Bài tập về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính có lời giải

MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 04.01.1.001 1 2  3 Cho A=  , B=  1 So sánh AB, BA      Lời giải: 1 2  3 1.4  2.2 1.3  2.1   AB=    1  3.4  4.2 3.3  4.1   20 13         3 1 2  4.1  3.2 4.2  3.4 13 20 BA=   3 4   2.1  1.3 2.2  1.4            Vậy AB  BA Bài 04.01.1.002 a b  1 2 Cho A=  , B=    Với a  c  d , 2c  3b Chứng minh AB=BA c d     Lời giải: 1 2  a b   a  2c b  2d  AB=     3 4  c d  3a  4c 3b  4d   a b  1 2  a  3b 2a  4b  BA=      c d  3 4 c  3d 2c  4d  a  c  d  AB=BA Với  2c  3b Bài 04.01.1.003 Sử dụng công thức cos      cos cos  sin  sin  , sin      sin  cos   sin  cos Chứng minh: cos  sin    sin   cos  cos   sin   sin   cos      sin        cos    sin     cos      Lời giải: Có cos  sin    sin   cos  cos   sin   sin   cos cos   sin  sin   cos   sin  cos   sin  cos  cos sin   sin  cos   cos cos   sin  sin   cos      sin        sin     cos      Bài 04.01.1.004 Lũy thừa ma trận tính A2  AA, A3  AAA, … 0 1 Cho A   Tính A2 , A3 , A4 , A100  1 1 Lời giải: 0 1 0 1  1  A2    1 1   1         1  0 1 1  A3  A2 A    1 1  0   I       A4  AA3  AI  A A100  AA99  A  A3   A  I   A 33 33 Bài 04.01.1.005 e a b  Cho A=  , B= g   c d  f i , C= k h   Chứng minh  AB  C  A  BC  j l  Lời giải: Ta có: af  bh   i cf  dh   k  ae+bg ce  dg  AB  C   j l   ae  bg  i   af  bh  k    ce  dg  i   cf  dh  k  ae  bg  j   af  bh l   ce  dg  j  cf  dh l   a  ei  fk   b  gi  hk  a  ej  fl   b  gj  hl      a  ei  fk   d  gi  hk  c  ej  fl   d  gj  hl    a b   ei  fk    c d   gi  hk ej  fl  gj  hl   A  BC  (dpcm) Bài 04.01.1.006 a  Chứng minh ma trận giao hoán với A    ma trận đường chéo, a  d 0 d  Lời giải: x Với ma trận B=  z y có: w   ax ay   ax dy  AB=  BA=     dz dw  az dw dz  az Có AB = BA  mà a  d  y  z  dy  ay  Vậy B ma trận đường chéo Bài 04.01.1.007 Chứng minh  AB    BT  AT  T Lời giải: a ' b '  a b  Chọn A   , B   c ' d '   c d    aa ' bc' ab ' bd '  aa ' bc ' ca ' dc '  T Có AB     AB       cc ' dc' cb ' dd '   ab ' bd ' cb ' dd ' Mặt khác: a ' c '  a c   a ' a  c ' b a ' c  c ' d   b d   b ' a  d ' b b ' c  d ' d  d '       B  A   b ' T T Vậy  AB    BT  AT  T Bài 04.01.1.008 a)Chứng minh kết hai ma trận quay ma trận quay b)Chứng minh kết hai ma trận nghịch đảo ma trận quay c)Kết ma trận nghịch đảo với ma trận quay? Lời giải: Trước hết, A B hai ma trận nghịch đảo quay, ta có:  AB  AB  T  AB  BT  AT   A  BBT  AT  AAT  I Vì AB ma trận nghích đảo quay Ta sử dụng công thức: det  AB    det A  det B  a) Ta có : det  AB    1 1  1 nên AB ma trận quay b) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB ma trận quay c) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB ma trận nghịch đảo Bài 04.01.1.009 Tìm ma trận A với A2  I , A ma trận nghịch đảo Lời giải: 1 b  Có nhiều ma trận thỏa mãn, ví dụ   với b     Công thức tổng quát là: a  bc  a b   c a  với    b  c Bài 04.01.1.010 Giả sử A ma trận quay ma trận nghịch đảo Chứng minh AT  A1 Lời giải: a b  Nếu A   ma trận quay det  A  a  b   b a   a b Ta có: A1    AT   b a  a b  Nếu A   ma trận nghịch đảo det  A   a  b  1  b  a  Ta có: A1   a b  a b  T  A 1  b a  b a  Bài 04.01.1.011 Đúng hay sai? a) det  xA  x det  A b) det  A  B   det  A  det  B  Lời giải: a)Sai Ngay với ma trận giống Đúng phải det  xA  x det  A  b) Sai Ví dụ đơn giản A = I, B = -I Bài 04.01.1.012 Cho A,B ma trận vuông thực cấp 2001 thỏa mãn A2001  A AB  A  B Chứng minh: det(B) = Lời giải: Từ giả thiết A2001   A2001  E 2001   E   A  E   A2001  A1999   A  E    E  A  E   A  E không suy biến Mặt khác từ: AB  A  B   A  E  B  A Suy rank  B   rank  A det  A   rank  A  2000  rank  B   2000  det  B   (dpcm) Bài 04.01.1.013 Cho A ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A2003  Chứng minh với nguyên dương n ta ln có: rank  A  rank  A  A2  A3   An  (1) Lời giải: Đặt B  E  A  A2   An 1 Dễ có: AB  A  A2  A3   An Do để chứng minh (1) ta cần chứung minh det  B   Thật ta có: B  A  E   An  E A2003   An 2003  E n 2003   E    An  E   A n  2002    E   E  det  An  E    det  B  A  E     det B  Vậy rank  A  rank  A  A2  A3   An  Bài 04.01.1.014 Tìm a thỏa mãn : 1   6  7 12  a    1   6 2         Lời giải: 7 12  1   6   a  2  1   1         a 3a 4a   6     0 1  a a  a       a  3a 6  4a   1 a  a   2a a3 Bài 04.01.1.015 Tìm a thỏa mãn: 3 1 4 1 2  a       1 2        1      Lời giải: 2       3a a    3a  a   1 2   a        2a    2   2a  2                1     a 4a     a 4a  1 a     khơng có a thỏa mãn a   Bài 04.01.1.016 Tìm a, b thỏa mãn: 1   1  1 4 a  b   1          Lời giải:  1 4 1 2  1  a  2b 2a  b  Có :   a  b      4a  3b a  b          Ta có hệ: a  2b  1  2a  b  a     4a  3b  b  2 a  b  Bài 04.01.1.017 1 0  Cho ma trận A  0 0   0 3 Tìm A2 , A3 , A4 Tìm dạng tổng quát An với n nguyên dương Lời giải: 1 0  1 A2       0  0 1 A  AA  0  0 0  1 0    0      0   1 0  1 0   0   0      3 0  0 27  1 0  1 0  1 0  A  AA  0  0   0 16       0 3 0 27  0 81 1 Dễ dàng nhận thấy dạng tổng quát A  0 2n  0 0  với n nguyên dương  3n  n Bài 04.01.1.001 Tính định thức D  a b c b c a c a b bc ca ab Lời giải: D abc b c bca c a  cab  a b a b c b c a c a bc ca b ab c1c 3 c 2 c1 abc ca ab b c 1 c a a b  có cột giống  a  b  c 1 ca ab Bài 04.01.1.002 3 Tính