Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ THU BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em trình gõ Tex hồn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cơ cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy Cô trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu Lời cam đoan Tên em là: Đặng Thị Thu, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35 CN Toán – Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Bài tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có khơng trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu Mục lục Mở đầu i Nội dung iii Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.2 Nghiệm hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.3 Hàm Truyền 1.3.1 Phép biến đổi Laplace tính chất .4 1.3.2 Các phép toán với ma trận Hàm truyền .6 Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1 Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1.2 Ví dụ minh họa 13 2.2 Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 16 2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 17 2.2.2 Ví dụ minh họa 20 Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục 22 3.1 Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục .22 3.1.1 Tính ổn định Lyapunov hệ tuyến tính thời gian liên tục 22 3.2 Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov 24 3.2.1 Các định lý mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov 24 3.3 Ví dụ minh họa 27 Tài liệu tham khảo .31 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển tốn có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thơng xử lý tín hiệu nói riêng Ta thường xây dựng mơ hình tốn học từ q trình vật lý Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển tốn điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành tốn ứng dụng, nên từ trước đến nay, đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ toán em chọn đề tài “Bài tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái qt nội dung phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Luận văn em trình bày tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục i Đặng Thị Thu - Toán K35CN MỤC LỤC Mục đích- u cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, tốn đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Bài tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực khóa luận • Nơi thực khóa luận (những khó khăn thuận lợi nơi nghiên cứu khoa học) ii Đặng Thị Thu - Toán K35CN Nội dung Tên đề tài Bài tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục - Hệ tuyến tính thời gian liên tục - Nghiệm hệ tuyến tính thời gian liên tục - Hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục - Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách iii Đặng Thị Thu - Toán K35CN Chương Hệ tuyến tính thời gian liên tục Chương giới thiệu hệ động lực tuyến tính nói chung hệ tuyến tính thời gian liên tục nói riêng Đây mơ hình tốn học tổng quát nhiều vấn đề thực tế lý thuyết điều khiển 1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục Hệ động lực, hiểu cách tổng quát hệ thống mà đặc trưng thay đổi theo thời gian, trạng thái thời điểm phụ thuộc vào trạng thái khứ tác động bên lên hệ thống Những ví dụ thực tế hệ động lực phong phú máy bơm nước, máy điều hòa nhiệt độ, mạch điện, Định nghĩa 1.1.1 Một hệ tuyến tính thời gian liên tục với tham số bất biến biểu diễn qua hệ phương trình sau: x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.1) (1.2) Trong đó: x(t) vector n chiều gọi trạng thái hệ, u(t) vector m chiều (m ≤ n) gọi đầu vào hệ, y(t) vector r chiều gọi đầu hệ, x(t0) điều kiện ban đầu, thành phần x(t) gọi biến trạng thái Đặng Thị Thu - Tốn K35CN CHƯƠNG HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC A, B, C D ma trận khơng phụ thuộc t với kích thước n × n, n × m, r × n, r × m Phương trình (1.1) gọi phương trình trạng thái, Phương trình (1.2) gọi phương trình đầu Biểu diễn theo (1.1), (1.2) gọi mơ hình khơng gian trạng thái với