Chuyờn luyn thi i hoc. Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch BI TON KHONG CCH TRONG CU HI PH CA TH HM S. Trong cỏc thi i hc-cao ng, cõu hi liờn quan ti th hm s luụn l bi toỏn khú i vi a s hc sinh do phm vi ca ni dung cõu hi l khỏ rng, tớch hp nhiu kin thc ca chng 1 gii tớch lp 12 v gii c n kt qu cui cựng thỡ hc sinh cn thụng tho kin thc t lp di nh kh nng bin lun trng hp, gii phng trỡnh, chng minh bt ng thc,dựng nh lý Viet, s dng kin thc hỡnh hc phng lm tt cõu hi ny, cỏc em cn phõn dng cỏc bi tp, sau ú rốn luyn cỏc bi tp mang tớnh tng hp ca chng v tt nhiờn cỏc kin thc liờn quan núi trờn phi c mi gia mt cỏch thnh tho.Sau õy tụi xin cp n dng BI TON KHONG CCH TRONG CU HI PH CA TH HM S. I. Lí THUYT 1. Cho hai im ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 ; ; ; A x y B x y AB x x y y ị = - + - . 2. Cho im ( ) 0 0 ; M x y v ng thng d : Ax +By+C=0 , thỡ khong cỏch t M n d : ( ) 0 0 2 2 Ax ; By C h M d A B + + = + 3. Khong cỏch t ( ) 0 0 ; M x y n tim cn ng : x=a l 0 h x a = - 4. Khong cỏch t ( ) 0 0 ; M x y n tim cn ngang : y=b l : 0 h y b = - 5. Chỳ ý : Hai im A v B thng l hai im cc i , cc tiu hoc l giao ca mt ng thng vi mt ng cong (C) no ú . Vỡ vy trc khi ỏp dng cụng thc , ta nht thit phi tỡm ta ca chỳng ( Tỡm iu kin tn ti A v B ) - Nh iu kin tn ti hai im cc tr cho hm phõn thc v hm a thc - Khi tỡm giao hai ng : Lp phng trỡnh honh im chung , sau ú tỡm iu kin cho phng trỡnh cú hai nghim phõn bit II. VN DNG: Dng 1: Cho hm s y=f(x) dng phõn thc cú th (C) . Hóy tỡm trờn (C) hai im A v B thuc 2 nhỏnh khỏc nhau sao cho khong cỏch AB ngn nht . CCH GII - Gi s (C) cú tim cn ng : x=a . Do tớnh cht ca hm phõn thc , th nm v hai phớa ca tim cn ng . Cho nờn gi hai s , a b l hai s dng - Nu A thuc nhỏnh trỏi ( ) A A x a x a a C a < ị = - < ẻ , v - B thuc nhỏnh phi ( ) B B x a x a a C b > ị = + > ẻ - Tớnh : ( ); ( ) A A B B y f x y f x = = ; Sau ú tớnh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B A B A B A AB x x y y b a y y b a = - + - = + - - + -ộ ự ở ỷ - Khi ú AB cú dng : ( ) 2 ; ; . AB g a b a b a b = + + ộ ự ở ỷ . p dng bt ng thc Cụ-si , ta cú kt qu cn tỡm . Chuyờn luyn thi i hoc. Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch Vớ d 1. Cho hm s ( ) 3 6 1 3 3 x y C x x + = = + - - Tỡm trờn (C) hai im A,B thuc hai nhỏnh khỏc nhau sao cho AB ngn nht . GII Gi A thuc nhỏnh trỏi 3 A x < ị vi s 0 a > , t ( ) 6 6 6 3 3 1 1 1 1 3 3 3 A A A x y x a a a = - < = + = + = - - - - - Tng t B thuc nhỏnh phi x B > 3, vi s b >0 , t : ( ) 6 6 6 3 ; 1 1 1 2 3 3 3 B B B x y x b b b = + ị = + = + = + - + - Vy : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 6 6 3 3 1 1 B A B A AB x x y y b a b a ộ ự ổ ử ổ ử = - + - = + - - + + - -ộ ự ờ ỳ ỗ ữ ỗ ữ ở ỷ ố ứ ố ứ ở ỷ AB 2 = ( b a + ) 2 + ( ba 66 + ) 2 = ( b a + ) 2 + 36( b a + ) 2 . 22 1 ba = ( abba 2 22 ++ ) (1+ 22 36 ba ) (2 ab ab 2 + )(1+ 22 36 ba ) = 4 ab + ab 144 48( theo bt cụsi) - Du ng thc xy ra khi : ù ợ ù ớ ỡ = = ab ab ba 144 4 ợ ớ ỡ = = 36)( 2 ab ba 6== ba Do ú ta tỡm c hai im : A(3- 6 ; 1- 6 ) ; B(3+ 6 ; 1+ 6 ). 