Bài toán điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐẶNG THỊ THU BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI - 2013 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Hà Bình Minh, người tận tình giúp đỡ bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hoàn thành khóa luận Thầy người giúp em ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc Thầy Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới anh Phạm Văn Duẩn, người nhiệt tình giúp đỡ bảo hướng dẫn em trình gõ Tex hoàn thành khóa luận Anh người cung cấp thêm tư liệu kiến thức giúp em giải đáp điều chưa hiểu băn khoăn Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cô công tác Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy Cô trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Cuối cùng, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện cho em suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu Lời cam đoan Tên em là: Đặng Thị Thu, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013 lớp K35 CN Toán – Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin cam đoan đề tài: “Bài toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục”, kết nghiên cứu thu thập riêng em Các luận cứ, kết thu đề tài trung thực, không trùng với tác giả khác Nếu có không trung thực luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu Mục lục Mở đầu i Nội dung iii Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.2 Nghiệm hệ tuyến tính thời gian liên tục 1.3 Hàm Truyền 1.3.1 Phép biến đổi Laplace tính chất 1.3.2 Các phép toán với ma trận Hàm truyền Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1 Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1.2 Ví dụ minh họa 2.2 Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.2.2 Ví dụ minh họa Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục 4 13 16 17 20 22 3.1 Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục 22 3.1.1 Tính ổn định Lyapunov hệ tuyến tính thời gian liên tục 22 3.2 Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov 3.2.1 Các định lý mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov 3.3 Ví dụ minh họa Tài liệu tham khảo 24 24 27 31 Mở đầu Lý chọn đề tài Điều khiển toán có ý nghĩa ứng dụng quan trọng đời sống, đặc biệt lĩnh vực điện tử, viễn thông xử lý tín hiệu nói riêng Ta thường xây dựng mô hình toán học từ trình vật lý Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu lĩnh vực điều khiển Một số vấn đề có tính chất kinh điển toán điều khiển Nó có ứng dụng rộng rãi ngành toán ứng dụng, nên từ trước đến nay, đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Để hiểu rõ toán em chọn đề tài “Bài toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Khái quát nội dung phạm vi nghiên cứu Bài toán điều khiển tuyến tính phần tảng quan trọng lý thuyết điều khiển nói chung: phát triển khái niệm điều khiển nâng cao có gợi ý tư tưởng từ lý thuyết điều khiển tuyến tính Luận văn em trình bày toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Nội dung bao gồm phần sau: • Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục i Đặng Thị Thu - Toán K35-CN MỤC LỤC Mục đích- Yêu cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Đối tượng nghiên cứu Bài toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục kiến thức liên quan Phạm vi • Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm • Thời gian