Trong bài viết này, trước hết giới thiệu bài toán điều khiển được hệ phương trình tuyến tính rời rạc. Từ đó trình bày một số tiêu chuẩn về tính điều khiển được hệ phương trình tuyến tính rời rạc không có hạn chế trên điều khiển.
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 15 TIÊU CHUẨN VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƢỢC HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH RỜI RẠC KHƠNG CĨ HẠN CHẾ TRÊN ĐIỀU KHIỂN Nguyễn V n H o1, Lê Thị Huyền My Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt: Trong báo này, trước hết chúng tơi giới thiệu tốn điều khiển hệ phương trình tuyến tính rời rạc Từ trình bày số tiêu chuẩn tính điều khiển hệ phương trình tuyến tính rời rạc khơng có hạn chế điều khiển Từ khóa: phương trình tuyến tính rời rạc, điều khiển, tiêu chuẩn ĐẶT VẤN ĐỀ Tính điều khiển đƣợc nghiên cứu lớp hàm điều khiển chấp nhận đƣợc cho dƣới tác động hệ thống đƣợc điều khiển vị trí mong muốn Nói cách cụ thể hơn: cho hệ thống mơ tả phƣơng trình điều khiển, vị trí mong muốn cần điều khiển hệ thống, nhƣ trạng thái x , x đƣợc cho trƣớc, tìm điều khiển chấp nhận đƣợc u(t ) cho dƣới tác dụng điều khiển này, hệ thống đƣợc điều khiển từ trạng thái x tới trạng thái x thời gian (tùy ý cố định) đó, tức quỹ đạo hệ thống xuất phát từ trạng thái x thời điểm t chuyển đến trạng thái x thời điểm t1 Hệ điều khiển với thời gian rời rạc: x (k Khi u u(0), u(1), x(1) đó, với , u(k trạng 1), 1) thái f (k, x (k ), u(k )), k ban đầu x (0) (1.1) x0 , hệ ln có nghiệm xác định: f 0, x 0, u(0) Nhận ngày 21.04.2016; gửi phản biện duyệt đăng ngày 10.05.2016 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Hào; Email: nguyenvanhaodhsphn2@gmail.com dãy điều khiển 16 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI x (2) f 1; f 0, x , u(0) , u(1) x (3) f 2, f 1; f 0, x , u(0) , u(1) , u(2) … Hệ (1.1) hệ phƣơng trình phi tuyến hàm f k, x (k ), u(k ) hàm phi tuyến Hệ (1.1) hệ phƣơng trình tuyến tính hàm f k, x (k ), u(k ) hàm tuyến tính, hay: f k, x(k ), u(k ) A(k )x(k ) B(k )u(k ), k Do đó, hệ phƣơng trình tuyến tính với thời gian rời rạc có dạng: x (k A(k )x (k ) 1) Khi với điều kiện ban đầu x (0) nghiệm x (k ) bƣớc k B(k )u(k ), k x tùy ý, điều khiển u k u(0), u(1), , u (k 1) , đƣợc cho công thức Cauchy: k x (k ) F (k, 0)x F (k, s 1)B(s )u(s ), s Trong đó, F (k, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính nhất: x(k A(k )x(k ), k 1) Ta mơ tả đƣợc cơng thức biểu diễn F (k, s) theo công thức: F(k, s) A(k A(s), k 1) F (k, k ) s 0, I Nếu ma trận A(.), B(.) ma trận số, ta có hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc có dạng: x(k 1) Ax(k ) Bu(k ) F (k, s ) Ak s ; k s Khi ta có: nghiệm hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc đƣợc xác định công thức: x (k ) Ak x k Ak s Bu(s ) s Xét hệ tuyến tính rời rạc: x (k 1) A(k )x (k ) B(k )u(k ); k , (1.2) TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 Trong đó: x (k ) A(k ), B(k ), k 0,1, 2, n 17 m vectơ trạng thái, u(k ) vectơ điều khiển, n m ma trận có số chiều (n n) (n m) tƣơng ứng Định