2. DNG 2. Cho ng cong (C) v ng thng d : Ax+By+C=0 . Tỡm im I trờn (C) sao cho khong cỏch t I n d l ngn nht . CCH GII - Gi I thuc (C) ( ) 0 0 0 ; ( ) I x y f x ị = - Tớnh khong cỏch t I n d : ( ) 0 0 0 2 2 Ax ( ) ; By C g x h I d A B + + = = + - Kho sỏt hm s 0 ( ) y g x = , tỡm ra min. Vớ d 2.Cho hm s ( ) 2 4 5 1 2 2 2 x x y x C x x + + = = + + + + Tỡm im M trờn (C) sao cho khong cỏch t M n d : y+3x+6=0 l nh nht ? GII Gi M l im bt k thuc (C) , thỡ : ( ) 1 ; 2 2 M x y y x x ổ ử = = + + ỗ ữ + ố ứ - Khong cỏch t M n d l h(M;d) : Chuyờn luyn thi i hoc. Giỏo viờn: on Minh K *** Trng THPT s 1 Qung Trch ( ) 3 6 1 1 1 1 ( ; ) ( ) 3 6 2 4 2 2 2 10 10 10 x y h M d g x x x x x x + + = = = + + + + = + + + + . +) Khi x>-2 ,x+2>0 ( ) 2 5 2 1 1 1 2 4( 2) 4 4( 2) ; 2 3 2 2 4 2 2 x x x x x x x ộ = - < - ờ ị + + + = + = ị ờ + + ờ = - > - ờ ở Vy : min(M;d)= 4 10 , khi x=-3/2 +) Khi x<-2 , thỡ x+2<0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 5 4 2 4 4 2 ; 2 1 2 2 2 x x x x x x ị - + - - + = - + = ị = - + + Do ú min(M;d)= 4 10 khi x=-3 . Túm li : min(M;d)= 4 10 khi x=-1 v x=-3 .Cú hai im M l M(-1;2) v M(-3;-2) Vớ d 3. ( H-KA-2005)Cho hm s ( ) 1 m y mx C x = + a. Kho sỏt v v th (C) vi m=1 b. Tỡm m khong cỏch t im cc tiu n ng thng tim cn xiờn ca ( ) m C bng 1 2 . GII a. Hc sinh t v th (C) b.Ta cú : - 2 2 1 1 ' 0 0 y m x m x m = - = = ị > . Qua bng bin thiờn , ta thy im cc tiu l 1 ;2 M m m ổ ử = ỗ ữ ố ứ . - Tim cn xiờn ca ( ) m C l d : y=mx . - Khong cỏch t M n d l h(M;d) bng : 2 2 2 1 . 2 ( ; ) 1 1 1 m m m m m h M d m m m - = = = + + + - Theo gi thit : 2 2 2 1 1 ; 2 1 0; 1 0 1 2 1 2 m m m m m m m = = ị - + = = > + + - Kt lun : Vi m=1 thỡ tha món yờu cu bi toỏn . Vớ d 4.(H-KB-2005 ). Cho hm s ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 m x m x m y x m C x x + + + + = = + + + + a. Kho sỏt v v th (C) vi m=1 Chuyên đề luyện thi đại hoc. Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch b. Chứng tỏ với mọi m hàm số luôn có cực đại , cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 20 . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 1 1 ' 1 0 2 1 1 x x y x x x = + - é = - = = Û ê = - + + ë . Không phụ thuộc vào m , hay nói một cách khác là với mọi m hàm số luôn có cực đại tại A(-2;m-3 ) và điểm cực tiểu B(0;m+1). - Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là AB . ( ) 2 2 ( ; ) 4 4 20 20 dpcm AB g x m ABÞ = = + = Û = . Ví dụ 5.(ĐHKD-2003 có bổ sung). Cho hàm số ( ) 2 2 4 4 2 2 x x y x C x x - + = = + - - a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm m để đường thẳng d : y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB=2. GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Phương trình hoành độ điểm chung của (C) và d là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 ; ( ; ) 1 4 1 4 8 0 1 2 x x mx m g x m m x m x m x - + Û = + - Û = - + - + - = - - Để tồn tại A,B thì : ( ) ( )( ) ( ) 2 1 0 1 ' 4 1 1 4 8 0 1 * 4 4 0 (2; ) 4 m m m m m m m g m - ¹ ì ï ¹ ì Û D = - - - - > Û Û > í í - > î ï = - ¹ î - Khi đó : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ' 2 4 4 1 1 