định thức D  2 a b 1 c d Lời giải: 3 Có: D  2 d3  (1)3 1  a M 31  b M 32  c M 33  d M 34  c d a b 1 3 M 31  2  27     24  24  1 4 M 32   18  24  16 – – 16 – 48  15 3 M 33  2  12  18     36  12 1 3 M 34  2  16  27  16  24   48  19 1 Vậy D  8a  15b  12c  19d 2  A 1  4  1   1 2 d  d    1 4 11 m    4 16 m  1 4 1 11 1   1 11  4 11 m   4 16 m  1 1 1    3 7 3  d  2d  d d 2d1 d      d  d 1 d 0 3 m   d  d d 4d1 d   0 0 m   1 1  1 1 4      1 7 m  d 3d  d 0 1 7 m       0 3 7 3  0 6 14 3m  21     0 0 m   0 0 m    Nếu m  hệ vơ nghiệm  Nếu m  hệ tương đương với 1 1     1 7 m   0 6 14    0 0 0  hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số x4 Ta có: x4 , x2  3x3  x4   x1   x2  x3  x4  x4  x4   x4 3  x1  5a x   Vậy trường hợp nghiệm hệ   x3  7a  x4  3a x3  Bài 04.01.1.087 Giải hệ phương trình a 2 x1  x2  x3  x4  x5  x1  x2  x3  x4  x5    x1  x2  x3  x4  x5  x1  x3  x4  x5 3 1 6 9m Lời giải:  1  1 1 A 3 1  5 2 3  1 1   1 1 1 d 1 d     3 1 3   5  m  5 1 1   2 3   3  5  m  1 1 1  d 22d1 d 0 3   d 33d1 d 0 2 d 45d1 d  0 5  1 1 1   11 d 2 d  d   0 1 1  0 2 13    m 0 5 1 1 1  1 1 d 32d 2 d   d 45d 2 d 0  0 12  1 1 1   2 1 1 d 42d3 d     0 17   14  m  0 0 11 11   2   13   m 11 11   2  17   m   Nếu m  hệ vơ nghiệm  Nếu m  hệ có dạng    1 1 1  0 1 1 0  0 0 11   1 17   00  r  A  r A  nên hệ có vơ số nghiêm phụ thuộc tham số x4 , x5 ,ta có x3   x5 6 1 x5  6 x1   x2  x3  x4  x5  x2   x3   1 7   x5    x5  x4  x5    x5  x4  6 6 3  x1  a  8b  / x  b 1 /   Vậy trường hợp nghiệm hệ  x3  /  b x  a    x5  6b Bài 04.01.1.088 Giải biện luận hệ mx1  x2  x3    x1  mx2  x3  m   x1  x2  mx3  m Lời giải:  1 m m2  m 1     d  d  A   m m   1 m m  m 1   1 m m2      1  m m   d 2d 2 d1   m  1  m m  m   d  d  md1   m  m  m3    1  m2 m   d 3 d  d 2  m  1  m m  m   0 3  m  m 1 m  m  m   Có  m  m    m 1  m  Ta có: a, b   m=1, hệ trở thành: 1 1    A  0 0  0 0    r  A  r A  nên hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số x1 , x2  x1   a  b  Nghiệm là:  x2  a x  b   m  2 trở thành: m    m  2 a, b  1 2    A  0 3 6  hệ vô nghiệm 0 0  hệ có nghiệm   m  m  m3  m  1   x3   m  m m2       x2  x3  m  m2  m   x  m  x  mx   m2  Bài 04.01.1.089 Giải biện luận hệ mx1  x2  x3  x4    x1  mx2  x3  x4   x  x  mx  x   Lời giải:  m 1 1  1 m 1   d  d   A   m 1 1    m 1 1  1 m 1  m 1 1 1 m 1    d  d 1 d   0 m  1  m 0 d  md1 d  0  m  m  m  m  1 m 1    d 3 d  d  1 m 0 0 m   0  m  m  m  m   * Với  m  m2  1  m   m  Ta có:  m  hệ trở thành 1 1 1    0 0   0 0 0  r ( A)  r ( A)  hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc ba tham số x2 , x3 , x4  x1   a  b  c x  a  Nghiệm hệ   x3  b  x4  c a , b, c   