nghĩa 1.1 Một dãy hàm vectơ u(k ); k m 0,1, 2, đƣợc gọi điều khiển chấp nhận đƣợc hệ (1.2) Xét hệ điều khiển tuyến tính (1.2) với giá trị ban đầu x (0) x cho trƣớc Nhƣ vậy, ứng với điều khiển chấp nhận đƣợc u(k ) , toán Cauchy hệ (1.2) ln có nghiệm x k, x , u bƣớc k đƣợc cho bởi: k x k, x , u F (k, 0)x F (k, i 1)B(i )u(i ), i Trong F (k, i) ma trận nghiệm hệ (1.2) thỏa mãn hệ phƣơng trình ma trận: F (k, i) F (k, k ) A(k I 1)A(k Định nghĩa 1.2 Cho hai trạng thái x , x đƣợc sau bƣớc k1 A(i); k 2) n i , cặp x , x1 đƣợc gọi điều khiển , tồn điều khiển chấp nhận đƣợc u(k ) cho nghiệm x k, x , u hệ thỏa mãn điều kiện: x (0, x , u ) x , x (k1, x , u ) x Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.2) gọi điều khiển đƣợc hoàn toàn (global controllability - GC) với hai trạng thái x , x tìm đƣợc bƣớc k1 cho x , x1 điều khiển đƣợc sau bƣớc k1 Trong trƣờng hợp tồn lân cận gốc V (0) n cho hệ (1.2) điều khiển đƣợc hoàn toàn V (0) , hệ đƣợc gọi điều khiển đƣợc địa phƣơng (local controllability - LC) Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.2) gọi đạt đƣợc hoàn toàn (global reachability GR) với trạng thái x n , tồn bƣớc k1 cho 0, x1 điều khiển đƣợc sau bƣớc k1 Định nghĩa 1.5 Hệ điều khiển (1.2) đƣợc gọi điều khiển đƣợc hoàn toàn (global null-controllability - GNC) với trạng thái x k1 cho x , điều khiển đƣợc sau bƣớc k1 n , tồn bƣớc 18 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI NỘI DUNG Xét hệ tuyến tính rời rạc khơng có hạn chế điều khiển sau: x (k A(k )x (k ) 1) n x (k ) B(k )u(k ); k m , u(k ) , (2.1) , Trong : A(k ), B(k ) ma trận (n n) , (n m) chiều tƣơng ứng Ta đƣa vào ma trận điều khiển đƣợc kiểu Kalman nhƣ sau: C (k ) Trong x (k 1) đó: F(k, k )B(k F (k, s) A(k )x (k ), k 1), F(k, k ma 1)B(k trận , F(k,1)B(0) ; k 2), nghiệm , hệ tuyến tính Sau tiêu chuẩn hạng để hệ (2.1) điều khiển đƣợc Định lý 2.1 Hệ tuyến tính rời rạc (2.1) đạt hoàn toàn tồn k0 cho: rankC (k ) n (2.2) Chứng minh: Xét ánh xạ: k Lk u k F (k, i 1)B(i)u(i) i Ta thấy: Lk : km n ánh xạ tuyến tính liên tục và: k Lk km Lk km Im Lk Vậy, hệ GR ta có : k n Sử dụng Định lý Baire phạm trù, ta tìm đƣợc số k0 Lk k 0m n k0 l cho: , Từ suy điều kiện hạng (2.2) Ngƣợc lại, giả sử có điều kiện hạng (2.2), ma trận (n n) chiều dạng: D(k ) C (k )C (k ) TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 19 khơng suy biến, tồn ma trận ngƣợc D 1(k ) Với tùy ý x n , ta xác định điều khiển: u(k ) B (k )F k0 , k 1D k0 x Ta có: k0 x k0 F k0 , i B(i )B (i )F k0 , i D k0 x1 i D k0 D k0 x x1 Từ suy với điều khiển xác định hệ đƣợc chuyển từ trạng thái tới trạng thái x n nào, nói cách khác, hệ GR Định lý đƣợc chứng minh Hệ 2.2 Hệ tuyến tính dừng rời rạc (khi A, B (2.1) ma trận số) đạt hoàn toàn tồn k cho: k rank B, AB, , A B n Ví dụ 2.3 Cho hệ phƣơng trình: x1(k x (k 1) 1) x 1(k ) x 1(k ) x (k ) x (k ) u(k ), u(k ) Ta có: A 1 ,B 1 1 AB Do đó: rankC (2)=rank[B, AB ] 1 1 , C (2) B, AB Vậy hệ cho GR Nhận xét: Từ cách định nghĩa tập điều khiển đƣợc , ta dễ dàng thấy điều kiện hạng (2.2) điều kiện đủ để hệ GNC, xong điều kiện cần Ví