Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ A- ĐẶT VẤN ĐỀ:Trong quá trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ôn tập, củng cố các kiếnthức và rèn luyện kỹ năng giải

Chuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ A- ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình giảng dạy thì vấn đề tổ chức, hướng dẫn cho học sinh ôn tập, củng cố các kiếnthức và rèn luyện kỹ năng giải toán chuẩn bị cho các kỳ thi sắp đến là một công việc rất quan trọng

và cần thiết cho mỗi người thầy, cô giáo Nên mỗi một thầy, cô giáo cần phải đổi mới phương phápdạy học, chọn lọc nội dung và tìm ra phương pháp giải toán cho học sinh dễ hiểu, dễ tiếp thu để kíchthích học sinh hứng thú say mê, sáng tạo và tìm ra hướng giải quyết bài toán đó Chúng ta cần phảichọn lọc nội dung trọng tâm, dung lượng kiến thức, ứng dụng các kiến thức đã học để giúp các emrèn luyện kỹ năng và tư duy để tìm ra phương pháp giải những dạng toán thường gặp trong các kỳ thi

mà sách giáo khoa chưa đề cập đến nhiều

Để góp phần nhỏ vào việc ôn tập môn Toán 12 cho học sinh, bản thân xin trình bày một phần

nội dung ôn tập: “Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số”.

Ta thường gặp một số “Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số” trong Bài 1 của các đề thi Tốt

nghiệp Trung học phổ thông và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Đây là dạng toán có liên quan đếnviệc “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, là một trong những nội dung toán học có tính chấtphát triển tư duy lô-gic, hình thành kỹ năng thực hành và phát huy khả năng vận dụng sáng tạo vàothực tiễn cuộc sống sau này cho học sinh Qua những năm giảng dạy nội dung này, tôi nhận thấy kếtquả học tập của đa số học sinh chưa cao, khoảng trên 65% chưa đạt theo chuẩn Việc tìm hiểunguyên nhân và biện pháp khắc phục để nâng cao chất lượng học tập của học sinh là thực sự cầnthiết đối với mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy Thực tế cho thấy:

– Khả năng phân tích bài toán còn lúng túng, kỹ năng tính toán còn chậm và thiếu chính xác

– Liên hệ với những kiến thức ở lớp dưới còn nhiều hạn chế

– Thiếu chủ động, tư tưởng ngại khó khi gặp phải bài toán phức tạp, nhiều dữ kiện ràng buộc

– Đa số các em chỉ làm phần Khảo sát hàm số mà chưa làm được Bài toán liên quan đến đồ thị.

Để giúp các em lấy được trọn vẹn điểm số của Bài 1 trong các Đề thi Tốt nghiệp Trung học phổthông, cũng như Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng dưới đây xin đưa ra một số giải pháp như sau:

B- GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Việc trang bị cẩn thận cho học sinh những phương pháp cơ bản, những kỹ năng ban đầu là rất cầnthiết, củng cố được niềm tin và tạo cơ sở tiền đề cho các em tiếp tục phát huy khả năng sáng tạo để

có thể tự giải được các dạng toán tương tự:

- Giảng dạy thật chu đáo các bài toán cơ bản, chẳng hạn:

+ Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số;

+ Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số;

+ Tìm tọa độ giao điểm của hai đường;

+ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong

- Hướng dẫn cho học sinh cách phân tích định hướng giải quyết bài toán, biết quy lạ về quen

- Đặc biệt cần hướng dẫn cho các em biết cách phân rã một bài toán phức tạp thành những bàitoán con đơn giản đã biết cách giải

- Dành thời gian hợp lý để học sinh tự giải quyết được những bài toán tương đối đơn giản, gâyđược sự tự tin và hứng thú học tập cho các em

- Sau khi học sinh tự giải được bài toán cơ bản ở trên, để tiếp tục nâng cao năng lực tư duy cho

các em, giáo viên có thể mở rộng, tăng độ phức tạp của bài toán bằng cách: Đưa vào tham số và

thêm những ràng buộc giữa các dữ kiện của bài toán

C- QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:

Qua quá trình giảng dạy, bản thân nhận thấy rằng: Để một tiết ôn tập đạt chất lượng và hiệuquả thiết thực thì học sinh phải biết tư duy, sáng tạo, tích cực hoạt động tham gia xây dựng bài học,người thầy phải chủ động vạch hướng giải quyết bằng cách hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi ý, gợi mởtừng bước để dẫn dắt các em tìm hướng giải và lời giải đúng, từ đó các em mới có hứng thú, say mêvào việc giải quyết bài toán Muốn vậy thì chúng ta phải chuẩn bị kỹ và tiến hành các khâu sau:

