1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị I là trung điểm AB.C của hàm số... 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị I là trung điểm AB.C của hàm số.. 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị I l
Trang 1KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Kiến thức cơ bản:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (x B x A)2 (y B y A)2
2) Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 0 đến đường thẳng : ax by c 0 :
ax by c
d M d
a b
Đặc biệt: + Nếu : x a thì d M( , ) x0 a
+ Nếu : y b thì d M( , ) y0 b
+ Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x0 y0 3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC. .sinA 1 AB AC2. 2 AB AC. 2
4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I IA IB 0
A B I
y y 22y
5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng AB
I
(I là trung điểm AB).I là trung điểm AB)
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox B A
+ A, B đối xứng nhau qua trục Ox B A
6) Khoảng cách giữa đường thẳng với đường cong (I là trung điểm AB).C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M và một điểm N (I là trung điểm AB).C)
7) Điểm M x y( ; ) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x y, đều là số nguyên.
Trang 2Câu 1. Cho hàm số y x3 3x 2 (I là trung điểm AB).C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(I là trung điểm AB).–1; 3)
Gọi Gọi Gọi A x y 0 0; , Gọi B Gọi là Gọi điểm Gọi đối Gọi xứng Gọi với Gọi A Gọi qua Gọi điểm Gọi M( 1;3) B 2 x0;6 y0
A B C, ( ) Gọi y x x
3
3
x30 x0 x0 3 x0 x20 x0
Gọi Gọi x0 1 y0 0
Vậy Gọi 2 Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm Gọi là: Gọi ( 1;0) Gọi và Gọi ( 1;6)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung
Gọi Hai Gọi điểm Gọi M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 C Gọi đối Gọi xứng Gọi nhau Gọi qua Gọi Oy Gọi Gọi x x
y21 y21
0
Gọi
0
Gọi Gọi x
x21
3 3
Gọi hoặc Gọi x
x12
3 3
Gọi
Vậy Gọi hai Gọi điểm Gọi thuộc Gọi đồ Gọi thị Gọi (C) Gọi và Gọi đối Gọi xứng Gọi qua Gọi Oy Gọi là: Gọi M 3;16 ,N 3;16
Câu 3. Cho hàm số yx3 3x 2 (I là trung điểm AB).C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên (I là trung điểm AB).C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: 2x y 2 0
Gọi Gọi Gọi M x y N x y 1 1; ; 2 2; Gọi thuộc Gọi (C) Gọi là Gọi hai Gọi điểm Gọi đối Gọi xứng Gọi qua Gọi đường Gọi thẳng Gọi d Gọi
I Gọi là Gọi trung Gọi điểm Gọi của Gọi AB Gọi nên Gọi x x y y
I 1 2 ; 1 2
, Gọi ta Gọi có Gọi I d
Có: Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi y y x13 x1 x23 x2 x x
Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi x x x x x x x x x x x x
x x x x
0
1
Mặt Gọi khác: Gọi MN d x2 x1.1 y2 y1.2 0 Gọi
x2 x1 x2 x1 x12 x x1 2 x22 x12 x x1 2 x22 7
2
- Gọi Xét Gọi x1x2 0 x1 7;x2 7
- Gọi Xét Gọi x x x x x x
9 1
4
Gọi vô Gọi nghiệm
Vậy Gọi 2 Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm Gọi là: Gọi 7;2 1 7 ; 7;2 1 7
Trang 3Câu 4. Cho hàm số y 1x3 x2 3x 5
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Gọi A, B là các giao điểm của (I là trung điểm AB).C) với trục Ox Chứng minh rằng trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) tồn tại
hai điểm cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
Gọi PT Gọi hoành Gọi độ Gọi giao Gọi điểm Gọi của Gọi (C) Gọi với Gọi trục Gọi hoành: Gọi Gọi x x x x
x
5
Gọi A( 5;0), (1;0) B Gọi Gọi Gọi M a a;1 3 a2 3a 5 ( ),C M A B,
Gọi AM a 5;1a3 a2 3a 5
, Gọi BM a 1;1a3 a2 3a 5
AM BM AM BM 0
Gọi Gọi (a 5)(a 1) 1(a 5) (2 a 1)4 0
9
Gọi
Gọi 1 1(a 1) (3 a 5) 0
9
Gọi a4 2a3 12a2 14a 4 0 (*)
Đặt Gọi y a 4 2a3 12a2 14a 4 0, Gọi có Gọi tập Gọi xác Gọi định Gọi D Gọi = Gọi R.
y 4a3 6a2 12a 14; Gọi y 0 Gọi có Gọi 1 Gọi nghiệm Gọi thực Gọi a0 7 y0 2043
Dựa Gọi vào Gọi BBT Gọi ta Gọi suy Gọi ra Gọi (*) Gọi luôn Gọi có Gọi 2 Gọi nghiệm Gọi khác Gọi 1 Gọi và Gọi –5.
Vậy Gọi luôn Gọi tồn Gọi tại Gọi 2 Gọi điểm Gọi thuộc Gọi (C) Gọi cùng Gọi nhìn Gọi đoạn Gọi AB Gọi dưới Gọi một Gọi góc Gọi vuông.
Câu 5. Cho hàm số y x 4 2x2 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (I là trung điểm AB).C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (I là trung điểm AB).C) đến đường thẳng PQ bằng 8
Gọi Điểm Gọi cực Gọi đại Gọi của Gọi (C) Gọi là Gọi A(0;1) Gọi PT Gọi đường Gọi thẳng Gọi PQ Gọi có Gọi dạng: Gọi y m m ( 0).
Vì Gọi d A PQ( , ) 8 Gọi nên Gọi m 9 Gọi Khi Gọi đó Gọi hoành Gọi độ Gọi các Gọi điểm Gọi P, Gọi Q Gọi là Gọi nghiệm Gọi của Gọi phương Gọi trình:
x4 2x2 8 0 x 2.
Vậy: Gọi P( 2;9), (2;9) Q Gọi hoặc Gọi Gọi P(2;9), ( 2;9)Q .
Câu 6. Cho hàm số y x 4mx2 m 1 (I là trung điểm AB).Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số khi m = –2.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (I là trung điểm AB).Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B Tìm m
để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau
Gọi Hai Gọi điểm Gọi cố Gọi định Gọi A(1; Gọi 0), Gọi B(–1; Gọi 0) Gọi Ta Gọi có: Gọi y 4x3 2mx
Gọi Các Gọi tiếp Gọi tuyến Gọi tại Gọi A Gọi và Gọi B Gọi vuông Gọi góc Gọi với Gọi nhau Gọi Gọi y (1) ( 1)y 1 Gọi Gọi (4 2 ) m 2 1 Gọi
Gọi m 3;m 5
x
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm những điểm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) cách đều hai điểm A(I là trung điểm AB).2; 0) và B(I là trung điểm AB).0; 2)
Gọi PT Gọi đường Gọi trung Gọi trực Gọi đọan Gọi AB: Gọi y x .
Những Gọi điểm Gọi thuộc Gọi đồ Gọi thị Gọi cách Gọi đều Gọi A Gọi và Gọi B Gọi có Gọi hoành Gọi độ Gọi là Gọi nghiệm Gọi của Gọi PT:
x
2
Gọi Gọi x2 x 1 0 x 1 5;x 1 5
Trang 4Hai Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm Gọi là: Gọi 1 5 1, 5 ; 1 5 1, 5
x
2
(I là trung điểm AB).C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm các điểm thuộc (I là trung điểm AB).C) cách đều 2 tiệm cận
Gọi Gọi Gọi M x y( ; ) Gọi (C) Gọi và Gọi cách Gọi đều Gọi 2 Gọi tiệm Gọi cận Gọi x Gọi = Gọi 2 Gọi và Gọi y Gọi = Gọi 3.
