Các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số và bài toán khoảng cách

Chuyờn KHO ST HM S Ch 9: Luyn thi THPT Quc gia 2016 CC IM C BIT CA TH HM S V BI TON KHONG CCH I- TNG QUAN CC DNG TON: Dng toỏn: TèM IM TRấN TH HM S Cể TO NGUYấN Phng phỏp: Thụng thng, ta gp dng toỏn ny i vi hm nht bin v hm hu t ax b + Vi hm s y , ad bc cx d ax b a bc ad bc ad Phõn tớch: y a cx d c c cx d c cx d Gi M x ; y0 C cú to nguyờn, ú: bc ad c a bc ad cx d x 0, y a chn c x 0, y c cx d bc ad a cx d ax bx c + Vi hm s y , aa ' a ' x b ' a ' c b ' a ' b b ' a ax bx c a.a ' x a ' b ab ' Phõn tớch: y a ' x b ' a ' x b ' a Gi M x ; y0 C cú to nguyờn, ú: a ' c b ' a ' b b ' a x 0, y a.a ' x a ' b ab ' a ' x b ' a a ' c b ' a ' b b ' a a.a ' x a ' b ab ' a a ' x b ' chn c x 0, y a ' c b ' a ' b b ' a a a ' x a ' b ab ' a 'x b ' Dng toỏn: BI TON V KHONG CCH Phng phỏp: gii cỏc bi toỏn liờn quan n khong cỏch, ta thng dựng cỏc kt qu sau: 1) Khong cỏch gia hai im A x A; yA , B x B ; yB : AB (x B x A )2 (yB yA )2 2) Khong cỏch t M x ; y0 n t : ax by c : d M ; Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 ax by c a b2 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 c biờt: : x a d M 0; x a v : y b d M ; y0 b Ox d M ;Ox y0 v Oy d M ;Oy x Lu ý: S dng cỏc BT, phng phỏp o hm gii cỏc bi toỏn cc tr Dng toỏn: CC BI TON V TNH I XNG Phng phỏp: im M x ; y0 + im i xng vi M qua Ox l: M1 x ; y0 + im i xng vi M qua Oy l: M x ; y0 + im i xng vi M qua gc O l M / x ; y0 + im A, B c gi l i xng vi qua I tho ng thc trung im + im A, B c gi l i xng vi qua l ng trung trc ca AB II- BI TP MINH HO: 2x Bi 1: Cho hm s y Tỡm trờn th hm s nhng im cú ta l cỏc s x nguyờn Bi gii: TX: D \ Ta cú y x im M x ; y0 trờn th cú ta nguyờn x x l c ca x Z x x y 0 x x y Vy trờn th cú im cú ta nguyờn l M1 0;1, M 2; 3x 5x 14 Bi 2: Cho hm s y Tỡm trờn th hm s nhng im cú ta l 6x cỏc s nguyờn 53 Bi gii: TX: D \ Ta cú y 2x 6 x im M x ; y0 trờn th cú ta nguyờn 53 53 53 x x 2x x 6x x 6x 53 53 x 6x 6x 53 6x Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x y 14 x y Vy trờn th cú im cú ta nguyờn l M1 0;14, M 9; Bi tng t: Tỡm tt c cỏc im trờn th (C) ca mi hm s sau, cho to ca chỳng l cỏc s nguyờn: x2 2x 3x x a) y b) y c) y d) y 2x 3x 5x 2x 39: Cho hm s: y 3x Tỡm im thuc (C) cỏch u ng tim cn x Bi gii: TX: D \ Gi M x ; y (C) v cỏch u tim cn x v y Ta cú: | x y x 3x x x x x x x x x x x x x Vy cú im tho bi l: M1 1;1 v M 4; x 2x Bi 2: Cho hm s y C Tỡm trờn th (C) nhng im cú tng x khong cỏch n hai ng tim cn nh nht Bi gii: TX: D R \ Ta cú: lim y x d1 : x l tim cn ng ca (C) x v lim y x y x d2 : x y l tim cn xiờn ca (C) x x 02 2x Gi M x ; y0 (C ) y x0 x x0 x0 * Khong cỏch t M n d1 l h1 x * Khong cỏch t M n d l h2 Khi ú: h1 h2 x nờn h1 h2 bng x y0 x0 1 BĐT Cauchy x0 Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x