I./ Nghiên cứu nội dung cần ôn tập:

- Nghiên cứu kỹ nội dung cần ôn tập, cần củng cố cho học sinh

- Vạch ra phương án kiểm tra nội dung kiến thức chuẩn bị cho tiết ôn tập

Trước khi ôn tập “Một số bài toán thường gặp về đồ thị hàm số” thì thầy, cô giáo cần dặn dò

học sinh ôn tập trước các kiến thức đã học và kiến thức cơ bản có liên quan:

+ Định nghĩa điểm cực trị của hàm số; Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

+ Đường tiệm cận của đồ thị và cách tìm phương trình của đường tiệm cận

+ Giao điểm và cách tìm tọa độ giao điểm của hai đường

+ Khoảng cách và các công thức tính khoảng cách

+ Bất đẳng thức Cô-si; Định lý Vi-ét và các ứng dụng

II./ Thành lập hệ thống các dạng bài tập.

- Cần thành lập hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao

- Phân thành từng dạng bài tập có liên quan với nhau

III./ Phân tiết dạy:

- Dựa vào tình hình thực tế giảng dạy, thời lượng ôn tập, năng lực tư duy của học sinh trong lớpdạy để thầy, cô giáo lựa chọn nội dung kiến thức, phân bổ các dạng bài tập cụ thể cho phù hợp

IV./ Chọn các bài tập mẫu:

- Chọn ra các bài tập mẫu, trọng tâm thường gặp ở đề thi để tiến hành ôn tập trên lớp

- Dựa theo trình độ của học sinh trong lớp dạy để chọn các bài tập trọng tâm, chọn bài tập từ dễđến khó, đầy đủ các dạng:

V./ Chọn các bài tập tương tự:

- Sau khi thầy, cô giáo đã hướng dẫn ôn tập kiến thức thông qua các bài tập mẫu thì chúng ta

tiếp tục cung cấp cho học sinh các bài tập tương tự để các em tự học, tự rèn luyện Đây là yếu tố rấtcần thiết giúp học sinh tự củng cố kiến thức, phát huy tính độc lập, chủ động, tự tin làm bài

- Trên cơ sở các bài tập mẫu học sinh tự lực, chủ động rèn luyện phương pháp, kỹ năng giải,củng cố kiến thức đã thu nhận từ thầy, cô giáo để từ đó các em tự giải quyết được các bài toán khác

- Các bài tập tương tự này thầy, cô giáo gợi ý hướng dẫn phương pháp và có thể cho đáp số bàitoán để học sinh giải xong đối chiếu kết quả tìm được của mình

Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì f x '( ) 0.0

(Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm)

Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x 0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm

số tại ( ; ( ))x f x0 0 song song hay trùng với trục hoành.

2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

0

( ; )a x và ( ; )x b0 Khi đó:

 Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,  x ( ; )x b0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f x'( ) 0,  x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,  x ( ; )x b0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0

(Chú ý: Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x x 0)

đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó:

 Nếu f x "( ) 00 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

 Nếu f x "( ) 00 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Lưu ý: Hàm số y ax 3bx2cx d a ,( 0) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi0

Sau đó thầy, cô giáo cho học sinh ghi nhớ:

Hàm số bậc ba: y ax 3bx2cx d , (a0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có

hai nghiệm phân biệt.

Hàm số trùng phương: y ax 4bx2c, (a0) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có ba nghiệm phân biệt.

và hướng dẫn cho các em biết cách phân rã bài toán ban đầu thành những bài toán con, rà soát lại những mạch kiến thức đã học có liên quan để giải quyết.

+ Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:  1 2 2

1 + 172

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của 2 bài toán con là:

1.) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu;

2.) Điều kiện để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị nhỏ nhất.

Gợi ý giải:

* y' 3  x2  6mx 3; ' 0y   x2  2mx 1 0, (*) 

+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

  ' m2 1 0, m R

Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số luôn có hai điểm cực trị.

* Tìm tọa độ các điểm cực trị của C m: Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị, khi đó hoành độđiểm A, B là các nghiệm của phương trình (*)

Cách 1: Vì A B, C m nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:

- Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:  12

+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m =0

Giáo viên cho học sinh nhận xét: Việc thay hoành độ của A, B vào hàm số khá phức tạp, dễ dẫn

đến kết quả sai Chỉ áp dụng cách này trong trường hợp phương trình (*) có biệt thức là số chính phương.

cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x -7?

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:

1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;

2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;

3.) Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2.

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:

1.) Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị;

2.) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số;

3.) Điều kiện để hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng.