Ta Gọi có: Gọi x y x x x x
x x
1
2
Vậy Gọi có Gọi 2 Gọi điểm Gọi thoả Gọi mãn Gọi đề Gọi bài Gọi là Gọi : Gọi M 1 ( Gọi 1; Gọi 1) Gọi và Gọi M 2 (4; Gọi 6)
x
1
(I là trung điểm AB).C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên (I là trung điểm AB).C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (I là trung điểm AB).C) nhỏ nhất
Gọi Gọi Gọi M x y( ; )0 0 Gọi (C), Gọi ( x0 1) Gọi Gọi thì Gọi x
y
0
Gọi Gọi A, Gọi B Gọi lần Gọi lượt Gọi là Gọi hình Gọi chiếu Gọi của Gọi M Gọi trên Gọi TCĐ Gọi và Gọi TCN Gọi thì:
x
0
1
1
Áp Gọi dụng Gọi BĐT Gọi Cô-si Gọi ta Gọi có: Gọi MA MB MA MB x
x
0 0
1
1
Gọi MA Gọi + Gọi MB Gọi nhỏ Gọi nhất Gọi bằng Gọi 2 Gọi khi Gọi x x
x
0
0 0
0 1
1
Gọi Vậy Gọi ta Gọi có Gọi hai Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm Gọi là Gọi (0; Gọi 1) Gọi và Gọi (–2; Gọi 3).
Câu Gọi hỏi Gọi tương Gọi tự:
a) Gọi y x
x
1
ĐS: Gọi x0 1 3 b) Gọi y x
x
2
ĐS: Gọi M(1;2), (3;4)M
x
1
(I là trung điểm AB).C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (I là trung điểm AB).C) để tiếp tuyến của (I là trung điểm AB).C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích các hệ số góc bằng –9
Gọi Giao Gọi điểm Gọi 2 Gọi tiệm Gọi cận Gọi là Gọi I( 1;2) Gọi
M I
+ Gọi Hệ Gọi số Gọi góc Gọi của Gọi tiếp Gọi tuyến Gọi tại Gọi M: Gọi
M
k y x
x
0
3 ( )
1
+ Gọi YCBT Gọi k k M IM 9 Gọi Gọi x
x00
0 2
Gọi Vậy Gọi có Gọi 2 Gọi điểm Gọi M Gọi thỏa Gọi mãn: Gọi M(0; Gọi –3) Gọi và Gọi M(–2; Gọi 5)
x
2 1
Trang 51) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số.
2) Tìm điểm M trên (I là trung điểm AB).C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x y: 2 2 0 bằng
k 6 5
5
Gọi Gọi Gọi M m m C
m
2
1
Gọi Ta Gọi có: Gọi d M d( , ) 6 5 2m2 3m 4 6m 1
5
Gọi
Gọi m 2;m 5;m 2;m 1
Gọi Gọi M(2;4);M 5;3 ; ( 2;0);M M 1; 5
Câu Gọi hỏi Gọi tương Gọi tự:.
a) Gọi y x d x y k
x
3 1; : 3 4 1 0; 12
ĐS: Gọi M(1; 2);M 16 15; ;M 2;7 ;M 11;6
x
1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm điểm M trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d x: 4y 8 0
là ngắn nhất
Gọi Gọi Gọi Gọi là Gọi tiếp Gọi tuyến Gọi của Gọi (C) Gọi song Gọi song Gọi với Gọi d Gọi
Gọi PTTT Gọi của Gọi (C) Gọi là Gọi y x
4 4
Gọi hoặc Gọi y x
4 4
Gọi Các Gọi tiếp Gọi điểm Gọi tương Gọi ứng: Gọi M1 1;3 ,M2 3;5
Gọi Ta Gọi tính Gọi được Gọi d M( , )1 d M( 2, ) .
Gọi M1 1;3
2
Gọi là Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm.
