CHỦ đề 1 vấn đề 2 DẠNG TOÁN về cực TRỊ của hàm số image marked

VẤN ĐỀ 2: DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG  Định nghĩa: - Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng (a;b) (có thể a − ; b + ) điểm x  ( a; b ) 1) Nếu tồn số h > cho f ( x )  f ( x ) với x  ( x − h; x + h ) x  x ta nói hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x 2) Nếu tồn số h > cho f ( x )  f ( x ) với x  ( x − h; x + h ) x  x ta nói hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu x  Chú ý: 1) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x x gọi điểm cực đại hàm số; f ( x ) gọi giá trị cực đại hàm số, kí hiệu fCD ; điểm M ( x ;f ( x ) ) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số 2) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x x gọi điểm cực tiểu hàm số; f ( x ) gọi giá trị cực tiểu hàm số, kí hiệu f CT ; cịn điểm M ( x ;f ( x ) ) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số 3) Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số 4) Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số có đạo hàm khoảng (a ; b)và đạt cực đại cực tiểu x f ' ( x ) =  Định lí 1: - Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x − h; x + h ) có đạo hàm K K \ x  , với h > 1) Nếu f ' ( x )  khoảng ( x − h; x ) f ' ( x )  khoảng ( x ; x + h ) x điểm cực đại hàm số y = f ( x ) 2) Nếu f ' ( x )  khoảng ( x − h; x ) f ' ( x )  khoảng ( x ; x + h ) x điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) Minh họa: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải x0 − h x f '( x) x0 + h x0 + f (x) x x0 − h f '( x) - - f (x) fCD f CT  Qui tắc tìm cực trị 1: 1) Tìm tập xác định 2) Tính f ' ( x ) Tìm điểm f ' ( x ) f ' ( x ) không xác định 3) Lập bảng biến thiên 4) Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Minh họa: 5x 1) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − + 6x − - Tập xác định: D =  x =  y ( 3) =  y ' = x − 5x + 6; y ' =   x =  y ( 2) =  lim y = +; lim y = − x →+ x →− - Bảng biến thiên: x − y’ + - + + y + −  2 - Suy đồ thị hàm số cho có điểm cực đại  2;  , điểm cực tiểu  3 2) Tìm cực trị hàm số y = - Tập xác định: D = x0 + h x0  1  3;   2 x−4 x −5 \ 5 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải + y' = −1 ( x − )2  0; x  lim y = 1; lim+ y = +; lim− y = − x → x →5 x →5 - Bảng biến thiên: x − y’ y + - - + − Suy hàm số khơng có cực trị  Định lí 2: - Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( x − h; x + h ) , với h > Khi đó: 1) Nếu f ' ( x ) = , f '' ( x )  x điểm cực tiểu 2) Nếu f ' ( x ) = , f '' ( x )  x điểm cực đại  Qui tắc tìm cực trị 2: 1) Tìm tập xác định 2) Tính f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) kí hiệu xi ( i = 1, 2, , n ) 3) Tính f '' ( x ) f '' ( x i ) 4) Dựa vào dấu f '' ( x i ) suy tính chất cực trị điểm x i Minh họa: 5x + 6x − 1) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − - Tập xác định: D =  x =  y ( 3) =  y ' = x − 5x + 6; y ' =   x =  y ( 2) =  y '' = 2x − y'' ( 2) = −1   x = điểm cực đại hàm số y'' ( 3) =   x = điểm cực tiểu hàm số Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  2  1 - Suy đồ thị hàm