Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax bx c VÀ ỨNG DỤNG Các đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng năm gần đây, thường gặp câu khảo sát hàm số y ax bx c a vấn đề liên quan đến điểm cực trị đồ thị hàm số Để giúp học sinh ơn thi có hiệu quả, viết đưa tính chất thường gặp điểm cực trị hàm số y ax bx c số ứng dụng I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hàm số y ax bx c a x Ta có y 4ax3 2bx x 2ax b Suy y 2ax b (1) Ở xét trường hợp hay gặp đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị phân biệt Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị phân biệt y có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ab (*) x Với điều kiện (*) ta có y Suy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị x b 2a b b2 b b2 A 0; c , B ; c C ; c 2a 4a 2a 4a b 8ab 2b BC 16a a Sau số tính chất thường gặp điểm cực trị Khi ta có AB AC 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vng Vì AB AC nên tam giác ABC tam giác cân A Suy tam giác ABC tam giác 900 hay tam giác ABC vuông cân A vuông BAC 2b b 8ab 2 b 8a Khi BC AB BC AB a 16a Tính chất 1: Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh ab tam giác vuông b 8a 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác Ta có tam giác ABC tam giác AB AC BC AB BC b 8ab 2b b3 24a 16a a Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng Tính chất 2: Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh ab tam giác b 24a 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc cho trước Có ba trường hợp xảy Trường hợp 1: 900 Khi tam giác ABC tam giác tù Vì tam giác ABC cân A nên tam giác ABC có góc 900 BAC Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC AB AC AB AC.cos BAC 2b b 8ab BC AB 1 cos 1 cos 16a b3 8a 1 cos a 16a 3 b 8a b 8a cos Trường hợp 2: 900 ( ta xét tính chất 1) Trường hợp 3: 900 C + Nếu B A 1800 2 , suy cos A cos 1800 2 cos 2 Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có BC AB AC AB AC.cos BAC 2b b 8ab 2 BC AB 1 cos 2 1 cos 2 16a b3 8a 1 cos 2 a 16a 3 b 8a b 8a cos 2 + Nếu A tương tự trường hợp 1, ta có b3 8a b3 8a cos Tính chất Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc cho trước ab b3 8a b3 8a cos 900 b3 8a 900 C 900 b3 8a b3 8a cos 2 B b3 8a b3 8a cos A 900 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC OA (với O gốc tọa độ) 2b c ac 2b Ta có BC OA BC OA2 a Tính chất Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện ab BC OA (với O gốc tọa độ) ac 2b 5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng Gọi H giao điểm BC với trục Oy AH đường cao tam giác ABC Khi H b2 b2 b2 có tọa độ H 0; c Suy AH 4a 4a a Vậy diện tích tam giác ABC S ABC b5 2b b BC AH 32a a 4a Tính chất Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab tam giác có diện tích S cho trước b5 S 32a 6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H giao điểm BC với trục b2 b2 b2 Oy Khi H có tọa độ H 0; c AH 4a 4a a ACH Từ tam giác vng AHC, ta có sin AH AH AC AB Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta R Suy R AB AB b 8ab a 16a b sin ACH AH b 8a 8ab Tính chất Đồ thị hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh ab tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R b 8a R 8ab II ỨNG DỤNG Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2012 khối A khối A1) Cho hàm số y x m 1 x m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vng Lời giải Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác m 1 ab m 1 m 1 vuông m0 3 m b a m 8 m 1 Ví dụ (Câu đề thi TSĐH năm 2011 khối B) Cho hàm số y x m 1 x m (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng Lời giải Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA BC ab m 1 m 1 m 22 ac b m m m m Ví dụ Cho hàm số y x 2mx (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại 2m ab tiếp tam giác tạo điểm cực trị R b 8a 2m R 2m R a b m 1 m3 Suy R m 2 m R 2m Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có 1 1 1 3 R m2 m 2 2m 2m 2m 2m 4 1 Vậy R m m3 m 2m 2 Ví dụ Cho hàm số y x 2mx (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm 2m ab m 3 có bán kính R b 8a hay 2m m3 R R R 8ab 2m 2m Theo đề ta có R , suy m3 m3 2m m 1 m m 1 2m m 1 Đối chiếu với điều kiện m ta m 1, m m Ví dụ Cho hàm số y x m x m 5m Cm Với giá trị m đồ thị Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác Lời giải Áp dụng tính chất 2, đồ thị Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng ab cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác b 24a 2 m m m m 2 3 3 m m 3 8 m 24 Ví dụ Cho hàm số y x 2mx Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 1200 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có ab góc 1200 3 b 8a b 8a cos m 2m m 3 3 12m 8m 8m cos120 8m 8m m m m m m 3 Ví dụ Cho hàm số y x 2mx m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 Lời giải Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có 2m ab m diện tích S 32 b 2m 32 m 32 S 3 32a 32.1 m m m 5 m 32 32 m Ví dụ Cho hàm số y x 2mx m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 Lời giải Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc 300 ta có hai trường hợp sau ab + Nếu góc đỉnh 300 (1) b 8a b 8a cos Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng ab + Nếu góc đáy 300 (2) b 8a b 8a cos 2 m 2m Ta có (1) 3 3 0 8m 8m cos30 8m 8m m m 2 m 3 m m m 2m m Và (2) 3 3m 8m 8m cos 60 8m 8m m m m3 m m 3 Vậy m m đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 III BÀI TẬP Bài tập Cho hàm số y x 2mx m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác ĐS: m 3 Bài tập Cho hàm số y x 2mx m m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có góc 300 ĐS: m m 3 Bài tập Cho hàm số y x 2mx m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ ĐS: R m 4 Bài tập Cho hàm số y x m 3 x m (1), m tham số Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA BC ; O gốc tọa độ , A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ĐS: m Bài tập Cho hàm số y x m 1 x m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích 32 ĐS: m 3 Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng IV KẾT LUẬN Bài viết nêu tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c a số ứng dụng chúng Hy vọng viết cung cấp cho bạn tài liệu để giảng dạy ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào trường Đại học Cao đẳng có kết Cuối tác giả mong đón nhận góp ý chân thành bạn xin chúc bạn sức khỏe, hạnh phúc thành đạt Trân trọng cám ơn Nguyễn Văn Thiết Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng MỤC LỤC Mở đầu …………………………………………………………………………… trang I Cơ sở lý thuyết ……………………………………………………………………… 1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác vng ……………………………………………………………… Tính chất 2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác ………………………………………………………………… Tính chất 3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc cho trước………………………………………….2 Tính chất 4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn BC OA (với O gốc tọa độ) ………………………………………………………… Tính chất 5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác đó……………………………………… Tính chất 6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC……………… Tính chất II Ứng dụng Ví dụ 1…………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… Ví dụ ………………………………………………………………………… Ví dụ …………………………………………………………………………… III Bài tập Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… Bài tập ………………………………………………………………………… IV Kết luận …………………………………………………………………………… Mục lục ………………………………………………………………………………… Nhận xét BGH……………………………………………………………………… Chuyên đề: Tính chất điểm cực trị đồ thị hàm số y ax bx c ứng dụng PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: Ngày tháng năm PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ …………………………………………………………………………………………………… Ngày tháng năm ... Cho hàm số y x 2mx (1) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị đường tròn qua ba điểm có bán kính Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. .. thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt giá trị nhỏ Lời giải Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị bán kính đường tròn... dụ Cho hàm số y x m x m 5m Cm Với giá trị m đồ thị Cm có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác Lời giải Áp dụng tính chất 2,