Luận văn sư phạm Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Người hướng dẫn khoa học TH.S DƯƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI, 2013 Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình giáo, thạc sĩ Dương Thị Hà, khóa luận tơi đến hồn thành Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Dương Thị Hà, người trực tiếp hướng dẫn bảo cho nhiều kinh nghiệm quý báu thời gian tơi thực khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, thầy khoa tốn trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt giúp tơi hồn thành khóa luận thời hạn Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Như Quỳnh TrÞnh ThÞ Nh­ Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi LỜI CAM ĐOAN Tơi khẳng định cơng trình nghiên cứu riêng tơi, tơi nghiên cứu hồn thành sở kiến thức học, tài liệu tham khảo hướng dẫn tận tình giáo Dương Thị Hà Nó khơng trùng với kết người khác Nếu có sai sót tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Trịnh Thị Như Quỳnh TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSP Hµ Néi MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Nội dung cực trị hàm số mơn Tốn trường phổ thơng 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 1.1.4 Quy tắc tìm cực trị 1.2 Các dạng tốn cực trị chương trình tốn phổ thông 1.2.1 Cực trị hàm số đa thức hữu tỉ 1.2.2 Cực trị hàm số vô tỉ 11 1.2.3 Cực trị hàm siêu việt lượng giác 13 1.2.4 Các tốn cực trị hình học 16 1.3 Các sai lầm học sinh thường gặp giải toán cực trị hàm số 20 1.3.1 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 20 1.3.2 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 20 1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí 22 Kết luận chương 26 Chương 2: Một số dạng toán cực trị hàm số kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 27 2.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d (a  0) 27 2.1.1 Các toán tồn vị trí điểm cực trị 28 2.1.2 Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa mãn hệ thức cho trước 30 2.1.3 Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu 32 2.1.4 Luyện tập 35 TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2.2 Cực trị hàm số trùng phương y  ax  bx  c (a  0) 41 2.2.1 Các toán tồn cực trị 41 2.2.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác cân tam giác 43 2.2.3 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác có diện tích cho trước 44 2.2.4 Luyện tập 45 2.3 Cực trị hàm phân thức y  ax  bx  c (ax  b  0, a  0) 48 ax  b 2.3.1 Khoảng cách hai điểm cực đại, cực tiểu 48 2.3.2 Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng 51 2.3.3 Dấu giá trị cực đại, cực tiểu 53 2.3.4 Luyện tập 55 Kết luận chương 2………………………………………………………… 59 Kết luận chung……………………………………………………………….60 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 61 TrÞnh ThÞ Nh­ Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho tốn học có tính thực tiễn phổ dụng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác khoa học công nghệ, sản xuất đời sống xã hội đại Mục đích việc giảng dạy mơn Tốn phổ thơng dạy học sinh kiến thức toán, cách giải tập, rèn luyện kĩ giải toán, giúp học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung mơn Tốn từ hình thành phát triển tư logic cho học sinh Trong chương trình tốn khảo sát hàm số dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số mảng kiến thức quan trọng chương trình lớp 12 nói riêng chương trình tốn trung học phổ thơng nói chung Vì phần kiến thức chiếm nhiều thời lượng phân phối chương trình khơng thể thiếu đề thi dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp, đặc biệt kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng,…Câu hỏi phụ liên quan liên quan đến khảo sát hàm số đề thi câu hỏi “e ngại” phần lớn học sinh tính đa dạng, phong phú địi hỏi có kiến thức vững vàng, tư logic, sắc bén Trong khóa luận sâu vào phần nhỏ khảo sát hàm số phần cực trị hàm số Đây nội dung thường xuyên có mặt đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với mục đích