Bài toán nhận dạng trong lý thuyết điều khiển

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON HONG TH TH BI TON NHN DNG TRONG Lí THUYT IU KHIN KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Ngi hng dn khoa hc TS H BèNH MINH H NI - 2013 Li cm n Em xin by t lũng bit n sõu sc n tin s H BèNH MINH, ngi ó tn tỡnh giỳp ch bo v cung cp cho em nhng kin thc nn tng em hon thnh bi khúa lun ny Thy cng l ngi ó giỳp em ngy cng tip cn v cú nim say mờ khoa hc sut thi gian c lm vic cựng Thy Em xin by t ti anh PHM VN DUN, ngi ó rt nhit tỡnh giỳp ch bo v hng dn em quỏ trỡnh gừ Tex v hon thnh khúa lun Anh cng l ngi cung cp thờm t liu v kin thc giỳp em gii ỏp c nhng iu cha hiu v bn khon Em xin by t lũng bit n ti cỏc thy, cỏc cụ cụng tỏc ti Khoa Toỏn Trng i hc s phm H Ni v cỏc Thy cụ ó trc tip ging dy, truyn t cho em nhng kin thc quý bỏu v chuyờn mụn cng nh kinh nghim nghiờn cu khoa hc thi gian qua Cui cựng, em xin chõn thnh gi li cm n n nhng ngi thõn gia ỡnh, bn bố ó luụn giỳp , ng viờn v to mi iu kin cho em sut quỏ trỡnh hc v hon thin lun ny Li cam oan Tờn tụi l: Hong Th Th, sinh viờn i hc khúa 2009 2013 lp K35CN Toỏn Khoa Toỏn Trng i hc S phm H Ni Tụi xin cam oan ti: Bi toỏn nhn dng lý thuyt iu khin, l kt qu nghiờn cu v thu thp ca riờng tụi Cỏc lun c, kt qu thu c ti l trung thc, khụng trựng vi cỏc tỏc gi khỏc Nu cú gỡ khụng trung thc lun tụi xin hon ton chu trỏch nhim trc hi ng khoa hc Mc lc M u Ni dung chớnh Chng 1: H ng lc tuyn tớnh i iii 1.1 H ng lc tuyn tớnh 1.2 Hm Truyn 1.2.1 Phộp bin i Laplace 1.2.2 Mt s phộp toỏn vi ma trn hm truyn 1.3 Cỏc tham s Markov ca hm truyn 1.3.1 Biu din khụng gian trng thỏi ca hm truyn 1.3.2 Biu din ca iu khin c v quan sỏt c 10 1.4 Dng biu din ti thiu ca h 12 1.4.1 Tớnh cht 13 Chng 2: Xỏc nh biu din ti thiu t cỏc tham s Markov 19 2.1 Mt s c tớnh c bn ma trn Hankel ca tham s Markov 19 2.2 Thut toỏn SVD cho biu din ti thiu 24 2.2.1 Thut toỏn SVD 24 2.2.2 Vớ d 25 2.3 Thut toỏn SVD sa i cho biu din ti thiu 29 2.3.1 Vớ d 30 Ti liu tham kho 36 M u Lý chn ti iu khin l bi toỏn cú ý ngha ng dng quan trng i sng, c bit l lnh vc in t, vin thụng v x lý tớn hiu núi riờng Ta thng xõy dng mụ hỡnh toỏn hc t cỏc quỏ trỡnh vt lý Cú rt nhiu c bn cn nghiờn cu lnh vc iu khin Mt s nhng cú tớnh cht kinh in l bi toỏn iu khin Nú cú ng dng rng rói ngnh toỏn ng dng, nờn t trc n nay, nú luụn l ti m cỏc nh khoa hc rt quan tõm v nghiờn cu cú th hiu rừ hn v bi toỏn ny em ó chn ti Bi toỏn nhn dng lý thuyt iu khin lm ti nghiờn cu cho khúa lun tt nghip ca mỡnh Khỏi quỏt v ni dung v phm vi nghiờn cu Bi toỏn iu khin tuyn tớnh l phn nn tng c bn v quan trng ca lý thuyt iu khin núi chung cỏc phỏt trin mi v khỏi nim iu khin nõng cao u cú s gi ý v t tng t lý thuyt iu khin tuyn tớnh Khúa lun ny tụi chn ti bi toỏn nhn dng lý thuyt iu khin Ni dung bao gm phn sau: Chng 1: H ng lc tuyn tớnh Chng 2: Xỏc nh biu