Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

KHOA TOÁN TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Người hướng

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI

TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học TH.S DƯƠNG THỊ HÀ

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của cô giáo, thạc sĩ Dương Thị Hà, khóa luận của tôi đến nay đã hoàn thành Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc của mình tới cô Dương Thị Hà, người đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu trong thời gian tôi thực hiện khóa luận này Tôi cũng xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các thầy cô trong khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất giúp tôi hoàn thành khóa luận đúng thời hạn

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Như Quỳnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Hà Nó không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Trịnh Thị Như Quỳnh

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

Chương 1: Cơ sở lý luận 3

1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông 3

1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số 3

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 3

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 4

1.1.4 Quy tắc tìm cực trị 5

1.2 Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông 7

1.2.1 Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ 7

1.2.2 Cực trị của hàm số vô tỉ 11

1.2.3 Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác 13

1.2.4 Các bài toán cực trị trong hình học 16

1.3 Các sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán về cực trị của hàm số 20

1.3.1 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 20

1.3.2 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan 20

1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí 22

Kết luận chương 1 26

Chương 2: Một số dạng toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 27

2.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba yax3bx2cxd (a 0) 27

2.1.1 Các bài toán về sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị 28

2.1.2 Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức cho trước 30

2.1.3 Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu 32

2.1.4 Luyện tập 35

2.2 Cực trị của hàm số trùng phương yax4bx2c (a0) 41

2.2.1 Các bài toán về sự tồn tại cực trị 41

2.2.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác luôn cân hoặc tam giác đều 43

2.2.3 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích cho trước 44

2.2.4 Luyện tập 45

2.3 Cực trị của hàm phân thức 2 ax bx c y (a x b 0, a 0) a x b            48

2.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu 48

2.3.2 Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng 51

2.3.3 Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu 53

2.3.4 Luyện tập 55

Kết luận chương 2……… 59

Kết luận chung……….60

Tài liệu tham khảo……… 61

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại

Mục đích của việc giảng dạy môn Toán ở phổ thông là dạy học sinh về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp học sinh khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn Toán từ đó hình thành và phát triển tư duy logic cho học sinh

Trong chương trình toán thì khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 nói riêng và chương trình toán trung học phổ thông nói chung Vì thế đây là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong phân phối chương trình cũng như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp, đặc biệt là kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng,…Câu hỏi phụ liên quan liên quan đến khảo sát hàm số trong các đề thi luôn là câu hỏi “e ngại” đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong phú đòi hỏi có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén Trong khóa luận này tôi đi sâu vào một phần nhỏ của khảo sát hàm số đó là phần cực trị của hàm số Đây là một nội dung thường xuyên có mặt trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với mục đích giúp cho học sinh có một cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức luyện thi đại học

Với những lí do trên, cùng với sự đam mê của bản thân và sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Dương Thị Hà, tôi lựa chọn đề tài: “Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng”

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

4 Phạm vi nghiên cứu

Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số tài liệu tham khảo khác

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu cơ sở lí luận của đề tài

2 Phân loại các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số, nghiên cứu một số sai lầm của học sinh khi giải dạng toán này

3 Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa 12 và các đề thi đại học, cao đẳng trong những năm gần đây

4 Đề xuất một số bài toán cực trị

6 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông

1.1.1 Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D  ) và x0  D

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và

f(x) < f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một

khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và

f(x) > f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần vì có thể đạo hàm của hàm số bằng 0

tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0

Ví dụ:

Xét hàm số yf (x)x3, có f (x) 3x2 và f (0) 0 Tuy nhiên hàm

số f không đạt cực trị tại điểm x = 0 Thật vậy, vì f (x) 3x2  với mọi 0

x  0 nên hàm số luôn đồng biến trên

Xét hàm số yf (x) x là hàm số xác định trên có f (0)0 và

f (x) với mọi x  0 Nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Nhưng hàm số 0không có đạo hàm tại x = 0

Nhận xét:

Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm thuộc tập xác định mà tại

đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm Những điểm thuộc tập xác định của hàm số yf (x) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc tại

đó hàm số liên tục mà không có đạo hàm gọi là điểm tới hạn của hàm số 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a ; x0) và (x0 ; b) Khi đó

a) Nếu f (x) < 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) > 0 với mọi x  (x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f (x) > 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) < 0 với mọi x (x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Chú ý: Định lí trên có thể phát biểu cách khác như sau

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a ; x0) và (x0 ; b) Khi đó

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

f(x0) (cực tiểu)

Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm

x0, f (x) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f (x) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

 Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

f (x)  0 x 1 Hàm số liên tục tại x nhưng không có đạo hàm tại x0  0

Sau đây là bảng biến thiên :

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x 1, f ( 1) 1  và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x , f (0)0  0

Chú ý: Nếu f (x ) 0 0 và f (x ) 0 0 thì ta không tìm được cực trị của hàm số

yf (x) theo quy tắc 2 Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1 chứ không được kết luận hàm số không có cực trị

Quy tắc 2 thường tìm cực trị của hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác

1.2 Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông

1.2.1 Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ

Nhận xét: y không đổi dấu qua điểm x = 0 nên x = 0 không phải là điểm cực

trị của hàm số, y đổi dấu qua các điểm x 3

+

0

108 3125

0

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x 3

m để đồ thị hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại

Giải: Hàm số đã cho xác định trên

Vậy với mọi m 1 7 1; 7

thỏa mãn điều kiện bài toán

+ Trường hợp 2: t(x) có hai nghiệm phân biệt đều khác 0 Khi đó phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt mà f (x) là đa thức bậc ba nên

nó đổi dấu liên tiếp qua ba nghiệm đó

Vì vậy hàm số có cực tiểu và cực đại nên không thỏa mãn điều kiện bài toán

+ Trường hợp 3: t(x) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm

bằng 0 Ta có t(0) = 0 hay 3(1 + 2m) = 0  m 1

2

 

Q (x)





 là phương trình quỹ tích của các điểm cực trị

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số:

3 2

xy

Từ đó ta thấy hàm số có 5 điểm là: x = 0, x  3 tại đó đạo hàm bị

triệt tiêu và x  tại đó đạo hàm không tồn tại 1

Giải: Hàm số trên xác định trên

Ta có:

2

4x 2(2 a)x 2(2 a)y

Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu Gọi x1, x2 là nghiệm của (*),

khi đó A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là các điểm cực trị của hàm số



3 32

Ta lại có giá trị cực trị là:

2 2

y

x 1(x 2x 2)

Nhận xét: Khi giải các bài toán tìm cực trị của hàm số vô tỉ việc vận

dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số đặc biệt là các hàm số vô tỉ có chứa tham số là tương đối phức tạp và có thể dần đến bế tắc Do đó ta thường sử dụng quy tắc 2

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số sau: yx 4x2

Giải: Tập xác định của hàm số là: D  2;2

Ta có:

2 2

Ta thấy: x 2; x  2 thuộc tập xác định của hàm số

Vì y( 2 ) = 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x 2 , yCĐ  2

Vì y( 2) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  2, yCT = 2

a) Hàm số không có cực trị  (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm không thỏa mãn (1)

Vậy với 0m thỏa mãn yêu cầu bài toán 4

b) Hàm số có cực đại  (*) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (1) và y đổi dấu từ dương sang âm

1.2.3 Cực trị của các hàm siêu việt và lượng giác

1.2.3.1 Cực trị của hàm số siêu việt

Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số siêu việt sau khi tính y nên giải bất

phương trình y  0 (y  0)  giải bất phương trình mũ hoặc logarit từ nghiệm của bất phương trình đó suy ra điểm cực trị của hàm số siêu việt

y(x )

1khi k 2n 12

e

y(x2) = 3

2 > 0  x2 là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số là:

2

1y(x )

31

Ví dụ 3 Với giá trị nào của m thì hàm số:

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

Ta có: y 2(m23) cos x4m cos 2x, y  2(m23)sin x8msin 2x

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x

1.2.4 Các bài toán cực trị trong hình học

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một đại lượng

hình học biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa diện …) yêu cầu phải tìm được các giá trị f1, f2 cố định luôn luôn thỏa mãn đẳng thức: f1  f  f2, đồng thời chỉ rõ các đại lượng hình học của đại lượng biến thiên đang xét, để tại đó f đạt giá trị nhỏ nhất f1 hoặc lớn nhất f2 Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai đại lượng này

Phương pháp giải toán: Tính đại lượng f đang xét theo chỉ một đại

lượng thay đổi x, tìm miền xác định của x và khảo sát cực trị của hàm f nhận

được trong miền đó Ta cần lưu ý việc lựa chọn đại lượng thay đổi x để thuận lợi trong việc tính toán biểu thức cần khảo sát theo biến x (và được một hàm

số có thể khảo sát được sự biến thiên của nó)

Ví dụ 1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Đoạn

SAa 3 vuông góc với đáy Một điểm B chuyển động trong đoạn SB Mặt phẳng (ADB) cắt SC tại C Đặt y là tổng bình phương của các cạnh của tứ diện (ADCB) Hãy tính y theo x = SB Từ đó hãy xác định các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y

Giải:

Mặt phẳng (ADB) chứa AD // BC nên giao

tuyến của nó với mặt phẳng (SBC) sẽ song song với

   trong đoạn [0; 2a]

Ta có: y = 5x  7a; y = 0  x 7a

ymax = 8a2, đạt được khi x = 0 (B  C  S)

Ví dụ 2 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại được cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất

Giải: Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt Rõ ràng x phải thỏa mãn

3,1a2

a 6V(x)

V(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng 0;, hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 10 Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp là x = 10(cm)

1.3 Các sai lầm học sinh thường gặp phải khi giải toán về cực trị của hàm số

1.3.1 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt

Trong các bài toán về cực trị của hàm số, học sinh thường lẫn lộn các cụm từ “điểm cực trị”, “cực trị” và “giá trị cực trị” do đó dễ sai lầm khi giải toán

Chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các điểm cực trị của hàm số:

S(x)

thị tại hai điểm phân biệt mà điểm

cực đại, cực tiểu vẫn nằm khác phía

x

x2

x1

1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí

Học sinh thường nhầm lẫn giữa điều kiện cần và điều kiện đủ Chẳng hạn, khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số, các em quên rằng

đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần

Điều ngược lại nói chung là không đúng

Ví dụ 1 Cho hàm số yf (x)mx4, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Một số học sinh thường làm như sau:

Hệ này vô nghiệm m

Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Phân tích:

Ta thấy, với m = 1, hàm số y =  x4 có y' = 4x3 , y' = 0  x = 0 Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0

Vậy lời giải trên sai ở đâu?

là điểm cực đại của hàm

số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn

có thể f (x0) = 0 Lí do là điều kiện f (x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f (x) nghịch biến trong lân cận (x0  h; x0 + h) (với h > 0), khi đó:

 m > 0: Ta có y = 4mx3, y  0 x0 Lập bảng biến thiên ta thấy

x0 là điểm cực tiểu của hàm số

 m < 0: Ta có y = 4mx3, y  0 x0 Lập bảng biến thiên ta thấy

x0 là điểm cực đại của hàm số

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0

Ví dụ 2 Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1 Tìm tất cả các giá trị của tham

Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

Ví dụ 3 Tìm k sao cho hàm số y2xk x2 1 có cực tiểu

Một số học sinh trình bày như sau:

(x 1)

 



Giả sử y đạt cực tiểu tại x0 thì y(x0) = 0 0

2 0

Phân tích: Lời giải trên đã nhầm lẫn giữa điều kiện cần và điều kiện đủ Đáng

lẽ, sau khi suy ra |k| >2, phải lần lượt xét hai trường hợp:

Nếu k < 2 thì y(x0) < 0 khi đó y đạt cực đại tại x0 (trái giả thiết)

Nếu k > 2 thì y(x0) > 0 khi đó y đạt cực tiểu tại x0, nên k < 2 là giá trị cần tìm

Cần phải lưu ý rằng nếu y đạt cực tiểu tại x0 thì chưa đủ để suy ra y(x0) > 0 (cho dù trước đó đã có y(x0) = 0) Thật vậy, xét hàm số y = x4 có y = 4x3; y = 12x2 mặc dù y(0) = 0 và y(0) = 0 không thỏa mãn điều kiện y(x0) > 0, thế nhưng hàm số y = x4 vẫn đạt cực tiểu tại x = 0

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong chương này, việc nhắc lại các kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số, các quy tắc để tìm cực trị nhằm củng cố kiến thức, tạo nền tảng để học sinh có thể ứng dụng vào tìm cực trị của hàm số Đồng thời chương này

đã đưa ra hệ thống, phân loại các dạng bài tập theo các lớp hàm và một số sai lầm học sinh thường gặp giúp cho việc giải quyết các bài tập một cách thuận lợi hơn Trên cơ sở đó, với mục đích giúp học sinh có một tài liệu về chủ đề cực trị của hàm số trong kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khóa luận sẽ tổng hợp và đề xuất các dạng bài tập về cực trị theo các lớp hàm thường xuyên có mặt trong kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng ở chương 2

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

2.1 Cực trị của hàm đa thức bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0)

 Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có y = 3ax2 + 2bx + c; y = b2  3ac

+ Nếu y  0: y không đổi dấu, hàm số không có cực trị

+ Nếu y > 0: phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua hai nghiệm nên hàm số có cực đại, cực tiểu Hoành độ điểm cực đại, cực tiểu kí hiệu là x1, x2 là nghiệm của phương trình y = 0

 Kĩ năng tính nhanh cực trị:

Giả sử y = b2  3ac > 0 Khi đó y = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

với

2 1,2

Hệ quả:

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x) Đối với hàm số tổng quát: yf (x)ax3 bx2cxd (a0) thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình:

2.1.1 Các bài toán về sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị

Lớp bài toán này thường có dạng sau: Tìm tham số để các hàm số có cực trị và cực trị này thỏa mãn những điều kiện nào đó cho trước

Lược đồ chung để giải các bài toán này sẽ là sử dụng điều kiện tồn tại cực trị kết hợp sử dụng với các kết quả về đa thức bậc hai, định lí Vi-ét, lí thuyết về phương trình và bất phương trình

Ví dụ 1 (Đề thi tuyển sinh đại học dự bị 2 khối A - 2002)

Cho hàm số y(xm)33x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm

có hoành độ x = 0

Giải: Hàm số đã cho xác định trên

Ta có: y 3(xm)2  3 3 (x m)21

 , y 6(xm) Để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0 thì:

Vậy với m = 1 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Ví dụ 2 (Đề thi tuyển sinh đại học dự bị 2 khối B - 2006)

Cho hàm số yx3(1 2m)x 2 (2m)xm2 Tìm m để hàm số

có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Giải: Hàm số đã cho xác định trên