m  2 hệ trở thành    1 2 1     0   0 0 3  r  A  r A  hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3 Ta có: x4  1,3x  3x  x2  x3 x1   x2  2x  x4   x3  x1  a x  a  Trong trường hợp nghiệm hệ   x3  a  x4  a m   Nếu  từ (*) ta thấy hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc x4 , m m  2 Ta có:   m  m  x  1  m   1  m  x  x3 1  m   1  m  x4  2  m  m   x4  m2  m  1 x2   m  1 x3  x2  x3  m    1  x4   m 1  x4    m   x4 x   x  mx  x  m2 1 a   x1  m   x   a  Vậy trường hợp nghiệm  m   1 a  x3  m2   x4  a   x4 m2 a Bài 04.01.1.090 x1  x3  1   Giải hệ phương pháp Cramer  x1  x2  x3   x2  x3   Lời giải: 1 Ta có: D     20  7 ; Dx1  5  4  35  20  10  21; 1 1 Dx2   14   20   0; Dx3   40   70  35 5 Vì D  nên hệ có nghiệm nhất: Dx1 21  x    3  D 7  Dx2   0  x2  D   Dx3 35  x   5  D   Bài 04.01.1.091  x1  x2  x3   Giải hệ phương pháp Cramer  x2  x3  13  3x  x  1  Lời giải: Ta có: 1 D  5  8  15  36  29; Dx1  13 2 1 Dx2  13 5  26  90  117   58; Dx3  2 Vì D  nên hệ có nghiệm nhất: Dx1 29  x   D  29   Dx2 58    2  x2  D 29  Dx3 29  x   1  D 29  1 5  48   12  26  29; 2 1 13   39  72  29 Bài 04.01.1.092  x1  x2  x3 2 x  3x  x  Giải hệ phương pháp Cramer  x1  x3   x1  x2  3x4 2  8 5 0 Lời giải: Ta có: D 1 3 5 1 0 3 2 h 2 h1 h h  h1 h   1 3 5 0 8 0 6 3 3 5   8 6 3  6  40  30  72  76 Dx1  1 8 3 5 1 0 2 3 c1 c   1 3 8 5 1 0 2 3 1 h 3 h1 h   h  h1 h 3    90  30  168   228 2 3 Dx2  1 0 8 3 5 1 0 3 h 2 h1 h   h  h1 h  24   10   1 0 8 3 5 1 0 2 3 0 10 14 5 4 0 2 3 10 14 5  1  4 8 3 5  1 1 2 3 Dx3  2 8 5 2 3 h 2 h1 h h  h1 h   2 8 5 8 0 6 2 3   8 8 5 6 2 3  6  80  30  192  76 Dx4  1 3 8 1 0 2 h 2 h1 h h  h1 h   1 3 8 8 1 6 2  4  18  64  48   48  76 Vì D  nên hệ có nghiệm nhất: Dx1 228  x   3  D 76   x  Dx2    D 76   x  Dx3  76   D 76  Dx4 76  x4   1 D 76  Bài 04.01.1.093  x1  x3  x4  2 x  x  x   Giải hệ phương pháp Cramer  2 x2  x3  x4  3x  x4  Lời giải: Ta có: 3 8   8 1 6 2 3 1 1 5 1 D 3 1 3 5 1 3 h 2 h1 h   1 3  1 5 1  5  36 – 45  12  2 3 1 1 5 1 Dx1  c1 c   1 1 2 5 1 0 h  h1 h h 2 h1 h h  h1 h   0 1 3 2 3 1 3  1  Dx2  1    6   12    36   3 3 1 3 1 4 3 5 0 5 1 h 2 h1 h   4 3  1 5 1 1 1 4 3  20  48 – 60  30  2 Dx3  2 1 1 1 1 4 3 h 2 h1 h    1 1 1 3 1 4 1 4 5  1 5 4  – 24 – 24  45  –  Dx4  3 2 1 0 5 0 h 2 h1 h    20  90  60  48  Vì D  nên hệ có nghiệm nhất: 3   x1   x    x     x4   Dx1 D Dx2 D Dx3 D Dx4 D 0 2  1 2   1 2   1 2  Bài 04.01.1.094 3 x1  x2  x3  x4  x  3x  x  x  Giải biện luận   x1  x2  x3  20 x4  x1  x2  x3   x4 3 5  11 2 Lời giải:  3  6 9 20 2  h1 h    A B    6 9 20 11         4 4  6 9 20 11  6   0   h  h1( 2)  h h  h 2  15 24 48 27 h  h1( 3)  h 3        