din ti thiu t cỏc tham s Markov Mc ớch- Yờu cu i Hong Th Th - Toỏn K35-CN MC LC õy l mt dp cú th dt nghiờn cu (vi s nh hng ca giỏo viờn hng dn) v mt ni dung khoa hc Nm bt c nhng ni dung c bn ca lý thuyt (Cỏc khỏi nim, cỏc tớnh cht, cỏc bi toỏn ó c t ra, mt s ng dng, ) Bit cỏch th hin nhng hiu bit ca mỡnh i tng nghiờn cu Bi toỏn nhn dng ca h tuyn tớnh thi gian liờn tc v cỏc kin thc liờn quan Phm vi Cỏc ti liu tham kho cỏ nhõn t tỡm hiu v thu thp thờm Thi gian thc hin khúa lun ii Hong Th Th - Toỏn K35-CN Ni dung chớnh Tờn ti Bi toỏn nhn dng lý thuyt iu khin Kt cu ca ni dung Gm chng: Chng 1: H ng lc tuyn tớnh - H ng lc tuyn tớnh - Hm truyn - Cỏc tham s Markov ca hm truyn - Dng biu din ti thiu ca h Chng 2: Xỏc nh biu din ti thiu t cỏc tham s Markov - Mt s c tớnh c bn ma trn Hankel ca tham s Markov - Thut toỏn SVD cho biu din ti thiu - Thut toỏn SVD sa i cho biu din ti thiu Phng phỏp nghiờn cu Thu thp, tra cu, phõn tớch,tng hp ti liu S dng phng phỏp nghiờn cu ca lý thuyt iu khin Phng phỏp quan sỏt, c sỏch iii Hong Th Th - Toỏn K35-CN Chng H ng lc tuyn tớnh Chng ny gii thiu h ng lc tuyn tớnh mụ hỡnh khụng gian trng thỏi v cỏc khỏi nim liờn quan 1.1 H ng lc tuyn tớnh nh ngha 1.1.1 Mt h ng lc tuyn tớnh liờn tc vi tham s bt bin c mụ t qua hai phng trỡnh : x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.2) ú: x(t) l vect n chiu c gi l trng thỏi ca h, u(t) l vect m (m n) chiu c gi l u vo ca h, y(t) l vect r chiu c gi l u ca h, x(t0) l iu kin ban u Ma trn A, B, C v D l cỏc ma trn thc, cú s chiu ln lt l n ì n, n ì m, r ì n, r ì m Nu n=r=1, ta núi h thng cú nht u vo v u hay cũn gi l h thng SISO Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG H NG LC TUYN TNH Nu cú nhiu u vo v u ta gi l h thng MIMO Hỡnh 1.1: Hỡnh minh mt h ng lc tuyn tớnh Vớ d 1.1.2 Ta xột mt vớ d [2] Ta xột mch in RLC ni tip cú s sau: Hỡnh 1.2: Mch in RLC ni tip Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG H NG LC TUYN TNH Cỏc bin trng thỏi c ly l in th ti t v dũng qua cỏc in cm : diL1 (t) = R1 iL1 (t) eC (t) + e(t), dt diL (t) L2 = R2 iL2 (t) + eC (t), dt deC (t) C = iL1 (t) iL2 (t) dt L1 L Chn x1 = iL1 , x2 = iL2 , x3 = eC , u = e(t), b = , ta biu din mụ hỡnh khụng gian trng thỏi ca h trờn bi h: R L11 L11 x1 (t) x1(t) x(t) = x2 (t) = R x (t) + bu(t) L2 L2 x3 (t) x3(t) C1 C nh lý 1.1.3 Nghim ca h phng trỡnh ng lc (1.1), (1.2) c cho bi: A(tt0 ) x(t) = (e t )x0 + eA(ts) Bu(s)ds (1.3) t0 A(tt0 ) y(t) = C(e t )x0 + CeA(ts) Bu(s)ds + Du(t) (1.4) t0 Nu u(t)=0 thỡ x(t) = eA(tt1 ) x(t1), vi mi t t0 , v bt kỡ t1 t0 nh ngha 1.1.4 Ma trn eA(tt1 ) c gi l ma trn chuyn trng thỏi Ti thi im bt k cú th xỏc nh t trng thỏi ti mt thi im khỏc qua ma trn chuyn trng thỏi nờn khụng lm mt tớnh tng quỏt, Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV Mn = OM CM Ta cú: OM CM Li cú: n1 CB CAB ã ã ã CA B n CAB CA2B ã ã ã CA B = n1 n 2n2 CA B