thực khóa luận • Nơi thực khóa luận (những khó khăn thuận lợi nơi nghiên cứu khoa học) ii Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Nội dung Tên đề tài Bài toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục - Hệ tuyến tính thời gian liên tục - Nghiệm hệ tuyến tính thời gian liên tục - Hàm truyền • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục - Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết điều khiển • Phương pháp quan sát, đọc sách iii Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Chương Hệ tuyến tính thời gian liên tục Chương giới thiệu hệ động lực tuyến tính nói chung hệ tuyến tính thời gian liên tục nói riêng Đây mô hình toán học tổng quát nhiều vấn đề thực tế lý thuyết điều khiển 1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục Hệ động lực, hiểu cách tổng quát hệ thống mà đặc trưng thay đổi theo thời gian, trạng thái thời điểm phụ thuộc vào trạng thái khứ tác động bên lên hệ thống Những ví dụ thực tế hệ động lực phong phú máy bơm nước, máy điều hòa nhiệt độ, mạch điện, Định nghĩa 1.1.1 Một hệ tuyến tính thời gian liên tục với tham số bất biến biểu diễn qua hệ phương trình sau: x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (1.1) y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.2) Trong đó: x(t) vector n chiều gọi trạng thái hệ, u(t) vector m chiều (m ≤ n) gọi đầu vào hệ, y(t) vector r chiều gọi đầu hệ, x(t0) điều kiện ban đầu, thành phần x(t) gọi biến trạng thái Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC A, B, C D ma trận không phụ thuộc t với kích thước n × n, n × m, r × n, r × m Phương trình (1.1) gọi phương trình trạng thái, Phương trình (1.2) gọi phương trình đầu Biểu diễn theo (1.1), (1.2) gọi mô hình không gian trạng thái với tham số bất biến hệ động lực Hình 1.1: Mô hình hệ động lực Ví dụ 1.1.2 Ta xét ví dụ đưa [2] Xét mạch RLC mô tả hình 1.2 với nguồn vào u(t) đầu y(t) Các phương trình cường độ dòng điện mạch: Hình 1.2: Mạch RLC Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC có hạng n Ví dụ 2.2.2 Hệ dạng (2.7), (2.8)có tham số A = −1 , −2 C= 1 Ta tính 1 ; −1 • Ma trận quan sát OB = • Hạng ma trận quan sát rank (OB) = 2, nên hệ quan sát Hệ quan sát ma trận quan sát 2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 2.2.3 (Tiêu chuẩn Hautus) Điều kiện cần đủ để hệ (2.7), (2.8) quan sát là: rank λI − A = n, ∀λ C Chứng minh Hệ đối ngẫu hệ tuyến tính (2.7), (2.8) là: x(t) = AT x + C T u, (2.9) y(t) = B T x + DT u (2.10) Để hệ (2.7), (2.8) quan sát điều kiện cần đủ hệ (2.9), (2.10) điều khiển Theo định lý (2.1.2) tiêu chuẩn Hautus hệ (2.9), (2.10) điều khiển khi: rank(λI − AT , C T ) = n, ∀λ suy rank(λI − AT , C T )T = rank 17 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN λI − A = n C CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Định lý 2.2.4 (Tiêu chuẩn Kalman) Điều kiện cần đủ để hệ (2.7), (2.8)  C   CA  rank   CA   quan sát là:  CAn−1    =n    Chứng minh Để hệ (2.7), (2.8) quan sát điều kiện cần đủ hệ (2.9), (2.10) điều khiển Theo định lý (2.1.4)về tiêu chuẩn Kalman điều tương đương với: rank(C T , AT C T , , (An−1)T C T ) = n Suy ra:  C    CA     CA rank(C T , AT C T , , (An−1)T C T )T = rank   = n      CAn−1  Định lý 2.2.5 Các mệnh đề tương đương: Hệ (2.7), (2.8) quan sát Ma trận quan sát  OM  C    CA     CA =       CAn−1 18 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC có hạng