dụ sau chứng tỏ điều Ví dụ 2.4 Xét hệ: x 1(k x (k Ta có: 1) 1) x 1(k ) x (k ) x 1(k ) x (k ) u(k ), u(k ) 20 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI A 1 ,B 1 1 AB Do đó: rankC (2)=rank[B, AB ] 1 1 , C (2) B, AB Vậy hệ cho không thỏa mãn điều kiện hạng (2.2), xong dễ kiểm tra đƣợc hệ GNC Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ yếu điều kiện hạng (2.2) Định lý 2.5 Hệ rời rạc (2.1) điều khiển hoàn toàn tồn số k cho: ImF k0, ImC k0 Chứng minh: Giả sử hệ GNC Khi n F (k , 0) k (2.3) , đó: Rk , F (M ) nghịch ảnh tập M xác định bởi: F (M ) x n : Fx Theo Định lý Baire phạm trù, có k M cho n k0 , điều có nghĩa là: F k0 , Rk n Từ suy điều kiện (2.3) Ngƣợc lại, (2.3) thỏa mãn theo định nghĩa tính GNC, hệ điều khiển đƣợc sau k bƣớc, hệ GNC Định lý đƣợc chứng minh Hệ 2.6 Hệ tuyến tính dừngrời rạc (khi A, B (2.1) ma trận số) điều khiển hoàn toàn tồn số k k Im A k cho: Im B, AB, , A B Ví dụ 2.7 Xét hệ rời rạc: Ta có: x 1(k 1) kx 1(k ), x (k 1) x (k ) k 2x (k ) (k 2)u(k ), x (k 1) x 1(k ) 2kx (k ) (k 1)u(k ) TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 4/2016 k A(k ) 21 0 k , B(k ) 2k k k ,C (3) B(2), F(3, 2)B(1), F(3,1)B(0) , Trong đó: , B(1) B(0) F (3, 2) F (3, 2)B(1) A(2) A(2)B(1) , B(2) 0 , F (3,1) 0 , F (3,1)B(0) 0 , A(2)A(1) 0 1 4 19 , 12 A(2)A(1)B(0) Vậy: C (3) Do đó: rankC (3) B(2), A(2)B(1), A(2)A(1)B(0) 0 19 12 , điều kiện hạng (2.2) không thỏa mãn Thế nhƣng, vì: F (3, 0) A(2)A(1)A(0) 0 4 Nên: rankF (3, 0) 0 rank 4 Từ dễ thấy điều kiện (2.3) thỏa mãn hệ cho GNC, khơng GR KẾT LUẬN 22 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI Từ tốn điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc, ch ng tơi trình bày số tiêu chuẩn tính điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc khơng có hạn chế điều khiển thơng qua định lý Ở minh họa ví dụ cụ thể TÀI LIỆU THAM KHẢO Ahmed N.U (1982), “Element of Finite-dimensional Systems and Control Theory”, Longman Sci Tech., New York Kalman R.E (1960), “Contribution to the theory of optimal control”, Bol Soc, Math Mexicana, 5, pp.102-119 STANDARDS OF CONTROLLABILITYOFSYSTEMSOF UNLIMITEDON CONTROLLINEAR DISCRETE EQUATIONS Abstract: In this paper, the first we introduce the controllable problem of systems of linear discrete equations Then we present some standards of controllability of systems of unlimited on control linear discrete equations Keywords: linear discrete equations, controllable, standards ... HÀ NỘI Từ tốn điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc, ch ng tơi trình bày số tiêu chuẩn tính điều khiển đƣợc hệ phƣơng trình tuyến tính rời rạc khơng có hạn chế điều khiển thơng qua... (2.3) thỏa mãn theo định nghĩa tính GNC, hệ điều khiển đƣợc sau k bƣớc, hệ GNC Định lý đƣợc chứng minh Hệ 2.6 Hệ tuyến tính dừngrời rạc (khi A, B (2.1) ma trận số) điều khiển hoàn toàn tồn số k k... B, AB Vậy hệ cho không thỏa mãn điều kiện hạng (2.2), xong dễ kiểm tra đƣợc hệ GNC Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ yếu điều kiện hạng (2.2) Định lý 2.5 Hệ rời rạc (2.1) điều khiển hoàn toàn