CA B ã ã ã CA B H1 = CA0B = CB H2 = CAB Hn = CAn1B T ú suy Mn = OM CM Ta tip tc chng minh: n CA B n+1 CA B OM An B = 2n1 CA B Suy ra: Hn+1 = CAnB ; Hn+2 = CAn+1B ; ; H2n = CA2n1B Chng minh tng t ta cú: 22 Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV CAk1CM = CAk1(B, AB, A2B, ã ã ã , An1B) = (CAk1B, CAk B, CAk+1B, ã ã ã , CAk+n2B) = (Hk , Hk+1, ã ã ã , Hk+n+1) V ta cú: CAk1An B = CAn+k1Hk+n CAk1An+1B = CAn+k B = Hk+n+1 CA2n2B = H2k1 Khi hng (CAn, ã ã ã , CAk1) v ct (AnB, ã ã ã , Ak1B) l t hp tuyn tớnh ca hng OM v ct CM ta cú: rank (Mk ) = rank (Mn ) = rank (OM CM ) (iii) Gi (A , B , C , D ) s th hin khỏc ca G(s) cú bc n v r = max (n, n ) Do ú, s th hin ca hai tham s Markov ta cú: Mr = Mr T (ii) ta suy ra, rank (Mn ) = rank (Mr ) = rank (Mr ) = rank (Mn) (iv) Chng minh bng phn chng Gi s tn ti s mt th hin ti thiu (A, B, C, D) vi bc d < d Mk = d1 < d T hai kt qu trc ta cú max(rank(Mk )) = d1 < d 23 Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV (v) c suy t (iii) v (iv) Kt qu trờn, cung cp cho chỳng ta mt s phng phỏp tỡm bc McMillan ca ma trn hm truyn Mt cỏch n gin ta tỡm mt biu din ca G(s) l tỡm rank(OM CM ), s dng SVD Nu biu din ca CG v OG tng ng l iu khin c v quan sỏt c tuõn theo cu trỳc ca hm Lyapunov (xem chng 7) thỡ ta bit bc ca McMillan vi vic tỡm rank(CG OG ) 2.2 Thut toỏn SVD cho biu din ti thiu Phng phỏp ny c tỡm bi (Ho v Kalman (1966), Zeiger v McEwen (1974), Kung (1978)), c gi l phng phỏp SVD tớnh ma trn Hankel n gin cho vic tớnh toỏn, ta gi s D = 2.2.1 Thut toỏn SVD u vo: Cỏc tham s Markov {H1 , H2 , ã ã ã , H2N +1} u ra: Ma trn A, B, C ca biu din ti thiu Bc 1: Tỡm SVD ca ma trn Hankel MN +1 H1 H2 ã ã ã HN +1 H2 H ã ã ã H N +2 = = U SV T HN +1 HN +2 ã ã ã H2N +1 õy S = diag(s1 , s2 , s3 , ã ã ã , sp, 0, ã ã ã , 0) v s1 s2 ã ã ã sp > 1 Bc 2: Gi thit U = U S v V = S V T ; S = diag(s12 , s22 , ã ã ã , sp2 , 0, ã ã ã , 0) Bc 3: Xỏc nh: 1 24 Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV U1= Mt N vi ct p ca U U2= Mt cui N vi ct p ca U U (1) = Mt u vi ct p ca U V (1) = Mt cui vi ct p ca V Bc 4: Tớnh A = U1+ U2 , cho B = V (1) , C = U (1) nh ngha 2.2.1 Cho ma trn A Rmìn , aij l phn t hng i ct j ca A Chun Frobenius ca A c xỏc nh bi cụng thc: m A F 1/2 n = i=1 i=1 |aij | T thut toỏn trờn thỡ Kung(1978) ó a cỏc kt qu di õy, ta cú nh lý sau: nh lý 2.2.2 Gi Ei l cỏc ma trn sai s c xỏc nh nh sau, Ei = CAi1B Hi , i 1, thỡ ta cú 2N +1 Ei i=1 F n + m + r õy l mt s dng bộ, n, m, r l s ca bin trng thỏi, u vo v u 2.2.2 Vớ d Ta ly mt vớ d n gin cho mt u vo v mt u Cho N = v gi thit tham s Markov: 25 Hong Th Th - Toỏn K35-CN CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV {H1, H2, H3, H4, H5 , H6, H7} = {73, 574, 4318, 32816, 249260, 1892808, 14374504} Ta s dng Matlab tớnh toỏn %Thut toỏn SVD cho biu din ti thiu %Thut toỏn 9.3.1 %u vo Tham s Markov : {H1, H2 H2N+1} % (N should