n Ma trận t1 T eA t C T CeAt dt WO = ma trận không suy biến với t1 > Ma trận λI − A C có hạng n với giá trị riêng λ A Không có giá trị vector A vuông góc với hàng ma trận C , điều có nghĩa (λ, y) cặp giá trị A Cy = Chứng minh Tương tự tính điều khiển Định lý 2.2.6 Cặp (A, C) quan sát ma trận WO ma trận không suy biến với t > Chứng minh [=⇒] Trước hết ta giả sử ma trận WO suy biến, u(t), y(t) biết Không làm tính tổng quát giả sử u(t) = với t Do y(t) = CeAt x(0) Điều chứng tỏ: t1 T eA t C T y(t)dt WO x(0) = Khi x(0) xác định cho bởi: t1 x(0) = WO−1 T eA t C T y(t)dt [⇐=] Nếu WO ma trận dừng tồn vector z = cho: WO z = 19 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Điều CeAt z = Như y(t) = CeAt (x(0) + z) = CeAt x(0) Do x(0) không xác định nhất, chứng tỏ (A, C) không quan sát Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 2.2.7 Xét hệ tuyến tính có phương trình trạng thái sau:     0 −2     x(t) = 1 −4 x +  2 u −1 1 −3 y = −1 x 1 Từ hệ ta có:   0 −2   A = 1 −4 , −3 C = −1 1 Dùng Matlab để tính toán: A= 0 -2 -4 -3 C= -1 20 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC 1 %Tính C*A C*A= -1 1 -7 %Gán C*A=D Tính D*A D*A= -1 1 -7 15 %Gán E=D*A %Tính \rank(C,D,E) \rank(C,D,E)= Sử dụng tiêu chuẩn Kalman để  −1  • Tính CA = 1 1 kiểm tra tính quan sát hệ :  −2 −1  −4 = −7 −3   0 −2 −1 1 −1   • Tính CA2 = 1 −4 = −7 15 1 −7 −3   −1     1    C  −1     = • Tính rank  CA  = rank    1 −7   CA   −1 71  −7 15 Vậy hệ cho hệ quan sát 21 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Chương Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục 3.1 Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 3.1.1 Một trạng thái cân hệ động lực x(t) = Ax(t), x(0) = x0, (3.1) vectơ xe thỏa mãn Axe = Rõ ràng, xe = trạng thái cân trạng thái cân ma trận A không suy biến Định nghĩa 3.1.2 Một trạng trạng thái cân xe gọi ổn định tiệm cận với trạng thái ban đầu, vectơ trạng thái tiến tới xe thời gian tăng dần Rõ ràng hệ (3.1) ổn định tiệm cận trạng thái cân xe = ổn định tiệm cận Do hệ (3.1) ổn định tiệm cận x(t) → t → ∞ 3.1.1 Tính ổn định Lyapunov hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 3.1.3 Hệ (3.1) ổn định tiệm cận giá trị riêng ma trận A có phần thực âm 22 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Chứng minh Từ định lý (1.2.1) ta biết nghiệm tổng quát (3.1) x(t) = eAt x0 Do x(t) −→ ⇐⇒ eAt −→ 0(t −→ ∞) Ta điều xảy tất giá trị riêng A có phần thực âm Lấy X −1 AX = diag(J1, J2, , Jk ) Vì ta thấy X ma trận đơn vị, (J1 , J2, , Jk ) khối Jordan nên A có dạng chuẩn tắc Jordan Do ma trận A ma trận đường chéo.Vậy X −1 AX = diag(J1, J2, , Jk ) dạng tắc Jordan ma trận A Khi đó: eAt = Xdiag(eJ1 t , eJ2 t , , eJk t )X −1 Lấy giá trị riêng λi A liên kết với Ji ta có: eJi t −→ λi có phần thực âm Vậy eAt −→ tất giá trị riêng A có phần thực âm Định nghĩa 3.1.4 Một ma trận A gọi ổn định tiệm cận tất trị riêng A có phần thực nhỏ Hệ (3.1) gọi ổn định tiệm cận ma trận A ổn định tiệm cận Ví dụ 3.1.5 A = −1 có hai trị riêng -1 -2 nên A ma trận −2 ổn định tiệm cận Định nghĩa 3.1.6 Lấy λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A khoảng cách từ min{−Re(λi) : i = 1, 2, , n} tới trục ảo gọi bán kính ổn định 23 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC 3.2 Mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Định nghĩa 3.2.1 (Định nghĩa phương trình Lyapunov) Phương trình ma trận : AX + AT X = −C T C đối ngẫu nó: AX + XAT = −CC T gọi phương trình Lyapunov Trong đó: C ma trận đối xứng xác định dương, X nghiệm đối xứng xác định dương cho sau: ∞ X= T eA t C T CeAt dt (3.2) 3.2.1 Các định lý mối liên hệ tính ổn định phương trình Lyapunov Định lý 3.2.2 Cho A ma trận ổn định Khi phương trình Lyapunov: XA + AT X = −C T C (3.3) có nghiệm X xác định đối xứng dương (A, C) quan sát Chứng minh Trước hết ta cần (A, C) quan sát A ổn định X xác định dương Ta có A ma trận ổn định, từ (3.2) X nghiệm (3.3) cho sau: ∞ T eA t C T CeAt dt X= Nếu X không xác định dương tồn vector x = cho: Xx = 0.Trong trường hợp đó: ∞ CeAt x 24 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN dt = CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC có nghĩa CeAt x = Kiểm tra CeAt x = đạo hàm t = 0, ta có CAix = 0, i = 0, 1, , n − Điều cho thấy OM x = 0, OM ma trận quan sát Khi (C, A) quan sát được, OM có đủ hạng chứng tỏ x = nên điều mâu thuẫn Hơn nữa, CeAt x = với ∀t nên X xác định dương Bây ta chứng minh điều ngược lại Ta cần A ổn định X xác định dương (A, C) quan sát Ta chứng minh phản chứng Giả sử (A, C) không quan sát Khi đó, theo tiêu chuẩn (5) định lý (2.2.4) vector x A thỏa mãn: Cx = Lấy giá trị riêng λ tương ứng với giá trị vector x Khi từ phương trình (3.3) ta có: x∗XAx + x∗AT Xx = −x∗C T Cx hay (λ + λ)x∗Xx = − Cx Do đó: (λ + λ)x∗ Xx = Mà A ma trận ổn định, λ + λ < nên x∗Xx = Nhưng X xác định dương, x phải vector = nên điều giả sử sai Do (A, C) quan sát Định lý 3.2.3 Cho phương trình Lyapunov: XA + AT X = −C T C (3.4) X nghiệm đối xứng dương (A, C) quan sát A ma trận ổn định Chứng minh [=⇒] 25 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Ta định nghĩa ma trận X sau: ∞ X= T eA t C T CeAt dt (3.5) Khi ta hệ ổn định tiệm cận X nghiệm đối xứng dương phương trình Lyapunov Sử dụng biểu thức chứa X phương trình (3.4) ta có: ∞ T AT t e XA + A X = T ∞ At C Ce Adt + T AT eA t C T CeAt dt 0 ∞ = d AT t T At (e C Ce )dt dt = eAT t C T CeAt T Ta có A ma trận ổn đinh, eA t −→ 0(t −→ ∞) Do ta có: XA + AT X = −C T C Bây ta cần X xác định (3.5) thỏa mãn phương trình (3.4) (+) Để X xác định dương ta phải chứng minh uT Xu > 0, u = Từ (3.5) ta có: ∞ T u Xu = uT eAT t C T CeAt udt T Cả ma trận mũ eA t eAt ma trận không dừng C ma trận xác định dương nên uT u > (+) Ta cần chứng minh X Giả sử phương trình (3.4) có nghiệm X1 X2 Ta có: AT (X1 − X2) + (X1 − X2 )A = Điều chứng tỏ : T eA t (AT (X1 − X2) + (X1 − X2)A)eAt = 26 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC hay d AT t [e (X1 − X2 )eAt ] = dt eAT t (X1 − X2 )eAt ma trận số với t Kiểm tra t = t = ∞ ta có X1 − X2 = ⇐⇒ X1 = X2 Vậy ta có điều phải chứng minh [⇐=] Ta chứng minh X nghiệm đối xứng xác định dương phương trình (3.4) A ma trận ổn định Lấy (λ, x) cặp giá trị A Ta nhân vế phương trình (3.4) với x∗ x ta được: x∗XAx + x∗AT Xx = λx∗ Xx + λx∗Xx = (λ + λ)x∗Xx = −x∗C T Cx Như C X đối xứng dương Ta có λ + λ < hay Re(λ) < Vậy ta có điều phải chứng minh 3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3.3.1 Xét hệ tuyến tính có phương trình trạng thái sau:   −0.0006 −0.5681 −0.0010 −0.0013  0.5681 −0.0005 −0.0013 −0.0010   x(t) =   x −0.0010 0.0013 −0.0039 −3.9409 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040 • Ta có:  −0.0006 −0.5681 −0.0010 −0.0013  0.5681 −0.0005 −0.0013 −0.0010   A=  −0.0010 0.0013 −0.0039 −3.9409 0.0013 −0.0010 