chương 1 ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tổng của các phần tử tương ứng.. Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tí

Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT

1.1 MA TRẬN

1.1.1 Khái niệm về ma trận

Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột

theo một thứ tự nhất định

























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

.

.

2 1

2 22

21

1 12

11

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C, Ta nói aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là:

ij

( )a m n

Ma trận cấp n n được gọi là ma trận vuông cấp n Các phần tử a iii(  1, , )n

lập nên đường chéo của nó

Ma trận tam giác trên là ma trận có tất cả các phần tử phía dưới đường chéo

bằng 0

11 12 1

.

0 0

n

n

mn

a

Ma trận tam giác dưới là ma trận có tất cả các phần tử phía trên đường chéo

bằng 0

11

21 22

1 2

0 0 0

a

Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử ngoài đường chéo bằng 0

11 22

0 0

.

0 0 mn

a a

a

Ma trận đơn vị là ma trận chéo có tất cả các phần tử trên đường chéo bằng 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I



Ma trận 0 là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0

Cho hai ma trận A = ( )aij m n và B = ( )bij m n Ta nói A = B nếu aijbij với mỗi cặp

i và j

1.1.2 Phép toán về ma trận

1 Phép cộng Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần

tử là tổng của các phần tử tương ứng













2 1 3

2 0 1









2 4 1

1 2 3











1 5 5

1 2 4

2 Phép nhân với một số Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận

cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận

2





















1 2

1 4 0

0 3 1

3 1

2

=





















2 4

2 8 0

0 6 2

6 2

4

3 Phép nhân hai ma trận

Điều kiện nhân được Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma

trận thứ hai

Cách nhân hai ma trận Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất

tương ứng với các phần tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại

Ví dụ 1











 

3 0

2

2 1

1

.





















 0 2 1

1 2 3

2 0 1













































0 3 1 0 2 2 2 3 ) 2 (

0 0 2 1 3 3 0 1 2

0 2 1 )

1 ( 2 1 2 2 ) 2 ).(

1 ( 0 1 1 2 3 )

1 ( 1 1

= 











4 6 5

1 6 0

Ví dụ 2 Nếu 3 4

1 2

 ,

1 2

4 5

3 6

B

thì không thể nhân A với B vì số cột của A không bằng số dòng của B Trong khi đó:

1 2 5 8

3 4

1 2

BA

Ví dụ 3 Nếu 3 4

0 0

 ,

0 2

0 6

     

Nhận xét

 Phép nhân ma trận không có tính giao hoán

 Nếu AB = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0

1.1.3 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng

1 Phép biến đổi 1 Hoán vị 2 dòng























 2 1 3

0 2 1

3 0 2



 

d1d2























 2 1 3

3 0 2

0 2 1

2 Phép biến đổi 2 Nhân một dòng với một số khác không























 2 1 3

3 0 2

0 2 1

1 1

2dd

























 2 1 3

3 0 2

0 4 2

3 Phép biến đổi 3 Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác

không























 2 1 3

3 0 2

0 2 1

2 ( 2) 1 2

d   dd

























 2 1 3

3 4 0

0 2 1

Ghi chú Nếu từ ma trận A , sau các biến đổi sơ cấp trên dòng ta được ma trận A’ thì

ta nói ma trận A’ tương đương ( theo dòng ) với ma trận A’ , ký hiệu : A~B

1.1.4 Ma trận dạng bậc thang

1 Định nghĩa

Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện:

 Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không

dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên

2 Định lý

Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang sau một

số phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Ví dụ Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang

3 1 2

( 2) ( 4)

( 7)

d d d

d d d

d d d

  

2 1 2

2

d d d

1.1.5 Ma trận đảo

1 Định nghĩa

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I

Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A -1

2 Cách tìm ma trận đảo

Lập ma trận mở rộng ( A | I ) Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B )

 Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và A-1 =B

 Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên trái có

xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của

1 2 1

A

A

Vậy 1

A

   

1.2 ĐỊNH THỨC

1.2.1 Khái niệm về định thức

1 Định thức cấp 2











22 21

12 11

a a

a a

Định thức của ma trận A là :

det(A) = A =

22 21

12 11

a a

a a

= a11a22 - a12a21

2 Định thức cấp 3

Cho ma trận vuông cấp 3 : A =





















33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

Định thức của ma trận A là:

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a

a a

a

a a

a

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32

Cách tính định thức cấp 3

a Quy tắc tam giác

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

( + ) ( - )

b Quy tắc đường song song

+ + +

o o o o o

o o o o o

o o o o o

- - -

Ví dụ Tính định thức của các ma trận

a)























 2 2 2

0 1 3

1 2 1

b)



















 

5 0 0

3 1 0

4 2 3

3 Định thức cấp n

Cho ma trận vuông cấp n : A =

























nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

.