tham số bất biến hệ động lực Hình 1.1: Mơ hình hệ động lực Ví dụ 1.1.2 Ta xét ví dụ đưa [2] Xét mạch RLC mơ tả hình 1.2 với nguồn vào u(t) đầu y(t) Các phương trình cường độ dòng điện mạch: Hình 1.2: Mạch RLC 1 %Tính C*A C*A= -1 1 -7 %Gán C*A=D Tính D*A D*A= -1 1 -7 15 %Gán E=D*A %Tính \rank(C,D,E) \rank(C,D,E)= Sử dụng tiêu chuẩn Kalman để kiểm tra tính quan sát hệ : −1 0 −2 • Tính CA = • Tính CA2 =   −4 = −1   −7 1 −3     0 −2 −4 = −1 −1 1 1 −7   −7 15 −3 1       −1 = rank • Tính rank CA C    1 CA  −1 1 −7 Vậy hệ cho hệ quan sát −1  1  1  −7  71  15 = Chương Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục 3.1 Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 3.1.1 Một trạng thái cân hệ động lực x(t) = Ax(t), x(0) = x0, vectơ xe thỏa mãn (3.1) Axe = Rõ ràng, xe = trạng thái cân trạng thái cân ma trận A không suy biến Định nghĩa 3.1.2 Một trạng trạng thái cân xe gọi ổn định tiệm cận với trạng thái ban đầu, vectơ trạng thái tiến tới xe thời gian tăng dần Rõ ràng hệ (3.1) ổn định tiệm cận trạng thái cân xe = ổn định tiệm cận Do hệ (3.1) ổn định tiệm cận x(t) → t → ∞ 3.1.1 Tính ổn định Lyapunov hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 3.1.3 Hệ (3.1) ổn định tiệm cận giá trị riêng ma trận A có phần thực âm 40 Đặng Thị Thu - Tốn K35CN CHƯƠNG TỤC TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN Chứng minh Từ định lý (1.2.1) ta biết nghiệm tổng quát (3.1) x(t) = eAtx0 Do x(t) −→ ⇐⇒ eAt −→ 0(t −→ ∞) Ta điều xảy tất giá trị riêng A có phần thực âm Lấy X−1AX = diag(J1, J2, , Jk) Vì ta thấy X ma trận đơn vị, (J1, J2, , Jk) khối Jordan nên A có dạng chuẩn tắc Jordan Do ma trận A ma trận đường chéo.Vậy X−1AX = diag(J1, J2, , Jk) dạng tắc Jordan ma trận A Khi đó: eAt = Xdiag(eJ1t, eJ2t, , eJk t)X−1 Lấy giá trị riêng λi A liên kết với Ji ta có: eJit −→ λi có phần thực âm Vậy eAt −→ tất giá trị riêng A có phần thực âm Định nghĩa 3.1.4 Một ma trận A gọi ổn định tiệm cận tất trị riêng A có phần thực nhỏ Hệ (3.1) gọi ổn định tiệm cận ma trận A ổn định tiệm cận có hai trị riêng -1 -2 nên A ma trận Ví dụ 3.1.5 A = −1 ổn định tiệm cận −2 CHƯƠNG TỤC 3.1.6 Lấy TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN Định nghĩa λ1, λ2, , λn giá trị riêng A khoảng cách từ min{−Re(λi) : i = 1, 2, , n} tới trục ảo gọi bán kính ổn định 3.2 Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Định nghĩa 3.2.1 (Định nghĩa phương trình Lyapunov) Phương trình ma trận : AX + AT X = −CT C đối ngẫu nó: AX + XAT = −CC T gọi phương trình Lyapunov Trong đó: C ma trận đối xứng xác định dương, X nghiệm đối xứng xác định dương cho sau: X = ∞ ¸ eA tCT CeAtdt T (3.2) 3.2.1 Các định lý mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Định lý 3.2.2 Cho A ma trận ổn định Khi phương trình Lyapunov: XA + AT X = −CT C (3.3) có nghiệm X xác định đối xứng dương (A, C) quan sát Chứng minh Trước hết ta cần (A, C) quan sát A ổn định X xác định dương Ta có A ma trận ổn định, từ (3.2) X nghiệm (3.3) ∞ T At Tt cho X = ¸ eA C Ce dt sau: Nếu X không xác định dương tồn vector x ƒ= cho: Xx = 0.Trong trường hợp đó: ¸ ∞ " CeAtx "2 dt = có nghĩa CeAtx = Kiểm tra CeAtx = đạo hàm t = 0, ta có CAix = 0, i = 0, 1, , n − Điều cho thấy OM x = 0, OM ma trận quan sát Khi (C, A) quan sát được, OM có đủ hạng chứng tỏ x = nên điều mâu thuẫn Hơn nữa, CeAtx ƒ= với ∀t nên X xác định dương Bây ta chứng minh điều ngược lại Ta cần A ổn định X xác định dương (A, C) quan sát Ta chứng minh phản chứng Giả sử (A, C) không quan sát Khi đó, theo tiêu chuẩn (5) định lý (2.2.4) vector x A thỏa mãn: Cx = Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị vector x Khi từ phương trình (3.3) ta có: x∗XAx + x∗AT Xx = −x∗ CT Cx hay (λ + λ)x∗Xx = − " Cx "2 Do đó: (λ + λ)x∗Xx = Mà A ma trận ổn định, λ + λ < nên ∗ x Xx = Nhưng X xác định dương, x phải vector ƒ= nên điều giả sử sai Do (A, C) quan sát Định lý 3.2.3 Cho phương trình Lyapunov: XA + AT X = −CT C (3.4) X nghiệm đối xứng dương (A, C) quan sát A ma trận ổn định Chứng