3.9409 −0.0040  27 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC • Tính giá trị riêng ma trận A: EigA = [eig(A)]   −0.0006 + 0.5681i −0.0006 − 0.5681i   EigA =   −0.0040 + 3.9409i −0.0040 − 3.9409i Phần thực trị riêng ma trận A âm nên ma trận A ổn định tiệm cận Do vậy, hệ ổn định tiệm cận 28 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Kết luận Sau nghiên cứu :” Bài toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục” em rút kết luận sau: Những kết làm được: Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài em hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo HÀ BÌNH MINH ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Luận văn đạt mục đích đề Cụ thể sau: • Trong luận văn em trình bày sở lý thuyết, chứng minh định lý, đưa ví dụ minh họa toán điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục • Đưa hai tiêu chuẩn Klman Hautus để kiểm tra tính điều khiển tính quan sát toán • Được học hỏi sử dụng phần mềm Matlab để tính toán: Tính giá trị riêng ma trận, nhân ma trận, tính hạng ma trận, để kiểm tra tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định cách đơn giản nhanh • Thông qua trình thực luận văn em hiểu sâu toán điều khiển, hệ tuyến tính thời gian liên tục, tính quan sát được, tính điều khiển được, tính ổn định toán Biết vận dụng chúng để lấy ví dụ làm tập Ngoài giúp em củng cố lại kiến thức ma trận: hạng ma trận, giá trị riêng, giá trị vector, mà em học 29 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC • Đặc biệt, sau nghiên cứu đề tài em biết ứng dụng toán điều khiển thực tế quan trọng Đây toán can thiệp vào đối tượng điều khiển để hiệu chỉnh, để biến đổi cho có chất lượng mong muốn Nó áp dụng rộng rãi phổ biến thực tiễn Những mặt hạn chế chưa làm được: Luận văn hoàn thành thời gian không lâu, lượng kiến thức sinh viên hạn chế bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Tháng năm 2013 Sinh viên Đặng Thị Thu 30 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Doãn Phước, Lý thuyết điều khiển tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2009 [2] Biswa Nath Datta, Numerical Methods for linear Control System, Elsevier Academic Press, 2004 31 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN [...]... đảo của ma trận hàm truyền G(s) kí hiệu là G(s) Ta có G(s)G(s) = G(s)G(s) = I nếu G(s) là ma trận vuông và D là khả nghịch khi đó: A − BD−1 C −BD−1 D−1C D−1 −1 G(s) ≡ G (s) = 7 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN Chương 2 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 2.1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục :... 1 HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC u = ir + il + ic , ic = C diL deC , eC = L = RiR dt dt Định nghĩa các biến trạng thái x1 := iL , x2 := eC thì mạch điện được mô tả bởi hệ tuyến tính: x = Ax + Bu, y = Cx + D, trong đó: x = [x1, x2 ]T , A= 1.2 0 1/L 0 0 ,B = ,C = , D = 0 −1/C −1/RC 1/C 1 Nghiệm của hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 1.2.1 Nghiệm của các phương trình động lực thời gian liên tục. .. thời gian liên tục với các tham số A= −1 3 1 ,B = 0 −2 −1 Ta xác định được • Ma trận điều khiển CO = 1 −4 , −1 2 • Hạng của ma trận điều khiển rank(CO) = 2, nên hệ là điều khiển được 13 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Ví dụ 2.1.7 Cho hệ tuyến tính có phương trình trạng thái như sau:     1 2 3 4 5 1     6 7 