Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON TRNH TH NH QUNH BI TON V CC TR CA HM S TRONG THI TUYN SINH I HC, CAO NG KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Phng phỏp dy hc Ngi hng dn khoa hc TH.S DNG TH H H NI, 2013 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CM N Sau mt thi gian nghiờn cu cựng vi s hng dn ch bo tn tỡnh ca cụ giỏo, thc s Dng Th H, khúa lun ca tụi n ó hon thnh Qua õy tụi xin gi li cm n sõu sc ca mỡnh ti cụ Dng Th H, ngi ó trc tip hng dn ch bo cho tụi nhiu kinh nghim quý bỏu thi gian tụi thc hin khúa lun ny Tụi cng xin chõn thnh cm n ban giỏm hiu, cỏc thy cụ khoa toỏn trng i Hc S Phm H Ni ó to iu kin tt nht giỳp tụi hon thnh khúa lun ỳng thi hn Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch nờn mc dự ó cú nhiu c gng song khụng trỏnh nhng thiu sút Tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn khúa lun ca tụi c hon thin hn Xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2013 Sinh viờn Trnh Th Nh Qunh Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LI CAM OAN Tụi khng nh rng õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi, chớnh tụi ó nghiờn cu v hon thnh trờn c s nhng kin thc ó hc, ti liu tham kho v s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Dng Th H Nú khụng trựng vi kt qu ca bt c ngi no khỏc Nu cú gỡ sai sút tụi xin hon ton chu trỏch nhim H Ni, thỏng nm 2013 Sinh viờn Trnh Th Nh Qunh Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MC LC Trang M u Chng 1: C s lý lun 1.1 Ni dung cc tr ca hm s mụn Toỏn trng ph thụng 1.1.1 Khỏi nim cc tr ca hm s 1.1.2 iu kin cn hm s t cc tr 1.1.3 iu kin hm s t cc tr 1.1.4 Quy tc tỡm cc tr 1.2 Cỏc dng toỏn cc tr chng trỡnh toỏn ph thụng 1.2.1 Cc tr ca hm s a thc v hu t 1.2.2 Cc tr ca hm s vụ t 11 1.2.3 Cc tr ca hm siờu vit v lng giỏc 13 1.2.4 Cỏc bi toỏn cc tr hỡnh hc 16 1.3 Cỏc sai lm hc sinh thng gp gii toỏn v cc tr ca hm s 20 1.3.1 Sai lm liờn quan n ngụn ng din t 20 1.3.2 Sai lm liờn quan n cm nhn trc quan 20 1.3.3 Sai lm liờn quan n s dng nh lớ 22 Kt lun chng 26 Chng 2: Mt s dng toỏn v cc tr ca hm s cỏc kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng 27 2.1 Cc tr ca hm a thc bc ba y ax bx cx d (a 0) 27 2.1.1 Cỏc bi toỏn v s tn ti v v trớ ca cỏc im cc tr 28 2.1.2 Tỡm iu kin cc i, cc tiu tha mt h thc cho trc 30 2.1.3 Lp phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu 32 2.1.4 Luyn 35 Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.2 Cc tr ca hm s trựng phng y ax bx c (a 0) 41 2.2.1 Cỏc bi toỏn v s tn ti cc tr 41 2.2.2 Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu lp thnh mt tam giỏc luụn cõn hoc tam giỏc u 43 2.2.3 Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu lp thnh mt tam giỏc cú din tớch cho trc 44 2.2.4 Luyn 45 2.3 Cc tr ca hm phõn thc y ax bx c (ax b 0, a 0) 48 ax b 2.3.1 Khong cỏch gia hai im cc i, cc tiu 48 2.3.2 Hai im cc i, cc tiu nm v hai phớa ca mt ng thng 51 2.3.3 Du ca cỏc giỏ tr cc i, cc tiu 53 2.3.4 Luyn 55 Kt lun chng 59 Kt lun chung.60 Ti liu tham kho 61 Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội M U Lớ chn ti Toỏn hc cú ngun gc t thc tin v cú ng dng rng rói thc tin Tớnh tru tng cao lm cho toỏn hc cú tớnh thc tin ph dng cú th ng dng nhiu lnh vc khỏc ca khoa hc cụng ngh, sn xut v i sng xó hi hin i Mc ớch ca vic ging dy mụn Toỏn ph