.

2 1

2 22

21

1 12

11

a Phần bù đại số

Phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij , là một số xác định như sau:

A ij = (-1) i+j M ij

trong đó Mij là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j

b Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n

i,i1,n : A = 



n

j ij

ij A a

1

hoặc : j,j 1,m : A = 



n

i ij

ij A a

1

Ví dụ: A =























 2 2 2

0 1 3

1 2 1

A = a11A11 + a12A12 + a13A13

1.2.2 Tính chất Cho ma trận A vuông

1) Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A

2) Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu : A' = - A

3) Nếu nhân 1 dòng cho  thì A' =  A

4) Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0

5) Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần

2 1 2

1 2

2 1

1 b a b a n b n a a a n b b b n

6) Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số không đổi thì định thức không đổi : A' = A

Ghi chú Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên

đường chéo chính

Ví dụ 1 Tính định thức của ma trận:

1 2 3 4

0 0 4 3

3 4 1 2

0 0 3 2

A



 Cách 1: Khai triển theo dòng 2

1 2 3 4

0 0 4 3

4 3 4 2 3 3 4 1

3 4 1 2

0 0 3 2

Khai triển tiếp theo dòng 3 các định thức trong VP ta được

4.(2) 3.3 4.2.( 2) 3.3.( 2) 2

 Cách 2: Khai triển theo cột 1

1 2 3 4

0 0 4 3

4 1 2 3 0 4 3

3 4 1 2

0 0 3 2

Khai triển tiếp theo cột 1 các định thức trong VP ta được

Ví dụ 2 Tính định thức của ma trận:

1 2 2 2

2 1 2 2

2 2 1 2

2 2 2 1

A



 Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tc 6) ta được:

2 1 2

3 1 3

4 1 4

2 2 2

d d d

d d d

d d d

A

 

 

 

Ví dụ 3 Tính định thức của ma trận:

1 2 3 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 1 2 3

A



 Cộng dòng 1 với các dòng còn lại (tc 6) ta được:

2 1 2

3 1 3

4 1 4

2 3 4

10 1 2 1 10 0 4 0 10.( 4)( 4)

d d d

d d d

d d d

A

 

 

 

160



1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức

1 Điều kiện khả đảo

2 Công thức ma trận đảo

t

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

A





























1

2 1

2 22

21

1 12

11

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của

1 2 1

0 1 1

1 2 3

A

1 2 1

0 1 1 2 0,

1 2 3

11

1 1

1

2 3

1 3

1 2

21

2 1

4

2 3

1 3

1 2

31

2 1 1

1 1

0 1

0 1

t

A

1 Định nghĩa Cho ma trận A cấp mxn

 Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A

 Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con khác không của A

Ghi chú

 r(A) = 0  A = 0

 A = (aij)mxn  r(A)  min(m,n)

2 Cách tìm hạng của ma trận

 Đưa ma trận về dạng bậc thang

 Hạng của ma trận là số dòng khác 0

Ví dụ1 Tìm hạng của ma trận

A =

Vậy r(A) = 2

2 1 2

2

d d d

B

 

Vậy r(B) = 3

Ví dụ 2 Biện luận theo tham số m hạng của ma trận

2 1 2

3 1 2

1 2

4 1 2

2 3 5

d d d

d d d

d d

d d d

A

 

 



 

2 1 2

2

d d d

 

1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1.3.1 Khái niệm

1 Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :







































m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1)

aij : hệ số ; bij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = 1,m ; j = 1,n ) 2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính A =             mn m m n n a a a a a a a a a

.

.

2 1

2 22

21

1 12

11

, B =

































m

b

b b

2 1

, X =

































n

x

x x

2 1

A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số

Ta có: (1)  AX = B

3 Nghiệm của hê phương trình tuyến tính

Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số (

c1,c2,…,cn) sao cho khi thay vào (x1,x2,…,xn) các phương trình được nghiệm đúng

4 Điều kiện tồn tại nghiệm - Định lý Kronecker-Capelli

Cho hệ phương trình (1) ,ta có :

 r(A)  r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm

 r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

 r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm

phụ thuộc (n-r) tham số

Ví dụ 1 Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình:















































7 3 2

4

1 5 4

3 3

3 2

5 2

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Ví dụ 2 Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :



























1 1 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

mx x x

x mx x

x x mx

1.3.2 Hệ phương trình Cramer

1 Định nghĩa

Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không

2 Cách giải hệ phương trình Cramer

a Phương pháp Cramer

Cho hệ phương trình Cramer:







































n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

 Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x1,x2,…,xn), với :

x i =

A

A i

(i1,n)