5 4 1 5... −1.0000 −2.0000 12.7341 −1.0000 0 0 −7.0000 −8.0000 13.7341 • Tính hạng của ma trận: rank(λ1I − A, B) = 4 < 5 Vậy hệ đã cho là hệ không điều khiển được 2.2 Tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 2.2.1 Xét hệ tuyến tính thời gian liên tục sau: x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t0) = x0 (2.7) y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.8) Hệ (2.7), (2.8) được gọi là quan sát được (observable) nếu với... là điều khiển được (controllable) nếu với bất kỳ trạng thái khởi tạo x(0) = x0 và trạng thái kết thúc x1, t1 > 0 đều tồn tại đầu vào u(t) sao cho x(t1) = x1 Hệ điều khiển được khi ma trận điều khiển CO = [B AB A2 B An−1B ] có hạng bằng n 2.1.1 Các tiêu chuẩn cho tính điều khiển của hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 2.1.2 (Tiêu chuẩn Hautus) 8 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN... v2T )B = (0, v2)T B1 =0 0 0 của (A)T vuông góc với các vector cột của B v2 Điều này có nghĩa là cặp (A, B) không là điều khiển được Do đó điều giả sử là sai vì một sự biến đổi tương tự không thể làm thay đổi được sự điều khiển Như vậy giá trị vector (ii) ⇒ (v) 12 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC rank(λI − A, B) < n khi và... cần và đủ là hệ (2.9), (2.10) điều khiển được Theo định lý (2.1.2) về tiêu chuẩn Hautus thì hệ (2.9), (2.10) điều khiển được khi và chỉ khi: rank(λI − AT , C T ) = n, ∀λ suy ra rank(λI − AT , C T )T = rank 17 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN λI − A = n C CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC Định lý 2.2.4 (Tiêu chuẩn Kalman) Điều kiện cần và đủ để hệ (2.7), (2.8)... sát được Hệ quan sát được khi ma trận quan sát 2.2.1 Các tiêu chuẩn cho tính quan sát được của hệ tuyến tính thời gian liên tục Định lý 2.2.3 (Tiêu chuẩn Hautus) Điều kiện cần và đủ để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được là: rank λI − A = n, ∀λ C Chứng minh Hệ đối ngẫu của hệ tuyến tính (2.7), (2.8) là: x(t) = AT x + C T u, (2.9) y(t) = B T x + DT u (2.10) Để hệ (2.7), (2.8) là quan sát được thì điều kiện... u −1 1 0 1 −3 y = 1 0 −1 x 0 1 1 Từ hệ trên ta có:   0 0 −2   A = 1 0 −4 , 0 1 −3 C = 1 0 −1 0 1 1 Dùng Matlab để tính toán: A= 0 0 -2 1 0 -4 0 1 -3 C= 1 0 -1 20 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC 0 1 1 %Tính C*A C*A= 0 -1 1 1 1 -7 %Gán C*A=D Tính D*A D*A= -1 1 1 1 -7 15 %Gán E=D*A %Tính \rank(C,D,E) \rank(C,D,E)= 3 Sử... [0, t1] Hệ quan sát được khi ma trận quan sát:   C    CA    2  CA OB =        CAn−1 16 Đặng Thị Thu - Toán K35-CN CHƯƠNG 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ TUYẾN TÍNH THỜI GIAN LIÊN TỤC có hạng bằng n Ví dụ 2.2.2 Hệ dạng (2.7), (2.8)có các tham số A = −1 3 , 0 −2 C= 1 1 Ta tính được 1 1 ; −1 1 • Ma trận quan sát OB = • Hạng của ma trận quan sát rank (OB) = 2, nên hệ là quan ... điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục - Tính quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời. .. Thị Thu - Toán K35-CN Chương Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục 2.1 Tính điều khiển hệ tuyến tính thời gian liên tục Định nghĩa 2.1.1 Hệ tuyến tính thời gian liên tục : x(t)... Chương 1: Hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 2: Tính điều khiển quan sát hệ tuyến tính thời gian liên tục • Chương 3: Tính ổn định hệ tuyến tính thời gian liên tục i Đặng Thị Thu - Toán K35-CN