Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Năng Tâm Lài cám ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i Tác giá chân thành cám ơn PGS TS Nguyen Năng Tâm t¾n tình hưóng dan tác giá q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin cám ơn Ban Giám hi¾u, Phòng Sau đai hoc thay, Khoa Tốn Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i quan tâm giúp đõ trình hoc t¾p tai trưòng Tác giá chân thành cám ơn thay giáo ban đong nghi¾p ó Khoa Khoa hoc bán Trưòng Cao Cơng Nghi¾p Hóa Chat tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giá lu¾n văn Lê Th% Hong Hanh i Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Năng Tâm, lu¾n văn “Bài tốn bat thúc bien phân khơng gian Hilbert” đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ cơng trình khoa hoc khác Trong q trình hồn thành lu¾n văn, thùa ke nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tác giá lu¾n văn Lê Th% Hong Hanh ii Mnc lnc Lài cám ơn i Lài cam đoan ii Mé ĐAU 1 Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian Hilbert 1.2 T¾p loi 1.3 Mđt so toỏn tỳ ắc biắt khụng gian Hilbert 11 1.3.1 Toán tú liên tuc 11 1.3.2 Toán tú liên hop 13 1.3.3 Toán tú chieu .15 1.3.4 Toán tú cn 16 1.4 Bài toán toi ưu không gian Hilbert 16 Bat thNc bien phân không gian Hilbert 19 2.1 Đ%nh nghĩa ví du 19 2.2 M®t so đ%nh lý ve ton tai nghi¾m 23 2.3 M®t so phương pháp giái tốn bat thúc bien phân 33 2.3.1 Phương pháp nhân tú Lagrange 33 2.3.2 Thu¾t tốn hi¾u Tikhonov 35 2.3.3 Thu¾t tốn điem gan ke 43 Ket lu¾n 51 Tài li¾u tham kháo 52 Mé ĐAU Lý chon đe tài Bài toán Bat thúc bien phân (Variational Inequality Problem) đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói cơng trình cna G Stampacchia, J L Lion G Fichera, xem [7, 8] tài li¾u đưoc trích dan Hi¾n nay, tốn bat thúc bien phân đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, chang han: bat thúc bien phân véctơ, tna bat thúc bien phân, giá bat thúc bien phân, bat thúc bien phân an, bat thúc bien phân suy r®ng, Bat thúc bien phân thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn hoc mơ hình cna chúa nhieu tốn quan cna m®t so lĩnh vnc khác tốn hoc trưòng hop riêng, ví du: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông, Sau hoc nghiên cúu mơn Giái tích hàm, Bat thúc bien phân, Lý thuyet toi ưu vói mong muon hieu biet sâu ve Bat thúc bien phân không gian Hilbert lna chon đe tài: “Bài toán Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert.” Mnc đích nghiên cNu Muc đích cna lu¾n văn nghiên cúu ve Bat thúc bien phân không gian Hilbert m®t so phương pháp giái tốn Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu m®t so kien thúc bán ve khụng gian Hilbert, mđt so toỏn tỳ ắc biắt v tốn toi ưu khơng gian Hilbert Nghiên cúu ve Bat thúc bien phân không gian Hilbert m®t so phương pháp giái tốn Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Lu¾n văn trỡnh by mđt so khỏi niắm v ket quỏ liờn quan đen Bat thúc bien phân không gian Hilbert Luắn nghiờn cỳu nđi dung Chng trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho vi¾c trình bày ket q chương tiep theo Muc 1.1 trình bày khái ni¾m khơng gian