số cho có điểm cực đại  2;  , điểm cực tiểu  3;   3  2 2) Tìm cực trị hàm số y = - Tập xác định: D = y' = −1 x−4 x −5 \ 5  0; x  ( x − )2 Suy hàm số khơng có cực trị  Tổng kết: - Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định khoảng (a;b) x  ( a; b )  f ' ( x )  0, x  ( x − h; x )  x điểm cực đại hàm số y = f ( x ) 1)  f ' x  0,  x  x ; x + h ( ) ( )  0   f ' ( x )  0, x  ( x − h; x )  x điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) 2)  f ' x  0,  x  x ; x + h ( ) ( )  0  f ' ( x ) =  x điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) 3)  f '' x  ( )  f ' ( x ) =  x điểm cực đại hàm số y = f ( x ) 4)  f '' ( x )  BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1: Hàm số c y = x − 2mx + có cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ ? A m = B C m = D 3 HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích Cách 1: giải theo hướng truyền thống x = y ' = 4x − 4mx, y ' =   x = m - Để hàm có cực trị m > (1) ( ) ( Gọi A ( 0; ) ; B − m; −m + ; C m; −m + ) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải SABC = 1 d ( A; BC ) BC = y B − y A x C − x B = m 2 m 2 AB = AC = m4 + m; BC = m ( ) m4 + m m   AB.AC.BC R= = = m +  4S 2 m 4.m m 1 1 Vậy tới cơng việc ta cần làm tìm biểu thức: A =  m +  2 m Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy Với số khơng âm a, b, c ta có: a + b + c  3 a.b.c Dấu đẳng thức xảy  a = b = c - Áp dụng vào toán: Vậy A  A 1 1 1 = m2 + = m2 + +  3.3 m3 = 3 m 2m 2m 2m 2m 33 - Dấu “=” xảy m2 = 1 m= 2m - Giá trị nhỏ bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo điểm cực trị đạt là: 31 m = 2 Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio    b a    −  - Áp dụng công thức R = a    b      2  1 1 R =  m2 +  2 m - Tới bạn dùng Cauchy điều kiện m > Nhưng ta tìm nhanh giá trị max – Casio sau: + B1 Bấm MODE (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức 1  m +  2 m + B2: Vì m > nên cho Start giá trị lớn 0, tác giả lấy Start 0.5 End bước nhảy Step 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị được) + B3: Quan sát kết hình máy tính Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm đến x = f(x) lại bắt đầu tăng Từ nhận xét giá trị nhỏ f(x) nằm (1.125;1) x thuộc (0.5;1) Tuy nhiên có tới đáp án thỏa nhận xét trên, ta phải chia nhỏ bước nhảy lại: Cho giá trị start 0.1, end với step 0.1 ta có kết sau: Nhận xét điểm giá trị nhỏ f(x) nằm khoảng (0.9542;0.945) (giá trị xác giải cách f ( x ) = = 0.9449407 ) Khi x thuộc khoảng (0.7;0.8) So sánh đáp án có đáp án B m = = 0.7937 thỏa mãn nhận xét Lưu ý: Ta khơng thể tìm xác giá trị m Casio nếm m khơng phải số hữu tỉ khuyến khích bạn sử dụng bất đẳng thức tìm R Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − 3x + x Tìm m để đường thẳng qua cực trị hàm số cho tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m + 1) + ( y − m ) = A m = B m = 25 C Cả A B D Cả A B sai HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: Nhắc lại kiến thức: Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm bậc phần dư phép chia x b  CALC giá trị i vào phương trình y − y '  +  (chuyển sang chế độ số phức)  9a  