giúp cho học sinh có nhìn tổng quan, giải tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp em nâng cao kiến thức luyện thi đại học Với lí trên, với đam mê thân hướng dẫn nhiệt tình giáo Dương Thị Hà, tơi lựa chọn đề tài: “Bài toán cực trị hàm số đề thi tuyển sinh đại học, cao ng Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Mc đích nghiên cứu + Nghiên cứu lí luận nội dung cực trị hàm số mơn Tốn trường trung học phổ thơng + Hệ thống hóa dạng tập cực trị hàm số chương trình tốn trung học phổ thơng kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Từ phát triển kĩ giải toán cực trị học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn phổ thơng Đối tượng nghiên cứu Các tốn cực trị hàm số kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Phạm vi nghiên cứu Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng số tài liệu tham khảo khác Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lí luận đề tài Phân loại dạng toán liên quan đến cực trị hàm số, nghiên cứu số sai lầm học sinh giải dạng toán Nghiên cứu tập sách giáo khoa 12 đề thi đại học, cao đẳng năm gần Đề xuất số toán cực trị Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung cực trị hàm số mơn Tốn trường phổ thơng 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số Giả sử hàm số f xác định tập hợp D ( D  ฀ ) x0  D a) x0 gọi điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a ; b) chứa điểm x0 cho (a ; b)  D f(x) < f(x0) với x  (a ; b) \ {x0} Khi f(x0) gọi giá trị cực đại hàm số f b) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a ; b) chứa điểm x0 cho (a ; b)  D f(x) > f(x0) với x  (a ; b) \ {x0} Khi f(x0) gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị hàm số 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Ta thừa nhận định lí sau: Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f (x0) = Chú ý: Định lí điều kiện cần đạo hàm hàm số điểm x0 hàm số không đạt cực trị điểm x0 Ví dụ: Xét hàm số y  f (x)  x , có f (x)  3x f (0)  Tuy nhiên hàm số f không đạt cực trị điểm x = Thật vậy, f (x)  3x  với x  nên hàm số đồng biến ฀ TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh Líp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Xét hàm số y  f (x)  x hàm số xác định ฀ có f (0)  f (x)  với x  Nên hàm số đạt cực tiểu x = Nhưng hàm số khơng có đạo hàm x = Nhận xét: Một hàm số đạt cực trị điểm thuộc tập xác định mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Những điểm thuộc tập xác định hàm số y  f (x) mà đạo hàm hàm số liên tục mà khơng có đạo hàm gọi điểm tới hạn hàm số 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a ; x0) (x0 ; b) Khi a) Nếu f (x) < với x  (a ; x0) f (x) > với x  (x0 ; b) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f (x) > với x  (a ; x0) f (x) < với x (x0 ; b) hàm số đạt cực đại điểm x0 Chú ý: Định lí phát biểu cách khác sau Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a ; x0) (x0 ; b) Khi a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 (theo chiều tăng) hàm số đạt cực đại điểm x0 x a f (x) f(x) TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh x0 b +  f(x0) (cực tiểu) Líp K35E To¸n Khãa ln tốt nghiệp x Trường ĐHSP Hà Nội a x0 f (x)  b  f(x0) (cực đại) f(x) Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a ; b) chứa điểm x0, f (x) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f (x) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 1.1.