y 4 1 2 x0 x0 1 2 x0 x y0 42 4 2 1 Vy cú im tha y.c.bt l M 1; v M 1; 4 2 Bi 2: ( d b 2007) Chng minh rng tớch cỏc khong cỏch t mt im bt k trờn x 4x th hm s (C): y n cỏc ng tim cn ca nú l hng s x Bi gii: TX: D \ x Ta cú: lim y ; lim y x x l tim cn ng ca (C) Gi (C ) l th ca hm s Gi M x ; y C y x x x v lim y x ; lim y x y x x y l x x tim cn xiờn ca (C) Ta cú: + Khong cỏch t M n tim cn xiờn l d1 x y 2 x + Khong cỏch t M n tim cn ng l d x Ta cú d1.d x x : hng s (.p.c.m) Bi 3: Cho hm s y x 6x 9x C Tỡm trờn th (C) nhng im t ú k c mt v ch mt tip tuyn vi th Bi gii: TX: D Gi M x ; y0 (C ) y0 x 03 6x 02 9x Gi k l h s gúc ca ng thng d i qua M: d : y k x x y0 ng thng d l tip tuyn ca (C) ch h phng trỡnh sau cú nghim: x 6x 9x k x x y (1) 3x 12x k (2) Thay (2) vo (1) ta c phng trỡnh: x x 2x x x x 02 6x Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x x x x 2x x x x t M k c mt v ch mt tip tuyn vi th thỡ iu kin l: x x x y0 2 Vy im cn tỡm l M 2; Bi 4: Cho hm s y x2 C Tỡm hai im A, B thuc hai nhỏnh ca (C) cho x di AB ngn nht Bi gii: TX: D \ Ta cú: lim y ; lim y x l tim cn ng ca (C) x x Gi A x A; yA , B x B ; yB nm trờn hai nhỏnh ca (C) khi: x a y a a A A a x b y b b B A b Khi ú: x B x A yB yA AB 2 1 b a b a b a 2 b a a 2b2 ab Theo BT Cauchy: a b ab , suy ra: AB 4ab 2 8ab ab ab ab 32 , suy AB 32 ab a b a b ng thc xy ch 4 8ab ab 1 1 ;2 , B ;2 Vy hai im cn tỡm l A 4 4 2 2 Theo BT Cauchy: 8ab Bi 1: Cho hm s y 2x 3x cú th (P) v ng thng : y x Tỡm cỏc im M P , N cho MN t giỏ tr nh nht Bi gii: D Gi M m;2m 3m P , N n; n Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Ta cú: MN m n;2m 3m n Luyn thi THPT Quc gia 2016 MN m n 2m 3m n 2 2 m n m m 2m 2 m n m 2m m 2m 2 m 2m m MN 2 m m M 1; ng thc xy m n m 2m n N 3; x 4x cú th (C) Tỡm trờn (C) nhng im M cú x khong cỏch n ng thng : 3x y nh nht Bi gii: D x 4x C , x Gi M x ; 0 x Bi 1: Cho hm s y Gi d l khong cỏch t M n ng thng : 3x y 4x 02 16x 17 1 10 x Ta cú: d M ; x0 x0 10 10 x y 2 ng thc xy x x0 x y 0 2 5 Vy cỏc im cn tỡm l M ; ; M ; 2 2 Bi 5: Cho hm s y x C Tỡm trờn (C) nhng im cỏch u hai trc x ta Bi gii: TX: D \ x Do M cỏch u hai trc ta nờn x0 M nm trờn hai ng thng y x hoc y x , suy ra: Gi M x ; y0 (C ) y0 x Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S x x x y 0 x0 x x vô nghiệm x Vy cú mt im M 3; tha y.c.b.t Bi 6: Cho hm s y x x Luyn thi THPT Quc gia 2016 C Tỡm trờn (C) nhng im i xng qua gc ta Bi gii: TX: D \ Gi M1 x ; y0 , M x ; y0 l cp im trờn (C) i xng qua gc ta Suy ra: x0 x y y0 0 x0 x0 x0 2 x x x x0 x0 x y y y0 0 x x0 2 Vy trờn (C) cú hai im tha y.c.b.t l M 2; , M 2; 2 38: ( d b 2006) Tỡm trờn th (c) : y x3 11 x 3x hai im phõn bit 3 M, N i xng qua trc tung Bi gii: TX: D Gọi M x1; y1 , N x ; y2 C đối xứng qua Oy Lúc ta có: x x x x x1 x 13 11 11 y y x 3x x 12 3x 3 3 x