Gợi ý giải:

* y' 6 x2 6(2m1)x6m m 1

y' 0  6x2 6(2m1)x6m m 1 0

 x2 (2m1)x m m  1 0 (*)

+ Vì   1 0,m nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x m x m ,   1

* Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có: A m m( ;2 33m21), B m( 1;2m33 )m2

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình:

m m

2.) A và B cách đều gốc tọa độ O  OA = OB.

3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O O AB

y Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam

giác vuông cân

(Với I là trung điểm AB)

(Với I là trung điểm AB)

0

1

m m





  

+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m 1.

2

y x  mx m m (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 2

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thànhmột tam giác có góc bằng 120 

Gợi ý giải:

a) (Học sinh tự giải)

b) + y' 4 x34mx4 (x x2m); 2

0' 0

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0

+ Gọi A m(0; 2 m B), ( m m C; ), ( m m; ) là các điểm cực trị của đồ thị

Bài tập 7 Cho hàm số y x 42mx2 m1 (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thànhmột tam giác có diện tích bằng 4 2

Gợi ý giải:

a) (Học sinh tự giải)

b) + y' 4 x34mx4 (x x2m); 2

0' 0

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m 0

+ Gọi A(0;m 1), (B m m; 2 m 1), (C  m m; 2 m 1) là các điểm cực trị của đồ thị

+ Vì ABC cân tại A nên gọi I là trung điểm BC khi đó IA là đường cao

y x  mx m (1) , với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thànhmột tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

1 5 2

m m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác

+ ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC

+ Đối chiếu điều kiện để kết luận: m 3 3

Phần 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

+ Đường thẳng (d) cắt đồ thị ( )C m tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2

nghiệm phân biệt khác 0

Vậy, giá trị cần tìm là: m  3 hoặc m 1.

y x mx   m x m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm

phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của những bài toán con là:

1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;

2.) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt.

x (H) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m Xác định m để (d) cắt (H):

a.) tại 2 điểm phân biệt;

b.) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (H)

 Phương trình (**) có 2 nghiệm t t thỏa mãn 1 2, t10t2

 3 0 m 0

m

+ Vậy, giá trị cần tìm là: m 0

Bài tập 4 Cho hàm số y x 3 2(m1)x2(m 2)x m 3 (1), m là tham số thực Xác định m để đồ

thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x sao cho1, ,2 3

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của hai bài toán con là:

1.) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt;

b) Tìm m để đường thẳng ( ) : y x 4 cắt đồ thị ( )C m tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho tam

giác MBC có diện tích bằng 4, với M(1;3), điểm B và C có hoành độ khác 0

+ 1 2 2 2 2

32

1

x y x

Bài tập 8 Cho hàm số y x 4 2x2 2 Xác định m để đường thẳng y m cắt (C) tại 4 điểm A, B, C,

D sao cho hoành độ của chúng lập thành một cấp số cộng

 Tìm m để đường thẳng (d): y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

Suy ra, với mọi m phương trình (*) luôn có hai nghiệm x x nên đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (C)1, 2

tại hai điểm phân biệt

b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ

thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

Bài 3 (ĐH 2010-A) Cho hàm số y  y x 3 2x2(1 m x m)  (1), m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1.

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thoả1; ;2 3

b) Tìm m để hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số yx3  3mx2  2m(m 4 )x 9m2  m cắt trục Ox tại 3 điểm tạo thành

1 cấp số cộng

a.) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

b.) Xác định m để đường thẳng ( ) :d y x 4 cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B và Csao cho tam giác BCM có diện tích bằng 8 2, với M(1;3)?

1

x x



 (C)a) Khảo sát hàm số

b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m Xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho I là trung điểm của đoạn AB Đáp số: m = 2/3

1

1 2

H x

x y





a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H)

b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm A( 2 ; 5 ) tạothành tam giác đều

Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN

y (Cm) Xác định m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm)

với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8

Hướng dẫn: Có thể xem đây là sự kết hợp của các bài toán con là:

1.) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung;

2.) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại một điểm;

3.) Tìm giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ;

4.) Xác định m để diện tích tam giác bằng 8.

Gợi ý giải:

+ Gọi B là giao điểm của (C m) với trục Oy, ta có: B(0;m1)

+ Phương trình tiếp tuyến với (C m) tại B:

2

y  x  m y m là hệ số góc

Phương trình tiếp tuyến là: ym x(  0) m1 hay ymx m 1

+ Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, ta có: A(1 m;0)

x y



a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B saocho tam giác OAB có diện tích bằng 41

2

( 1)

m B

m 

2 2

2

2,

OAB

S   OA OB

2 2

2

m m m

  4m4 (m1)2  (2m2m1)(2m2 m 1) 0