be at least equal to the McMillan degree) %u Ma trn A, B, v C ca biu din ti thiu %Bc O %Bc Tỡm SVD ca ma trn Hankel function [A,B,C]=amr(H) N=(size(H,2)-1)/2; %Xay M M=zeros(N+1,N+1); for i=1:N+1 M(i,:)=H(i:i+N); end [U,S,V] = svd(M);%M=USV %Tỡm p tol=10^(-6); p=0; sizeS=size(S,1); for i=1:sizeS if (S(p+1,p+1) Bc 3: Tớnh: 1 A = n2 UnT MR1Vn n2 B = n2 VnT Em T C = E r Unn2 õy Un v Vn ln lt l ma trn n ct ca U v V , Em v Er c xỏc nh nh trờn 2.3.1 Vớ d Vớ d 2.3.1 Ta xột vớ d trc cho mt u vo v mt u Dựng Matlab tớnh toỏn %Thut toỏn sa i SVD cho biu din ti thiu %u vo Tham s Markov { H1, H2 H2R }, %u A, B, C ca biu din ti thiu function [A,B,C]=Mamr(H) R=size(H,2)/2; %Xay MR,MR1 MR=zeros(R,R); MR1=zeros(R,R); for i=1:R MR(i,:)=H(i:i+R-1); 30 Hong Th Th - Toỏn K35-CN R > n CHNG XC NH BIU DIN TI THIU T CC THAM S MARKOV MR1(i,:)=H(i+1:i+R); end [U,S,V] = svd(MR); % %Tỡm n tol=10^(-6); n=0; sizeS=size(S,1); for i=1:sizeS if (S(n+1,n+1)[...]... Du x ¯c¯o¯ x¯c¯o Trong đó: x¯c¯o là các trạng thái quan sát được nhưng không điều khiển được x¯co là các trạng thái quan sát được và điều khiển được x¯c¯o¯ là các trạng thái không quan sát được và không điều khiển được x¯c¯o là các trạng thái không quan sát được nhưng điều khiển được Ma trận hàm truyền được xác định −1 ¯ G(s) = C¯co (sI − A¯co ) B co + D Định lý 1.4.4 Biểu diễn trong mô hình không... là một biểu diễn tối thiểu nếu có duy nhất cặp (A, B) điều khiển được và (A,C) là quan sát được Chứng minh Ta chứng minh điều kiện cần bằng phản chứng Nếu cặp (A, B) không điều khiển được hoặc cặp (A, C) không quan sát được, từ định lý khai triển Kalman 1.4.3 tồn tại một biểu diễn với số chiều nhỏ hơn đảm bảo tính điều khiển được và quan sát được Điều này mâu thuẫn giả thiết Ngược lại cho (A, B, C,... tức là CAi−1B = C (A )i−1B Điều này dẫn tới OM CM = OM CM , (1.29) ở đây OM và CM tương ứng là ma trận quan sát và ma trận điều khiển của biểu diễn (A, B, C, D) còn OM và CM tương ứng là ma trận quan 14 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG 1 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH sát và ma trận điều khiển của biểu diễn (A , B , C , D ) Lại có rank(OM CM ) = n và rank(OM CM ) = n , n < n Điều này mâu thuẫn do theo (1.29)... · , Ph−1), D = s→∞   0 m  Im (1.20) (1.21) Ta dễ dàng xác định được C(sI − A)−1B + D = G(s) = D + 10 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN P (s) d(s) (1.22) CHƯƠNG 1 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH Cặp ma trận (A, B) là điều khiển được ứng với ma trận hàm truyền G(s) được gọi là biểu diễn điều khiển được và có kích thước m × h Khai triển Taylor G(s) : 1 1 G(s) = D + H1 + 2 H2 + · · · s s Ma trận {D , Hk } có thể... u(s) trong đó: y(s) là biến đổi Laplace đầu vào u(s) là biến đổi Laplace đầu ra Để tiện cho việc tính toán, ma trận hàm truyền G(s) có thể được biểu diễn dưới dạng A B