Cách Gọi 2: Gọi Giả Gọi sử Gọi M x x C
x
1
Gọi Tính Gọi f d M d ( , ) Gọi Sử Gọi dụng Gọi phương Gọi pháp Gọi hàm Gọi số Gọi để Gọi tìm
f
min Gọi
x
1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm tọa độ điểm M (I là trung điểm AB).C) sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2) tới tiếp tuyến của (I là trung điểm AB).C) tại
M là lớn nhất
Gọi Giả Gọi sử Gọi M x C
x
0 0
3
1
Gọi PTTT Gọi Gọi của Gọi (C) Gọi tại Gọi M Gọi Gọi là:
1 ( 1)
Gọi Gọi 3(x x 0) ( x0 1) (2 y 2) 3( x0 1) 0
Khoảng Gọi cách Gọi từ Gọi I( 1;2) Gọi tới Gọi tiếp Gọi tuyến Gọi Gọi là:
d
x
x
0
0
9
9 ( 1)
( 1)
Gọi
Theo Gọi BĐT Gọi Cô–si: Gọi x
x
2 0 2 0
( 1) Gọi Gọi d 6 Gọi Gọi Khoảng Gọi cách Gọi d Gọi lớn Gọi nhất Gọi bằng Gọi 6 Gọi khi Gọi Gọi x x x
x
2 0
Trang 6Gọi Gọi Gọi Gọi Gọi Vậy Gọi có Gọi hai Gọi điểm Gọi cần Gọi tìm Gọi là: Gọi M 1 3;2 3 Gọi Gọi hoặc Gọi M 1 3;2 3
x
1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên (I là trung điểm AB).C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(I là trung điểm AB).–3; 0) và N(I là trung điểm AB).–1; –1)
Gọi MN (2; 1)
Gọi Gọi Phương Gọi trình Gọi MN: Gọi x 2y 3 0 Phương Gọi trình Gọi đường Gọi thẳng Gọi Gọi (d) Gọi Gọi MN Gọi có Gọi dạng: Gọi y 2x m .
Phương Gọi trình Gọi hoành Gọi độ Gọi giao Gọi điểm Gọi của Gọi (C) Gọi và Gọi (d):
x
1
Gọi Gọi 2x2mx m 4 0 (x 1) (1)
(d) Gọi cắt Gọi (C) Gọi tại Gọi hai Gọi điểm Gọi phân Gọi biệt Gọi A, Gọi B Gọi Gọi m2 8m 32 0 (2)
Khi Gọi đó Gọi A x x( ;21 1m B x), ( ;22 x2m) Gọi với Gọi x x1, 2 Gọi là Gọi các Gọi nghiệm Gọi của Gọi (1)
Trung Gọi điểm Gọi của Gọi AB Gọi là Gọi x x
; 2
I m m;
4 2
Gọi (theo Gọi định Gọi lý Gọi Vi-et)
A, Gọi B Gọi đối Gọi xứng Gọi nhau Gọi qua Gọi MN Gọi Gọi I Gọi Gọi MN Gọi Gọi m 4 Gọi
Suy Gọi ra Gọi (1) Gọi Gọi x x x
x
2 4 0 2
Gọi Gọi A(0; Gọi –4), Gọi B(2; Gọi 0).
x
2 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(I là trung điểm AB).2; 0)
Gọi Ta Gọi có Gọi C y
x
2 ( ) : 2
1
Gọi Gọi Gọi B b C c
Gọi Gọi với Gọi b 1 c Gọi Gọi H, Gọi K Gọi lần Gọi lượt Gọi là Gọi hình Gọi chiếu Gọi của Gọi B, Gọi C Gọi lên Gọi trục Gọi Ox.
Ta Gọi có: Gọi AB AC BAC ; 900 CAK BAH 900 CAK ACK BAH ACK
và: Gọi BHA CKA ABH CAK AH CK
HB AK
0
Hay: Gọi Gọi b c b
c c
b
2
1 1
1
Gọi Vậy Gọi Gọi B( 1;1), (3;3) C
x
3 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên hai nhánh của đồ thị (I là trung điểm AB).C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất
Gọi Tập Gọi xác Gọi định Gọi D Gọi = Gọi R {\ 1} Gọi Tiệm Gọi cận Gọi đứng Gọi x 1.
Giả Gọi sử Gọi A a B b
Gọi (với Gọi a 0,b 0) Gọi là Gọi 2 Gọi điểm Gọi thuộc Gọi 2 Gọi nhánh Gọi của Gọi (C)
2
B
A
C
Trang 7AB Gọi nhỏ Gọi nhất Gọi Gọi
ab
4 4
Khi Gọi đó: Gọi A 1 44;1 464 , B 1 44;1 464.