thụng l dy hc sinh v kin thc toỏn, cỏch gii bi tp, rốn luyn k nng gii toỏn, giỳp hc sinh khai thỏc c cỏc hot ng tim n ni dung mụn Toỏn t ú hỡnh thnh v phỏt trin t logic cho hc sinh Trong chng trỡnh toỏn thỡ kho sỏt hm s v cỏc dng toỏn liờn quan n th hm s l mng kin thc quan trng chng trỡnh lp 12 núi riờng v chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng núi chung Vỡ th õy l phn kin thc chim nhiu nht v thi lng phõn phi chng trỡnh cng nh khụng th thiu bt kỡ thi no dnh cho hc sinh lp 12 t kim tra nh kỡ, n thi tt nghip, c bit l kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng,Cõu hi ph liờn quan liờn quan n kho sỏt hm s cỏc thi luụn l cõu hi e ngi i vi phn ln hc sinh bi tớnh a dng, phong phỳ ũi hi cú kin thc vng vng, t logic, sc bộn Trong khúa lun ny tụi i sõu vo mt phn nh ca kho sỏt hm s ú l phn cc tr ca hm s õy l mt ni dung thng xuyờn cú mt cỏc thi tuyn sinh i hc, cao ng Vi mc ớch giỳp cho hc sinh cú mt cỏi nhỡn tng quan, gii quyt tt mng kin thc ny, c bit giỳp cỏc em nõng cao kin thc luyn thi i hc Vi nhng lớ trờn, cựng vi s am mờ ca bn thõn v s hng dn nhit tỡnh ca cụ giỏo Dng Th H, tụi la chn ti: Bi toỏn v cc tr ca hm s thi tuyn sinh i hc, cao ng Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Mc ớch nghiờn cu + Nghiờn cu lớ lun v ni dung cc tr ca hm s mụn Toỏn trng trung hc ph thụng + H thng húa cỏc dng bi v cc tr ca hm s chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng v kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng T ú phỏt trin k nng gii toỏn cc tr ca hc sinh, gúp phn nõng cao cht lng dy hc toỏn ph thụng i tng nghiờn cu Cỏc bi toỏn v cc tr ca hm s cỏc kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng Phm vi nghiờn cu Sỏch giỏo khoa lp 12, thi tuyn sinh i hc, cao ng v mt s ti liu tham kho khỏc Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu c s lớ lun ca ti Phõn loi cỏc dng toỏn liờn quan n cc tr ca hm s, nghiờn cu mt s sai lm ca hc sinh gii dng toỏn ny Nghiờn cu cỏc bi sỏch giỏo khoa 12 v cỏc thi i hc, cao ng nhng nm gn õy xut mt s bi toỏn cc tr Phng phỏp nghiờn cu + Phng phỏp nghiờn cu lớ lun + Phng phỏp tng kt kinh nghim Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội NI DUNG CHNG 1: C S L LUN 1.1 Ni dung cc tr ca hm s mụn Toỏn trng ph thụng 1.1.1 Khỏi nim cc tr ca hm s Gi s hm s f xỏc nh trờn hp D ( D ) v x0 D a) x0 c gi l mt im cc i ca hm s f nu tn ti mt khong (a ; b) cha im x0 cho (a ; b) D v f(x) < f(x0) vi mi x (a ; b) \ {x0} Khi ú f(x0) c gi l giỏ tr cc i ca hm s f b) x0 c gi l mt im cc tiu ca hm s f nu tn ti mt khong (a ; b) cha im x0 cho (a ; b) D v f(x) > f(x0) vi mi x (a ; b) \ {x0} Khi ú f(x0) c gi l giỏ tr cc tiu ca hm s f im cc i v im cc tiu c gi chung l im cc tr Giỏ tr cc i v giỏ tr cc tiu c gi chung l giỏ tr cc tr ca hm s 1.1.2 iu kin cn hm s t cc tr Ta tha nhn nh lớ sau: nh lớ 1: Gi s hm s f t cc tr ti im x0 Khi ú, nu f cú o hm ti x0 thỡ f (x0) = Chỳ ý: nh lớ trờn ch l iu kin cn vỡ cú th o hm ca hm s bng ti im x0 nhng hm s khụng t cc tr ti im x0 Vớ d: Xột hm s y f (x) x , cú f (x) 3x v f (0) Tuy nhiờn hm s f khụng t cc tr ti im x = Tht vy, vỡ f (x) 3x vi mi x nờn hm s luụn ng bin trờn Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Xột hm s y f (x) x l hm s xỏc nh trờn cú f (0) v f (x) vi mi x Nờn hm s t cc tiu ti x = Nhng hm s khụng cú o hm ti x = Nhn