ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Gọi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng yaxb... Điểm trên đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến tiếp tuyến tại đó lớn nhất có hoành độ bằng... Viết phương trình đ

Câu 1: [2D1-8-4] [THPT CHUYÊN KHTN - 2017] Cho hàm số

2

2 2

y x

 



 , điểm trên

đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì có hoành độ bằng

4

2 12

Lời giải Chọn A

Tập xác định D \ 2

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x   2 x 2 0

Gọi tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng yaxb

lim

x

f x a

x





2

2 lim

2

x

x x



 





2

2

2

2

1 lim

2 1

x

x

x

x



   



  

2

2

1

2 1

x

x



   

  

Vậy tiệm cận xiên: y x 3

Gọi M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số

2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x y 0; 0 là

 0 0 0

y y x xx  y

0 2

0 0

2 2

x x



Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng 0

0

2;

2

x A x

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận xiên B2x2; 2 x 1

Giao của hai tiệm cận I 2;5

Ta có

0

8 2

IA x



 ,IB2 2 x02,  

2 2

0

0

2

x

Chu vi

2 2

8

Dấu bằng xảy ra   x 2 48

Câu 2: [2D1-8-4] [THPT CHUYÊN KHTN - 2017] Cho hàm số

2 2 2

 





y

x Điểm trên

đồ thị mà khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến tiếp tuyến tại đó lớn nhất

có hoành độ bằng

Lời giải Chọn C

2

3

 

Hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là

2



x và y x 3Tọa độ giao điểm của hai tiệm cân la điểmI 2;5

Gọi

2 2

; 2

M a

a là tiếp điểm của đồ thị hàm số và tiếp tuyến d

Tiếp tuyến  d tại:    2 2

2

 





 a  a x a y a  a   

;

d A

Đặt a 2 t

2

4 2

4 2 4

;

8 16 2

d A

Để d A ;max thì   4 2 ax



 

t

 

5

4 2

0

2 16

0

8

8 16





 

t

f t

t

CĐ

Bảng biến thiên

Suy ra f t max tại t 48    a 2 48  a 2 48

Câu 3: [2D1-8-4] (TRƯỜNG THPT TH CAO NGUYÊN ) Cho hàm số 2 3

2

x y x





 có đồ thị  C Tìm trên  C những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của  C cắt hai

tiệm cận của  C tại A , B sao cho AB ngắn nhất

0; ; 1; 1 2

1; ; 3;3 3

 

  C    3;3 ; 1;1 D

 

5 4; ; 3;3

2

Giải Chọn C

Ta có lim lim 2 3 2

2

x y

x

 



 nên y2 là tiệm cận đứng;

2

lim

x  y

   nên x2 là tiệm cận đứng

0 0

; 2

x

x



  với  C là đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y y x0 xx0y0

0

1

2 2

x

x x







Tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng tại 0

0

2;

2

x A x

 ; cắt tiệm cận ngang tại

2 x0 2; 2

Cô-si)

Dấu  xảy ra khi  

2

0

0 0

1 1

2

3 2

x x

x x



      Vậy M(1;1) hoặc M(3;3).

Câu 4: [2D1-8-4] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH –

tham số thực) có ba điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua

ba điểm cố định đó

A y 48x10 B y 3x1 C y x 2 D

y x

Lời giải Chọn A

Gọi M x y 0; 0 là điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho

0 4 0 6 4 0 12 0 7 18

0 6 0 12 0 7 0 4 0 24 0 18



 y04 12 x0 7 18 0 y0  48x010

Câu 5: [2D1-8-4] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Gọi (H) là đồ thị

1

x y x





 Điểm M x y( ;0 0) thuộc (H) có tổng khoảng cách đến hai đường

tiệm cận là nhỏ nhất, với x0 0 khi đó x0y0 bằng?

Lời giải

Chọn B

Tập xác định \ 1

Dễ có tiệm cận đứng d1:x 1 và tiệm cận ngang d2:y2

0

1

x

x



0

1

1

x

x

0

1

1

x

0 2

x   y0  1 x0y0  1