Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẰNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ, bảo hướng dẫn em trình gõ Tex hoàn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu, kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Lời cam đoan Tên em là: Nguyễn Thị Hằng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Mục lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.2 Nghiệm hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.2 Khái niệm hàm truyền 1.2.1 Phép biến đổi z 1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền 1.3 Một số phép toán hàm truyền rời rạc 1 3 Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Tính điều khiển 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tiêu chuẩn điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1.3 Ví dụ 2.2 Tính quan sát 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Định lý điều kiện tương đương 2.2.3 Ví dụ 2.3 Biểu diễn tối thiểu 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Định lý Kalman 9 10 15 17 17 17 18 20 20 23 2.3.3 Ví dụ minh họa 25 Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc 27 3.1 3.2 3.3 3.4 Tài Định nghĩa tính ổn định Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định Ví dụ minh họa Mối liên hệ tính ổn định phương trình lyapunov liệu tham khảo 27 28 29 29 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thông xử lý tín hiệu nói riêng Các vấn đề lĩnh vực thường mô hình hóa mô hình toán học Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển toán điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ toán em chọn đề tài “Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận em trình bày toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc Chương trình bày khái niệm hệ động lực tuyến tính rời rạc, xây dựng ma trận hàm truyền phép toán ma trận hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc Chương nêu khái niệm tính điều khiểm được, tính quam sát hệ động lực tuyến tính rời rạc, phát biểu chứng minh định lý tiêu chuẩn tương đương với tính chất Từ đó, đưa khái niệm biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc nêu phương pháp đưa biểu diễn biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) định lý điều kiện cần đủ để biểu diễn biểu diễn tối thiểu • Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Đưa khái niệm ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc, tính chất phương trình Lyapunov rời rạc, từ chứng minh định lý liên hệ hai khái niệm Mục đích- Yêu cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Bài toán điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực khóa luận • Nơi nghiên cứu (những khó khăn thuận lợi nơi nghiên cứu) Nội dung Tên đề tài Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Khái niệm hàm truyền - Một số phép toán hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc - Tính điều khiển - Tính quan sát - Biểu diễn tối thiểu • Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc - Định nghĩa tính ổn định - Điều kiện hệ ổn định Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Chương Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 1.1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến xác định phương trình trạng thái sau: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0 y(k) = Cx(k) + Du(k) (1.1) (1.2) Trong đó: x(k) vectơ thực n chiều gọi vectơ trạng thái hệ Với k ∈ N u(k) vectơ thực m chiều gọi vectơ đầu vào y(k) vectơ thực r chiều gọi vectơ đầu x(0) trạng thái ban đầu hệ, thành phần x(t) tham biến điều khiển Các ma trận A, B, C, D ma trận thực có kích thước tương ứng là: n × n, n × m, r × n, r × m Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC 1.1.2 Nghiệm hệ động lực tuyến tính rời rạc Định lý 1.1.2 Nghiệm hệ động lực (1.1), (1.2) xác định sau: k−1 k Ak−1−iBu(k), x(0) = x0, x(k) = A x0 + (1.3) i=0 k−1 k CAk−i−1Bu(i) y(k) = CA x0 + + Du(k) (1.4) i=0 Chứng minh Từ: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1.5) ta có x(k) = A[Ax(k − 