xột: Mt hm s ch cú th t cc tr ti mt im thuc xỏc nh m ti ú o hm ca hm s bng hoc ti ú hm s khụng cú o hm Nhng im thuc xỏc nh ca hm s y f (x) m ti ú o hm bng hoc ti ú hm s liờn tc m khụng cú o hm gi l im ti hn ca hm s 1.1.3 iu kin hm s t cc tr nh lớ 2: Gi s hm s f liờn tc trờn khong (a ; b) cha im x0 v cú o hm trờn cỏc khong (a ; x0) v (x0 ; b) Khi ú a) Nu f (x) < vi mi x (a ; x0) v f (x) > vi mi x (x0 ; b) thỡ hm s t cc tiu ti im x0 b) Nu f (x) > vi mi x (a ; x0) v f (x) < vi mi x (x0 ; b) thỡ hm s t cc i ti im x0 Chỳ ý: nh lớ trờn cú th phỏt biu cỏch khỏc nh sau Gi s hm s f liờn tc trờn khong (a ; b) cha im x0 v cú o hm trờn cỏc khong (a ; x0) v (x0 ; b) Khi ú a) Nu f (x) i du t õm sang dng x qua im x0 (theo chiu tng) thỡ hm s t cc tiu ti x0 b) Nu f (x) i du t dng sang õm x qua im x0 (theo chiu tng) thỡ hm s t cc i ti im x0 x a f (x) x0 b + f(x) f(x0) (cc tiu) Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp x Trường ĐHSP Hà Nội a x0 f (x) b f(x0) (cc i) f(x) nh lớ 3: Gi s hm s f cú o hm cp mt trờn khong (a ; b) cha im x0, f (x) = v f cú o hm cp hai khỏc ti im x0 a) Nu f (x) < thỡ hm s f t cc i ti im x0 b) Nu f (x) > thỡ hm s f t cc tiu ti im x0 1.1.4 Quy tc tỡm cc tr Quy tc 1: p dng nh lớ Tỡm f (x) Tỡm cỏc im xi (i = 1, 2, 3, ) ti ú o hm bng hoc hm s liờn tc nhng khụng cú o hm Xột du ca f (x) Nu f (x) i du x qua im xi thỡ hm s cú cc tr ti im xi Quy tc 2: p dng nh lớ Tỡm f (x) Tỡm cỏc nghim xi (i = 1, 2, 3,) ca phng trỡnh f (x) = Vi mi xi tớnh f (xi): Nu f (xi) < thỡ hm s t cc i ti im xi Nu f (xi) > thỡ hm s t cc tiu ti im xi Vớ d p dng quy tc tỡm cc tr ca hm s: f (x) x (x 2) Gii: Hm s ó cho xỏc nh v liờn tc trờn Ta cú: x(x 2) x 2x x f (x) x x f (x) x(x 2) x 2x x Trịnh Thị Như Quỳnh Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Khi ú ta cú: A(0;m), B( m 1; m m 1), C( m 1; m m 1) OA (0;m), BC (2 m 1;0) OA m , BC m Do ú OA = BC m m m 4m m Kt hp vi iu kin (*) ta thy m l giỏ tr cn tỡm Bi Cho hm s y x 2mx m cú th ( Cm) Vi giỏ tr no ca m thỡ th ca ( Cm) cú im cc tr , ng thi im cc tr ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng Hng dn: x y 4x 4mx 4x(x m), y x m Hm s ó cho cú im cc tr PT y = cú nghim phõn bit v y i du x i qua cỏc nghim ú m > (*) Khi ú im cc tr ca th (Cm) l: A(0; m 1); B( m; m m 1); C( m; m m 1) Gi H l trung im ca BC H(0; m m 1) Ta tớnh c: AB AC m m; BC m; AH m 1 SABC AH.BC m 2 m m m 2 Theo gi thit: R AB.AC.BC (m m)2 m 1 4.SABC 4m m m m 2m m ;m 2 Kt hp vi iu kin (*) ta thy m 1; m Trịnh Thị Như Quỳnh 47 l giỏ tr cn tỡm Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.3 Cc tr ca hm phõn thc y ax bx c (ax b 0, a 0) ax b Hm s cú cc tr (hai cc tr) y = cú hai nghim phõn bit x b a Khi ú honh cỏc im cc tr l nghim ca phng trỡnh y = Hai cc tr: cc i, cc tiu i xng qua giao im hai tim cn Hm s cú dng y ax bx c u(x) ax b v(x) u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x) u(x)v(x) v (x) u(x) u(x) v(x) v(x) y Gi s (x1 ; y1) ; (x2 ; y2) l hai cc tr nờn y(x1) = y(x2) = ta im cc tr tha phng trỡnh y u(x) l phng trỡnh ng thng i v(x) qua im cc i, cc tiu ca hm s 2.3.1 Khong cỏch gia hai im cc i, cc tiu ax bx c Bi toỏn: Cho hm s y (ax b 0, a 0) Tỡm iu ax b kin hm s cú cc i, cc tiu v khong cỏch gia hai im cc i, cc tiu tha mt iu kin cho trc Cỏch gii chung cho bi toỏn ny l: + Tớnh y Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu + Gi s th cú im cc i, cc tiu l A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) Tớnh y1, y2 theo x1, x2 + Ta cú AB (x1 x )2 (y1 y )2 2 + S dng bin i x1 x x1 x 4x1x ỏp dng nh lớ Vi-ột T ú tỡm c iu kin ca tham s Trịnh Thị Như Quỳnh 48 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vớ d ( thi i hc d b D - 2002) Cho hm s y x mx (m l tham s) Tỡm m hm s cú cc i, x cc tiu Vi giỏ tr no ca m thỡ khong cỏch gia hai im cc tr ca th hm s bng 10 Gii: Hm s cú xỏc nh l D Ta cú y \ x 2x m t g(x) = x2 + 2x + m (1 x) Hm s cú cc i, cc tiu y = cú hai nghim phõn bit khỏc ' m m m g(1) m m Vi m > hm s cú cc tr x1, x2 l nghim ca phng trỡnh y = Khi ú phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr l : (x mx) ' 2x m y 2x m (1 x)' Gi ta hai im cc tr l: M(x1 ; y1) v N(x2 ; y2) MN 10 (x x1 ) (y2 y1 )2 5(x x1 )2 100 x1 x 4x1x Theo nh lớ Vi-ột ta cú: x1 + x2 = v x1x2 = m 20 4m m ( tha m > 1) Vy m = l giỏ tr cn tỡm tha yờu cu bi toỏn Nhn xột: Khi tớnh giỏ tr cc i, cc tiu ca hm phõn thc y dng cụng thc y u(x) ta s v(x) u(x) v(x) Trịnh Thị Như Quỳnh 49 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vớ d ( thi i hc d b A - 2003) x (2m 1)x m m Cho hm s y Tỡm m th hm s 2(x m) cú cc tr v tớnh khong cỏch gia hai im cc tr ca hm s Gii: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú y \ m x (2m 1)x m m m x 2(x m) 2 xm (x m) y (x m) 2(x m) Rừ rng y = luụn cú hai nghim phõn bit x1, x2 khỏc m v i du qua hai nghim ú Nờn hm s luụn cú cc tr vi mi m Honh x1, x2 l nghim ca phng trỡnh: x1 m (x m) x m Phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca hm s l: [x (2m 1)x m m 4] 2x 2m y [2(x m)] y1 2x1 2m 2x 2m ; y2 2 2 Khong cỏch gia hai im cc tr A(x1 ; y1) v B(x2 ; y2) l: AB (x1 x ) (y1 y ) 42 42 32 Vy khong cỏch gia hai im cc tr ca hm s l Vớ d Cho hm s y x 2(m 1)x m 4m Tỡm m hm s cú cc x2 i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca hm s cựng vi gc ta O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O Trịnh Thị Như Quỳnh 50 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội \ Gii: Tp xỏc nh ca hm s l D Ta cú y x 4x m t g(x) = x2 + 4x + m2 (x 2) Hm s cú cc i, cc tiu g(x) = cú hai nghim phõn bit khỏc ' m m0 g(2) m Vi m hm s cú hai im cc tr x1, x2 l nghim ca phng trỡnh g(x) = Khi ú phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr l: [x 2(m 1)x m 4m] y 2x 2m (x 2) Gi A, B l cỏc im cc tr A(2 m ; 2), B(2 + m ; 4m 2) OA (m 2; 2); OB (m 2;4m 2) Ba im O, A, B to thnh tam giỏc vuụng ti O OA.OB m 8m m (tha m ) Vy giỏ tr m cn tỡm l m Nhn xột: iu kin hm s cú cc i, cc tiu ti A(x1; y ) , B(x ; y ) cho OB, OA vuụng gúc vi ta l: OA.OB x1x y1y 2.3.2 Hai im cc i, cc tiu nm v hai phớa ca mt ng thng Bi toỏn: Cho hm s y = f(x) tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu nm v hai phớa ng thng y ax b (trong ú f(x) l m hm s phõn thc) Cỏch gii: + Tớnh y Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu Gi s hm s cú cc i, cc tiu ti im A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) Tớnh y1, y2 theo x1, x2 + Ta cú A, B nm v hai phớa ca ng thng y ax b khi: (ax1 y1 b)(ax y b) Trịnh Thị Như Quỳnh 51 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội + Bin i h thc, ỏp dng nh lớ Vi-ột T ú tỡm c iu kin ca tham s Tng t: A, B nm v mt phớa ca ng thng y ax b khi: (ax1 y1 b)(ax y b) Hai im A, B nm v hai