Câu Gọi hỏi Gọi tương Gọi tự:
a) Gọi y x
x
3
ĐS: Gọi A3 3;4 3 , B3 3;4 3
x
1 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (I là trung điểm AB).C) của hàm số
2) Tìm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d y x: .
Gọi PT Gọi đường Gọi thẳng Gọi AB Gọi có Gọi dạng: Gọi yx m Gọi PT Gọi hoành Gọi độ Gọi giao Gọi điểm Gọi của Gọi (C) Gọi và Gọi AB:
x
1
2
Gọi Gọi g x( ) x2 (m 3)x 2m 1 0 (1) (x 2)
Để Gọi có Gọi 2 Gọi điểm Gọi A, Gọi B Gọi thì Gọi (1) Gọi phải Gọi có Gọi 2 Gọi nghiệm Gọi phân Gọi biệt Gọi khác Gọi 2 Gọi Gọi g g
0 (2) 0
Gọi m m
2
( 3) 4(2 1) 0
4 ( 3).2 2 1 0
Gọi Gọi m Gọi
Ta Gọi có: Gọi A B
A B
3
Gọi Mặt Gọi khác Gọi y A x Am y; B x Bm
Do Gọi đó: Gọi AB Gọi = Gọi 4 Gọi Gọi (x B x A)2 (y B y A)2 16 Gọi Gọi m2 2m 3 0 Gọi Gọi m
m 31
+ Gọi Với Gọi m 3 , Gọi thay Gọi vào Gọi (1) Gọi ta Gọi được: Gọi x x x y
Gọi A(3 2; 2), (3B 2; 2) Gọi hoặc Gọi A(3 2; 2), (3B 2; 2)
+ Gọi Với Gọi m 1, Gọi thay Gọi vào Gọi (1) Gọi ta Gọi được: Gọi x x x y
Gọi A(1 2; 2 2); (1B 2; 2 2) Gọi hoặc Gọi Gọi A(1 2; 2 2); (1B 2; 2 2)
x
2
có đồ thị (I là trung điểm AB).C)
Tìm tất các các điểm trên (I là trung điểm AB).C) có toạ độ nguyên
Gọi Ta Gọi có: Gọi y x
x
Gọi Điểm Gọi M x y( ; ) ( ) C Gọi có Gọi toạ Gọi độ Gọi nguyên Gọi Gọi
x Z
x
Gọi
x Z
x x
x
53
53
Gọi Gọi
x Z
Z x x
x
53
53
Gọi Gọi
x Z
x
x
53
Gọi x y
x 09 y 144
Gọi Vậy Gọi có Gọi hai Gọi điểm Gọi thoả Gọi YCBT: Gọi (0;14), ( 9; 4) .
Trang 8Câu 19. Cho hàm số y x x
x
2
có đồ thị (I là trung điểm AB).C)
Tìm những cặp điểm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) đối xứng nhau qua điểm I 1 ;1
2
Gọi Gọi Gọi M x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 N x y2 2 C Gọi đối Gọi xứng Gọi nhau Gọi qua Gọi điểm Gọi I 1 ;1
2
Khi Gọi đó Gọi ta Gọi có: Gọi x x x x N x y
Vì Gọi M x y N x y( ; ), ( ; ) ( )1 1 2 2 C Gọi nên Gọi ta Gọi có: Gọi
y
x
x x y
x
2
1
1 2
1
1
2 4 2
1
Gọi Gọi x y
x11 3;2;y11 6 4
Vậy Gọi trên Gọi (C) Gọi có Gọi đúng Gọi một Gọi cặp Gọi điểm Gọi thoả Gọi YCBT: Gọi M( 2; 4), (3;6) N
x
1
có đồ thị (I là trung điểm AB).C)
Tìm những cặp điểm trên đồ thị (I là trung điểm AB).C) đối xứng nhau qua đường thẳng d:16x17y33 0
Gọi ĐS: Gọi A 5; 21 ,B 3;13
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com