2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1) = A2x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k − 1) = A2[Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k − 2) + Bu(k − 1) k−1 Ak−1−iBu(i) k = A x0 + i=0 Thay k−1 k Ak−1−iBu(i) x(k) = A x0 + i=0 vào (1.2) ta có (1.4) Ví dụ 1.1.3 Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc: x(k + 1) = 5x(k) + 2u(k), y(k) = x(k) + 3u(k) Tính x(3), y(3) Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN x(0) = (1.6) (1.7) CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC CM = B, AB, , An−1B có hạng k < n n−2 ⇒A n−1 βj Aj B B= j=0 n−2 n βj Aj+1B ∈ R (CM ) ⇒A B= j=0 ⇒ αn−1An B ∈ R (CM ) ⇒ AK ∈ R (CM ) , ∀K ∈ R (CM ) R (AX) ⊂ R (CM ) M Giả sử T −1 = , M ∈ Rk×n, N ∈ R(n−k)×n N T −1T = In M ⇔ X Y = In N Ik MX MY = In−k NX NY N X = ⇒ R (X) ⊂ N (N ) ⇒ R (CM ) ⊂ N (N ) B ∈ R (CM ) ⇒ N B = AX ∈ R (CM ) ⇒ N AX = Ta có: M A¯ = T −1AT = A X Y N MAX MAY A¯11 A¯12 = = N AX N AY A¯22 ⇔ ¯1 M MB B −1 ¯ B=T B= B= = ¯ N NB B2 ¯ A¯B, ¯ , A¯n−1B ¯ = T −1CM C¯M = B, rank C¯M = rank (CM ) = k ¯1 A¯k−1B ¯1 A¯n−1B ¯ B¯1 A¯11B 11 11 ¯ C= 0 0 22 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC ¯1, A¯1B ¯1 , , A¯n−1B ¯1 = k Theo định lý Cayley - Hamilton rank B n ¯1 , A¯11B ¯1 , , A¯k−1B ¯1 có hạng ¯1 là: B Vì ma trận điều khiển A¯11, B 11 ¯1 điều khiển k ⇒ A¯11 , B Tương tự, ta có hệ không quan sát phân tích thành hệ quan sát hệ không quan sát Định lý 2.3.4 (Phân tích hệ không quan sát được) Nếu ma trận quan sát OM có rank (OM ) = k < n, sau có tồn ma trận không suy biến T cho: A¯ = T AT −1 = A¯11 A¯12 , C¯ = CT −1 = (0, C¯1) ¯ A22 Với (A¯11 , C¯1) quan sát A¯11 có bậc k 2.3.2 Định lý Kalman Áp dụng hai định lý (2.3.3) (2.3.4) ta thể phân tích biểu diễn hàm G(z) biểu diễn tối thiểu, phân tích gọi phân tích Kalman Định lý 2.3.5 (Định lí Kalman) Cho G(z) biểu diễn dạng: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) tồn phép biến đổi    A¯c¯o A¯12 x¯c¯o (k + 1)   x  ¯co (k + 1)  A¯co =  x ¯c¯o¯(k + 1)  0 x¯c¯o (k + 1) 0 tọa độ không suy biến x ¯ = T x cho:     ¯c¯o A¯13 A¯14 B x¯c¯o (k)  ¯ (k) B  A¯24   ¯co   x co  +   (2.9)  A¯c¯o¯ A34 x¯c¯o¯(k)   x¯c¯o (k) A¯c¯o 23 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC x¯c¯o (k) x¯co (k) x¯c¯o¯(k) x¯c¯o (k) Hơn   x¯c¯o (k)  x  ¯co (k) ¯ ¯ y = (0, Cco, 0, Cc¯o )   + Du x ¯c¯o¯(k) x¯c¯o (k) điều khiển không quan sát điều khiển quan sát không điều khiển quan sát không điều khiển quan sát ma trận hàm truyền từ u tới y cho bởi: ¯co + D G(z) = C¯co (zI − A¯co )−1B ¯co, C¯co , D) biểu diễn tối thiểu G(z) Tức (A¯co , B Định lý 2.3.6 Một biểu diễn không gian trạng thái (A, B, C, D) G(z) tối thiểu (A, B) điều khiển (A, C) quan sát Chứng minh Điều kiện cần: Chứng minh phương pháp phản chứng Giả sử, (A, B) không điều khiển (A, C) không quan sát từ Định lý Kalman ta thấy tồn biểu diễn không gian trạng thái G(z) có bậc nhỏ mà vừa điều khiển quan sát Điều mâu thuẫn với giả thiết (A, B, C, D) biểu diễn tối thiểu G(z) Điều kiện đủ: Giả sử (A, B, C, D) biểu diễn bậc n G(z) mà (A, B) điều khiển (A, C) quan sát Ta chứng minh (A, B, C, D) biểu diễn tối thiểu, tức (A0 , B0 , C0 , D0 ) biểu diễn khác G(z) rank(A) = n ≤ rank(A0) Bằng cách áp dụng định lý Kalman, không tổng quát giả thiết (A0 , B0 , C0 , D0 ) điều khiển quan sát Giả thiết phản chứng n > n0 Đây hai biểu diễn hàm G(z) nên 24 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC ta có: CAi−1B = C (A )i−1B , (2.10) Điều tương đương với OM CM = OM CM (2.11) Với OM CM tương ứng biểu thị ma trận quan sát điều khiển biểu diễn (A, B, C, D), OM CM , tương ứng ma trận quan sát điều khiển biểu diễn (A0 , B0 , C0 , D0 ) Tuy nhiên, rank (OM CM ) = n rank (OM CM ) = n0 < n Đây mâu thuẫn, rank (OM CM ) = rank (OM CM ) Vậy ta có điều phải chứng minh 2.3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.3.7 Cho (A, B, C, D) biểu diễn không gian trạng thái G(z)  xác định  bởi:   −3 −1     0 0 A= B =  , C = 1 −1 3  −2 2   55 −1     Ta có ma trận điều khiển CM = B, AB, A