phớa ca ng f(x, y) = khi: f( x1 ; y1).f(x2 ; y2) < x mx Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu x ng thi hai im cc i, cc tiu nm v hai phớa ng thng Vớ d Cho hm s y d: 2x + y = Gii: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú: y \ x 2x m t g(x) = x2 + 2x + m = (x 1) Hm s cú cc i, cc tiu phng trỡnh g(x) = cú hai nghim m m phõn bit khỏc m (*) g(1) m Vi m < hm s cú cc i, cc tiu ti x1, x2 l nghim ca phng trỡnh g(x) = Khi ú ng thng i qua im cc tr l y = 2x + m Gi s cỏc im cc i, cc tiu l A(x1 ; y1) v B(x2 ; y2) ta cú: y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2 + m A, B nm v hai phớa ca ng thng d: 2x + y = khi: (2x1 + y1 1)(2x2 + y2 1) < (4x1 + m 1)(4x2 + m 1) < 16x1x2 + 4(m 1)(x1 + x2) + (m 1)2 < Theo nh lớ Vi-ột ta cú: x1 + x2 = v x1x2 = m 16(m 3) 8(m 1) + (m 1)2 < m2 + 6m 39 < m Kt hp vi iu kin (*) ta c m Trịnh Thị Như Quỳnh 52 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vớ d ( thi i hc d b B - 2005) Cho hm s y x 2mx 3m Tỡm m th hm s cú hai xm im cc tr nm v hai phớa i vi trc tung \ m Gii: Tp xỏc nh ca hm s l D Ta cú y x 2mx m Hm s cú hai cc tr nm v hai phớa (x m) trc tung v ch y = cú hai nghim trỏi du x1x m m Vy < m < tha yờu cu bi toỏn 2.3.3 Du ca cỏc giỏ tr cc i, cc tiu Bi toỏn: Cho hm s phõn thc tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu tha yờu cu v du ca giỏ tr cc i, cc tiu Cỏch gii: + Tớnh y, tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu + Gi s th cú im cc i, cc tiu l A(x1 ; y1), B(x1 ; y2).Tớnh y1, y2 theo x1, x2 Tớnh y1 + y2 v y1y2 y y2 + Ta cú yC < 0, yCT < y1y y y2 Tng t ta cú: yC > 0, yCT > y1y y1, y2 trỏi du y1y2 < Vớ d Cho hm s y x (m 3)x 3m Tỡm m hm s cú cc x i cc tiu v cỏc giỏ tr cc i, cc tiu ca hm s cựng õm Gii: Tp xỏc nh ca hm s l: D Trịnh Thị Như Quỳnh 53 \ Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta cú: y Trường ĐHSP Hà Nội x 2x 2m t g(x) = x2 2x 2m + = (x 1) Hm s cú cc i, cc tiu phng trỡnh y = cú hai nghim phõn 2m bit khỏc (*) m g(1) 2m Vi m gi s th cú im cc i, cc tiu l: A(x1 ; y1) v B(x2 ; y2) Phng trỡnh ng thng i qua im cc tr ca hm s l: y [x (m 3)x 3m 1] 2x m (x 1) Ta cú y1 = 2x1 m 3; y2 = 2x2 m v theo nh lớ Vi-ột thỡ x1 + x2 = y1 y 2m v x1x2 = 2m + T ú ta tớnh c: y1y2 m 6m m y1 y 2m Ta cú yC < 0, yCT < m y1y m 6m m m Gii h trờn kt hp vi iu kin (*) ta c m Vớ d Cho hm s y x (m 1)x m Tỡm m (Cm) cú cc i, cc xm tiu nm v cựng mt phớa vi trc Ox Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú: y \ m x 2mx (m 1) Vỡ phng trỡnh y = luụn cú hai (x m)2 nghim phõn bit (do = 2m2 + > 0, m ) nờn hm s luụn cú cc i, cc Trịnh Thị Như Quỳnh 54 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội tiu Khi ú (Cm) t cc tr ti x1, x2 ú x1, x2 l nghim ca phng trỡnh x 2mx (m 1) = Phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc tr l: y 2x m Cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa vi trc Ox nu nh: y(x1 ).y(x ) (2x1 m 1)(2x m 1) 4x1x 2(m 1)(x1 x ) (m 1)2 Theo Vi-ột ta cú: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m2 (*) m Thay vo (*) ta c m2 + 6m > m m Vy giỏ tr ca m tha yờu cu bi toỏn l: m 2.3.4 Luyn Bi ( thi i hc d b A - 2007) Cho hm s y x m m Tỡm m hm s cú cc tr ti cỏc im x2 A, B cho ng thng AB i qua gc ta O Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú y \ m (x 2) m Hm s cú hai cc tr y = (x 2) (x 2) cú hai nghim phõn