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: Áp dụng định lí Tìm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, 3, …) đạo hàm hàm số liên tục đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua điểm xi hàm số có cực trị điểm xi Quy tắc 2: Áp dụng định lí Tìm f (x) Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) phương trình f (x) = Với xi tính f (xi):  Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi  Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số: f (x)  x (x  2) Giải: Hàm số cho xác định liên tục ฀ Ta có:  x(x  2) x  2x  x  f (x)  x  x      f (x)    x(x  2) x  2x  x  TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi Khi ta có: A(0;m), B(  m  1;  m  m  1), C( m  1;  m  m  1)    OA  (0;m), BC  (2 m  1;0)  OA  m , BC  m  Do OA = BC  m  m   m  4m    m   Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy m   giá trị cần tìm Bài Cho hàm số y  x  2mx  m  có đồ thị ( Cm) Với giá trị m đồ thị ( Cm) có điểm cực trị , đồng thời điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp Hướng dẫn: x  y  4x  4mx  4x(x  m), y    x  m Hàm số cho có điểm cực trị  PT y = có nghiệm phân biệt y đổi dấu x qua nghiệm  m > (*) Khi điểm cực trị đồ thị (Cm) là: A(0; m  1); B(  m;  m  m  1); C( m;  m  m  1) Gọi H trung điểm BC  H(0;  m  m  1) Ta tính được: AB  AC  m  m; BC  m; AH  m 1 SABC  AH.BC  m 2 m  m m 2 Theo giả thiết: R  AB.AC.BC (m  m)2 m 1 1 4.SABC 4m m m   m  2m      m   ;m  1   2 Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy m  1; m  TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh 47 1 giá trị cần tìm Líp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.3 Cực trị hàm phân thức y  ax  bx  c (ax  b  0, a  0) ax  b  Hàm số có cực trị (hai cực trị)  y = có hai nghiệm phân biệt x   b a Khi hồnh độ điểm cực trị nghiệm phương trình y =  Hai cực trị: cực đại, cực tiểu đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận  Hàm số có dạng y  ax  bx  c u(x)  ax  b v(x) u(x)v(x)  u(x)v(x)   u(x)v(x)  u(x)v(x)  v (x) u(x) u(x)    v(x) v(x)  y  Giả sử (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) hai cực trị nên y(x1) = y(x2) =  tọa độ điểm cực trị thỏa mãn phương trình y  u(x) phương trình đường thẳng v(x) qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số 2.3.1 Khoảng cách hai điểm cực đại, cực tiểu ax  bx  c Bài toán: Cho hàm số y  (ax  b  0, a  0) Tìm điều ax  b kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải chung cho tốn là: + Tính y Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu + Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) Tính y1, y2 theo x1, x2 + Ta có AB  (x1  x )2  (y1  y )2 + Sử dụng biến đổi  x1  x    x1  x   4x1x để áp dụng định lí 2 Vi-ét Từ tìm điều kiện tham số TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 48 Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Trường ĐHSP Hà Nội Vớ d ( thi đại học dự bị khối D - 2002) Cho hàm số y  x  mx (m tham số) Tìm m để hàm số có cực đại, 1 x cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số 10 Giải: Hàm số có tập xác định D  ฀ \ 1 Ta có y   x  2x  m Đặt g(x) = x2 + 2x + m (1  x) Hàm số có cực đại, cực tiểu  y = có hai nghiệm phân biệt khác  '   m  m  1    m  1 g(1) m m        Với m > 1 hàm số có cực trị x1, x2 nghiệm phương trình y = Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị : (x  mx) ' 2x  m y   2x  m (1  x) ' 1 Gọi tọa độ hai điểm cực trị là: M(x1 ; y1) N(x2 ; y2) MN  10  (x  x1 )  (y2  y1 )2  5(x  x1 )2  100   x1  x   4x1x    Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1x2 = m  20   4m  m  ( thỏa mãn m > 1) Vậy m = giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu tốn Nhận xét: Khi tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm phân thức y  dụng công thức y  u(x) ta sử v(x) u(x) v(x) TrÞnh Thị Như Quỳnh 49 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vớ d ( thi đại học dự bị khối A - 2003) x  (2m  1)x  m  m  Cho hàm số y  Tìm m để đồ thị hàm số 2(x  m) có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị hàm số Giải: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ m Ta có y  x  (2m  1)x  m  m  m 1  x  2(x  m) 2 xm (x  m)   y    (x  m) 2(x  m) Rõ ràng y = ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác m đổi dấu qua hai nghiệm Nên hàm số ln có cực trị với m Hoành độ x1, x2 nghiệm phương trình:  x1  m  (x  m)      x  m  Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số là: [x  (2m  1)x  m  m  4] 2x  2m  y  [2(x  m)]  y1  2x1  2m  2x  2m    ; y2   2 2 Khoảng cách hai điểm cực trị A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) là: AB  (x1  x )  (y1  y )  42  42  32  Vậy khoảng cách hai điểm cực trị hàm số Ví dụ Cho hàm số y  x  2(m  1)x  m  4m Tìm m để hàm số có cực x2 đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị hàm số với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông ti O Trịnh Thị Như Quỳnh 50 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Gii: Tập xác định hàm số D  ฀ \ 2 Ta có y  x  4x   m Đặt g(x) = x2 + 4x +  m2 (x  2) Hàm số có cực đại, cực tiểu  g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác 2  '    m   m0 g(2)     m  Với m  hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 nghiệm phương trình g(x) = Khi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: [x  2(m  1)x  m  4m] y  2x  2m  (x  2) Gọi A, B điểm cực trị  A(2  m ; 2), B(2 + m ; 4m 2)    OA  (m  2; 2); OB  (m  2;4m  2) Ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông O    OA.OB   m  8m   m  4  (thỏa mãn m  ) Vậy giá trị m cần tìm m  4  Nhận xét: Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu A(x1; y ) , B(x ; y )   cho OB, OA vng góc với ta là: OA.OB   x1x  y1y  2.3.2 Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng Bài tốn: Cho hàm số y = f(x) tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y  ax  b (trong f(x) m hàm số phân thức) Cách giải: + Tính y Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu điểm A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) Tính y1, y2 theo x1, x2 + Ta có A, B nằm hai phía đường thẳng y  ax  b khi: (ax1  y1  b)(ax  y  b)  Trịnh Thị Như Quỳnh 51 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội + Bin đổi hệ thức, áp dụng định lí Vi-ét Từ tìm điều kiện tham số Tương tự: A, B nằm phía đường thẳng y  ax  b khi: (ax1  y1  b)(ax  y  b)  Hai điểm A, B nằm hai phía đường f(x, y) = khi: f( x1 ; y1).f(x2 ; y2) < x  mx  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x 1 đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng Ví dụ Cho hàm số y  d: 2x + y  = Giải: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 1 Ta có: y  x  2x  m  Đặt g(x) = x2 + 2x + m  = (x  1) Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình g(x) = có hai nghiệm    m   m  phân biệt khác      m  (*) g(1)  m   Với m < hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 nghiệm phương trình g(x) = Khi đường thẳng qua điểm cực trị y = 2x + m Giả sử điểm cực đại, cực tiểu A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) ta có: y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2 + m A, B nằm hai phía đường thẳng d: 2x + y  = khi:  (2x1 + y1  1)(2x2 + y2  1) <  (4x1 + m  1)(4x2 + m  1) <  16x1x2 + 4(m  1)(x1 + x2) + (m  1)2 < Theo định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2 x1x2 = m   16(m  3)  8(m  1) + (m  1)2 <  m2 + 6m  39 <  3   m    Kết hợp với điều kiện (*) ta 3   m  3  TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh 52 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hµ Néi Ví dụ (Đề thi đại học dự bị khối B - 2005) Cho hàm số y  x  2mx   3m Tìm m để đồ thị hàm số có hai xm điểm cực trị nằm hai phía trục tung Giải: Tập xác định hàm số D  ฀ \ m Ta có y  x  2mx  m  Hàm số có hai cực trị nằm hai phía (x  m) trục tung y = có hai nghiệm trái dấu  x1x  m    1  m  Vậy 1 < m < thỏa mãn yêu cầu toán 2.3.3 Dấu giá trị cực đại, cực tiểu Bài toán: Cho hàm số phân thức tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn yêu cầu dấu giá trị cực đại, cực tiểu Cách giải: + Tính y, tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu + Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu A(x1 ; y1), B(x1 ; y2).Tính y1, y2 theo x1, x2 Tính y1 + y2 y1y2  y  y2  + Ta có yCĐ < 0, yCT <   y1y   y  y2  Tương tự ta có: yCĐ > 0, yCT >   y1y  y1, y2 trái dấu y1y2 < Ví dụ Cho hàm số y  x  (m  3)x  3m  Tìm m để hàm số có cực x 1 đại cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu hàm số âm Giải: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 1 TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 53 Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Ta cú: y Trường ĐHSP Hà Nội x  2x  2m  Đặt g(x) = x2  2x  2m + = (x  1) Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y = có hai nghiệm phân   2m   (*) biệt khác   m g(1) 2m     Với m  giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu là: A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị hàm số là: y [x  (m  3)x  3m  1]  2x  m  (x  1) Ta có y1 = 2x1  m  3; y2 = 2x2  m  theo định lí Vi-ét x1 + x2 =  y1  y  2m  x1x2 = 2m + Từ ta tính được:   y1y2  m  6m  m  1  y1  y  2m    Ta có yCĐ < 0, yCT <   m   y1y  m  6m     m   1 2  m 1 Giải hệ kết hợp với điều kiện (*) ta  m  Ví dụ Cho hàm số y  x  (m  1)x  m  Tìm m để (Cm) có cực đại, cực xm tiểu nằm phía với trục Ox Hướng dẫn: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ m Ta có: y  x  2mx  (m  1) Vì phương trình y = ln có hai (x  m)2 nghiệm phân biệt (do  = 2m2 + > 0, m ) nên hàm số có cực đại, cực TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 54 Líp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội tiểu Khi (Cm) đạt cực trị x1, x2 x1, x2 nghiệm phương trình x  2mx  (m  1) = Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  2x  m  Cực đại, cực tiểu nằm phía với trục Ox như: y(x1 ).y(x )   (2x1  m  1)(2x  m  1)   4x1x  2(m  1)(x1  x )  (m  1)2  Theo Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m2  (*)  m  3  Thay vào (*) ta m2 + 6m  >   m 3      m  3  Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán là:   m  3  2.3.4 Luyện tập Bài (Đề thi đại học dự bị khối A - 2007) Cho hàm số y  x  m  m Tìm m để hàm số có cực trị điểm x2 A, B cho đường thẳng AB qua gốc tọa độ O Hướng dẫn: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 2 Ta có y   m (x  2)  m Hàm số có hai cực trị  y =  (x  2) (x  2) có hai nghiệm phân biệt khác  (x  2)  m  có hai nghiệm phân biệt khác  m  Khi m > 0, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị d: y = 2x  + m Theo giả thiết, đường thẳng d qua gốc tọa độ O  m = Vậy m = thỏa mãn u cầu tốn TrÞnh Thị Như Quỳnh 55 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bi ( thi đại học dự bị khối B - 2004) Cho hàm số y  x  2mx  Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực x 1 trị A, B Chứng minh rằng, đường thẳng AB song song với đường thẳng d: 2x  y  10 = Hướng dẫn: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 1 Ta có: y  x  2x  2m  Để hàm số có hai cực trị phương trình (x  1) y = có hai nghiệm phân biệt khác  x  2x  2m   có hai nghiệm phân biệt khác    2m    m 2m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = 2x  2m Đường thẳng song song với đường thẳng d: 2x  y  10 = Vậy với m  hàm số có hai điểm cực trị A, B đường thẳng AB song song với đường thẳng d: 2x  y  10 = Bài (Đề thi tuyển sinh đại học khối B - 2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y  x  (m  1)x  m  Chứng minh x 1 với m Đồ thị (Cm) ln ln có điểm cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Hướng dẫn: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 1 x  x  2x    y Ta có y  ,  x  2 (x  1)  TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 56 Líp K35E To¸n Khãa ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSP Hµ Néi Bảng biến thiên: x  2 y   m3 y  1    +  m+1  Vậy với m, (Cm) ln có cực đại A(2 ; m  3) cực tiểu B(0 ; m + 1) Ta có AB  22  42  20 Vậy khoảng cách hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số 20 Bài (Đề thi tuyển sinh đại học khối A - 2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số y  mx  Tìm m để hàm số có cực trị x khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên Hướng dẫn: Tập xác định hàm số là: D  ฀ \ 0 Ta có: y  mx  Hàm số có cực trị  y = có hai nghiệm phân x2 biệt khác  m > Lúc ta có bảng biến thiên: x   y  m     2 m y m     m   ;2 m  Như với m > 0, hàm số có cực tiểu điểm A   m  Ta thấy : y = mx  mx  y = tiệm cận xiên (Cm) T ú: Trịnh Thị Như Quỳnh 57 Lớp K35E Toán Khãa luËn tèt nghiÖp d(A, )   Trường ĐHSP Hà Nội m m m   m  2m    m  2 m 1 Ta thấy m = thỏa mãn điều kiện m > nên giá trị cần tìm