chương 1 ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Khái niệm ma trận Ma trận bảng chữ nhật gồm mxn phần tử thành m dòng , n cột theo thứ tự định  a11 a  21   a m1 a12 a 22 am2 a1n  a n     a mn  Người ta thường dùng chữ in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C, Ta nói aij phần tử nằm hàng i cột j ma trận Đôi ta viết tắt ma trận là: (aij ) mn Ma trận cấp n  n gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử aii (i  1, , n) lập nên đường chéo Ma trận tam giác ma trận có tất phần tử phía đường chéo  a11 0    0 a12 a22 a1n  a2 n     amn  Ma trận tam giác ma trận có tất phần tử phía đường chéo  a11 a  21    am1 a22 am      amn  Ma trận chéo ma trận vng có tất phần tử đường chéo  a11 0    0 a22 0      amn  Ma trận đơn vị ma trận chéo có tất phần tử đường chéo Trang 1     I       0  Ma trận ma trận có tất phần tử Cho hai ma trận A = (aij )mn B = (bij ) mn Ta nói A = B aij  bij với cặp i j 1.1.2 Phép toán ma trận Phép cộng Tổng ma trận cấp ma trận cấp có phần tử tổng phần tử tương ứng 1  3  1  1 +  =   3     1   5 Phép nhân với số Tích số thực với ma trận ma trận cấp có phần tử tích số thực với phần tử ma trận   2   4  4  =  8        10  5     Phép nhân hai ma trận Điều kiện nhân Số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai Cách nhân hai ma trận Nhân phần tử dòng ma trận thứ tương ứng với phần tử cột ma trận thứ hai cộng lại Ví dụ 1 2 1  2  1.1  (1).3  2.1 1.0  (1).(2)  2.2 1.2  (1).1  2.0    3   =   2.1  0.3  3.1 2.0  0.(2)  3.2 2.2  0.1  3.0   1 0      1  5 4 = 1  3    Ví dụ Nếu A    , B    khơng thể nhân A với B số cột A không 1  3    số dòng B Trong đó: Trang 1 2 5 8   3   17 26  BA    1      3     15 24   3 4 0 2 Ví dụ Nếu A    , B    thì: 0      0  0 30  0    0  AB    0   0  BA    0   0       0      Nhận xét  Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn  Nếu AB = không suy A = B = 1.1.3 Phép biến đổi sơ cấp dòng Phép biến đổi Hốn vị dịng 2  3 1   d1  d     3 2   1   2  3   3 2   Phép biến đổi Nhân dịng với số khác khơng 1   2   2  3  2  3 2d1  d1     3 3 2 2     Phép biến đổi Cộng dòng với dòng khác nhân với số khác không 1   2  3  d  ( 2) d1  d    3 2   1   0  3   3 2   Ghi Nếu từ ma trận A , sau biến đổi sơ cấp dịng ta ma trận A’ ta nói ma trận A’ tương đương ( theo dòng ) với ma trận A’ , ký hiệu : A~B 1.1.4 Ma trận dạng bậc thang Định nghĩa Ma trận A gọi có dạng bậc thang thỏa mãn hai điều kiện:  Các dịng khác khơng ln dịng khơng  Với hai dịng khác khơng , phần tử khác khơng dịng bên phải cột chứa phần tử khác khơng dịng Định lý Mọi ma trận khác khơng đưa về dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dịng Trang Ví dụ Đưa ma trận sau dạng bậc thang  1 3 1 1  d3  ( 2) d  d3    0 3 6   0 3 6  d  ( 4) d1  d A   d3  ( 7) d1 d2     7  0 6 12  0 0        1 2 B  2 5  1 5 1  d2  d1 d2 0 12  d3  d1 d3    d4  d1 d4 0   20  0 1 6 5 1   d  d3  d    d  d3 0 15   15 0 0 0 5 15  2  0 1.1.5 Ma trận đảo Định nghĩa Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho : A.B = B.A = I Ma trận B gọi ma trận đảo ma trận A ,ký hiệu A-1 Cách tìm ma trận đảo Lập ma trận mở rộng ( A | I ) Biến đổi ma trận ( A | I ) dạng ( I | B )  Nếu biến đổi dạng ( I | B ) A ma trận khả đảo A-1 =B  Nếu không biến đổi dạng ( I | B ) ( nghĩa ma trận bên trái có xuất dịng khơng ) ma trận A khơng khả đảo  2 3 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo A   1     1     2 0   1 0   1 0        A   1 0    1 0    1 1   1 0   2 0   2         1 0   1 0   0 4 3          1 1    0 5 3    1 5 3   0 1 6 4   0 1 6 4   0 1         4 3 Vậy A   5 3    1    1 Trang 1.2 ĐỊNH THỨC 1.2.1 Khái niệm định thức Định thức cấp a a  Cho ma trận vuông cấp : A =  11 12  Định thức ma trận A : a 21 a 22  a11 a12 a 21 a 22  a11 Cho ma trận vuông cấp : A = a 21   a31  a12 det(A) = A = = a11a22 - a12a21 Định thức cấp a 22 a32 a13  a 23  Định thức ma trận A là:  a33   a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 a 33 Cách tính định thức cấp a Quy tắc tam giác * * * * * * * * * * * * * * * * * * (+) b Quy tắc đường song song + + o o o o o o - - + o o o o o o (-) o o o - Ví dụ Tính định thức ma trận 1  1 a) 3    2  2    3  4 b) 0 3   0    Định thức cấp n Trang  a11 a Cho ma trận vuông cấp n : A =  21    a n1 a12 a 22 an2 a1n  a n     a nn  a Phần bù đại số Phần bù đại số phần tử aij , ký hiệu Aij , số xác định sau: Aij = i+j (-1) M ij Mij ma trận suy từ A cách bỏ dòng i cột j b Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n i, i  1, n : A = n a j 1 : j , j  1, m : ij Aij n a A = i 1 ij Aij 1  1 Ví dụ: A = 3    2  2    A = a11A11 + a12A12 + a13A13 1.2.2 Tính chất Cho ma trận A vuông 1) Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A 2) Hốn vị dịng ,định thức đổi dấu : A ' = - A 3) Nếu nhân dịng cho  A ' =  A 4) Nếu A có dịng giống hay tỷ lệ với : A = 5) Nếu dòng viết thành tổng dịng định thức tổng định thức có dịng tương ứng dịng thành phần a1  b1 a  b2 a n  bn  a1 a a n  b1 b2 bn 6) Nếu thay dịng cộng với dịng khác nhân với số khơng đổi định thức khơng đổi : A ' = A Ghi Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức tích phần tử đường chéo Trang 1 0 Ví dụ Tính định thức ma trận: A   3  0 4 4 3  2  2  Cách 1: Khai triển theo dòng A 4 4 3  4  3 0 0 Khai triển dòng định thức VP ta A  4.(2) 2  3.3  4.2.(2)  3.3.(2)  2 4  Cách 2: Khai triển theo cột 1 A 4 4 3  3 3 2 Khai triển cột định thức VP ta A  4 4  3.2  4.(1)  3.2.(1)  2 3 1 2 Ví dụ Tính định thức ma trận: A   2  2 2 2 2 2 2  2  1  Cộng dòng với dòng lại (tc 6) ta được: 7 2 A  2  2 2 2 7 1  2 2  7 2 2   1 2 1 2 2 1 1 1  2 d d  d32  d11d32 0 1 0  2 d   7.(1)(1)(1)  7  7  d4  d1 d4 0 1     1 0 0 1 1 2 Ví dụ Tính định thức ma trận: A   3  4 4 4 1  2  3  Cộng dòng với dòng lại (tc 6) ta được: Trang 10 10 10 10  1 2 1     10  A 3 2 3    4 3 4  1 1  10  2 1  10 0     3 2 1 0    1 1  d d  d32 3d11d32  1 d  10   d4  d1 d4    3  3 1 4   10.( 4)(4)  160  4   1 1.2.3 Cách tìm ma trận đảo định thức Điều kiện khả đảo Ma trận A khả đảo  A  Công thức ma trận đảo  A11   A21 1 A  A    An1 A12 A22 An A1n  A2 n     Ann  t 1  Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo A  0 1    3   Ta có: A  1   0, A1 A11  1  1; A21   A31   4 ;  1; 1 A12   A22  1; 1 2; A32   1  1 ; t A13  A23   A33   1 1  4  1    1 1 Do đó: A   4   2  1   1      1.2.4 Hạng ma trận Trang  1 2 0 2 1 1 1 1  2 1  2 1 Định nghĩa Cho ma trận A cấp mxn  Nếu chọn phần tử nằm k dòng k cột ta ma trận vng cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A  Hạng ma trận A , ký hiệu r(A) , cấp cao định thức khác không A Ghi  r(A) =  A =  A = (aij)mxn  r(A)  min(m,n) Cách tìm hạng ma trận  Đưa ma trận dạng bậc thang  Hạng ma trận số dịng khác Ví dụ1 Tìm hạng ma trận  1  1   1  A =  2 10   0 4   0 4         3 10 13 0 4   0 0        Vậy r(A) = 1 2 B  2 5  1 5 1  d2  d1 d2 0 12  d3  d1 d3    d4  d1 d4 0   20  0 1 6 5 1   d  d3  d    d  d3 0 15   15 0 0 0 5 15  2  0 Vậy r(B) = Ví dụ Biện luận theo tham số m hạng ma trận 2 1 A 3  5 5 1 0   d 5 d1  d 0  0 d  d1  d d3 3 d1  d 4 8 1  0  d1  d2     3 1   m 5 1 1 5 4 0 1  d2  d1 d2 0  d3 3d1 d2   1 d4 5 d1 d2 0   m 0 0 1   d3  d  d3    1 d4 5 d2 d4 0   m 0 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.3.1 Khái niệm Trang 1 1 0 1 0  1 2   5 7 7 33   5 7 7 m  40  0 8  1  m Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình có m phương trình n ẩn số :  a11 x1  a12 x   a1n x n  b1  a x  a x   a x  b  21 22 2n n   a m1 x1  a m x   a mn x n  bm  (1) aij : hệ số ; bij : hệ số tự ; xj : ẩn số ( i = 1, m ; j = 1, n ) Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính  a11 a A =  21   a m1 a12 a 22 am2 a1n  a n   , B=   a mn   b1  b   2       bm     x1  x   2 , X =    .  xn    A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự ; X : ma trận ẩn số Ta có: (1)  AX = B Nghiệm phương trình tuyến tính Một nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) số gồm n số ( c1,c2,…,cn) cho thay vào (x1,x2,…,xn) phương trình nghiệm Điều kiện tồn nghiệm - Định lý Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình (1) ,ta có : : Hệ phương trình vơ nghiệm  r(A)  r(A|B)  r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có nghiệm  r(A) = r(A|B) = r