bit khỏc (x 2) m cú hai nghim phõn bit khỏc m Khi m > 0, phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr l d: y = 2x + m Theo gi thit, ng thng d i qua gc ta O m = Vy m = tha yờu cu bi toỏn Trịnh Thị Như Quỳnh 55 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bi ( thi i hc d b B - 2004) Cho hm s y x 2mx Tỡm m th hm s cú hai im cc x tr A, B Chng minh rng, ú ng thng AB song song vi ng thng d: 2x y 10 = Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú: y \ x 2x 2m hm s cú hai cc tr thỡ phng trỡnh (x 1) y = cú hai nghim phõn bit khỏc x 2x 2m cú hai nghim phõn bit khỏc 2m m 2m Phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc tr l y = 2x 2m ng thng ny song song vi ng thng d: 2x y 10 = Vy vi m hm s cú hai im cc tr ti A, B v ú ng thng AB song song vi ng thng d: 2x y 10 = Bi ( thi tuyn sinh i hc B - 2005) Gi (Cm) l th ca hm s y x (m 1)x m Chng minh x rng vi m bt kỡ th (Cm) luụn luụn cú im cc i, cc tiu v khong cỏch gia hai im ú bng 20 Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l: D \ x x 2x y Ta cú y , x (x 1) Trịnh Thị Như Quỳnh 56 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bng bin thiờn: x y m3 y + m+1 Vy vi mi m, (Cm) luụn cú cc i A(2 ; m 3) v cc tiu B(0 ; m + 1) Ta cú AB 22 42 20 Vy khong cỏch gia hai im cc i, cc tiu ca th hm s bng 20 Bi ( thi tuyn sinh i hc A - 2005) Gi (Cm) l th ca hm s y mx Tỡm m hm s cú cc tr x v khong cỏch t im cc tiu ca (Cm) n tim cn xiờn ca bng Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l: D Ta cú: y \ mx Hm s cú cc tr y = cú hai nghim phõn x2 bit khỏc m > Lỳc ú ta cú bng bin thiờn: x y m m y m m ;2 m Nh vy vi m > 0, hm s cú cc tiu ti im A m Ta thy : y = mx mx y = l tim cn xiờn ca (Cm) T ú: Trịnh Thị Như Quỳnh 57 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp d(A, ) Trường ĐHSP Hà Nội m m m m 2m m 2 m Ta thy m = tha iu kin m > nờn l giỏ tr cn tỡm ca m x (5m 1)x 3m Bi Cho hm s y Tỡm m hm s cú cc i, x cc tiu ti A, B cho on AB ct c trc honh v trc tung Hng dn: Tp xỏc nh ca hm s l D Ta cú: y \ x 2x 8m t g(x) x 2x 8m (x 1) Hm s cú cc i, cc tiu phng trỡnh y = cú hai nghim phõn 8m bit khỏc (*) m g(1) Phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc tr l: y 2x 5m Gi s th cú im cc i, cc tiu ti A(x1 ; y1) v B(x2 ; y2) Ta cú y1 = 2x1 5m + 1, y2 = 2x2 5m + x1x on AB ct c trc honh v trc tung khi: Theo nh lớ Vi-ột: y y x1 x 2, x1x 8m Ta c: x1x2 = 8m < m > (**) y1 y2 = (2x1 5m + 1) (2x2 5m + 1) < 4x1x2 + 2(5m + 1)(x1 + x2) + (5m + 1)2 < 4(8m) 4(5m + 1) + (5m + 1)2 < 25m2 22m < m 25 Kt hp (*), (**) ta c iu kin ca m l < m < Trịnh Thị Như Quỳnh 58 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KT LUN CHNG Chng ó tng hp v xut c cỏc bi toỏn cc tr v cỏc dng toỏn liờn quan ca mt s hm thng xuyờn cú thi tuyn sinh i hc, cao ng nh: + Hm s a thc y ax bx cx d (a 0) , hm s trựng phng y ax bx c (a 0) + Hm phõn thc hu t: y ax bx c (ax b 0, a 0) a x b T ú to c hi giỳp cỏc em rốn luyn k nng gii toỏn cc tr, h thng cỏc bi tng ng, bỏm sỏt kin thc Cỏc dng bi c a tng ng vi mt s phng phỏp gii c th giỳp hc sinh cú th nm c cỏch lm ng thi ụn li mt s kin thc cú liờn quan Trịnh Thị Như Quỳnh 59 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KT LUN CHUNG Trờn õy l ton b ni dung khúa lun: Bi toỏn v cc tr ca hm s thi tuyn sinh i hc, cao ng Khúa lun ó thu c kt qu chớnh sau: Tỡm hiu