x −1 Gợi ý giải: a.)   +  y ' = 3x − 6x + m ;      y ' = � 3x − 6x + m =  (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt � ∆ ' = 9− 3m > � m < Vậy, với  m < 3 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu b.)  +  y ' = 4x − 4(m + 1)x = 4x (x − m − 1) Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ  Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số          y ' = � 4x (x − m − 1) = � x=0 x = m + (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác          � m + 1> � m > −1 Vậy, với  m < −1 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu c.)  x − 2x − 2m − x − 2x − 2m − =0  +  y ' = ;      y ' = � (x − 1)2 (x − 1)2 x                                                                x − 2x − 2m − 1= (*)       + Đặt:  g(x ) = x − 2x − 2m − + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác   ∆'> 2m + > m > −1 � � � �� �� � m > −1 −2m − � m −1 �g(1) � Vậy, với  m < −1 thì hàm số ln có cực đại và cực tiểu Bài 2. Cho hàm số:  y = x3 − mx + (m − m + 1) x +        � � Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.  Lưu ý:  Hàm số  y = ax + bx + cx + d ,(a 0)  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi   y '(x ) = y '(x ) =     (hoặc ) y ''(x0 ) < y ''(x0 ) > Sau đó thầy, cơ giáo cho học sinh ghi nhớ: Hàm số bậc ba:  y = ax + bx + cx + d , (a 0)  có cực trị khi và chỉ khi phương trình  y ' = 0 có  hai nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương:  y = ax + bx + c, (a 0)  có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương   trình  y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ax + bx + c Hàm số:  y = , (aa ' 0)  có cực trị khi và chỉ khi phương trình  y ' = 0 có hai nghiệm   a 'x + b ' phân biệt khác  − b' a' Để  tăng thêm những vướng mắc cho học sinh, giáo viên có thể  đưa vào tham số  hay những   ràng buộc dữ kiện của bài tốn Một vấn đề  phức tạp là tổ  hợp của nhiều vấn đề  đơn giản, một bài tốn khó là sự  kết nối   của nhiều bài tốn đơn giản. Chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản, rồi bằng óc phân tích và tổng   hợp chúng ta có thể  giải quyết được những bài tốn khó. Đứng trước một bài tốn phức tạp, có   nhiều ràng buộc học sinh thường lúng túng, khơng biết bắt đầu giải quyết từ đâu. Giáo viên cần   Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ  Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số phân tích và hướng dẫn cho các em biết cách phân rã bài tốn ban đầu thành những bài tốn con,   rà sốt lại những mạch kiến thức đã học có liên quan để giải quyết Bài tập 1. Cho hàm số   y mãn  x1 − x2 x mx mx  Xác định m để  hàm số  đạt cực trị  tại  x1 ,x2  thoả  4? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Điều kiện để hai điểm cực trị  x1 ,x2  thoả mãn  x1 − x2 Gợi ý giải: 2 *  y ' = x − 2mx + m ;      y ' = � x − 2mx + m = 0 (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt � ∆ ' > � m2 − m > � * Ta có:  x1 − x2 4  m1   (x1 ­ x ) �16 � ( x1 + x ) − 4x1x �16   (**) { x + x = 2m + Áp dụng định lý Vi­ét vào phương trình (*), ta có:  x11 x2 =2 m ­ 17 (**) � 4m2 − 4m �16 � m − m − �0 � + 17 m ­ 17 + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m   hoặc   m m + 17 Bài tập 2. Cho hàm số   y = x3 − 3mx − 3x + 3m +  có đồ thị là ( Cm )  Xác định m để đồ thị   ( Cm )  có  điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu; 2.) Điều kiện để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị nhỏ nhất Gợi ý giải: 2 *  y ' = x − 6mx − 3;     y ' = � x − 2mx − = 0,   (*) + Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt        � ∆ ' = m + 1> 0,∀m �R    Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số ln có hai điểm cực trị * Tìm tọa độ các điểm cực trị của  ( Cm ) : Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ  thị, khi đó hồnh   độ điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*).  Cách 1: Vì   A, B ( Cm ) nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:   A(m + m + 1; −2m − 2m m + − m + + 2) , B(m − m + 1; −2m3 + 2m m + 1+ m + + 2)  Cách 2: 3   ­ Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:  y = y '.( x − m) − (2m + 2) x + 2m +   Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ  Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số   ­ Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình:         y = − (2m2 + 2) x + 2m + (**) ­ Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có:     A(m + m + 1; −2m3 − 2m m + − m + + 2)  ,     B(m − m + 1; −2m3 + 2m m + 1+ m + + 2) uuur +  AB = (−2 m + 1;4m m + 1+ m + 1) � AB = (m + 1)(4m + 8m + 5) = (m + 1)[4(m + 1)2 + 1] �2 Cách 3:    ­ Gọi  x1, x2 là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có:     A(x1; −(2m + 2)x1 + 2m + 2) ,    B(x2; −(2m + 2)x + 2m + 2) � AB = (x2 − x1)2 + (2m + 2)2(x2 − x1)2 = (4m + 8m + 5)[(x2 + x1)2 − 4x1x2 ] x1 + x2 = 2m - Áp dụng định lý Vi­ét vào phương trình (*), ta có:  x x = ­1 � AB = (4m + 8m + 5)(4m + 4) = [4(m + 1)2 + 1](m + 1) +  ABmin = � m = + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả:  m = Giáo viên cho học sinh nhận xét: Việc thay hoành độ của A, B vào hàm số khá phức tạp, dễ   dẫn đến kết quả sai. Chỉ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình (*) có biệt thức là số   chính phương Bài tập 3.   