Trong đó, Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B

Ví dụ Giải hệ phương trình

1 2 3

1 2 3







Ta có:



, hệ có duy nhất nghiệm

1



; 2

1 6 3

2 2 1 30



; 3

1 2 6

2 1 2 30

3 1 2

Vậy nghiệm là ( , , ) (1;1;1)x x x1 2 3 

b Phương pháp ma trận đảo

 Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B

 Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là : X = A -1 B

Ví dụ Giải hệ phương trình

1 2 3

1 2 3



   





Do

2 3 2 det( ) 1 2 3 6 0



nên hệ là hệ Gramer

1

6

A



1

6



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( , , ) (2,3, 2)x x x1 2 3  

1.3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

 Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B

(A|B) đưa về dạng bậc thang  (A’|B’)

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10









Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang

2 1 2

3 1 3

4 1 4

3 3

3 2 3

4 2 4

2 3

1 3 1 4

2

d d d

d d d

d d d

d d

d d d

d d d

A

 

 

 

 

 

4 4

4 5 3 3

1 1 1 1 10

0 0 1 0 3

0 0 5 2 23

1 1 1 1 10

0 0 1 0 3

d d

d d d



 

Ta có r A( )r A( ) 4 n nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm

 Hệ phương trình đã cho tương đương với:

3 3

4 4

2 4 2

3 3

4

2 8

x x

x x



Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

1 2 3 4

1 2 3 4

1









 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:

2 1 2

3 1 3

4 1 4

3 2 3

4 2 4

2 3

1 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

d d d

d d d

A

 

 

 

 

 

 Ta có, r A( )r A( ) 2 4  n nên hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số

 Hệ phương trình đã cho tương đương với:

1

3

2 4

4

;( , ) 1

x

R x

x





 





 





 



Ví dụ 3 Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1







 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:

1 3 2 1 2

3 1 3

3 2 3

2

2

d md d

d d d

m

 

 

 Nếu 2 m m2 0, ta có hai trường hợp:

 m 1 thì

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

A

suy ra r A( )r A( ) 1 3  n Hệ phương

trình có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số

Suy ra, Hệ phương trình đã cho tương đương với:

1

3

1

x

x

 



  





 



 m  2 thì

A

suy ra r A( ) 2 r A( ) 3 Hệ phương

trình vô nghiệm

 Nếu 2 m m2   0 m 1;m 2, ta có r A( )r A( ) 3 n Hệ phương trình có duy nhất nghiệm

1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

1 Định nghĩa

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự

do đều bằng 0







































0

0

0

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

Dạng ma trận : AX = 0

a Nghiệm tầm thường: Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0)

gọi là nghiệm tầm thường

b Nghiệm không tầm thường

 Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là

nghiệm không tầm thường

 Hệ có nghiệm không tầm thường  r(A) < n ( số ẩn số )

 Nếu A là ma trận vuông thì: Hệ có nghiệm không tầm thường

 | A | = 0

 Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ

thuộc một số tham số Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được

nghiệm riêng

Ví dụ Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất





























0 5

0 2

0 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

mx x x

x x x

x x x

a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường

b Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình

3 Hệ nghiệm cơ bản

Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu

diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản

Ví dụ Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính





    





 Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang

A

Suy ra, r A( ) 2 4  Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:

1

3

3 4

4

2

6 3 0

2

x

x

x









 







 



Vậy hệ nghiệm cơ bản là: u1 ( 2;1;0;0) và u2 (0;0;1; 2)

4 Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất







































m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1)                    0

0

0

2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (2)

Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 Cho các ma trận

A =



























 1 3 2 1

0 1 2 3

2 1 0 1

và B =

























1 2 3 1

2 3 2 0

1 0 1 2

Gọi C = 2A – 3B , D = 3At + Bt , E = At.B Tìm c23, d31, e43

2 Cho các ma trận

A =

























2 0 3

3 1 1

0 1 2

và B =





















 2 0 1

3 2 1

1 1 0

Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B2 , F = AB – BA Tìm c21,d33, e22, f13

3 Cho các ma trận : B = 











3 0

1 2

và C = 











1 4

2 1

Tìm ma trận A , biết rằng

a A = 2B + 3C b AB = C

4 Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang

a



























1 1 2 0

0 1 0 0

3 0 2 1

b





















12 9 6 3

8 6 4 2

4 3 2 1

c



































10 8 6 2

13 6 1 1

1 2 5 2

1 2 3 1

5 Tìm ma trận đảo