Tài liệu trong cuốn "Phương pháp giải toán hàm số"
Bn quyn thuc Nhúm C Mụn ca Lờ Hng c T hc em li hiu qu t duy cao, iu cỏc em hc sinh cn l: 1. Ti liu d hiu Nhúm C Mụn luụn c gng thc hin iu ny. 2. Mt im ta tr li cỏc thc mc ng kớ Hc tp t xa. BI GING QUA MNG CUN SCH Phng phỏp gii toỏn Hm s PHN V: NG DNG O HM B. CC TR CA HM S Hc Toỏn theo nhúm (t 1 n 6 hc sinh) cỏc lp 9, 10, 11, 12 Giỏo viờn dy: Lấ HNG C a ch: S nh 20 Ngừ 86 ng Tụ Ngc Võn H Ni Email: nhomcumon68@gmail.com Ph huynh ng kớ hc cho con liờn h 0936546689 Các Em học sinh hãy tham gia học tập theo phơng pháp " Lấy học trò làm trung tâm " Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng Đức phụ trách. 1 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số chủ đề 8 Lập phơng trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số I. Kiến thức cơ bản Đối với bài toán viết phơng trình Parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, ta sử dụng kiến thức về chùm Parabol (đợc trình bày cụ thể hơn trong cuốn Hình học giải tích trong mặt phẳng - Lê Hồng Đức) sau: Chùm Parabol Xét chùm Parabol có trục đối xứng song song với trục tung, tức là Parabol có phơng trình dạng: y=ax 2 +bx+c (a0) Định nghĩa: Các Parabol cùng đi qua hai điểm A, B cố định gọi là chùm Parabol . Đờng thẳng AB gọi là trục của chùm Parabol . Trong mục này, chúng ta trình bày cách xác định phơng trình Parabol bằng phơng pháp chùm Parabol một tham số. Bài toán 1. Viết phơng trình Parabol bằng phơng pháp chùm phơng pháp chung Gọi A(x A , y A ) và B(x B , y B ) là hai điểm thuộc đờng thẳng (d): y=px+q. Khi đó phơng trình của chùm Parabol qua A, B là: y=m(x-x A )(x-x B )+px+q, với m0. Trờng hợp tổng quát khi p0; y A y B chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol lệch tung . (H1) Khi p=0 (y A =y B ) chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol đẳng tung (H2) và phơng trình có dạng: y=m(x-x A )(x-x B )+y A , với m0. Khi p0, AB chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol tiếp xúc với tiếp điểm A(x A , y A ) (H3) và phơng trình có dạng: y=m(x-x A ) 2 +px+q, với m0. Khi p=0, AB chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol chung đỉnh với đỉnh chung A(x A , y A ) (H4) và phơng trình có dạng: 2 xx A B y=px+q x B A y O xx A B y A =y B x B A y O xx A y=px+q A y O x x A A y O y=y A Chủ đề 8: Lập ph ơng trình Parabol đi qua các điểm cực trị của hàm số y=m(x-x A ) 2 +y A , với m0. II. ví dụ minh hoạ Ví dụ 1. (ĐH Thái Nguyên Khối A - 1999): Cho hàm số: y= 3 1 x 3 -x+ 3 2 . Viết phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): y= 3 4 . Giải. Miền xác định: D=R. Đạo hàm: y'=x 2 -1, y'=0 x 2 -1=0. (1) vì (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ phơng trình: = += 01x 3 2 xx 3 1 y 2 3 = += 1x 3 2 xx.x 3 1 y 2 2 = += 1x 3 2 x 3 2 y 2 Toạ độ điểm cực trị thoả mãn: y=- 3 2 x+ 3 2 +m(x 2 -1). (2) Nhận xét rằng: với m0 thì (2) là phơng trình chùm Parabol đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số. (P) tiếp xúc với (d) phơng trình: - 3 2 x+ 3 2 +m(x 2 -1)= 3 4 có nghiệm kép phơng trình 3mx 2 -2x-2+3m=0 có nghiệm kép = 0' 0a =++ 01m6m9 0m 2 m=- 3 1 . Với m=- 3 1 , ta đợc (P): y=- 3 1 x 2 - 3 2 x+1. Vậy, phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có dạng: y=- 3 1 x 2 - 3 2 x+1. 3 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số Ví dụ 2. (ĐHAN Khối A - 1999): Cho hàm số y= 1x 9xx 2 + . Viết phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2x-y-10=0. Giải. Miền xác định: D=R\{1}. 4 Chủ đề 8: Lập ph ơng trình Parabol đi qua các điểm cực trị của hàm số Đạo hàm: y'= 2 2 )1x( 8x2x , y'=0 x 2 -2x-8=0. (1) Phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Toạ độ các điểm cực trị là nghiệm của hệ phơng trình: = + = 08x2x 1x 9xx y 2 2 = ++ = 08x2x 1x )8x2x(9xx y 2 22 = = 08x2x 1x2y 2 Suy ra: toạ độ điểm cực trị thoả mãn: y=2x-1+m(x 2 -2x-8). (2) Nhận xét rằng: với m0 thì (2) là phơng trình chùm Parabol đi qua điểm cực trị của đồ thị hàm số. (P) tiếp xúc d) phơng trình 2x-1+m(x 2 -2x-8)=2x-10 có nghiệm kép phơng trình mx 2 -2mx-8m+9=0 có nghiệm kép = 0' 0a = 0m9m9 0m 2 m=1. Với m=1, ta đợc (P): y=x 2 -9. Vậy, phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng (d) có dạng: y=x 2 -9. III.Bài tập đề nghị Bài tập 1. Viết phơng trình Parabol (P) đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số: a. y=x 3 +2x 2 -x+16 và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x-2y+1=0. b. y= 3 1 x 3 -2x 2 +x+m và tiếp xúc với đờng thẳng (d): 2x-y=0. 5 Phần V: ứ ng dụng của đạo hàm B. cực trị của hàm số c. y= 1x 4x2x 2 + ++ và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x+y-2=0. d. (ĐHAN Khối A - 1998) y= 1x x 2 và tiếp xúc với đờng thẳng (d): y=- 2 1 . Bài tập 2. Viết phơng trình Parabol (P) trong mỗi trờng hợp sau: a. Đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x 4 -6x 2 +4x+6. b. Biết rằng (P) cắt (H): y= 4x 1 tại các điểm có hoành độ nghiệm đúng phơng trình: x 3 -4x 2 -5x=0. c. (HVKTQS - 1998) Đi qua các điểm A(- 3 , 0); B( 3 , 0) và tiếp xúc với đồ thị hàm số (C): y=x 3 -3x. 6 . = + = 08x2x 1x 9xx y 2 2 = ++ = 08x2x 1x )8x2x(9xx y 2 22 = = 08x2x 1x2y 2 Suy ra: toạ độ điểm cực trị thoả mãn: y=2x-1+m(x 2 -2x -8) . (2). chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol đẳng tung (H2) và phơng trình có dạng: y=m(x-x A )(x-x B )+y A , với m0. Khi p0, AB chùm Parabol đợc gọi là chùm Parabol