G(s) = C D 6 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG 1 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH Ví dụ 1.2.3 Hệ (1.1), (1.2) với các ma trận tham số A= 1 0 ,B = 0 −3 0 1 C = 1 2 , D = 7, có hàm truyền G(s) = C(sI − A)−1B + D = 1.2.2 7s + 23 s+3 Một số phép toán. .. Hệ động lực cho bởi: x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1.14) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.15) được gọi là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi tạo x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1 , t1 > 0 đều tồn tại đầu vào u sao cho thỏa mãn x(t1 ) = x1 Điều này được chứng minh tương đương với ma trận điều khiển CO = [B AB A2 B An−1B ] có hạng bằng n Định nghĩa 1.3.3 Hệ động lực cho bởi: x(t) =... 0, trạng thái khởi tạo x(0) = x0 có thể được xác định từ đầu vào u(t) và đầu ra y(t) trong đoạn [0, t1 ]  được chứng minh tương đương với ma trận quan sát OB =  Điều này C    CA     CA2  có hạng bằng n       CAn−1 9 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG 1 1.3.2 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH Biểu diễn của điều khiển được và quan sát được Cho ma trận truyền được viết lại như sau: G(s) = D + P (s)... s−3 1 0 (−4, 3) = s2 − 3s + 2 s2 − 3s + 2 −2 s 1 Do cặp (A, B) điều khiển được và (A, C) quan sát được, biểu diễn (A, B, C, D) là một biểu diễn tối thiểu 0 1 3 A = ;B = ; C = (1, 0) −2 3 5 3s − 4 C (sI − A)−1B = 2 s − 3s + 2 Cặp (A , B ) điều khiển được và (A , C ) quan sát được, biểu diễn (A , B , C , D ) C(sI − A)−1B = 17 Hoàng Thị Thơ - Toán K35-CN CHƯƠNG 1 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH là một biểu diễn... trận điều khiển được và ma trận quan sát được của biểu diễn (A , B , C , D ) Chứng minh Cho T là ma trận liên hệ giữa ma trận OM và OM , tức T thỏa mãn: OM T = OM (1.34) Do OM có hạng đầy đủ thì ma trận T luôn tồn tại Trong thực tế ta có thể viết: −1 T T ) OM OM T = (OM (1.35) Từ phương trình (1.34) ta có: CT = C Do hai sự biểu diễn của cùng hàm truyền nên các tham số Markov là 15 Hoàng Thị Thơ - Toán. .. 4(s3 − 1) s3 − 1 Biểu diễn điều khiển được và biểu diễn quan sát được của G(s) lần lượt là               0 0 1 0 −1/4 0 0 1                x = 0 0 1 x + 0 u,  x = 1 0 0 x +  0  u,           1 1 0 0 1/4 0 1 0           y = −1/4 0 1/4 y = 0 0 1 1.4 Dạng biểu diễn tối thiểu của hệ Định nghĩa 1.4.1 Một biểu diễn trong mô hình không gian trạng ... trọng lý thuyết điều khiển nói chung phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận chọn đề tài toán nhận dạng lý thuyết điều khiển Nội dung... tài Bài toán nhận dạng lý thuyết điều khiển để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết. .. đề tài Bài toán nhận dạng lý thuyết điều khiển Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính - Hệ động lực tuyến tính - Hàm truyền - Các tham số Markov hàm truyền - Dạng biểu