Đường thẳng ax + by + c = tiếp xúc với đường tròn tâm I ( x ; y0 ) bán kính R Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải y y'  ax + by + c a + b2 =R - Từ phân tích trên: y ' = 3x − 6x +  x −3  - Nhập vào máy tính phương trình: x − 3x + x − 3x − 6x +  +  , CALC x = i (nhớ  9.1  ( ) chuyển sang số phức MODE 2) Vậy ta đường thẳng qua điểm cực trị là: 4x + 3y −1 = ( d ) - Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) có tâm I ( m − 1;m ) bán kính R =  14 ( m − 1) + 3m − 42 + 32  m=  7m − = =   7m − = −1  m=  Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − 2x + có điểm cực trị khơng thuộc đường thẳng y = ux + v − 2x giá trị u + v ? A B C D HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: (x Gọi y đường thẳng cực đại cực tiểu qua y = ) − 2x + ' (1 − 2x ) ' = − 2x Với giá trị tương ứng u = −2; v =  u + v = Chọn A Ví dụ 4: Xác định m để hàm y = x − ( 3m − ) x + 3m + số có điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp 1: A m =1, m = B m = 1, m = - C m = -2 D m = HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: Cách 1: Dùng cơng thức Cho cực trị tạo thành tam giác với hệ số a = Khi bán kính đường trịn nội tiếp Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải r= 1+ ( b ')2 − ( b ') b  b' =  2  - Áp dụng công thức vào toán ta được: r = ( b ')2 − ( b ') 1+ b ' =   b ' = −2  − 3m = m =    − 3m = −2 m = - Tuy dùng công thức phải xét điều kiện có cực trị: Để hàm số có cực trị −b = 3m −   m  2a Vậy nhận m = Cách 2: Thay đáp án Thay giá trị m vào hàm số tìm tọa độ điểm cực trị Với giá trị m thỏa mãn điều kiện đề ta chấp nhận đáp án Ghi chú: Đây dạng câu hỏi thiên tự luận gặp trắc nghiệm Ở tác giả giới thiệu giải phương pháp trắc nghiệm, bạn đọc muốn tìm hiểu rõ dạng tìm đọc tài liệu tự luận liên quan Chọn D ( ) Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = − x + 3x + m2 − x + 3m2 − có cực trị x1 , x thỏa điều kiện cách gốc tọa độ:  −1  A m   0; ;   2 C m = B m = D Đáp án khác HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: ( ) y ' = −3x + 6x + m − (1) Để hàm số đạt cực trị  ' = 9m2   m  ( ) ( Gọi điểm cực trị A − m; −2 − 2m3 , B + m; −2 + 2m3 ) Để hàm số có điểm cực trị cách trục tọa độ  m=  OA = OB  8m3 = 2m   (thỏa điều kiện 1)  m = −1  Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Chọn D Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x − ( m + ) x + ( 3m − 1) x + m2 + có cực trị x1 , x thỏa x1.x = A −5 B −7 C D.A C thỏa mãn HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: y ' = −3x − ( m + ) x + 3m − Để hàm số đạt cực trị thỏa mãn đề ( m + )2 − 3m +  m + m +  0, m  '    c   3m −  =2  x1.x =  =2   a  m=  3m − = 3m − = −6   −  m =  Chọn D ( ) Ví dụ 7: Xác định m để hàm số y = x − 3mx + m2 − x − m3 + 4m − có cực trị tạo thành tam giác cho diện tích tam giác lớn tìm giá trị ? A m = 0; Smax = 32 B m = 0; Smax = 35 C m = − 3; Smax = D m = 3; Smax = HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích Cách 1: giải theo tự luận ( ) y ' = 4x − − m x x = y' =   x = − m Để hàm số có cực trị − m2   −  m  (1) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: Tới ta mạnh dạn loại câu C, D với điều kiện m không tồn cực trị Nên nhớ: chọn hội cao nhiều so với chọn tuyệt đối không bỏ câu làm trắc nghiệm Gọi điểm cực trị hàm số ( ) ( ( ) A 0; m − ; B − − m ; −m + 7m − 10 ; C SABC = − m ; −m + 7m − 10 ) ( 1 d ( A; BC ) = y B − y A x C − x B = m − 6m + − m = − m 2 2 ) m  m  − m  m ( Vậy − m2 ) 5  32 Dấu “=” xảy m = Cách 2: Dùng công thức giải nhanh: Nhắc lại công thức: Nếu điểm cực trị hàm trùng phương tạo thành tam giác có diện tích S S = b ') ( − a3 Áp dụng công thức vào toán ( −2 (3 − m )) − S= 13 = ( − m2 Vậy với giá trị m = Smin )  32 = 32 Chọn A Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = x − 2mx + m + m + , tìm m để đồ thị hàm số có cực trị thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp 1? A m = −1; m = C m = −1 + −1 − ;m= 2 −1 + −1 − ;m= 2 B m = −1; m = −1 + D Đáp án khác HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: Cách 1: Dùng tính chất để giải: Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải x =  y ' = x + 5x − 14x + 8; y ' =  ( x − 1) x + 6x − =   x = −3 + 17  x = −3 − 17  ( 2 ) y '' = 3x + 10x − 14  y ''   ( )  - Dùng chức CALC máy tính Casio ta tính  y '' −3 + 17    y '' −3 − 17   ( ( ) ) Để tính giá trị ta dùng cách khác nhập vào máy tính Casio: ( d X3 + 5X − 14X + dx ) x = Tiếp theo nhập giá trị x cần tính Câu 31: Đáp án A Theo lí thuyết cực trị A câu B sai hàm số đạt cực tiểu x f '' ( x )  C sai câu “khi khi” Phát biểu vế thuận vế đảo chưa hẳn đạo hàm x chưa hẳn x cực trị hàm số Lưu ý: Nhiều bạn học sinh mắc sai lầm làm trắc nghiệm thấy phát biểu C có đáp án nên nghĩ C câu Các bạn nên tự tin vào kiến thức đừng theo cảm tính Câu 32: Đáp án D Ta tính đạo hàm tìm cực trị hàm số sau xét cực trị thuộc khoảng (1; + ) không ? x = y ' = 3ax + 2bx, y ' =    x = −2b 3a  Rõ ràng điểm  (1; + ) cịn −2a  (1; + ) Vậy hàm số cho có 3b cực trị Câu 33: Đáp án B Tính đạo hàm câu ta thấy B có y '  x nên khơng có cực trị Câu 34: Đáp án B Trang 44 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ( ) y ' = −4x x − x = y = y ' =   x = −1   y =  x =  y = Tổng giá trị cực tiểu cực đại Lưu ý: Ta không cần quan tâm điểm cực tiểu, cực đại Câu 35: Đáp án C - TXĐ: D = y ' = x − 3x ( ) ( ( −1 y ' = x − 3x ) = x − 3x ) ( 2x − 3) 2x − y' =  =0 3 x − 3x - Bảng biến thiên: x − y’ - +  - + + y Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đạt cực tiểu tai x = x = Lưu ý: Nếu gặp khó khăn việc xác định dấu y’ dùng Casio sau: Nhập y’ CALC với giá trị khoảng cần xét dấu Ví dụ để xét dấu ( −;0 ) ta nhập biểu thức y’ CALC với giá trị khoảng ví dụ -2 Ta nhận giá trị biểu thức nhỏ suy dấu khoảng ( −;0 ) âm Câu 36: Đáp án D y ' = 3ax + 2ax - Để hàm số có cực đại cực tiểu     a   a  (1) - Hàm số có cực trị x = −2  −2  nên y '   =  0.a = ( )   Trang 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Kết hợp (1), (2) suy a  Câu 37: Đáp án B ( ) y ' = −8x + 2m + x x =  y ' =   x = − 2m +   x = 2m + Nhận xét: Hàm trùng phương có cực trị với hệ số a < có cực đại cực tiểu Từ ta xác định giá trị cực đại: ( ) ( ) ( ) yCD = −2 2m2 + + 2m + + = 2m + + ( ) Vì 2m +  nên 2m + +  + = ( ) Sai lầm: Nhiều bạn đánh sau: 2m2 +   = Rất nhiều bạn thấy bình phương liền cho lớn khơng khơng để ý biểu thức bình phương lớn hẳn Câu 38: Đáp án C y ' = x + 4mx, y '' = 2x + 4m Để hàm đạt cực tiểu x = -1  m =  y ' ( −1) = 1 − 4m =   (vô nghiệm)  −2 + 4m   y '' ( −1)  m   Vậy khơng tìm giá trị m Lưu ý: “Khơng tìm giá trị m” khác với “Đáp án khác” Câu 39: Đáp án B Ta cần tìm cực đại cực tiểu sau cho thuộc vào khoảng đề yêu cầu: y ' = x + ( m − 1) x + m − Để hàm có cực đại, cực tiểu     ( m − 3)   m  (1) x1 = 1− m + m − 1− m + − m = −1, x = = 2−m 2 Vì x1 thuộc ( −3; ) nên ta cần định điều kiện để x thuộc ( −3; ) Trang 46 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải m  Để x thuộc ( −3; )  −3  − m    , kết hợp (1) ta m  ( −2;5) \ 3 m  −2 Lưu ý: Nhớ kết hợp điều kiện có cực đại cực tiểu không bị nhầm sang đáp án A Câu 40: Đáp án A TXĐ: D =  −3;3 y' = x −x − x2 , y' =  x = -3 y’ + - y Dựa vào bảng biến thiên ta suy hàm số khơng có cực tiểu Câu 41: Đáp án B Dạng ta gặp qua, tác gải muốn giới thiệu thêm cách giải nhanh mà không cần chia phức tạp: Cách 1: Tính đạo hàm, thực phép chia y tìm phần dư: y' 1 1 y = y '  x +  − 4x + Vậy đường thẳng qua điểm cự trị là: y = −4x + 3 3 Cách 2: Dùng máy tính Casio: Phương pháp tổng quát x b  B1: Nhập vào giá trị r ( x ) = y − y '  +   9a  B2: CALC x = i (nhớ chuyển sang dạng phức CMPLX: MODE 2) Lưu ý: Khi xuất giá trị, hệ số trước I hệ số góc đường thẳng cần tìm, hệ số cịn lại hệ số tự Thực tế toán: X  Nhập vào: X3 + 3X − 3X + − 3X + 6X −  +   9.1  ( ) CALC x = i ta kết quả: – 4i Vậy đường thẳng qua cực đại cực tiểu là: y = −4x + Trang 47 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải So với đáp án có B song song với đường thẳng qua cực trị có hệ số góc khác hệ số tự Câu 42: Đáp án B - TXĐ: D =  −5;1  −1  y' =  +   1− x x +5  y ' =  x = −2 - Bảng biến thiên: x -5 y’ -2 + y - Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng chọn đáp án Câu 43: Đáp án D - TXĐ: D = ( −;1  5; + ) y' = x −3 x − 6x + =  x = 3 D Vậy hàm số khơng có cực trị Sai lầm: - Các bạn dễ mắc lỗi không xét tập xác định làm theo cảm tính: - Bảng biến thiên: x y’ - + y Từ kết luận hàm số có cực trị sai Câu 44: Đáp án A y = x − 2x + y ' = 4x − 4x x = y ' =   x =  x = −1 Trang 48 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Nhận xét: Hàm trùng phương có cực trị với hệ số trước x  ln có cực tiểu cực đại Câu 45: Đáp án A y ' = x + ( m − ) x − ( 2m + 3) - Hàm số có cực đại cực tiểu   ' = m − 4m + + 2m − = ( m − 1)   m  Vậy hàm số ln có cực đại cực tiểu \ 1 Câu 46: Đáp án A y ' = x − mx 11 - Để hàm số đạt cực tiểu x = thì: Vậy tỉ số  y ' (1) = m =   11  n =   y (1) =  n =3 m Câu 47: Đáp án B  − 14  x1 =  y ' = 4x − 14x, y ' =   x =   x = 14  A = ( x3 − x − x1 ) + ( x3 + x + x1 ) = 14  2.A = 28 2 Lưu ý: đọc kĩ xem đề hỏi giá trị Câu 48: Đáp án C y ' = 8.cos 2x  y ' =  x =  k +   k    −16, k = 2n y '' = −16sin 2x  y ''  +  = −16sin  + k  =  4  2  16, k = 2n + Vậy hàm số đạt cực tiểu x =   + ( 2n + 1) Câu 49: Đáp án A ( ) y ' = 4x + 3x − 6x − = ( x − 1) 4x + 5x − Trang 49 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  x =  −5 + 41 y ' =   x =  −5 − 41   x = Nhận xét: hàm bậc có cực trị phân biệt với hệ số trước x  nên có cực tiểu cực đại Lưu ý: không nên tình y’’ CALC giá trị điểm cực trị vào thời gian Câu 50: Đáp án A y ' = 4x + 12mx + ( m + 1) x x = y' =    4x + 12mx + ( m + 1) = g ( x ) Để hàm số có cực tiểu khơng có cực đại g(x) khơng đổi dấu  '  − 13 + 13 m 6 Lưu ý: nhớ xét trường hợp nghiệm kép Câu 51: Đáp án B Các bạn tìm phần dư phép chia y , tác giả hướng dẫn cách y' B1 Chuyển máy sang chế độ CMPLX x  Nhập biểu thức 3x + 4x + 6x + − 9x + 8x +  +   9.6  ( ) B2 CALC x = i, bấm “=” Ta thu kết quả: 92 + i 27 Vậy đường thẳng qua điểm cực trị cần tìm là: y = 92 x + (chú ý kẻo ngược hệ số a b) 27 Lưu ý: Cẩn thận kẻo ngược hệ số a, b đường thẳng Nhận xét: Với trường hợp chia số khơng đẹp Casio công cụ tấ cần thiết cho giải trắc nghiệm Câu 52: Đáp án D  x = −1 y ' = 3x − 6x −  y ' =   x = - Caác bạn giải cách vẽ bảng biến thiên dùng y’’ Trang 50 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải - Ở tác giả nhận xét đơn giản sau: hàm số có cực trị kết hợp hệ số trước x3  nên hàm số đạt cực đại x = -1 đạt cực tiểu x = (xem lại dạng đồ thị hàm số bậc 3) Câu 53: Đáp án A - Hàm số đạt cực trị x = x đạo hàm hàm số đổi dấu qua x - Đạo hàm hàm số có nghiệm có x = làm y’ đổi dấu Vậy hàm số cho có cực trị Câu 54: Đáp án B y ' = cos 4x + 2m sin x y '' = −16sin 4x + 2m cos x - Để hàm số cho đạt cực tiểu điểm có x =         y '  = 4 cos   + 2m sin   =         m =   (nhận)   y ''     16sin    + 2m cos     m  −8           3 3 Câu 55: Đáp án B Đây câu hỏi đơn giản chủ yếu nhằm củng cố kiến thức: Hàm số đạt cực trị x = x đạo hàm hàm số đổi dấu qua x , tức nghiệm có bội lẻ Nhiều học sinh lấy bội mà sót nghiệm cịn lại Vậy hàm số có cực trị x = Câu 56: Đáp án B (x Tính nhanh y = ) − 5x + ' (3 − x ) ' = − 2x Lưu ý: để ý dấu trừ mẫu Câu 57: Đáp án D y ' = 3x − x = y' =    x = −1 - Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số: A (1; −1) , B ( −1;3) - Khoảng cách điểm cực trị đồ thị hàm số Trang 51 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải d = AB = ( −1 −1)2 + (3 + 1)2 = Sai lầm thường gặp: d = x − x1 = Câu 58: Đáp án D TXĐ: S = \ 2   −15  0,  x  y ' =    ( 3x − )2 Suy hàm số khơng có cực trị Câu 59: Đáp án B Cách 1: Hiểu rõ vấn đề ( - Có: y ' = 4x − 4m2 x = 4x x − m2 ) x = y ' =  4x x − m =   2  x = m (*) ( ) - Để hàm số có ba điểm cực trị phương trình y’ = phải có ba nghiệm phân biệt  phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác  m  Vậy với m  hàm số có cực trị - Tiếo theo, ta tìm m để ba điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông cân Ta  x =  y = −1  có: y ' =   x = m  y = −1 − m  x = −m  y = −1 − m  - Vì y hàm trùng phương nên tam giác ABC cân (giả sử cân A) ( ) ( - Gọi điểm cực trị là: A ( 0; −1) , B −m; −1 − m4 , C m; −1 − m ( ) ) AB = −m; −m4 , AC = ( m; −m ) - Để ABC vuông cân AB vng góc với AC m = ( l )  AB.AC =  −m + m8    m = 1 Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh - Điều kiện tồn cực trị −b   m2   m  2a Trang 52 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b3 + 8a - Gọi  góc đỉnh cân tam giác tạo cực trị: cos  = b − 8a ( −2m )  ( −2m ) 3 +8 m = =  −2m2 = −2    m = −1 −8 Ghi chú: Cơng thức hồn tồn xây dựng từ công thức cos hai vecto Ở ta thừa nhận không cần chứng minh Câu 60: Đáp án A - TXĐ: D = - Tính y ' = \ 1 x − 2x − ( x − 1)2 x =  x − 2x − = y' =     x = −2  x  −1  x  - Gọi A B hai điểm cực đại cực tiểu  A ( −2;m − 4) , B ( 4;m + 8) - Để A B nằm hai phía đường thẳng (d) thì:  ( 9x A − 7y A − 1)( 9x B − 7y B − 1)   ( − 7m )( 21 + 7m )   −3  m  Lưu ý: - Một số dạng tập tương tự gặp - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hồnh  yCD yCT  - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu nằm phía trục tung  x CD x CT   yCD + yCT  - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hoành    yCD yCT   yCD + yCT  - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hồnh    yCD yCT  Câu 61: Đáp án C - Tính y ' = mx − ( m − 1) x + ( m − ) m  - Hàm số có hai cực trị    ' = ( m − 1) − 3m ( m − )  Trang 53 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải m  m     6  m  1+ −2m + 4m +  1 −  2 ( *) - Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình y’ =  − b ( m − 1) = (1)  x1 + x = a m - Theo định lý Vi-ét, ta có   x x = c = ( m − ) ( )  a m - Thay (1) vào phương trình x1 + 2x = Ta x = −1 +  x1 = − m m   ( m − 2)  - Từ (2)   −1 +  −  = m=2  m= m  m m  So với điều kiện (*): m =  m = Câu 62: Đáp án D - Tính y ' = 4x + 3mx − 4x − 3m  y ' = ( x − 1) 4x + ( + 3m ) x + 3m   x = y' =   4x + ( + 3m ) x + 3m = (1) Để hàm số có hai cực tiểu phương trình (1) có nghiệm khác   = ( 3m − )2  m  ( 3m − )2     4 + + 3m + 3m  f (1)  m  −  Câu 63: Đáp án B - TXĐ: D = - Tính y ' = \ 0 mx + x2 - Hàm số có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác  m  (*)  −1    A ; −m  ; B  ; −m   −m   −m  AB2 = −4 + 16 ( − m ) m Trang 54 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải AB2  −4 16 ( −m ) = 16 m m= 1 so với điều kiện (*)  m = − 2 Nhận xét: Nếu khơng có đáp D “Đáp án khác” ta thay đáp án xét xem đoạn AB ngắn nhất, nhiên ta có giá trị m làm cho AB ngắn với đáp án A, B, C không nên buộc ta phải giải m Câu 64: Đáp án C Cách 1: - Tính y ' = 4x − 4m x x = Để hàm số có điểm cực trị m  y' =   2 x = m  ( ) ( - Tọa độ điểm cực trị là: A ( 0;1) , B −m;1 − m4 , C m;1 − m ( ) ) - Do tính chất hàm trùng phương y, gọi I 0;1 − m4 trung điểm BC ( ) AI = 0; −m4 , BC = ( 2m;0 ) 1 S ABC = AI.BC = 2 ( −m ) ( 2m )2 = m4 m = m = 32  m = 2 Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh: - Điều kiện có cực trị: −b   m2   m  2a - Gọi S diện tích cực trị hàm trùng phương: S ( 32 )2 = ( m2 ) b ') ( =− a3 m =   m = −2 Lưu ý: Công thức giúp ta hỗ trựo việc tính tốn xây dựng qua nhiều toán, ác bạn cần phải hiểu cách làm truyền thống Câu 65: Đáp án A x = - Tính y ' = 2x 2mx + m2 − , y ' =   2  2mx + m − = ( ) Trang 55 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải x =  m  −3 - Để hàm số có nghiệm phân biệt   − m   0 0  m   2m Câu 66: Đáp án B - Tính y ' = ( m − ) x − m - Hàm số khơng có cực trị  y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép  ( y ')    m  Câu 67: Đáp án D - Đây câu hỏi dễ cần nắm lí thuyết làm A sai hàm số có cực