B =  0   −13 −41  −2 có hạng Ta xây dựng biểu diễn bậc G(z) mà điều khiển  cách chọn: −1   0 1 T −1 =   −13  −2 ¯ = T B C¯ = CT Sau ta tìm A¯ = T AT −1 , B 25 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC    A¯ =     −19 0      0    ¯ = 0  B  C¯ =   −19 0  Đặt Ac =  Bc =  2 (Ac, Bc ) điều khiển 21 21 , Cc = 26 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Chương Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Trong chương trình bày tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Đây tính chất quan trọng đánh giá hệ thống điều khiển nói chung hệ thống điều khiển rời rạc nói riêng 3.1 Định nghĩa tính ổn định Định nghĩa 3.1.1 Trạng thái cân bằng: Trạng thái cân hệ x(k + 1) = Ax(k), (3.1) x(0) = x0 (3.2) véc tơ xe thỏa mãn Axe = Định nghĩa 3.1.2 Ổn định tiệm cận Trạng thái cân xe gọi ổn định tiệm cận với trạng thái ban đầu, véc tơ x(k) hội tụ xe k tiến đến dương vô cùng, tức x(k) → xe, k → +∞ 27 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC 3.2 Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định Định lý 3.2.1 Hệ (3.1) tiệm ổn định tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Chứng minh Ta biết nghiệm tổng quát (3.1) x(k) = Ak x0 Do x(k) −→ ⇐⇒ Ak −→ 0(k −→ ∞) Ta điều xảy tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Lấy X −1 AX = diag(J1 , J2, , Jk ) Vì ta thấy X ma trận đơn vị, (J1 , J2 , , Jk ) khối Jordan nên A có dạng chuẩn tắc Jordan Do ma trận A ma trận đường chéo Vậy X −1 AX = diag(J1 , J2, , Jk ) dạng tắc Jordan ma trận A Khi đó: Ak = Xdiag(AJ1 , AJ2 , , AJk )X −1 Lấy giá trị riêng λi A liên kết với Ji ta có: AJi −→ λi nằm vòng tròn đơn vị Vậy Ak −→ tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Định nghĩa 3.2.2 Ma trận A có tất giá trị riêng bên đường tròn đơn vị, tức |λ (A)| < gọi ma trận ổn định 28 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.3.1 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng thái sau: • Ta có:     2 1     x(k + 1) = 1 1 x(k) + 3 −1 2 u(k)  1   A = 1 1  • Tính giá trị riêng ma trận A : Eig(A) = [eig(A)]   4.5616   EigA = 0.4384 1.0000 Ta thấy ma trận A có tồn giá trị riêng lớn hơn, Vậy A ma trận ổn định 3.4 Mối liên hệ tính ổn định phương trình lyapunov Định lý 3.4.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (3.1) tiệm ổn định với ma trận xác định dương M tồn ma trận X xác định dương thỏa mãn phương trình Lyapunov X − AT XA = M 29 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN (3.3) CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chứng minh Cho ma trận X xác định ∞ AT X= k (3.4) MAk k=0 Ta chứng minh hệ ổn định X nghiệm xác định dương, đối xứng phương trình Lyapunov Thay X vào (3.3) ta có ∞ T X − A XA = A T k ∞ k AT MA − k=0 k MAk = M (3.5) k=1 Vậy X nghiệm phương trình (3.3) Chứng minh X Giả sử X1 nghiệm đối xứng xác định dương (3.3), tức X1 − AT X1A = M, Khi đó, ta có: ∞ X= A T k ∞ MA = k X1 − AT X1 A Ak k=0 k=0 ∞ = AT k A T k ∞ k AT X1 A − k=0 k X1 Ak = X1 k=1 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.4.2 Cho A ma trận ổn định Khi phương trình Lyapunov: X − AT XA = C T C (3.6) có nghiệm X xác định đối xứng dương (A, C) quan sát Chứng minh Trước hết ta cần (A, C) quan sát A ổn định X xác định dương 30 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Ta có A ma trận ổn định, từ (3.3) X nghiệm (3.7) cho sau: ∞ AT X= k C T CAk k=0 Nếu X không xác định dương tồn véc tơ x = cho: Xx = Trong trường hợp đó: ∞ CAk x dt = k=0 có nghĩa CAk x = Kiểm tra CAk x = đạo hàm k = 0, ta có CAix = 0, i = 0, 1, , n − Điều cho thấy OM x = 0, OM ma trận quan sát Khi (C, A) quan sát được, OM có đủ hạng chứng tỏ x = nên điều mâu thuẫn Hơn nữa, CAk x = với ∀k nên X xác định dương Bây ta chứng minh điều ngược lại Ta cần A ổn định X xác định dương (A, C) quan sát Ta chứng minh phản chứng Giả sử (A, C) không quan sát Khi đó, theo tiêu chuẩn (v) định lý (2.2.2) vector x A thỏa mãn: Cx = Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị véc tơ x Khi từ phương trình (3.6) ta có: x∗ Xx − x∗AT XAx = x∗C T Cx hay (1 − λ.