h  h1( 4)  h  20 32 64 36  h 3 h 3 14       25 40   80 46   25  6 9 20 11  6 9  16   h  h  h  h 2( 1)  h    h  h 2( 5)  h 0 0 0 0 0       0 0 0 0 11     9 20 11 16  16   40   80 46  20 11 16     0   x1  x2  x3  20 x4  11  x2  x3  16 x4  Hệ cho tương đương hệ    x4     3t    x1       x    9  8t  16  1) Khi       x3  t  x    t  R  1x1  x2  x3  20 x4  11  2) Khi     15 x2  24 x3  48 x4  27 hệ vô nghiệm  1  Bài 04.01.1.095  x1  x2  x3  x4  x  x  5x  x  Tìm m để hệ có nghiệm   x1  x2  x3  x4 mx1  x2  x3  10 x4 5 7 9  11 Lời giải: Ta có: 2   A B     m 1 5  1   2  c1 c  c1  2   3 3    4 10 11  4 10 5  7 9  m 11  1 4 5  1 4 5     h  h1( 2)  h 2 1 3  h 3 h 2( 2)  h  2 1 3  h  h1( 3)  h     h  h1( 4)  h  4 2 6  h  h 2( 3)  h  0 0 0      6 3 m  9   0 m8   1 4 5   2 1 3  h3 h    0 m8    0  0 0 Ta thấy: m  : r  A | B  r  A  Vậy hệ có nghiệm với m Bài 04.01.1.096  x1  x2  x3  x4  x  x  3x  x  Giải biện luận   x1  x2  x3  x4 7 x1  x2  x3  17 x4 3 1 9  Lời giải: 3   1 1 3 2  h1 h 2( 1)  h1  2   h 2( 2)  h  2 7 19 6 1 5  hh 34   h 2( 1)  h    3 17    1 10   1   1 1 3  1 1 3   19   19 7   h  h1( 4)  h h  h  h       h  h1( 3)  h  2 7 19  h  h 2( 1)  h  0 0       19    0 0    1 1 3   19 7  h  h3    0 0     0 0 0  5 4  A B     7 3  x1  x2  x3  3x4   Hệ phương trình cho tương đương hệ  x2  x3  19 x4  7  0  Khi   hệ vô nghiệm  x  x  x3  3x4  Khi   hệ trở thành   x2  x3  19 x4  7 Trong trường hợp hệ có nghiệm là: 13   x1   x3  x4   19   x2   x3  x4  2   x3 , x4 tuy` y'   Bài 04.01.1.097 3 x1  x2  x3  x4  x  3x  x  x  Giải biện luận   x1  x2  x3  20 x4  x1  x2  x3   x4 3 5  11 2 Lời giải: 3   6 9 20 11     8 h  h  A B    6 9 20 11        4  4      1  h  h1( 2)  h h  h1( 3)  h 0   h  h1( 4)  h 0  0 6 9 20 11  6 9 20 11  h 3   h     15 24 48 27  16        20 32 64 36 15 24 48 27     25 40   80 46  25 40   80 46    6 9 20 11  6 9 20 11     16  h 3 h  16  h  h 2( 3)  h    h  h 2( 5)  h 0 0 0 0 0          0  0 0 0 0     r  A | B   r  A   hệ có vơ số nghiệm  r  A | B     0  r  A | B   r  A  hệ vô nghiệm r A      ... T Bài 04.01.1.008 a)Chứng minh kết hai ma trận quay ma trận quay b)Chứng minh kết hai ma trận nghịch đảo ma trận quay c)Kết ma trận nghịch đảo với ma trận quay? Lời giải: Trước hết, A B hai ma. ..  (3)   180 Bài 04.01.1.014 a b Tính b c c a a, b, c nghiệm phương trình x3  px  q  a b c Lời giải: Theo định lí Vi-et ta có: a  b  c  0 Cộng cột 1, cột vào cột ta có: a b abc a b... nên AB ma trận quay b) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB ma trận quay c) Ta có: det  AB    1 1  1 nên AB ma trận nghịch đảo Bài 04.01.1.009 Tìm ma trận A với A2  I , A ma trận