Cho hàm số   y = x + mx + 12x +  Xác định m để  hàm số  có đường thẳng đi qua hai   điểm cực đại và cực tiểu vng góc với đường thẳng y = x ­7? Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số; 3.) Điều kiện để hai đường thẳng vng góc với nhau Gợi ý giải: *  y ' = 3x + 2mx + 12           y ' = � 3x + 2mx + 12 = 0 (*) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt � ∆ ' > � m − 36 > � m < −6 m>6 9 * Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng:  y = ( x + m).y '+ (8− m )x − m + Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xn Vĩ  Chun đề: Một số bài tốn thường gặp về đồ thị hàm số   Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình  y = (8− m )x − m + * Hai đường thẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng ­1 2 81 � 1.(8− m ) = −1� 8− m = −1� 81− 2m = � m = �m=� 9 2 + Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m = Bài tập 4.  Cho hàm số   y = x − 3(2m + 1) x + 6m ( m + 1) x +      (1)    Tìm m đê đơ thi ham sơ (1) co hai điêm c ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̉ ực tri đơi x ̣ ́ ứng nhau qua đường thăng (d): y = x + 2 ̉ Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài tốn con là: 1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị; 2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số; 3.) Điều kiện để hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng Gợi ý giải: *  y ' = x − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1)           y ' = � x − 6(2m + 1) x + 6m ( m + 1) =                    � x − (2m + 1) x + m ( m + 1) =   (*) + Vì  ∆ = > 0, ∀m  nên phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt  x = m, x = m + * Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có:  A(m;2m + 3m + 1) ,  B(m + 1;2m + 3m )    Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình:  y = − x + 2m3 + 3m + m + Có thể học sinh giải cách khác:    ­ Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng:  y = [ x − (2m + 1)].y' − x + 2m3 + 3m + m +     ­ Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt:  y = − x + 2m3 + 3m + m + Giáo viên lưu ý thêm cho học sinh: Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn  đến kết quả sai 2 * Gọi I là trung điểm của AB, ta có:  I (m + ;2m + 3m + ) + A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi:  AB ⊥ (d ) I (d(V ), ới I là trung điểm AB) Với mọi m đường thẳng AB ln vng góc với (d) I �(d ) � 2m + 3m + 1 = m + + � 2m + 3m − m − = � (m + 1)(2m + m − 2) = 2 m = −1                        m= −1 17 Giáo viên cho học sinh ghi nhớ:  1.) A và B cách đều đường thẳng (d)   � d ( A, d ) = d (B, d )             2.) A và B cách đều gốc tọa độ O   OA = OB Trường THPT Trường Chinh                                                                          Giáo viên: Nguy ễn Xuân Vĩ  Chuyên đề: Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số O AB OA = OB AB ⊥ (d )            4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)   I (d ),(Với I là trung điểm AB)             3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O   Bài tập 5. Cho hàm số   y tam giác vuông cân 2m x  Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của  x4 Gợi ý giải: +  y ' = 4x − 4m x = 4x (x − m )           y ' = 2 x=0 x − m = (*) + Hàm số có ba điểm cực trị  Phương trình (*) có  hai nghiệm phân biệt khác 0                                                ۹ m + Gọi  A(0;1), B(m; −m + 1),C (−m; −m + 1)  là các điểm cực trị của đồ thị uuur + Tính:  AB = (m; − m ) � AB = m + m uuur              AC = (− m; −m ) � AC = m + m8 + Vì  ∆ABC  cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ  thị  tạo thành một tam giác vng cân khi và   uuur uuur uuur uuur chỉ khi  AB ⊥ AC � AB.AC =                 � −m + m =    � m 2(m − 1) = m=0 m=           + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả:  m = Bài tập 6. Cho hàm số  y = x + 2mx + m2 + m    (1) , với  m  là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi  m = −2 b) Xác định  m  để  hàm số  (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị  của đồ  thị  tạo  thành một tam giác có góc bằng 120o Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) b)  +  y ' = x3 + 4mx = x( x + m) ;    y ' = x=0 x = − m    (*) + Hàm số  có 3 điểm cực trị  khi và chỉ  khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 �m