c s lớ lun ca ti Phõn loi cỏc dng toỏn liờn quan n cc tr ca hm s, nghiờn cu mt s sai lm ca hc sinh gii dng toỏn ny Nghiờn cu cỏc bi sỏch giỏo khoa 12 v cỏc thi i hc, cao ng nhng nm gn õy xut mt s bi toỏn cc tr Thụng qua cỏc vớ d v cỏc bi luyn c a tng ng vi cỏc dng s rốn luyn kh nng tớnh toỏn, vit phng trỡnh ng thng, kh nng t cho hc sinh Lm tt cỏc dng bi ny tc l ó cú th lm tt cỏc bi toỏn liờn quan n cc tr ca hm s Phõn loi c cỏc bi tp, hiu c bi tp, tỡm c phng phỏp lm l hc sinh nờn lm t bõy gi Chớnh vỡ vy khúa lun ny tụi a mt s dng bi v phng phỏp gii tng ng vi hi vng cú th giỳp cho hc sinh gim bt nhng khú khn ụn thi vo i hc, cao ng Tuy nhiờn thi gian v kin thc cũn hn ch nờn khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp quý bỏu ca thy cụ v cỏc bn sinh viờn khúa lun c hon thnh Trịnh Thị Như Quỳnh 60 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TI LIU THAM KHO 1) Lờ Hng c, Phng phỏp gii toỏn hm s, NXB i hc quc gia H Ni 2) Trn Vn Ho (tng ch biờn), V Tun (ch biờn), Lờ Th Thiờn Hng, Nguyn Tin Ti, Cn Vn Tut, Gii tớch 12, NXB Giỏo Dc 3) Phan Huy Khi, Kho sỏt hm s v cỏc bi toỏn liờn quan, NXB Khoa hc t nhiờn v cụng ngh 4) Nguyn Bỏ Kim, Phng phỏp dy hc mụn Toỏn, NXB i hc S Phm 5) Trn Phng, Tuyn cỏc chuyờn luyn thi i hc mụn Toỏn - Hm s, NXB H Ni 6) Trn Phng, Nguyn c Tn, Sai lm thng gp v sỏng to gii toỏn, NXB i hc S Phm 7) on Qunh (tng ch biờn), Nguyn Huy oan (ch biờn), Trn Phng Dung, Nguyn Xuõn Liờm, ng Hựng Thng, Gii tớch 12 nõng cao, NXB Giỏo Dc 8) T sỏch toỏn hc v tui tr, Tuyn chn theo chuyờn chun b cho kỡ thi tt nghip THPT v thi vo i hc, cao ng mụn Toỏn - Tp 1: i s, lng giỏc, gii tớch, NXB Giỏo Dc 9) Trn Tin T, Hng dn gii chi tit thi tuyn sinh i hc, cao ng mụn toỏn, NXB i hc quc gia H Ni 10) w.w.w.math.vn.com 11) w.w.w.violet.vn Trịnh Thị Như Quỳnh 61 Lớp K35E Toán [...]... trong kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng khúa lun s tng hp v xut cỏc dng bi tp v cc tr theo cỏc lp hm thng xuyờn cú mt trong kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng chng 2 Trịnh Thị Như Quỳnh 26 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHNG 2 MT S DNG TON TRONG Kè THI TUYN SINH I HC, CAO NG 2.1 Cc tr ca hm a thc bc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Hm s y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d cú y = 3ax2 +... Trong chng ny, vic nhc li cỏc kin thc c bn v cc tr ca hm s, cỏc quy tc tỡm cc tr nhm cng c kin thc, to nn tng hc sinh cú th ng dng vo tỡm cc tr ca hm s ng thi chng ny ó a ra h thng, phõn loi cỏc dng bi tp theo cỏc lp hm v mt s sai lm hc sinh thng gp giỳp cho vic gii quyt cỏc bi tp mt cỏch thun li hn Trờn c s ú, vi mc ớch giỳp hc sinh cú mt ti liu v ch cc tr ca hm s trong kỡ thi tuyn sinh i hc, cao. .. nh ca x v kho sỏt cc tr ca hm f nhn Trịnh Thị Như Quỳnh 16 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 c trong min ú Ta cn lu ý vic la chn i lng thay i x thun li trong vic tớnh toỏn biu thc cn kho sỏt theo bin x (v c mt hm s cú th kho sỏt c s bin thi n ca nú) Vớ d 1 Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a on SA a 3 vuụng gúc vi ỏy Mt im B chuyn ng trong on SB Mt phng (ADB) ct SC ti... : Trịnh Thị Như Quỳnh 19 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp x Trường ĐHSP Hà Nội 2 10 0 S(x) 0 S(x) 300 Da vo bng bin thi n ta thy trờn khong 0; , hm s S t giỏ tr nh nht ti im x = 10 Vy mun tn ớt nguyờn liu nht, ta ly di cnh ỏy hỡnh hp l x = 10(cm) 1.3 Cỏc sai lm hc sinh thng gp phi khi gii toỏn v cc tr ca hm s 1.3.1 Sai lm liờn quan n ngụn ng din t Trong cỏc bi toỏn v cc tr ca hm s, hc sinh. .. 