Bài toán điều khiển của hệ thời gian tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẰNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ THỜI GIAN TUYẾN TÍNH RỜI RẠC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ, bảo hướng dẫn em trình gõ Tex hồn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu, kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Lời cam đoan Tên em là: Nguyễn Thị Hằng, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35CN Toán, Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng Mục lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời 1.1.2 rạc Nghiệm hệ động lực tuyến tính 1.2 Khái niệm hàm truyền .3 rời rạc 1.2.1 Phép biến đổi z 1.2.2 Xây dựng công thức hàm truyền 1.3 Một số phép toán hàm truyền rời rạc Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc 2.1 Tính điều khiển 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Tiêu lực tuyến chuẩn điều khiển hệ động tính rời rạc 10 2.1.3 Ví dụ 15 2.2 Tính quan sát .17 2.2.1 Định nghĩa 17 2.2.2 Định lý điều kiện tương đương 17 2.2.3 Ví dụ 18 2.3 Biểu diễn tối thiểu 20 2.3.1 Định nghĩa 20 2.3.2 Định lý Kalman 23 2.3.3 Ví dụ minh họa 25 Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc 27 3.1 Định nghĩa tính ổn định kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn 3.2 Điều định 3.3 Ví dụ minh họa 3.4 Mối liên hệ tính ổn định phương trình lyapunov 29 Tài liệu tham khảo 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển tốn có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thông xử lý tín hiệu nói riêng Các vấn đề lĩnh vực thường mơ hình hóa mơ hình tốn học Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển tốn điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, ln đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ toán em chọn đề tài “Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái qt nội dung phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận em trình bày tốn điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc Chương trình bày khái niệm hệ động lực tuyến tính rời rạc, xây dựng ma trận hàm truyền phép toán ma trận hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển được, quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc Chương nêu khái niệm tính điều khiểm được, tính quam sát hệ động lực tuyến tính rời rạc, phát biểu chứng minh định lý tiêu chuẩn tương đương với tính chất Từ đó, đưa khái niệm biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc nêu phương pháp đưa biểu diễn biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) định lý điều kiện cần đủ để biểu diễn biểu diễn tối thiểu • Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Đưa khái niệm ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc, tính chất phương trình Lyapunov rời rạc, từ chứng minh định lý liên hệ hai khái niệm Mục đích- u cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, tốn đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Bài tốn điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực khóa luận • Nơi nghiên cứu (những khó khăn thuận lợi nơi nghiên cứu) Nội dung Tên đề tài Bài tốn điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Hệ động lực tuyến tính rời rạc - Khái niệm hàm truyền - Một số phép tốn hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển quan sát biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc - Tính điều khiển - Tính quan sát - Biểu diễn tối thiểu • Chương 3: Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc - Định nghĩa tính ổn định - Điều kiện hệ ổn định Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Chương Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 1.1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa 1.1.1 Một hệ động lực tuyến tính, rời rạc, bất biến xác định phương trình trạng thái sau: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0 (1.1) y(k) = Cx(k) + Du(k) (1.2) Trong đó: x(k) vectơ thực n chiều gọi vectơ trạng thái hệ Với k ∈ N u(k) vectơ thực m chiều gọi vectơ đầu vào y(k) vectơ thực r chiều gọi vectơ đầu x(0) trạng thái ban đầu hệ, thành phần x(t) tham biến điều khiển Các ma trận A, B, C, D ma trận thực có kích thước tương ứng là: n × n, n × m, r × n, r × m Nguyễn Thị Hằng - Tốn K35-CN 1.1.2 CHƯƠNG HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Nghiệm hệ động lực tuyến tính rời rạc Định lý 1.1.2 Nghiệm hệ động lực (1.1), (1.2) xác định sau: k−1 k x(k) = A x0 + y(k) = CAkx0 + Ak−1−iBu(k), x(0) = x0, i=0 k−1 (1.3) + Du(k) CA k−i−1 (1.4) Bu(i) i=0 Chứng minh Từ: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1.5) ta có x(k) = A[Ax(k − 2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1) = A2x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k − 1) = A2[Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k − 2) + Bu(k − 1) = Tha y k−1 k A x0 + Ak−1−iBu(i) i=0 k k−1 x(k) = A x0 + Ak−1−iBu(i) i=0 vào (1.2) ta có (1.4) Ví dụ 1.1.3 Cho hệ động lực tuyến tính rời rạc: x(k + 1) = 5x(k) + 2u(k), y(k) = x(k) + 3u(k) x(0) = (1.6) (1.7)  −19      A¯ =   1   0 0  Đặt Ac = −19 0 2   1   B¯ =  0 21 C¯ = Bc =  (Ac, Bc) điều khiển 21 , Cc = Chương Tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Trong chương tơi trình bày tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc Đây tính chất quan trọng đánh giá hệ thống điều khiển nói chung hệ thống điều khiển rời rạc nói riêng 3.1 Định nghĩa tính ổn định Định nghĩa 3.1.1 Trạng thái cân bằng: Trạng thái cân hệ x(k + 1) = Ax(k), (3.1) x(0) = x0 (3.2) véc tơ xe thỏa mãn Axe = Định nghĩa 3.1.2 Ổn định tiệm cận 27 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Trạng thái cân xe gọi ổn định tiệm cận với trạng thái ban đầu, véc tơ x(k) hội tụ xe k tiến đến dương vô cùng, tức x(k) → xe, k → +∞ 28 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN CHƯƠNG RẠC 3.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI Điều kiện để hệ động lực tuyến tính rời rạc ổn định Định lý 3.2.1 Hệ (3.1) tiệm ổn định tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Chứng minh Ta biết nghiệm tổng quát (3.1) x(k) = A kx0 Do x(k) −→ ⇐⇒ Ak −→ 0(k −→ ∞) Ta điều xảy tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Lấy X−1AX = diag(J1, J2, , Jk) Vì ta thấy X ma trận đơn vị, (J1, J2, , Jk) khối Jordan nên A có dạng chuẩn tắc Jordan Do ma trận A ma trận đường chéo Vậy X−1AX = diag(J1, J2, , Jk) dạng tắc Jordan ma trận A Khi đó: Ak = Xdiag(AJ1 , AJ2 , , AJk )X−1 Lấy giá trị riêng λi A liên kết với Ji ta có: AJi −→ λi nằm vòng tròn đơn vị Vậy Ak −→ tất giá trị riêng A nằm vòng tròn đơn vị Định nghĩa 3.2.2 Ma trận A có tất giá trị riêng bên đường tròn đơn vị, tức |λ (A)| < gọi ma trận ổn định 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.3.1 Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng thái sau: • Ta có: 2 1  1   1  x(k + 1) = x(k) + −1 u(k)     2 1   A=   • Tính giá trị riêng ma trận A : Eig(A) = [eig(A)] 4.5616   EigA = 0.4384   1.0000 Ta thấy ma trận A có tồn giá trị riêng lớn hơn, Vậy A ma trận ổn định 3.4 Mối liên hệ tính ổn định phương trình lyapunov Định lý 3.4.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc (3.1) tiệm ổn định với ma trận xác định dương M tồn ma trận X xác định dương thỏa mãn phương trình Lyapunov X − AT XA = M (3.3) Chứng minh Cho ma trận X xác định X= ∞ T k A MA k (3.4) k=0 Ta chứng minh hệ ổn định X nghiệm xác định dương, đối xứng phương trình Lyapunov Thay X vào (3.3) ta có ∞ T X − A XA = ∞ T k k A MA − T k A MA k = M (3.5) k=0 k=1 Vậy X nghiệm phương trình (3.3) Chứng minh X Giả sử X1 nghiệm đối xứng xác định dương (3.3), tức X1 − AT X1A = M, Khi đó, ta có: ∞ X = k AT X ∞ T k k A MA = k=0 = k ∞ X k=0 −A X1 T A Ak k=0 ∞ T k A 1A − k X T k A 1A = X1 k=1 Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 3.4.2 Cho A ma trận ổn định Khi phương trình Lyapunov: X − AT XA = C T C 30 Nguyễn Thị Hằng - Tốn K35-CN (3.6) có nghiệm X xác định đối xứng dương (A, C) quan sát Chứng minh Trước hết ta cần (A, C) quan sát A ổn định X xác định dương 31 Nguyễn Thị Hằng - Tốn