λ)x∗Xx = Cx Do đó: (1 − λ.λ)x∗Xx = Mà A ma trận ổn định, − λ.λ < 31 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC nên x∗ Xx = Nhưng X xác định dương, x phải véc tơ = nên điều giả sử sai Do (A, C) quan sát Định lý 3.4.3 Cho phương trình Lyapunov: (3.7) X − AT XA = C T C X nghiệm đối xứng dương (A, C) quan sát A ma trận ổn định Chứng minh [=⇒] Ta định nghĩa ma trận X sau: ∞ AT X= k (3.8) C T CAk k=0 Khi ta hệ ổn định tiệm cận X nghiệm đối xứng dương phương trình Lyapunov Sử dụng biểu thức chứa X phương trình (3.7) ta có: ∞ T X − A XA = A T k ∞ T k AT C CA − k=0 k C T CAk = C T C k=1 Bây ta cần X xác định (3.8) thỏa mãn phương trình (3.7) (+) Để X xác định dương ta phải chứng minh uT Xu > 0, u = Từ (3.8) ta có: ∞ T u T AT u Xu = k C T CAk u k=0 Cả ma trận mũ AT k Ak ma trận không suy biến 32 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC C ma trận xác định dương nên uT u > (+) Ta cần chứng minh X Giả sử phương trình (3.7) có nghiệm X1 X2 Ta có: (X1 − X2) + AT (X1 − X2 )A = ⇒ (X1 − X2 ) + AT A Do: + AT A > ⇒ (X1 − X2 ) = ⇒ X1 = X2 Vậy ta có điều phải chứng minh [⇐=] Ta chứng minh X nghiệm đối xứng xác định dương phương trình (3.7) A ma trận ổn định Lấy (λ, x) cặp giá trị A Ta nhân vế phương trình (3.7) với x∗ x ta được: x∗ Xx − x∗AT XAx = x∗Xx − λ.λx∗Xx = (1 − λ.λ)x∗Xx = x∗C T Cx Như C X đối xứng dương Ta có λ.λ < Vậy ta có điều phải chứng minh 33 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Kết luận Sau nghiên cứu :” Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc” em rút kết luận sau: Những kết làm được: Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo Hà Bình Minh ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Luận văn đạt mục đích đề Cụ thể sau: • Trong luận văn em trình bày sở lý thuyết, chứng minh định lý, đưa ví dụ minh họa toán điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa tiêu chuẩn để kiểm tra tính điều khiển tính quan sát hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa điều kiện để kiểm tra tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa khái niệm biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc nêu phương pháp đưa biểu diễn biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) định lý điều kiện cần đủ để biểu diễn biểu diễn tối thiểu • Được học hỏi sử dụng phần mềm Matlab để tính toán: Tính giá trị riêng ma trận, nhân ma trận, tính hạng 34 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định cách đơn giản nhanh • Thông qua trình thực luận văn em hiểu sâu toán điều khiển, hệ động lực tuyến tính rời rạc, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định toán Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ làm tập Ngoài giúp em củng cố lại kiến thức ma trận: hạng ma trận, giá trị riêng, giá trị vectơ, mà em học • Đặc biệt, sau nghiên cứu đề tài em biết ứng dụng toán điều khiển thực tế quan trọng Đây toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi cho có chất lượng mong muốn Nó áp dụng rộng rãi phổ biến thực tiễn Những mặt hạn chế chưa làm được: Luận văn hoàn thành thời gian không lâu, lượng kiến thức sinh viên hạn chế bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô Em xin chân thành cảm ơn 35 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2009 [2] Biswa Nath Datta, Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press, 2004 36 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN [...]... Bc = 9  2 2 thì (Ac, Bc ) điều khiển được 1 21 0 2 1 21 , Cc = 1 0 2 26 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Chương 3 Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc Trong chương này tôi trình bày về tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc Đây là tính chất rất quan trọng khi đánh giá một hệ thống điều khiển nói chung và hệ thống điều khiển rời rạc nói riêng 3.1 Định nghĩa tính ổn định Định nghĩa 3.1.1... 