0; sao cho V(x0) cú giỏ tr ln nht 2 Ta cú: V(x) = (a 2x)2 + x.2(a 2x).(2) = (a 2x)(a 6x) Trịnh Thị Như Quỳnh 18 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 a a Trờn khong 0; , ta cú: V(x) = 0 x 6 2 Bng bin thi n: x 0 V(x) a 2 a 6 + 0 2a 3 27 V(x) 0 0 a T bng bin thi n trờn ta thy trong khong 0; hm s cú mt 2 im cc tr duy nht l im cc i x bng a nờn ti ú V(x) cú giỏ tr ln... 3 1.2.4 Cỏc bi toỏn cc tr trong hỡnh hc Bi toỏn: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mt i lng hỡnh hc bin thi n f ( di on thng, din tớch a giỏc, th tớch khi a din ) yờu cu phi tỡm c cỏc giỏ tr f1, f2 c nh luụn luụn tha món ng thc: f1 f f2, ng thi ch rừ cỏc i lng hỡnh hc ca i lng bin thi n ang xột, ti ú f t giỏ tr nh nht f1 hoc ln nht f2 ụi khi bi toỏn ch yờu cu tỡm mt trong hai i lng ny Phng phỏp... 3 9 Hc sinh d mc m rng, ti sao cỏc cc tr l nhng s dng li cũn thờm gi thit im cc tr mang giỏ tr õm, phi chng bi khụng ỳng? 1.3.2 Sai lm liờn quan n cm nhn trc quan x 2 2mx 5 Vớ d Tỡm m hm s y cú cc i, cc tiu nm v hai x 1 phớa ca ng thng y = 2x Hc sinh thng lm nh sau: t: g(x) = x2 + 2mx 5 Hm s cú cc i, cc tiu nm v hai phớa ca ng thng y = 2x tng ng vi h: Trịnh Thị Như Quỳnh 20 Lớp K35E Toán Khóa... 4mx3, y 0 x 0 Lp bng bin thi n ta thy x0 l im cc tiu ca hm s m < 0: Ta cú y = 4mx3, y 0 x 0 Lp bng bin thi n ta thy x0 l im cc i ca hm s Kt lun: Hm s t cc i ti x = 0 khi v ch khi m < 0 Trịnh Thị Như Quỳnh 23 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Vớ d 2 Cho hm s y = f(x) = x4 + mx3 + 1 Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc tiu ti x = 0 Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x)... nờn khụng tha món iu kin bi toỏn + Trng hp 3: t(x) cú hai nghim phõn bit trong ú cú mt nghim 1 bng 0 Ta cú t(0) = 0 hay 3(1 + 2m) = 0 m 2 Trịnh Thị Như Quỳnh 8 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khi ú f (x) = 4x2 (x 3), f (x) 0 x 0; x 3 Bng bin thi n: x f (x) f(x) 0 0 3 0 + + + + 31 T bng bin thi n ta thy hm s ch cú cc tiu m khụng cú cc i Vy m 1 tha món 2 1 7 1... x 5 SB 2 Trịnh Thị Như Quỳnh 17 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 DC2 4a 2 5x 2 4ax 4 5 Vy: y DA 2 AB2 BC2 DC2 x 2 7ax 8a 2 2 Do B chuyn ng trong on SB cú di 2a nờn 0 x = SB SB = 2a Vy giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca y l cỏc giỏ tr ln nht v nh nht 5 ca hm s y(x) x 2 7ax 8a 2 trong on [0; 2a] 2 7 Ta cú: y = 5x 7a; y = 0 x a 5 Ta cú bng biờn thi n: x 7 ... thng xuyờn cú mt kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng chng Trịnh Thị Như Quỳnh 26 Lớp K35E Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHNG MT S DNG TON TRONG Kè THI TUYN SINH I HC, CAO NG 2.1 Cc tr... thi tuyn sinh i hc, cao ng T ú phỏt trin k nng gii toỏn cc tr ca hc sinh, gúp phn nõng cao cht lng dy hc toỏn ph thụng i tng nghiờn cu Cỏc bi toỏn v cc tr ca hm s cỏc kỡ thi tuyn sinh i hc, cao. .. kin thc chim nhiu nht v thi lng phõn phi chng trỡnh cng nh khụng th thiu bt kỡ thi no dnh cho hc sinh lp 12 t kim tra nh kỡ, n thi tt nghip, c bit l kỡ thi tuyn sinh i hc, cao ng,Cõu hi ph liờn