K35-CN Ta có A ma trận ổn định, từ (3.3) X nghiệm (3.7) cho sau: ∞ T k X = A C T CAk k=0 Nếu X khơng xác định dương tồn véc tơ x ƒ= cho: Xx = Trong trường hợp đó: ∞ " CAk x "2 dt = k=0 có nghĩa CAk x = Kiểm tra CAk x = đạo hàm k = 0, ta có CAix = 0, i = 0, 1, , n − Điều cho thấy OM x = 0, OM ma trận quan sát Khi (C, A) quan sát được, OM có đủ hạng chứng tỏ x = nên điều mâu thuẫn Hơn nữa, CAk x ƒ= với ∀k nên X xác định dương Bây ta chứng minh điều ngược lại Ta cần A ổn định X xác định dương (A, C) quan sát Ta chứng minh phản chứng Giả sử (A, C) khơng quan sát Khi đó, theo tiêu chuẩn (v) định lý (2.2.2) vector x A thỏa mãn: Cx = Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị véc tơ x Khi từ phương trình (3.6) ta có: x∗ Xx − x∗AT XAx = x∗ CT Cx y (1 − λ.λ)x∗Xx =" Cx "2 Do đó: (1 − λ.λ)x∗Xx = Mà A ma trận ổn định, − λ.λ 0, u ƒ= Từ (3.8) ta có: T u Xu = ∞ k T uT AT C CA k u k=0 k Cả ma trận mũ AT Ak ma trận không suy biến C ma trận xác định dương nên uT u > (+) Ta cần chứng minh X Giả sử phương trình (3.7) có nghiệm X1 X2 Ta có: (X1 − X2) + AT (X1 − X2)A = T ⇒ (X1 − X2) + A A Do : + AT A > ⇒ (X1 − X2) = ⇒ X1 = X Vậy ta có điều phải chứng minh [⇐=] Ta chứng minh X nghiệm đối xứng xác định dương phương trình (3.7) A ma trận ổn định Lấy (λ, x) cặp giá trị A Ta nhân vế phương trình (3.7) với x∗ x ta được: x∗ Xx − x∗AT XAx = x∗ Xx − λ.λx∗Xx = (1 − λ.λ)x∗Xx = x∗ CT Cx Như C X đối xứng dương Ta có λ.λ < Vậy ta có điều phải chứng minh Kết luận Sau nghiên cứu :” Bài toán điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc” em rút kết luận sau: Những kết làm được: Ngồi nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo Hà Bình Minh ý kiến đóng góp thầy khoa Tốn bạn sinh viên Luận văn đạt mục đích đề Cụ thể sau: • Trong luận văn em trình bày sở lý thuyết, chứng minh định lý, đưa ví dụ minh họa tốn điều khiển hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa tiêu chuẩn để kiểm tra tính điều khiển tính quan sát hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa điều kiện để kiểm tra tính ổn định hệ động lực tuyến tính rời rạc • Đưa khái niệm biểu diễn tối thiểu hệ động lực tuyến tính rời rạc nêu phương pháp đưa biểu diễn biểu diễn tối thiểu (Định lý Kalman) định lý điều kiện cần đủ để biểu diễn biểu diễn tối thiểu 34 Nguyễn Thị Hằng - Tốn K35-CN • Được học hỏi sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn: Tính giá trị riêng ma trận, nhân ma trận, tính hạng 35 Nguyễn Thị Hằng - Tốn K35-CN CHƯƠNG RẠC TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định cách đơn giản nhanh • Thơng qua q trình thực luận văn em hiểu sâu toán điều khiển, hệ động lực tuyến tính rời rạc, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định tốn Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ làm tập Ngồi giúp em củng cố lại kiến thức ma trận: hạng ma trận, giá trị riêng, giá trị vectơ, mà em học • Đặc biệt, sau nghiên cứu đề tài em biết ứng dụng toán điều khiển thực tế quan trọng Đây toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi cho có chất lượng mong muốn Nó áp dụng rộng rãi phổ biến thực tiễn Những mặt hạn chế chưa làm được: Luận văn hồn thành thời gian khơng lâu, lượng kiến thức sinh viên hạn chế bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy Em xin chân thành cảm ơn 35 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2009 [2] Biswa Nath Datta, Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press, 2004 36 Nguyễn Thị Hằng - Toán K35-CN ... Mục lục Chương 1: Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1.1 Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời 1.1.2 rạc Nghiệm hệ động lực tuyến tính 1.2 Khái... thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách Chương Hệ động lực tuyến tính rời rạc 1.1 1.1.1 Hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa hệ động lực tuyến tính rời rạc Định nghĩa 1.1.1 Một hệ. .. thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Khóa luận em trình bày tốn điều khiển hệ thời gian tuyến tính rời rạc Nội