m x  (5m  1)x  3m  Bài Cho hàm số y  Tìm m để hàm số có cực đại, x 1 cực tiểu A, B cho đoạn AB cắt trục hoành trục tung Hướng dẫn: Tập xác định hàm số D  ฀ \ 1 Ta có: y  x  2x  8m Đặt g(x)  x  2x  8m (x  1) Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y = có hai nghiệm phân    8m  biệt khác 1   (*) m g(1)  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  2x  5m  Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) Ta có y1 = 2x1  5m + 1, y2 = 2x2  5m +  x1x  Theo định lí Vi-ét: Đoạn AB cắt trục hoành trục tung khi:   y y  x1  x  2, x1x  8m Ta được: x1x2 = 8m <  m > (**) y1 y2 = (2x1  5m + 1) (2x2  5m + 1) <  4x1x2 + 2(5m + 1)(x1 + x2) + (5m + 1)2 <  4(8m)  4(5m + 1) + (5m + 1)2 <  25m2  22m  <  3  m 1 25 Kết hợp (*), (**) ta điều kiện m < m < TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 58 Líp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương tổng hợp đề xuất toán cực trị dạng toán liên quan số hàm thường xuyên có đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng như: + Hàm số đa thức y  ax  bx  cx  d (a  0) , hàm số trùng phương y  ax  bx  c (a  0) + Hàm phân thức hữu tỉ: y  ax  bx  c (ax  b  0, a  0) a x  b Từ tạo hội giúp em rèn luyện kĩ giải toán cực trị, hệ thống tập tương ứng, bám sát kiến thức Các dạng tập đưa tương ứng với số phương pháp giải cụ thể để giúp học sinh nắm cách làm đồng thời ơn lại số kiến thức có liên quan Trịnh Thị Như Quỳnh 59 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KT LUN CHUNG Trên tồn nội dung khóa luận: “Bài toán cực trị hàm số đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng” Khóa luận thu kết sau: Tìm hiểu sở lí luận đề tài Phân loại dạng toán liên quan đến cực trị hàm số, nghiên cứu số sai lầm học sinh giải dạng toán Nghiên cứu tập sách giáo khoa 12 đề thi đại học, cao đẳng năm gần Đề xuất số tốn cực trị Thơng qua ví dụ tập luyện tập đưa tương ứng với dạng rèn luyện khả tính tốn, viết phương trình đường thẳng, khả tư cho học sinh Làm tốt dạng tập tức làm tốt toán liên quan đến cực trị hàm số Phân loại tập, hiểu tập, tìm phương pháp làm vấn đề học sinh nên làm từ Chính khóa luận đưa số dạng tập phương pháp giải tưng ứng với hi vọng giúp cho học sinh giảm bớt khó khăn ôn thi vào đại học, cao đẳng Tuy nhiên thời gian kiến thức hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy bạn sinh viên để khóa luận hồn thành TrÞnh ThÞ Nh­ Qnh 60 Líp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán hàm số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2) Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo Dục 3) Phan Huy Khải, Khảo sát hàm số toán liên quan, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ 4) Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư Phạm 5) Trần Phương, Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn Tốn - Hàm số, NXB Hà Nội 6) Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải tốn, NXB Đại học Sư Phạm 7) Đồn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục 8) Tủ sách toán học tuổi trẻ, Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT thi vào đại học, cao đẳng mơn Tốn - Tập 1: Đại số, lượng giác, giải tích, NXB Giáo Dục 9) Trần Tiến Tư, Hướng dẫn giải chi tiết đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng mơn tốn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 10) w.w.w.math.vn.com 11) w.w.w.violet.vn TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh 61 Líp K35E To¸n ... học sinh có tài liệu chủ đề cực trị hàm số kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khóa luận tổng hợp đề xuất dạng tập cực trị theo lớp hàm thường xuyên có mặt kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. .. gọi giá trị cực tiểu hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị hàm số 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Ta thừa... số đạt cực đại x   , giá trị cực đại: y  3 Hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu: y  3 Ví dụ Cho hàm số y  x  2x  a , a tham số Chứng minh hàm số x  2x  ln có cực đại cực tiểu