1 1 1 m AB x x m x x x x m m m m m D - Û = - + - = - + = + = + - - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 1 1 2 4 1 1 1 ; 1 4 4 1 0 1 m m AB m m m m m m m - + é ù Û = = Û - + = - Þ - + - - = ë û - 2 1 0 1 4 5 0 m m m m - = é Û Û = ê - + = ë .Vi phạm điều kiện (*) . Cho nên không tồn tại m . Ví dụ 6 .Cho hàm số ( ) 2 1 3 2 2 2 x y C x x + = = - + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm m để đường thẳng d : y=-x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB nhỏ nhất . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. - Nếu d cắt (C) tại A,B thì hoành độ A,B là hai nghiệm của phương trình : Chuyên đề luyện thi đại hoc. Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch ( ) 2 2 1 ; ( ; ) (4 ) 1 2 0 1 2 x x m g x m x m x m x + Û = - + Û = + - + - = + có hai nghiệm khác -2 ( ) ( ) ( ) 2 2 12 0 4 4 1 2 0 3 * 3 2 ( 2; ) 2 3 0 2 m m m m m g m m ì + > ì D = - - - > ï ï Û Û Þ ¹ í í ¹ - = - ¹ ï ï î î - Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 ; ; ; 2 A x x m B x x m AB x x x x x x - + - + Þ = - + - = - - Vậy : 2 2 1 2 2 2. 12 22 3 2 6; 0 AB x x m m = - = D = + ³ = Û = . Khi m = 0 thì AB nhỏ nhất bằng 2 6 . DẠNG 3: Cho y=f(x) có đồ thị (C) .Tìm điểm M trên (C) sao cho Khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung . CÁCH GIẢI: Tập hợp các điểm M có khoảng cách tới trục hoành bằng k lần khoảng cách tới trục tung là các đường thảng y = kx và y = -kx Nên điểm M cần tìm là giao điểm của (C) và 2 đường thẳng nói trên. - Theo đầu bài ta có : ( ) ( ) ; 0 ; 0 g x k y kx y k x y kx h x k = é = é = Û Þ ê ê = - = ë ê ë - Bằng phương pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả Ví dụ 7.Cho hàm số ( ) 2 3 1 1 1 x y C x x - = = - + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy . GIẢI a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . b. Theo giả thiết ta có : 0 2 2 2 ô n 3 3 3 2 2 0 1 2 10 2 10 3 2 3 4 2 0 3 3 3 1 x v x y x x x x y x x x x x x x x - é é = ê é = + + = é + ê Û Û Û Û ê ê ê - - - + ê = - - + - = = Ú = ë ê ë = - ê ë ê + ë Vậy trên (C) có hai điểm M có hoành độ : 2 10 2 10 3 3 x x - - - + = Ú = , thỏa mãn yêu cầu bài toán . Bài tập . Cho hàm số ( ) 2 5 15 9 2 3 3 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục Ox bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy . Trên đây là một số bài toán liên quan tới khoảng cách thường gặp, các em tham khảo.Chúc các em thành công. Chuyên đề luyện thi đại hoc. Giáo viên: Đoàn Minh Kế *** Trường THPT số 1 Quảng Trạch . đồ thị (C) .Tìm điểm M trên (C) sao cho Khoảng cách từ M đến trục hoành bằng k lần khoảng cách từ M đến trục tung . CÁCH GIẢI: Tập hợp các điểm M có khoảng cách tới trục hoành bằng k lần khoảng. pháp tìm GTLN-GTNN của hàm số ta có kết quả Ví dụ 7.Cho hàm số ( ) 2 3 1 1 1 x y C x x - = = - + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục. thỏa mãn yêu cầu bài toán . Bài tập . Cho hàm số ( ) 2 5 15 9 2 3 3 x x y x C x x + + = = + + + + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b. Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến trục