Luận văn sư phạm Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HỒNG THỊ THƠ BÀI TỐN NHẬN DẠNG TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ HÀ BÌNH MINH, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hồn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ tới anh PHẠM VĂN DUẨN, người nhiệt tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em q trình gõ Tex hồn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy cô trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Lời cam đoan Tên tơi là: Hồng Thị Thơ, sinh viên Đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “ Bài toán nhận dạng lý thuyết điều khiển”, kết nghiên cứu thu thập riêng Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Mục lục Mở đầu Nội dung Chương 1: Hệ động lực tuyến tính i iii 1.1 Hệ động lực tuyến tính 1.2 Hàm Truyền 1.2.1 Phép biến đổi Laplace 1.2.2 Một số phép toán với ma trận hàm truyền 1.3 Các tham số Markov hàm truyền 1.3.1 Biểu diễn không gian trạng thái hàm truyền 1.3.2 Biểu diễn điều khiển quan sát 10 1.4 Dạng biểu diễn tối thiểu hệ 12 1.4.1 Tính chất 13 Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ tham số Markov 19 2.1 Một số đặc tính ma trận Hankel tham số Markov 19 2.2 Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu 24 2.2.1 Thuật toán SVD 24 2.2.2 Ví dụ 25 2.3 Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu 29 2.3.1 Ví dụ 30 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển tốn có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thơng xử lý tín hiệu nói riêng Ta thường xây dựng mơ hình tốn học từ q trình vật lý Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển tốn điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, ln đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ tốn em chọn đề tài “Bài toán nhận dạng lý thuyết điều khiển” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Bài tốn điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận tơi chọn đề tài tốn nhận dạng lý thuyết điều khiển Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính • Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ tham số Markov Mục đích- u cầu i Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN MỤC LỤC • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Bài tốn nhận dạng hệ tuyến tính thời gian liên tục kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực khóa luận ii Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN Nội dung Tên đề tài Bài tốn nhận dạng lý thuyết điều khiển Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính - Hệ động lực tuyến tính - Hàm truyền - Các tham số Markov hàm truyền - Dạng biểu diễn tối thiểu hệ • Chương 2: Xác định biểu diễn tối thiểu từ tham số Markov - Một số đặc tính ma trận Hankel tham số Markov - Thuật toán SVD cho biểu diễn tối thiểu - Thuật toán SVD sửa đổi cho biểu diễn tối thiểu Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích,tổng hợp tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách iii Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN Chương Hệ động lực tuyến tính Chương giới thiệu hệ động lực tuyến tính mơ hình khơng gian trạng thái khái niệm liên quan 1.1 Hệ động lực tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính liên tục với tham số bất biến mô tả qua hai phương trình : x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.2) đó: x(t) vectơ n chiều gọi trạng thái hệ, u(t) vectơ m (m ≤ n) chiều gọi đầu vào hệ, y(t) vectơ r chiều gọi đầu hệ, x(t0) điều kiện ban đầu Ma trận A, B, C D ma trận thực, có số chiều n × n, n × m, r × n, r × m Nếu n=r=1, ta nói hệ thống có đầu vào đầu hay gọi hệ thống SISO Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH Nếu có nhiều đầu vào đầu ta gọi hệ thống MIMO Hình 1.1: Hình minh họa hệ động lực tuyến tính Ví dụ 1.1.2 Ta xét ví dụ [2] Ta xét mạch điện RLC nối tiếp có sơ đồ sau: Hình 1.2: Mạch điện RLC nối tiếp Hoàng Thị Thơ - Tốn K35-CN CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH Các biến trạng thái lấy điện tụ dòng qua điện cảm : diL1 (t) = −R1 iL1 (t) − eC (t) + e(t), dt diL (t) L2 = −R2 iL2 (t) + eC (t), dt deC (t) C = iL1 (t) − iL2 (t) dt L1 1 L  1 Chọn x1 = iL1 , x2 = iL2 , x3 = eC , u = e(t), b =   , ta biểu diễn mơ hình khơng gian trạng thái hệ hệ:   R    − L11 − L11 x˙1 (t) x1(t)      x(t) ˙ = x˙2 (t) =  − R x (t) + bu(t) L2 L2   x˙3 (t) x3(t) − C1 C Định lý 1.1.3 Nghiệm hệ phương trình động lực (1.1), (1.2) cho bởi: A(t−t0 ) x(t) = (e t )x0 + eA(t−s) Bu(s)ds (1.3) t0 A(t−t0 ) y(t) = C(e t )x0 + CeA(t−s) Bu(s)ds + Du(t) (1.4) t0 Nếu u(t)=0 x(t) = eA(t−t1 ) x(t1), với t ≥ t0 , t1 ≥ t0 Định nghĩa 1.1.4 Ma trận eA(t−t1 ) gọi ma trận chuyển trạng thái Tại thời điểm xác định từ trạng thái thời điểm khác qua ma trận chuyển trạng thái nên khơng làm tính tổng qt, Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV Mn = OM CM Ta có: OM CM Lại có:  n−1  CB CAB · · · CA B   n  CAB CA2B · · ·  CA B  =     n−1 n 2n−2 CA B CA B · · · CA B H1 = CA0B = CB H2 = CAB Hn = CAn−1B Từ suy Mn = OM CM Ta tiếp tục chứng minh:  n  CA B  n+1   CA B  OM An B =      2n−1 CA B Suy ra: Hn+1 = CAnB ; Hn+2 = CAn+1B ; ; H2n = CA2n−1B Chứng minh tương tự ta có: 22 Hồng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV CAk−1CM = CAk−1(B, AB, A2B, · · · , An−1B) = (CAk−1B, CAk B, CAk+1B, · · · , CAk+n−2B) = (Hk , Hk+1, · · · , Hk+n+1) Và ta có: CAk−1An B = CAn+k−1Hk+n CAk−1An+1B = CAn+k B = Hk+n+1 CA2n−2B = H2k−1 Khi hàng (CAn, · · · , CAk−1) cột (AnB, · · · , Ak−1B) tổ hợp tuyến tính hàng OM cột CM ta có: rank (Mk ) = rank (Mn ) = rank (OM CM ) (iii) Gọi (A′ , B ′, C ′, D′ ) thể khác G(s) có bậc n′ r = max (n, n′) Do đó, thể hai tham số Markov ta có: Mr′ = Mr Từ (ii) ta suy ra, rank (Mn ) = rank (Mr ) = rank (Mr′ ) = rank (Mn′ ) (iv) Chứng minh phản chứng Giả sử tồn thể tối thiểu (A, B, C, D) với bậc d′ < d Mk = d1 < d′ Từ hai kết trước ta có max(rank(Mk )) = d1 < d′ 23 Hồng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV (v) Được suy từ (iii) (iv) Kết trên, cung cấp cho số phương pháp tìm bậc McMillan ma trận hàm truyền Một cách đơn giản ta tìm biểu diễn G(s) tìm rank(OM CM ), sử dụng SVD Nếu biểu diễn CG OG tương ứng điều khiển quan sát tuân theo cấu trúc hàm Lyapunov (xem chương 7) ta biết bậc McMillan với việc tìm rank(CG OG ) 2.2 Thuật tốn SVD cho biểu diễn tối thiểu Phương pháp tìm (Ho Kalman (1966), Zeiger McEwen (1974), Kung (1978)), gọi phương pháp SVD để tính ma trận Hankel Để đơn giản cho việc tính tốn, ta giả sử D = 2.2.1 Thuật toán SVD Đầu vào: Các tham số Markov {H1 , H2 , · · · , H2N +1} Đầu ra: Ma trận A, B, C biểu diễn tối thiểu Bước 1: Tìm SVD ma trận Hankel MN +1   H1 H2 · · · HN +1    H2  H · · · H N +2 = = U SV T      HN +1 HN +2 · · · H2N +1 Ở S = diag(s1 , s2 , s3 , · · · , sp, 0, · · · , 0) s1 ≥ s2 ≥ · · · ≥ sp > 1 Bước 2: Giả thiết U ′ = U S V ′ = S V T ; S = diag(s12 , s22 , · · · , sp2 , 0, · · · , 0) Bước 3: Xác định: 1 24 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV U1= Một khối N với cột p U ′ U2= Một khối cuối N với cột p U ′ U (1) = Một khối đầu với cột p U ′ V (1) = Một khối cuối với cột p V ′ Bước 4: Tính A = U1+ U2 , cho B = V (1) , C = U (1) Định nghĩa 2.2.1 Cho ma trận A ∈ Rm×n , aij phần tử hàng i cột j A Chuẩn Frobenius A xác định công thức: m A F 1/2 n = i=1 i=1 |aij | Từ thuật tốn Kung(1978) đưa kết đây, ta có định lý sau: Định lý 2.2.2 Gọi Ei ma trận sai số xác định sau, Ei = CAi−1B − Hi , i ≥ 1, ta có 2N +1 Ei i=1 F √ ≤ ǫ n + m + r Ở ǫ số dương bé, n, m, r số biến trạng thái, đầu vào đầu 2.2.2 Ví dụ Ta lấy ví dụ đơn giản cho đầu vào đầu Cho N = giả thiết tham số Markov: 25 Hồng Thị Thơ - Tốn K35-CN CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV {H1, H2, H3, H4, H5 , H6, H7} = {73, 574, 4318, 32816, 249260, 1892808, 14374504} Ta sử dụng Matlab để tính tốn %Thuật tốn SVD cho biểu diễn tối thiểu %Thuật toán 9.3.1 %Đầu vào Tham số Markov : {H1, H2 H2N+1} % (N should be at least equal to the McMillan degree) %Đầu Ma trận A, B, C biểu diễn tối thiểu %Bước O %Bước Tìm SVD khối ma trận Hankel function [A,B,C]=amr(H) N=(size(H,2)-1)/2; %Xay M M=zeros(N+1,N+1); for i=1:N+1 M(i,:)=H(i:i+N); end [U,S,V] = svd(M);%M=USV’ %Tìm p tol=10^(-6); p=0; sizeS=size(S,1); for i=1:sizeS if (S(p+1,p+1) Bước 3: Tính: −1 −1 A = Σn2 UnT MR1Vn Σn2 ′ B = Σn2 VnT Em T C = E ′ r UnΣn2 ′ Ở Un Vn ma trận n cột U V , Em Er′ xác định 2.3.1 Ví dụ Ví dụ 2.3.1 Ta xét ví dụ trước cho đầu vào đầu Dùng Matlab để tính tốn %Thuật tốn sửa đổi SVD cho biểu diễn tối thiểu %Đầu vào Tham số Markov { H1, H2 H2R }, %Đầu A, B, C biểu diễn tối thiểu function [A,B,C]=Mamr(H) R=size(H,2)/2; %Xay MR,MR1 MR=zeros(R,R); MR1=zeros(R,R); for i=1:R MR(i,:)=H(i:i+R-1); 30 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN R > n CHƯƠNG XÁC ĐỊNH BIỂU DIỄN TỐI THIỂU TỪ CÁC THAM SỐ MARKOV MR1(i,:)=H(i+1:i+R); end [U,S,V] = svd(MR); % %Tìm n tol=10^(-6); n=0; sizeS=size(S,1); for i=1:sizeS if (S(n+1,n+1)