Hilbert Muc 1.2 trình bày kien thúc bán ve t¾p loi hàm loi Muc 1.3 trình bày mđt so toỏn tỳ ắc biắt khụng gian Hilbert Muc 1.4 giói thi¾u ve tốn toi ưu khơng gian Hilbert Chương trình bày m®t so ket quỏ ve ton tai nghiắm v mđt so thuắt toỏn đe giái toán bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Muc 2.1 trình bày đ%nh nghĩa ví du ve bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Muc 2.2 trình bày m®t so đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m cna tốn Muc 2.3 trỡnh by mđt so thuắt toỏn e giỏi bi tốn bat thúc bien phân khơng gian Hilbert gom: phương pháp nhân tú Lagrange, thu¾t tốn hi¾u Tikhonov, thu¾t tốn điem gan ke Các ket q chương đưoc trình bày dna cuon chuyên kháo [7] báo [10] Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn nghiên cúu khơng gian Hilbert tốn Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Phương pháp nghiên cNu Tra cúu, tong hop tài li¾u tham kháo Chương Kien thNc chuan b% Trong chương chúng tơi trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho vi¾c trình bày ket Chương Muc 1.1 trình bày khái ni¾m khơng gian Hilbert Muc 1.2 trình bày kien thúc bán ve t¾p loi hàm loi Muc 1.3 trình bày m®t so tốn tú đ¾c bi¾t khơng gian Hilbert Muc 1.4 giói thi¾u ve tốn toi ưu khơng gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert Cho H không gian véctơ trưòng so thnc R Đ%nh nghĩa 1.1 M®t ánh xa (·, ·) : H × H → R (x, y) ›→ (x, y) ref − x) + (x, re f ) x Neu x ƒ= " "" "x" ≤ "xk−1" + xk− x ref "+ "x ref " "x" Cho nên "x" ≤ "xk−1" + "xk−1""x re f "+ "x ref ", "x" ≥ Do có the khang đ%nh rang "x" ≤ max{γ, 1, "xk−1"(1 re f ") + re f "x + "x "}, ∀x ∈ (k) , xref ) L≤(F Theo Bo đe 2.2 tính b% ch¾n cna L≤(F, x re f ), ta có Sol(V I(F (k),K )) khác rong b% ch¾n Nh¾n xét 2.6 [10] Tù Bo đe 2.4 thay rang neu F thóa mãn đieu ki¾n giá thiet cna Đ%nh lý 2.10 neu Sol(V I(F, K)) ƒ= ∅ ∼ Sol(V I((F )(k), K)) ƒ= ∅ vói bat kỳ k ∈ N −1 ∈ H Hơn nua, zk ∼ Sol(V I((F )(k), K, )) t¾p b% ch¾n Can nhan manh rang, tính giá đơn đi¾u, tính liên tuc yeu vói tính khác rong cna Sol(V I(F, K)) Bo đe 2.4 khơng suy tính ∼ nhat nghi¾m cna tốn bo tro Sol(V I((F )(k), K)) Các ví du sau chúng tó đieu Ví dn 2.6 [10] Cho K := [−2, +∞) ⊂ R giá sú F : K → R xác đ%nh bói F (x) = x2 + 1, ∀x ∈ K Rõ ràng, F giá đơn đi¾u b % ch¾n K Ta có Sol(V I(F (k) , K)) = {−2} Vói x0 := ρ1 := ta đưoc F (1)(x) = x(x + 1) vói moi x ∈ K Do đó, Sol(V I(F (1) , K)) = {−2, −1, 0} Ví dn 2.7 [10] Cho a, b, µ ∈ R+, a < b Giá sú K = [a, b] F : K → R đưoc cho bói cơng thúc F = −µx Hien nhiên, F giá đơn đi¾u liên tuc K Sol(V I(F, K)) = {b} Cho x0 := ρ1 := µ−1 ta đưoc F (1) (1) (x) = vói moi x ∈ K Bói v¾y Sol(V I(F , K)) = K t¾p vơ han Bo đe 2.5 [10] (Đánh giá khống cách đen nghi¾m cna dãy l¾p.) Giá sú F giá đơn đi¾u K, x0 ∈ H {xk} dãy l¾p sinh bói (PPA) Khi đó, vói moi x¯ ∈ Sol(V I(F, K)) ta có "xk − x¯" 2 ≤ "xk−1 − − "xk − x¯" xk−1 " , ∀k ∈ N (2.17) Chỳng minh = k, u = xk−1, v = xk áp dung Bo đe 2.3 H¾ q 2.1 [10] (Tính b% ch¾n cna dãy l¾p) Giá sú F giá đơn đi¾u K, x0 ∈ H {xk} dãy l¾p sinh bói (PPA) Khi đó, vói moi x¯ ∈ Sol(V I(F, K)) ta có Sol(V I(F (k) ), K)) ⊂ B(x¯, "x0 − x¯)"), ∀k ∈ N (2.18) dist(xk, Sol(V I(F, K))) ≤ dist(x0, Sol(V I(F, K))), ∀k ∈ N (2.19) Chúng minh Lay bat kỳ x ∈ Sol(V I(K, F (k)), ó k ≥ Chon xk = x áp dung Bo đe 2.5 ta có "xi − x¯" ≤ "xi−1 − x¯" − "xi − 2, i = 1, , k xi−1" Đieu kéo theo "x − x¯" = "xk − x¯" ≤ "xk−1 − x¯" ≤ ≤ "x1 − x¯" ≤ "x0 − x¯" Bói v¾y, (2.18) Bên canh đó, vói moi k ∈ N, tù bat thúc "xk − x¯" ≤ "x0 − x¯" vói bat kỳ xk ∈ Sol(V I(F, K)), ta có 65 inf{"xk − x¯"|x¯ ∈ Sol(V I(F, K))} ≤ inf{"x0 − x¯"|x¯ ∈ Sol(V I(F, K))} Bói v¾y, bat thúc (2.19) 66 Nh¾n xét 2.7 [10] Neu x0 ∈ Sol(V I(F, K)) ta có xk ∈ Sol(V I(F, K)) Ta có the ket lu¾n xk = x0 vói moi k Th¾t v¾y, "xk−x0" ≤ "x0 −x0" vói ∀k ∈ N, nên xk = x0 vói moi k Đ%nh lý 2.13 [10] Giá sú rang F : K → H giá đơn đi¾u liên tnc yeu K, Sol(V I(F, K)) khác rong, x0 ∈ H cho trưóc {xk} dãy l¾p sinh bói (PPA) Khi đó, {xk} dãy b% ch¾n Hơn nua, neu F liên tnc K neu ton tai dãy {xkj } ⊂ {xk} h®i tn ve ˆ x x ∈ Sol(V I(F, K)) xk → ˆ Chúng minh Tính b% ch¾n cna {xk} đưoc suy tù H¾ 2.1 Giá sú rang F liên tuc K xkj → x.ˆCo đ%nh ∈ Sol(V I(F, K)) x¯ Vói moi k ∈ N, c®ng theo ve k lan bat thúc (2.17) ta nh¾n đưoc k 2 "xk − x¯" ≤ "x0 − − "xi − xi−1" Do đó, x¯" ∞ i= Bói v¾y, ta có Tù xkj ∈ Sol(V I(F i=1 "xi − xi−1" (kj ) ≤ "x0 − x¯" lim "xi − xi−1" = (2.20) (F (xkj ) + ρ− i, K)), → − xk −1 , y − xk ) ≥ 0, ∀y ∈ K 1(x k k ta có j j j Bói tính liên tuc cna F đieu ki¾n ρk ≥ ρ > 0, ∀k ∈ N, cho kj → ∞, tù tính chat cuoi ta nh¾n đưoc x), y −x), ∀y ∈ K ˆ Đieu chúng tó ˆ x đưoc thay cho x, ta đưoc x" ≤ "x0 − ˆx", ∀k ∈ N (2.21) Lay bat kỳ ε > 0, ta có the tìm đưoc l ∈ N cho "xkl − ˆ x" ≤ ε Bói (2.21), ta có "xk − ˆ x" ≤ ε x" ≤ "xkl − ˆ Đieu chúng tó limk→∞ "xk −x" = Đ%nh lý đưoc chúng minh ˆ Neu H không gian huu han chieu, hay H = Rn, đ%nh lý ve sn h®i tu có the phát bieu sau Đ%nh lý 2.14 [10] Giá sú K ⊂ Rn tâp loi, đóng F : K → Rn giá đơn đi¾u liên tnc K Neu Sol(V I(F, K)) khác rong, x0 ∈ Rn mđt vộct cho trúc v {xk} l mđt dóy lắp bói cơng thúc (2.16), ton tai ˆ x M¾nh đe sau chúng tó, tai moi bưóc cna thu¾t tốn (PPA) chỳng ta cú the bat gắp mđt bi toỏn khơng giá đơn đi¾u M¾nh đe 2.1 [10] Ton tai mđt toỏn tỳ liờn tnc,giỏ n iắu F : R2 → R2 cho vói bat kỳ µ > u ∈ R2, tốn tú G(x) = µF (x) + x − u khơng giá đơn đi¾u R2 Chúng minh Đe chúng minh m¾nh đe ta sú dung Ví du 2.5 Đ¾t F (x) = (x2 + x2)(−x2, x1), ∀x = (x1, x2) ∈ R2 Vói bat kỳ µ > u ∈ R2, tốn tú G(x) = µF (x) + x − u khơng giá đơn đi¾u R2 neu chí neu toán tú ∼ G(x) := F (x) + εx + ω, ó ε := µ ω := −( )u, khơng giá đơn đi¾u R2 Nh vắy, nú thúa vúi ieu ú, vúi moi ω ∈ ∼ G khơng giá đơn đi¾u R 2, Khi x¯ := (0, 1) y := (ε, 2) ta đưoc (F (x¯) + εx¯, y − x¯) = (F (y) + εy, y − x¯) = −2ε Khi đó, vói bat kỳ ω ∈ R2 thóa mãn đieu ki¾n ≤ (ω, y − x¯) < 2ε, ta có ∼ (G(x¯), y − x¯) = (F (x¯) + εx¯ + ω, y − x¯) = (ω, y − x¯) ≥0 ∼ (G(y), y − x¯) = (F (y) + εy + ω, y − x¯) = −2ε(ω, y − x¯) < Đieu chúng tó rang tốn tú khơng giá đơn iắu trờn R2 vúi moi thuđc dỏi { R2 : ≤ (ω, y − x¯) < 2ε} Co đ%nh bat kỳ y x) = (0, 1) + t(ε, 1) = (tε, t + 1) ta có− ˆ ∼ y≥−0 x¯) = (F (x¯) + εx¯ + ω, t(y − x¯)) = t(ω, y − x¯) (G(x¯), ˆ ∼ ˆ + ω, t(y − x¯)) y) + εy = t((t2ε2 + (t + 1)2)(−t − 1, tε)+ ε(tε, t + 1), (ε, 1)) + t(ω, y − x¯) = −εt2 [ε2 (t − 1) + (t + 1)] + t(ω, y − x¯) < 0, ∼ vói moi ≤ (ω, y − x¯) < εt[ε (t − 1) + (t + 1)] Cho nên G khụng giỏ n iắu trờn R2 vúi moi thuđc dái {ω ∈ R2 : ≤ (ω, y − x¯) < −εt[ε2 (t − 1) + (t + 1)]} Cho t → +∞, có the ket lu¾n ∼ G khơng giá đơn đi¾u R2 vói moi ω thu®c núa khơng gian {ω ∈ R2 : ≤ (ω, y − x¯) ≥ 0} Bây giò, ta chon u := = (0, −1) v := −y = (−ε, −2) −x¯ Rõ ràng, F (u) = −F (x¯) F (v) = −F (y) Bói v¾y, vói moi t ≥ 1, đ¾t z := u + t(v x¯) ta có ˆ − ∼ (G(u), ˆz − u) ≥ ∼ z), zˆ − u) < ∼ vói moi ≤ (ω, v − u) < εt[ε (t− 1) + (t + 1)] Đieu túc G khơng giá đơn đi¾u R2 vói moi ω thu®c núa khơng gian {ω ∈ R2 : (ω, y − x¯) ≤ 0} Đ%nh lý đưoc chúng minh Ket luắn Luắn ny trỡnh by mđt so khái ni¾m ket liên quan đen Bat thúc bien phân không gian Hilbert, cu the Chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet ve khơng gian Hilbert, t¾p loi hàm loi, mđt so toỏn tỳ ắc biắt khụng gian Hilbert tốn toi ưu khơng gian Hilbert Chương trình bày m®t so ket q ve ton tai nghiắm v mđt so thuắt toỏn e giỏi bi tốn bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Muc 2.1 trình bày đ%nh nghĩa ví du ve bat thúc bien phân không gian Hilbert Muc 2.2 trình bày m®t so đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m cna tốn Muc 2.3 trình bày mđt so thuắt toỏn e giỏi bi toỏn bat ang thúc bien phân không gian Hilbert gom: phương pháp nhân tú Lagrange, thu¾t tốn hi¾u Tikhonov, thu¾t tốn điem gan ke M®t so ví du minh hoa cho thu¾t tốn đưoc trình bày lu¾n văn Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1]Đ¾u The Cap: Giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc, 2000 [2]Đo Văn Lưu Phan Huy Khái: Giái tích loi, Nhà xuat bán Khoa hoc ky thuắt H Nđi, 2000 [3]Hunh The Phựng: C sú Giỏi tích loi, NXB Giáo duc Vi¾t Nam, 2012 [4]Nguyen Năng Tâm: Bài giáng Bat thúc bien phân [B] Tài li¾u tieng Anh [5]N T Hao: Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities, Acta Math Vietnam 31, 283–289 (2006) [6]V Konov: On quasimonotone variational inequalities, J Optim Theory Appl 99, 165-181 (1998) [7]D Kinderlehrer and G Stampacchia: An Induction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [8]G M Lee, N N Tam, and N D Yen: Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Springer, New York, 2005 [9]R T Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control Optim 14, 877–898 (1976) [10]N N Tam, J C Yao and N D Yen, Solution methods for pseudomonotone variational inequalities,J Optim Theory Appl 138: 253–273 (2008) 53 ... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HỒNG HẠNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:... hàm, Bat thúc bien phân, Lý thuyet toi ưu vói mong muon hieu biet sâu ve Bat thúc bien phân không gian Hilbert tơi lna chon đe tài: Bài tốn Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert. ” Mnc đích... cúu ve Bat thúc bien phân không gian Hilbert m®t so phương pháp giái tốn Bat thúc bien phân khơng gian Hilbert Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu m®t so kien thúc bỏn ve khụng gian Hilbert, mđt so toỏn