trị (x = cực trị hàm số liên tục x = y’ đổi dấu qua nó) B sai giá trị cực tiểu hàm số – C sai hàm số khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ , – giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm D Câu 18: Đáp án A Để hàm số có cực trị − b ( m − 1) =   m  (1) 2a ( −2 ) Để cực trị tạo tam giác vuông cân  cos  = 900  b3 + 8a = cos 900 = b − 8a   − ( m − 1)  + ( −2 ) =  m − = −16  m = −16 +  Vậy giá trị m vừa tìm thỏa điều kiện (1) Ghi chú: Các bạn làm kiểu tự luận giống câu 59 để kiểm tra đáp án Câu 69: Đáp án D Cách 1: giải theo hướng truyền thống Để hàm số có cực trị −b 3m + −1 =− 0m (1) 2a  −3m − − ( 3m + 1)2   −3m − − ( 3m + 1)2  Gọi A ( 0;6 ) , B  ; + 6, C − ; + 6     2     Do tam giác ABC cân A có BC = AB Trang 56 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải  −3m − ( 3m + 1)4   ( 3m + 1)3   −3m −     =0  9.4  = +  3m + + ( )     16  16        x =  x =  −1 −5 So với điều kiện (1) nhận x = −5 Cách 2: sử dụng công thức giải nhanh Lưu ý: Ta chưa sử dụng công thức mà phải biến đổi tí: Áp dụng định lí hàm cos vào tam giác ABC BC2 = AB2 + AC2 − AB.AC.cos   BC = 2AB2 (1 − cos  ) 3  BC2 =   BC (1 − cos  ) (do cạnh bên gấp rưỡi cạnh đáy) 2 b3 + 8a  cos  = = b − 8a (3m + 1)  (3m + 1) 3 +8 −8 = −5 m= (Làm xong phải so với điều kiện tồn cực trị nhé) Câu 70: Đáp án B Trước hết ta phải nhận xét điều sau Đây hàm trùng phương với đỉnh cân điểm có hồnh độ Vậy góc đáy phải có số đo nhỏ 900 Đề cho tam giác có góc 1200 góc phải nằm đỉnh cân Cách 1: Làm theo tự luận ( y ' = 4x − ( m + 1) x = 4x x ( m + 1) ) Để hàm số có cực trị  m +  (1) x =  y ' =  x = − m +  x = m + - Gọi điểm cực trị có tọa độ: Trang 57 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải A ( 0;3) , B ( ) ( m + 1; − ( m + 1) + , C − m + 1; − ( m + 1) + 2 ) - Tới bạn dùng cơng thức cos vecto dùng tỉ số lượng giác đưa độ dài để giải: ( - Gọi I trung điểm đoạn BC  I 0; − ( m + 1) + ) - Góc đỉnh cân A 1200 suy góc B 300  AI = tan 300.BI = BI  3AI = BI  ( m + 1) = m +  ( m + 1) = (do m + > nên ta đơn giản) m= − (nhận) Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh cos1200 = m= 3 b3 + 8a  3b3 = −8  ( −2 ( m + 1) ) = −8  ( m + 1) = b − 8a − (nhận) Nhận xét: Làm theo cách giúp bạn tiết kiệm khoảng thời gian lớn nhiên bạn không học chương hay môn mà nhiều môn Việc nhớ nhiều công thức giải nhanh làm bạn nhanh quên dễ bị lẫn lộn cơng thức Vì tác giả mong bạn đọc hiểu rõ chất tốn để qn cơng thức làm Trang 58 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... nhỏ giá trị ? 11 A m = , d = 11 B m = , d = 2 C m = , d = 11 D m = 11 , d = Câu 14 : Với hàm số y = x , phát biểu sau ? A Hàm số cho khơng có đạo hàm B Hàm số khơng có cực trị C Hàm số đạt cực tiểu... 13 -C 14 -D 15 -C 16 -C 17 -C 18 -B 19 -D 20 -C 21 - D 22 -A 23 -A 24 -C 25 -D 26 -C 27 -B 28 -D 29 -B 30-C 31- A 32- D 33-B 34-B 35-C 36-D 37-B 38-D 39-B 40-A 41- B 42- B 43-D 44-A 45-A 46-A 47-B 48-C 49-A 50-A 51- B... m B Hàm số ln có cực đại cực tiểu m \ ? ?1? ?? C Hàm số ln có cực đại cực tiểu m  (1; + ) D Hàm số ln có cực đại cực tiểu m  ( − ;1) Câu 46: y = 11 n x − mx + n đạt cực trị x = 1, tỉ số ?