minh [=⇒] Ta định nghĩa ma trận X sau: ¸ ∞ T X = eA tCT CeAtdt (3.5) Khi ta hệ ổn định tiệm cận X nghiệm đối xứng dương phương trình Lyapunov Sử dụng biểu thức chứa X phương trình (3.4) ta có: XA + AT X = ∞ ¸ eA t C T CeAtAdt + T = ∞ ¸ T AT eA t C T CeAtdt ¸ ∞ d (eAT t C T CeAt)dt dt = eAT t C T CeAt Ta có A ma trận ổn đinh, eAT t −→ 0(t −→ ∞) Do ta có: XA + AT X = −CT C Bây ta cần X xác định (3.5) thỏa mãn phương trình (3.4) (+) Để X xác định dương ta phải chứng minh uT Xu > 0, u ƒ= Từ (3.5) ta có: uT Xu = ¸ ∞ uT eAT t C T CeAtudt Cả ma trận mũ T t eAt ma trận không dừng C ma A e trận xác định dương nên uT u > (+) Ta cần chứng minh X Giả sử phương trình (3.4) có nghiệm X1 X2 Ta có: AT (X − X2 )+ (X1 − X2 )A = Điều chứng tỏ : eAT t(AT (X1 − X2 )+ (X1 − X2 )A)eAt = hay d AT [e (X dt t − X2 )eAt] = eAT t(X1 − X2)eAt ma trận số với t Kiểm tra t = t = ∞ ta có X1 − X2 = ⇐⇒ X1 = X2 Vậy ta có điều phải chứng minh [⇐=] Ta chứng minh X nghiệm đối xứng xác định dương phương trình (3.4) A ma trận ổn định Lấy (λ, x) cặp giá trị A Ta nhân vế phương trình (3.4) với x∗ x ta được: x∗ XAx + x∗AT Xx = λx∗ Xx + λx∗Xx = (λ + λ)x∗Xx = −x∗ CT Cx Như C X đối xứng dương Ta có λ + λ < hay Re(λ) < Vậy ta có điều phải chứng minh 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.3.1 Xét hệ tuyến tính có phương trình trạng thái sau: x(t) =  • Ta có:  −0.568 −0.001 −0.0013 −0.0006   0.5681 −0.0010 −0.000 −0.001   x −0.0010 0.0013 −0.0039 −3.9409 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040  −0.568 −0.0010 −0.0006 −0.0013 0.5681  −0.000 −0.0013−0.0010 A=    −0.0039 −3.9409 −0.0010 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040 • Tính giá trị riêng ma trận A: EigA = [eig(A)]   −0.0006 + 0.5681i   −0.0006 − 0.5681i   EigA =   −0.0040 + 3.9409i −0.0040 − 3.9409i Phần thực trị riêng ma trận A âm nên ma trận A ổn định tiệm cận Do vậy, hệ ổn định tiệm cận Kết luận Sau nghiên cứu :” Bài tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục” em rút kết luận sau: Những kết làm được: Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo HÀ BÌNH MINH ý kiến đóng góp thầy khoa Tốn bạn sinh viên Luận văn đạt mục đích đề Cụ thể sau: • Trong luận văn em trình bày sở lý thuyết, chứng minh định lý, đưa ví dụ minh họa tốn điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục • Đưa hai tiêu chuẩn Klman Hautus để kiểm tra tính điều khiển tính quan sát tốn • Được học hỏi sử dụng phần mềm Matlab để tính tốn: Tính giá trị riêng ma trận, nhân ma trận, tính hạng ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định cách đơn giản nhanh • Thơng qua q trình thực luận văn em hiểu sâu toán điều khiển, hệ tuyến tính thời gian liên tục, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định toán Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ làm tập Ngồi giúp em củng cố lại kiến thức ma trận: hạng ma trận, giá trị riêng, giá trị vector, mà em học 50 Đặng Thị Thu - Tốn K35CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC • Đặc biệt, sau nghiên cứu đề tài em biết ứng dụng tốn điều khiển thực tế quan trọng Đây toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi cho có chất lượng mong muốn Nó áp dụng rộng rãi phổ biến thực tiễn Những mặt hạn chế chưa làm được: Luận văn hoàn thành thời gian khơng lâu, lượng kiến thức sinh viên hạn chế bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu 51 Đặng Thị Thu - Toán K35CN Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Dỗn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2009 [2] Biswa Nath Datta, Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press, 2004 52 Đặng Thị Thu - Toán K35CN ... sát hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục. .. D−1C D−1 Chương Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1 Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 2.1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục : x(t) = Ax(t)... sau: • Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục i Đặng Thị Thu