x x x 2x 16 16 y1 y2 6x 3 16 16 16 16 Vậy có cặp điểm thỏa y.c.b.t M 3; ; N 3; M 3; ; N 3; 34: Cho hm s y 2x (C) Tỡm trờn th (C) hai im A, B i xng qua x ng thng MN, bit M 3; , N 1; Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Bi gii: TX: D \ Luyn thi THPT Quc gia 2016 Phng trỡnh ng thng MN : x 2y , B b; , a, b Xột hai im A, B trờn th (C), ta cú A a; a b a b 3 l trung im ca on on AB Gi I ; a b Theo yờu cu ca bi toỏn ta cú 3 b a AB MN AB MN a b b a 6 I MN I MN a b Vy A 2; ; B 0; hoc B 2; ; A 0; a b a b2 11: (H B-2003) Tỡm m th hm s y x 3x m cú hai im phõn bit i xng qua gc to Bi gii: TX: D th hm s cú hai im phõn bit i xng qua gc to tn ti x cho y x y x tn ti x cho x 03 3x 02 m x x m tn ti x cho 3x 02 m m0 Kt lun: Cỏc giỏ tr m cn tỡm l: m 2x Bi 7: Tỡm trờn th y hai im A, B cho A v B i xng qua x im M 1; Bi gii: TX: D \ 2a 2b , B b; , a, b Gi ta hai im thuc th cn tỡm l A a; a b Vỡ A, B i xng qua M 1; nờn M l trung im ca AB , ú: a b 2.1 a b a b 2a 2b 2a 2b ab 2 a b a b Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 a b a b CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 Vy cỏc im cn tỡm l A 4;1, B 2; hoc A 2; 5, B 4;1 Cú th trỡnh by cỏch khỏc, thụng qua bi sau: x 3x Bi 7: Tỡm trờn (C): y tt c cỏc cp im i xng qua x I ;1 Bi gii: TX: D \ Gi M x ; y , M ' x '; y ' C , x, x ' v i xng qua I ;1 x x ' x ' x Khi ú ta cú h: M ' x ;2 y y y ' y ' y x 3x y x Vỡ M x ; y , M ' x '; y ' C x2 x y x x y x2 x x 3x x x x 1; x x x x y Vy trờn (C) cú ỳng1 cp im l M 2; 4, M ' 3;6 Bi 7: Tỡm trờn (C): y x2 cỏc im A, B i xng qua : y x x Bi gii: TX: D \ A, B i xng qua l ng trung trc ca on thng AB Vỡ AB AB : y x m Xột phng trỡnh honh giao im ca AB v (C): x2 x m g x 2x m x m (1) x A, B tn ti Phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit g m 8m m 6m g m ; 8; m xA xB Khi ú, x A, x B l cỏc nghim ca (1): m x x A B Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x x A x B m 3m Gi I l trung im AB I ; I y x m I I 3m m m 4 x y A A 2 + Vi m , ta c: (1) 2x 2 x B yB 2 2 ; B ; l cỏc im cn tỡm Vy A ; 2 im I Bi 4: Xỏc nh k trờn (C): y x 2x cú im P, Q khỏc tho x x P yP k iu kin: x y k Q Q Bi gii: TX: D \ yP x P k x P yP k P, Q : y x k Theo gi thit P, Q tho món: xQ yQ k yQ xQ k Do ú, P, Q l giao im phõn bit ca v (C) Xột phng trỡnh honh giao im ca v (C): x 2x x k g x 2x k x k 0, x x tn ti P, Q tho yờu cu bi toỏn Phng trỡnh g x cú nghim phõn bit g k k k 2k x g 10 k ;1 2 2; Bi 7: Cho hm s y x2 x C Tỡm trờn (C) nhng im cỏch u hai ng tim cn ca (C) Bi gii:TX: D \ Ta cú: lim y d1 : x l tim cn ng ca (C) x 1 x 0y x d2 : x y l tim cn xiờn ca (C) v lim y x 3 Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 10 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S 1 Gi M x ; y0 (C ) y0 x0 x0 Luyn thi THPT Quc gia 2016 x * Khong cỏch t M n d1 l h1 x * Khong cỏch t M n d l h2 3 1 x y0 x0 x0 2 x 3 x0 x0 im M cỏch u ng tim cn ch h1 h2 x x 02 x0 Vy cú cp im tha y.c.b.t l M x y 0 x y 3; v M 3; Bi 7: (H D-2014) Tỡm ta im M thuc (C): y x 3x cho tip tuyn ca (C) ti M cú h s gúc bng Bi gii: TX: D Ta cú y / 3x Gi M C M a; a 3a H s gúc ca tip tuyn ti M bng y / a a 3a a a Ta im M tha yờu cu bi toỏn l M 2; hoc M 2; Bi 7: Cho A 0;1 v I m; , tỡm m trờn C m : y 2m x tn ti im B x m cho tam giỏc ABI vuụng cõn ti A Bi gii: TX: D \ m m 2b 2m b Xột B b; C AB b; b m m m b Ta cú I m; AI m; AB AI Tam giỏc ABI vuụng cõn ti A AB AI Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 11 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 m 2b m 2b bm mb m b m b m 2b m 2b 2 2 m b m b m b m2 b2 b2 b2 m2 b2 b m m m m * b thay vo ta c: m m 3m m m Vy m 1, m l nhng giỏ tr cn tỡm * b thay vo ta c: m m m 3m m Bi 7: Xỏc nh tt c nhng im M trờn th C : y s C tip xỳc vi ng trũn tõm I 1;2 ti M 2x cho th hm x Bi gii: TX: D \ 2x Cỏch 1: Gi s M x ; x Phng trỡnh tip tuyn ti M : y hay x x y 2x 02 4x x x 0 x x 2x x0 Vect ch phng ca ng thng : u 1; x Ta cú IM x 1; x x M 3; 16 Mt khỏc u.IM x x M 1; x Cỏch 2: Nhn thy I 1;2 l tõm ca hypebol Do ú C tip xỳc vi ng trũn tõm I 2x MI theo bỏn kớnh nh nht Gi M x ; x Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 12 x 16 x 2 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x x x0 Vy M 3; 4; M 1; tha yờu cu bi toỏn Du = xy x Bi 7: (H A-2014) Tỡm ta im M thuc (C): y M n ng thng y x bng x cho khong cỏch t x Bi gii: TX: D \ a , a Gi M C M a; a a Khong cỏch tu M n ng thng y x l d a a a 2a Theo gi thit d a a a 2a + a 2a : phng trỡnh vụ nghim a + a 2a Suy ta im M cn tỡm l M 0; hoc M 2; a Bi 7: Tỡm m khong cỏch t I ; n ng thng i qua hai cc tr ca C : y mx m 3mx 2m x m l ln nht Bi gii: TX: D Ta cú: y ' 3mx 6mx 2m C cú hai im cc tr y ' cú nghim phõn bit ng thi i du hai ln qua mi m m nghim ú, tc l ta luụn cú: m m m m Vi m hoc m thỡ C m luụn cú cc tr, ng thi honh cc tr tha phng trỡnh 3mx 6mx 2m 0* 1 x 3mx 6mx 2m 2m x 10 m , 3 suy y 2m x 10 m * l ng thng i qua cc tr V y Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 13 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 t : y 2m x 10 m : 2m x 3y 10 m 2m 1 Cỏch 1: d I ; 18 2m 2 m m hay d I ; Vy vi m 2m 2 , ng thc xy m thỡ max d I ; Cỏch 2: D thy luụn i qua im c nh M ; vi m Gi N l hỡnh chiu vuụng gúc ca I lờn , ú d I ; IN IM , ú t I n bng IM v ch IM tc 2m kIM k m Chỳ ý: BI TON KHONG CCH N HAI TRC TO NGN NHT khong cỏch VI HM S y l ax b cx d Cú nhiu phng phỏp gii quyt bi toỏn ny, th hin qua cỏc bi sau: Bi 1: Tỡm trờn (C): y trc to l nh nht x nhng im M cho tng khong cỏch t M n x Bi gii: TX: D \ x C , x Gi M x ; x Lỳc ú: d M d M ,Ox d M ,Oy x x x 1 Do C Oy A 0; v C Ox B 1; d A 2 1 x y x 2 x x TH 1: Xột x d M x y x x x x x x Suy ra: d M d M ,Ox d M ,Oy Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 14 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 3 0; f x Hm s f x x , x 0; f / x 0, x x x 0; ng bin trờn 0; Vy , ti im f x f M 2 x 0; x TH 2: Xột x d M x y x x x x x x 3 Hm s f x x , x 0; f / x x x x x 2 x 2 0, x ; f x nghch bin trờn Vy f x f x ;0 ; 1 , ti im M 0; 2 Vy im cn tỡm l M 0; Bi 2: Tỡm trờn (C): y trc to l nh nht x nhng im M cho tng khong cỏch t M n x Bi gii: TX: D \ m C , m Gi M m; m Lỳc ú: d M d M ,Ox d M ,Oy m m m Do C Oy A 0; v C Ox B 1; d A d B m m Suy ra: d M d M ,Ox d M ,Oy m m m Lỳc ú: d M d M ,Ox d M ,Oy m m m m Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 15 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S m Luyn thi THPT Quc gia 2016 2 2 Vy d M 2 m m m m M Vy im cn tỡm l M 1;1 1;1 III- BI TP T LUYN: x 4x Bi 1: Cho hm s y x a) Tỡm trờn th hm s nhng im cú ta l cỏc s nguyờn b) Tỡm trờn th (C) nhng im cú tng khong cỏch n hai ng tim cn nh nht 2x Bi 1: Cho hm s y C Tỡm trờn (C) nhng im i xng qua gc x ta x2 x Bi 1: Cho hm s y C Tỡm hai im A, B thuc hai nhỏnh ca (C) x cho di AB ngn nht x2 x Bi 1: Xỏc nh m trờn (C): y cú im P, Q khỏc tho x x P yP m iu kin: xQ yQ m Bi 1: Cho hm s y x 3x C Tỡm trờn (C) nhng im cỏch u hai trc ta Bi 1: Xỏc nh m (C): y x m x mx m cú im i xng qua gc to Bi 1: Xỏc nh m (C): y x m x m x cú im i xng qua gc to Bi 1: Xỏc nh m (C): y x mx 7x cú im i xng qua gc to x 4mx 5m Bi 1: Xỏc nh m (C): y cú im i xng qua gc to x x mx m Bi 1: Xỏc nh m (C): y cú im i xng qua gc to x Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 16 CLB Giỏo viờn tr TP Hu Chuyờn KHO ST HM S Luyn thi THPT Quc gia 2016 x x Bi 1: Tỡm tt c cỏc cp im A, B thuc (C): y i xng qua x I 0; x2 x Bi 1: Tỡm hai im A, B thuc (C): y i xng qua : y x x x2 Bi 1: Tỡm hai im A, B thuc (C): y i xng qua : y x x x 3x Bi 1: Tỡm hai im A, B thuc (C): y i xng qua : y x 2x IV- TI LIU THAM KHO: 1) Tuyn thi H - C ton quc B giỏo dc v o to 2) Phng phỏp hm s Lờ Hng c 3) Tuyn thi th H trờn ton quc 4) 18 Ch Gii tớch 12 Nguyn Phỳ Khỏnh-Nguyn Tt Thu 5) Tp Toỏn hc v Tui tr NXB Giỏo dc Vit Nam 6) Cỏc bi vit chuyờn t cỏc website Toỏn hc P/S: Cỏc bi ti liu cha nhn c s cho phộp ca quớ thy cụ v cỏc c quan liờn quan, nhng ti liu biờn son ch vi mc ớch chia s cho ng nghip v tng cho cỏc em hc sinh cú ngun t liu quớ phc v kh nng t hc nờn chỳng tụi xin phộp cỏc tỏc gi, xin cm n cỏc tỏc gi! Trong quỏ trỡnh biờn son khụng th trỏnh sai sút, kớnh mong quớ thy cụ v cỏc em hc sinh úng gúp cỏc bn update tip theo c hon thin hn! Xin chõn thnh cỏm n! CLB GIO VIấN TR TP HU Ph trỏch chung: Giỏo viờn Lấ B BO n v cụng tỏc: Trng THPT ng Huy Tr, Tha Thiờn Hu Email: beckbo1210@yahoo.com Facebook: Lờ Bỏ Bo S in thoi: 0935.785.115 Giỏo viờn: Lấ B BO 0935.785.115 17 CLB Giỏo viờn tr TP Hu