3 B=[1 2 3 4]’ %Tính A*B A*B= 9 8 25 20 15 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC %Gán A*B=C Tính A*C A*C= 45 42 153 110 %Gán D=A*C Tính A*D A*D= 239 202 869 612 %Gán E=A*D %Tính rank(B,C,D, E) rank(B,C,D,E)= 4 Sử dụng kết quả tính toán của Matlab ở trên để kiểm tra tính điều khiển được của hệ, nghĩa là cần... tính rời rạc Trong chương này ta tìm hiểu về tính điều khiển được và quan sát được Đây là hai tính chất rất quan trọng khi đánh giá một hệ động lực nói chung và hệ động lực rời rạc nói riêng Phần cuối chương, ta tìm hiểu về biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực rời rạc 2.1 2.1.1 Tính điều khiển được Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc cho bởi: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0)... mọi hệ động lực đều điều khiển được, định lý sau cho phép ta phân tích một hệ động lực thành hai phần: điều khiển được và không điều khiển được Định lý 2.3.3 (Phân tích hệ không điều khiển được) Nếu ma trận điều khiển được CM có có hạng bằng k < n thì tồn tại một ma trận T không suy biến sao cho: 20 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ... - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC x¯c¯o (k) là x¯co (k) là x¯c¯o¯(k) là x¯c¯o (k) là Hơn nữa   x¯c¯o (k)  x  ¯co (k) ¯ ¯ y = (0, Cco, 0, Cc¯o )   + Du x ¯c¯o¯(k) x¯c¯o (k) điều khiển được nhưng không quan sát được điều khiển được và quan sát được không điều khiển được và không thể quan sát được không điều khiển. .. Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC ¯1, A¯1B ¯1 , , A¯n−1B ¯1 = k Theo định lý Cayley - Hamilton rank B n ¯1 , A¯11B ¯1 , , A¯k−1B ¯1 có hạng ¯1 là: B Vì ma trận điều khiển của A¯11, B 11 ¯1 là điều khiển được bằng k ⇒ A¯11 , B Tương tự, ta có một hệ không quan sát được có thể phân tích thành một hệ quan sát... (5) Nghịch đảo của ma trận hàm truyền G(z) kí hiệu là G(z) Ta có G(z)G(z) = G(z)G(z) = I nếu G(z) là ma trận vuông và D là khả nghịch khi đó: 7 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 1 HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC −1 G(z) ≡ G (z) = A − BD−1 C −BD−1 D−1 C D−1 8 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Chương 2 Tính điều khiển được, quan sát được và biểu diễn tối thiểu của hệ động lực tuyến tính rời rạc Trong chương... ) điều khiển được và quan sát được Giả thiết phản chứng n > n0 Đây là hai biểu diễn của hàm G(z) nên 24 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC ta có: CAi−1B = C (A )i−1B , (2.10) Điều này tương đương với OM CM = OM CM (2.11) Với OM và CM tương ứng biểu thị các ma trận quan sát được và điều khiển được của. .. bất kỳ sự nhầm lẫn, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng x0 = 0 2.1.2 Tiêu chuẩn điều khiển được của hệ động lực tuyến tính rời rạc Định lý 2.1.2 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc (2.1) và (2.2), khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) Hệ (2.1) và (2.2) là điều khiển được (ii) (Tiêu chuẩn Kalman) Ma trận điều kiển n × nm : CM = (B, AB, A2B, , An−1B) có hạng bằng n (iii) Ma trận N Ak BB T... (2.1) (2.2) được gọi là điều khiển được hoặc (A, B) gọi là điều khiển được nếu cho bất kỳ hai trạng thái x0 , x1 luôn tồn tại một chuỗi hữu hạn của đầu vào {u0, u1, , uN −1} chuyển từ x0 tới x1, sao cho xN = x1 9 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC, QUAN SÁT ĐƯỢC VÀ BIỂU DIỄN TỐI THIỂU CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Để tránh bất kỳ sự nhầm lẫn, không mất tính tổng quát ta giả ... lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.2 Nghiệm hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.2 Khái niệm... Chương Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Trong chương trình bày tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Đây tính chất quan trọng đánh giá hệ thống điều khiển nói chung hệ thống điều khiển. .. tra tính điều khiển tính quan sát hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa điều kiện để kiểm tra tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa khái niệm biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính