Ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính potx

MUC LUC - Ma trˆn - Dinh th´.c a u 1.1 Ma trˆn a - ˜ ` ´ 1.1.1 Dinh nghı a va ca c kha i niˆm ´ e 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn ´ ´ ´ e a ng va ma trˆn phan ´ ’ 1.1.3 Ma trˆn d o i x´ a ¯ˆ u ` a 1.1.4 Da th´.c ma trˆn u a c - inh th´ 1.2 D u ´ ´ 1.2.1 Phe p thˆ - Nghich thˆ ´ e e c - 1.2.2 Dinh th´ u ’ 1.3 Ma trˆn kha nghich a ˙ ’ 1.4 Hang cua ma trˆn a x´.ng u 3 10 10 11 20 28 ´ `nh tuyˆ n tı e ´nh Hˆ phu.o.ng trı e o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng qua t ´ 2.1 Hˆ phu e `nh e ´nh o ´ - ˜ 2.1.1 Dinh nghı a ´ ’ e 2.1.2 Giai hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı `nh e ´nh ´ ` ´ 2.2 Hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn nhˆ t e `nh e ´nh a a - ˜ ` ´nh chˆ t ´ 2.2.1 Dinh nghı a va tı a ´ ` ’ ’ e 2.2.2 Hˆ nghiˆm co ban cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı thuˆn e e `nh e ´nh a ´ nhˆ t a ´ ´ ’ e 2.2.3 Cˆ u tru c nghiˆm cua hˆ phu.o.ng trı tuyˆ n tı tˆ’ng a ´ e `nh e ´nh o qua t ´ 31 31 31 33 40 40 Khˆng gian vector o 3.1 Kha i niˆm vˆ khˆng gian vector ´ e ` e o - ˜ 3.1.1 Dinh nghı a khˆng gian vector o 3.1.2 V`i v´ du a ı ´ ’ ’ 3.1.3 Mˆt sˆ tı o o ´nh chˆ t d n gian cua khˆng gian a ¯o o ´ 3.2 Khˆng gian vector o phu thuˆc tuyˆn t´ v` d oc lˆp tuyˆn t´ ´ ´ 3.3 Su o e ınh a ¯ˆ a e ınh 47 47 47 48 49 50 51 vector 41 42 MUC LUC ´ ´ Tˆ’ ho.p tuyˆ n tı va biˆ u thi tuyˆ n tı o e ´nh ` e’ e ´nh -ˆ a ´ ´ Doc lˆp tuyˆn t´ v` phu thuˆc tuyˆn t´ e ınh a o e ınh ´ e ´ V`i t´ chˆ t vˆ hˆ phu thuˆc tuyˆn t´ v` hˆ d oc lˆp a ınh a ` e o e ınh a e ¯ˆ a ´n t´ tuyˆ ınh e ˙ ’ Hang cua mˆt hˆ vector o e ´ ´ 3.4.1 Hˆ d oc lˆp tuyˆn t´ tˆi d i e ¯ˆ a e ınh o ¯a ˙ ’ 3.4.2 Hang cua mˆt hˆ vector o e 3.4.3 C´c hˆ vector Kn a e so - Sˆ chiˆu - Toa d o cua khˆng gian vector ´ e ’ Co ˙ o ` o ¯ˆ ˙ ’ so cua khˆng gian vector ’ ’ 3.5.1 Co ˙ ˙ o ˙ ’ 3.5.2 Hˆ sinh cua mˆt khˆng gian vector e o o ´ e ` 3.5.3 Sˆ chiˆu Khˆng gian h˜.u han v` vˆ han chiˆu o ` o u e a o ` 3.5.4 Toa d o cua mˆt vector khˆng gian n chiˆu o o e ¯ˆ ˙ ’ 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.5 Dang to`n phu.o.ng a ´ ´ ´ 4.1 Anh xa song tuyˆn t´ e ınh, dang song tuyˆn t´ e ınh - 4.1.1 Dinh ngh˜ ıa ´ ’ 4.1.2 Ma trˆn cua dang song tuyˆn t´ a ˙ e ınh 4.2 Dang to`n phu.o.ng a - 4.2.1 Dinh ngh˜ ıa ´ ` 4.2.2 Du.a dang to`n phu.o.ng vˆ dang ch´ tˇ c a e ınh a ´ ’ 4.2.3 Dang chuˆ˙n tˇ c cua dang to`n phu.o.ng a’ a ˙ a 4.2.4 Dang to`n phu.o.ng x´c d nh am, x´c d nh a a ¯i ˆ a ¯i qu´n t´ a ınh ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh du.o.ng, luˆt a 51 52 53 55 55 56 56 57 57 58 59 60 66 66 66 67 68 68 69 76 76 Chu.o.ng - Ma trˆn - Dinh th´.c a u 1.1 Ma trˆn a - ˜ ` ´ Dinh nghı a va ca c kha i niˆm ´ e Cho K la mˆt tru.o.ng ` o ` 1.1.1 - ˜ ´ Dinh nghı a 1.1 Cho m, n la hai sˆ nguyˆn du.o.ng Ta goi mˆt ma trˆn A ` o e o a a ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d o.c ´p m × n la mˆt bang gˆm m.n phˆn tu ij ` ` ’ ’ ¯u cˆ a ` o o a sau: ´ ´ s˘ p xˆ p m dong va n cˆt nhu a e ` ` ` o  a11 a A =  21 · · · am1 a12 a22 ··· am2  a1n a2n   ··· ··· amn Kı hiˆu: A = (aij )m×n ´ e ` ` Ca c phˆn tu o dong th´ i va cˆt th´ j d o.c goi la phˆn tu aij Ca c phˆn ´ a ’ ’ ` u ` o u ¯u ` ` a ’ ´ a a , a , , a d o.c goi la ca c phˆn tu thuˆc dong th´ i Ca c phˆn tu ` ` ’ tu i1 i2 a ’ o ` u ´ a ’ in ¯u ` ´ o.c goi la ca c phˆn tu thuˆc cˆt th´ j ` a1j , a2j , , amj d ` ´ ¯u a ’ o o u Vı du: ´   −1  −2 8 la ma trˆn cˆ p × (3 hang, cˆt) ´ ` a a ` o 2 Ca c kha i niˆm kha c: ´ ´ e ´ ´ Ma trˆn khˆng Mˆt ma trˆn cˆ p m × n d o.c goi la ma trˆn khˆng nˆ u a o o a a ¯u ` a o e ´ d` u b˘ ng ` moi phˆn tu ¯ˆ a a ’ e ` Ma trˆn vuˆng Mˆt ma trˆn A = (aij )m×n d o.c goi la ma trˆn vuˆng a o o a ¯u ` a o ´ ´ nˆ u m = n Lu c d´ ta goi A la ma trˆn vuˆng cˆ p n, kı hiˆu A = (aij )n e ´ ¯o ` a o a ´ e -i Ma trˆn - D.nh th´.c a u Cho ma trˆn vuˆng a o  a11 a A = (aij )n =  21 · · · an1 a12 a22 ··· an2 ···  a1n a2n   · · · ann ` ` Ca c phˆn tu a11 , a22, , ann goi la ca c phˆn tu thuˆc d o.ng che o chı ´ a ’ o ¯u ` ´ ´nh a ’ ` ´ a ,a n˘ m trˆn d o.ng che o ` ` Ca c phˆn tu 1n 2n−1 , , an1 goi la ca c phˆn tu a ´ a ’ e ¯u ` ´ a ’ ` ` ´ phu Ma trˆn d o.n vi Cho ma trˆn vuˆng A = (aij )n A d o.c goi la ma trˆn a ¯ ¯u ` a a o n vi nˆ u moi phˆn tu n˘ m trˆn d o.ng che o chı d` u b˘ ng ca c phˆn ` ´ ` ’ a ` d ¯o e a e ¯u ` ´ ´nh ¯ˆ a e ` ` ´ a kha c d` u b˘ ng Lu c d´ A d o.c kı hiˆu la I : ma trˆn d n vi cˆ p n ´ ’ tu ´ ¯ˆ a a ¯o a e ` ´ ¯o ¯u ´ e ` n Vı du ´   0 I = 0  I2 = 0 ´ Ma trˆn che o Cho A = (aij )n A d o.c goi la ma trˆn che o nˆ u moi a ´ ¯u a ´ e ` khˆng thuˆc d o.ng che o chı ` ng ` phˆn tu o a ’ o ¯u ` ´ ´nh d` u b˘ ¯ˆ a e Vı du ´   0 A = 0 −2 0 la ma trˆn che o ` a ´ 0 ´ Ma trˆn tam gia c Cho A = (aij )n A la ma trˆn tam gia c trˆn nˆ u a ´ ` a ´ e e n˘ m du.o.i d o.ng che o chı d` u b˘ ng A la ma trˆn tam gia c ` ’ ` moi phˆn tu a a ´ ¯u ` ´ ´nh ¯ˆ a e ` ` a ´ o.i nˆ u moi phˆn tu n˘ m trˆn d o.ng che o chı d` u b˘ ng A la mˆt ma ` ´ ` du ´ e a ’ a e ¯u ` ´ ´nh ¯ˆ a e ` ` o o.i ´u no la ma trˆn tam gia c trˆn ho˘c du ´ trˆn tam gia c nˆ ´ ` a ´ e a ´ e a   a11 a12 a1n−1 a1n  a22 a2n−1 a2n    A = · · · · · · · · · ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c trˆn a ´ e   `  0 an−1n−1 an−1n  0 ann   a11 0  a21 a22 0    B =  ··· ··· ··· ··· · · ·  la ma trˆn tam gia c du.o.i a ´ ´   ` an−11 an−11 an−1n−1  an1 an2 an−1n ann ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 1.1 Ma trˆn a Ma trˆn A = (aij )1×n = [a11 , a12 , , a1n] d o.c goi la ma trˆn dong a ¯u ` a `   a11 a  Ma trˆn B = (bij )m×1 =  21  d o.c goi la ma trˆn cˆt a a o  · · ·  ¯u ` am1 ´ Ma trˆn bˆc thang Ma trˆn cˆ p m × n co aij = ; ∀i, j , i > j goi la a a a a ´ ` ma trˆn bˆc thang a a Vı du: ´   0   ` A= a a 0 0 2 la ma trˆn bˆc thang 0 0 0 ` ´ Hai ma trˆn A = (aij )m×n va B = (bij )m×n d o.c goi la b˘ ng nˆ u a ` ¯u e ` a aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n 1.1.2 Ca c phe p toa n trˆn ma trˆn ´ ´ ´ e a a Cˆng ma trˆn o a - ˜ ´ ` Dinh nghı a 1.2 Cho hai ma trˆn cung cˆ p A = (aij )m×n va B = (bij )m×n a ` a ’ Tˆ’ng cua hai ma trˆn A, B la mˆt ma trˆn C = (cij )m×n v´.i cij = aij + o a ` o a o bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n Kı hiˆu: A + B = C ´ e Vı du ´       2 −8 1+6 2+3 + (−8) 4 −2 5 + 2 −2  = 4 + −2 + (−2) +  −3 0 + −3 + 4+5   −6 = 6  −3 ´ ´ Tı ´nh chˆ t 1.1 Cho A, B, C, la ca c ma trˆn cung cˆ p, d´ ta co : a ` ´ a ` a ¯o ´ ´ (i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı kˆ t ho.p) ´nh e (ii) A + B = B + A(tı giao hoa n) ´nh ´ (iii) A + = + A = A ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh -i Ma trˆn - D.nh th´.c a u (iv) A + (−A) = (−A) + A = ` ’ ’ ` o a b Nhˆn mˆt phˆn tu cua tru.o.ng K v´.i ma trˆn a o a - ˜ ` Dinh nghı a 1.3 Cho A = (aij )m×n , k ∈ K Phe p nhˆn mˆt phˆn tu cua ´ a o a ’ ’ o.ng K v´.i ma trˆn A cho ta mˆt ma trˆn B = (b ) i b = k.a , ∀i = tru ` o a o a o ij m×n v´ ij ij 1, m, ∀j = 1, n Kı hiˆu: kA ´ e   ka11 ka1n kA = B = (bij )m×n =   kam1 kamn -˘ ˜ e ´ Dat biˆt, k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se viˆ t −A va goi no la ma e ` ´ ` vˆy: (−a ) ´ trˆn d o i cu a A Nhu a a ¯ˆ ’ ij m×n = −(aij )m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n Vı du ´     2 4 4 −2 5 =  −4 10 −3 14 −6 ´ ´ Tı ´nh chˆ t 1.2 Cho A, B la ca c ma trˆn cung cˆ p, α, β ∈ K Khi d´ ta co : a ` ´ a ` a ¯o ´ (i) α(A + B) = αA + αB (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA) (iv) 1.A = A c Phe p nhˆn hai ma trˆn ´ a a - ˜ ´ Dinh nghı a 1.4 Cho A = (aij )m×n la ma trˆn cˆ p m × n trˆn K va B = ` a a e ` i B, kı hiˆu AB, (bjk )n×p la ma trˆn cˆ p n × p trˆn K Ta goi la tı cu a A v´ ` a a e o ´ e ´ ` ´ch ’ cua no d o.c xa c ´ ` ’ mˆt ma trˆn C = (cik )m×p cˆ p m × p trˆn K ma ca c phˆn tu ’ ´ ¯u ´ o a a e ` ´ a sau: d ¯inh nhu n cik = j=1 aij bjk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p Minh hoa: Vı du Cho ca c ma trˆn: ´ ´ a   −1 −1 A= , B = 2  , C = 3 −1 ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 1.1 Ma trˆn a Khi d´ : ¯o   −1   AB = 3 −1 1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1) = = 3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1) 11     10 5 −1 BA = 2  =5  3 −1 0 −5 AC va CB khˆng xa c d nh ` o ´ ¯i Nhˆn xe t: a ´ - ` ´ e ¯u ` o o ’ Diˆu kiˆn de’ phe p nhˆn hai ma trˆn thu.c hiˆn d o.c la sˆ cˆt cua ma e e ¯ˆ ´ a a ` ´ ’ trˆn b˘ ng sˆ dong cua ma trˆn a a o ` a AB = BA Phe p nhˆn hai ma trˆn khˆng co tı giao hoa n ´ a a o ´ ´nh ´ ´ ` a a ’ u Ta kı hiˆu Mm,n(K) la tˆp tˆ t ca nh˜.ng ma trˆn cˆ p m × n trˆn tru.o.ng K, ´ e a a e ` ´ ng ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn tru.o.ng K ´ ` a a ’ u Mn (K) la tˆp tˆ t ca nh˜ a o a e ` ´ ´ ´ Tı ´nh chˆ t 1.3 V´.i phe p nhˆn hai ma trˆn ta co ca c tı chˆ t sau: a o ´ a a ´ ´ ´nh a (i) (AB)C = A(BC); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q (K) (ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n (K), B, C ∈ Mn,p(K) (A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K) (iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K ´ a (iv) AIn = A = Im A; A ∈ Mm,n (K), Im , In la ca c ma trˆn d o.n vi cˆ p lˆn ` ´ a ¯ a ` lu.o.t la m, n ` ’ d Chuyˆ n vi ma trˆn e a - ˜ Dinh nghı a 1.5 Cho A = (aij )m×n Chuyˆ n vi cua ma trˆn A la ma trˆn B e’ ’ a ` a d o.c xa c d nh nhu sau: ´ ` co cˆ p n × m va ca c phˆn tu ¯u ´ ¯i ´ a ` ´ a ’ bij = aji , i = 1, m, j = 1, n Ta kı hiˆu ma trˆn chuyˆ n vi cua ma trˆn A la At No i mˆt ca ch kha c chuyˆ n ´ e a e’ ’ a ` ´ o ´ ´ e’ ` vi cua ma trˆn A la ma trˆn B d o.c suy b˘ ng ca ch d o’i dong cˆt va a ` a ¯u a ´ ¯ˆ ` ` o ` ’ cˆt dong o ` ` ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh -i Ma trˆn - D.nh th´.c a u Vı du ´   −1 2 −5 0 A= 3×4   −1 0  At =   −5 3 4×3 ’ ´ ´ Tı ´nh chˆ t 1.4 Phe p chuyˆ n vi ma trˆn co nh˜.ng tı chˆ t sau: a ´ e a ´ u ´nh a (A ± B)t = At ± B t , A, B ∈ Mm,n(K) (αA)t = αAt , A ∈ Mm,n (K), α ∈ K (AB)t = B t At , A ∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K) ´ (In )t = In , In la ma trˆn d o.n vi cˆ p n ` a ¯ a A la ma trˆn che o thı At = A ` a ´ ` 1.1.3 ´ ’ Ma trˆn d o i x´.ng va ma trˆn phan x´.ng a ¯ˆ u ` a u - ˜ ´ Dinh nghı a 1.6 Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n ` a o a ´ ´ +) A goi la ma trˆn d o i x´.ng nˆ u At = A a ¯ˆ u e ` ´ ’ u +) A goi la ma trˆn pha n x´.ng nˆ u At = −A a e ` Vı du ´     −2 1 −2 Cho A = −2  Ta co At = −2  = A Vˆy A la ma ´ a ` −1 −1 ng ´ trˆn d o i x´ a ¯ˆ u     −2 −1 Cho B =  3 Ta co B t = −2 −3 = −B Vˆy B la ma ´ a ` −1 −3 ng ’ u trˆn phan x´ a ` ´ ’ Nhˆn xe t Nˆ u A la mˆt ma trˆn phan x´.ng thı ca c phˆn tu trˆn d o.ng a ´ e ` o a u ` ´ a ’ e ¯u ` ` ’ ´ a che o chı ´ ´nh cua no b˘ ng ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 1.1 Ma trˆn a 1.1.4 a Da th´.c ma trˆn u - ˜ Dinh nghı a 1.7 Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng trˆn K va p(x) = a0 + a1 x + ` o a o e ` ´ e o e o e ¯o · · · + an xn ∈ K[x] la mˆt d th´.c cua biˆ n x v´.i hˆ sˆ trˆn K Khi d´ ma ` o ¯a u ’ ´ trˆn a a I + a A + · · · + a n An , ´ d´ , I la ma trˆn d n vi cung cˆ p v´.i A, d o.c goi la gia tri cua d th´.c ¯o ` a ¯o ` a o ¯u ` ´ ’ ¯a u o.c goi la d th´.c ma trˆn a p(x) tai x = A, kı hiˆu p(A) No cu ng d ` ¯a u ´ e ´ ˜ ¯u c p(x) nˆ u d th´.c ma trˆn ´ ’ ¯a u A goi la mˆt nghiˆm ma trˆn cua d th´ e a e ¯a u a ` o i A) ´ o p(A) = (ma trˆn khˆng cung cˆ p v´ a o ` a Bai tˆp ` a 1.1.1 Cho ca c ma trˆn: ´ a         A = −1 0 ; B =   ; C = 0 3 ; D = 2 5 −3 −2 Tı ´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D 1.1.2 Cho ma trˆn: a   −2 A = 4 −8 −2 Tı ma trˆn X cho: a) 3A + 2X = I3 ; b) 5A − 3X = I3 `m a ´ 1.1.3 Kı hiˆu (r × s) la mˆt ma trˆn cˆ p r × s trˆn K Tı m, n ∈ N\{0} ´ e ` o a a e `m o.ng ho.p sau: ca c tru ` ´ a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c) (2 × m) × (4 × 3) = (2 × n) 1.1.4 Tı ´nh:   1  −3  a) 1 0  3 4  n  n 1 1 ; b) ; c) ; 2 −4 −2 n λ cos ϕ − sin ϕ d) ; e) ; (n ∈ N, ≤ ϕ < 2π) λ sin ϕ cos ϕ ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh -i Ma trˆn - D.nh th´.c a u 10 1.1.5 Cho ma trˆn: a  0 A= 0 0 0 0  0  1 Tı ´nh ca c ma trˆn: AAt va At A ´ a ` ´ ´ ´nh a 1.1.6 Ch´.ng minh ca c tı chˆ t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 u 1.1.7 Cho d th´.c p(x) = x2 − 3x + Tı ¯a u ´nh ca c d th´.c ma trˆn p(A), p(B) ´ ¯a u a ´t biˆ e   −3 A= ; B = 3  −1 ` 1.1.8 Ch´.ng minh r˘ ng: u  a  0 ’ a) A = 0  la mˆt nghiˆm cua p(x) = x3 − 3x2 + 4; ` o e 0 −1 a b ’ ∈ M2 (K) la nghiˆm cua q(x) = x2 − (a + d)x + ` e c d +(ad − bc) ∈ K[x] b) B = ˜ ` ´ a ’ 1.1.9* V´.i mˆ i ma trˆn vuˆng A = (aij )n ∈ Mn(K), ta goi tˆ’ng ca c phˆn tu o o a o o o.ng che o chı c la: ´ ’ trˆn d ` e ¯u ´ ´nh cua A la vˆ t cua no , kı hiˆu tr(A) T´ ` ` e ’ ´ ´ e u tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann ` Ch´.ng minh r˘ ng u a tr(AB) = tr(BA) v´.i o moi A, B ∈ Mn (K) ta d` u ¯ˆ e co : ´ ` ` ´ a o o a o 1.1.10* Ch´.ng minh r˘ ng khˆng tˆn tai ca c ma trˆn vuˆng A, B ∈ Mn(K) u cho AB − BA = In 1.2 1.2.1 - Dinh th´.c u ´ ´ Phe p thˆ - Nghich thˆ ´ e e - ˜ Dinh nghı a 1.8 Cho n la mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng va X la mˆt tˆp ho.p co n ` o o e ` ` o a ´ ´ Mˆt phe p thˆ bˆc n la mˆt song ´ nh σ t` X lˆn chı ` ´ phˆn tu a ’ o ´ e a ` o a u e ´nh no Khˆng ´ o ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 64 Khˆng gian vector o 3.8 Trong R4 cho ca c vector ´ u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 3, −1, 0), u3 = (−1, −1, 1, 1), u4 = (1, 2, − 1) ´ Tı d ` u kiˆn de’ vector u = (x1, x2 , x3 , x4 ) la tˆ’ ho.p tuyˆ n tı cua: `m ¯iˆ e e ¯ˆ e ´nh ’ ` o a) (u1 , u2 , u3 ), b) (u1 , u2 , u3 , u4 ) 3.9 Trong R3 [x] cho ca c d th´.c : ´ ¯a u u1 = x3 + 2x2 + x + 1, u2 = 2x3 + x2 − x + 1, u3 = 3x3 + 3x2 − x + ´ ’ Tı d ` u kiˆn de’ u = ax3 + bx2 + cx + d la tˆ’ ho.p tuyˆ n tı `m ¯iˆ e e ¯ˆ e ´nh cua ` o (u1 , u2 , u3 ) ´ 3.10 Trong R3 xe t xem ca c hˆ vector sau d oc lˆp tuyˆ n tı ´ ´ e ¯ˆ a e ´nh hay phu thuˆc o ´ tuyˆ n tı e ´nh? a) (u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 2, 3), u3 = (10, 11, 12), u4 = (4, 5, 6)); b) (u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 2, 3), u3 = (2, 2, 4)); c) (u1 = (1, 2, 3), u2 = (−1, 2, 0), u3 = (3, 2, −5)); d) (u1 = (1, 0, 1), u2 = (1, 2, 3)) ´ 3.11 Trong khˆng gian M2 (R) ch´.ng minh hˆ sau d ay d oc lˆp tuyˆ n tı o u e ¯ˆ ¯ˆ a e ´nh: −1 −1 0 , , 0 −2 ´ ´ ’ ´ e 3.12 Tı mˆt hˆ d oc lˆp tuyˆ n tı `m o e ¯ˆ a e ´nh tˆ i d i va hang cua ca c hˆ vector o ¯a ` sau d ay R : ¯ˆ a) (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 1)); b) (u1 = (1, 0, −1), u2 = (0, 1, −1), u3 = (1, −1, 0)); c) (u1 = (1, −1, 0), u2 = (2, −1, −1), u3 = (0, −1, −1), u4 = (2, 0, −2)) 3.13 Trong R3 cho hai hˆ vector e = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)); = ((2, 1, −1), (3, 2, −5), (1, −1, m)) ’ ’ a) Ch´.ng minh la mˆt co so cua R3 u ` o ’ ’ b) Tı m de’ la mˆt co so cua R3 `m ¯ˆ ` o o.ng ho.p ’ ’ ˜ `m ma trˆn chuyˆ n c) Trong tru ` ` o a e’ la mˆt co so cua R , y tı ’ u co so t` sang va tı toa d o cua vector u = (1, 0, 0) hai co ` `m ¯ˆ ’ d´ ’ so ¯o ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh ´ ` ˙ ’ o e o 3.5 Co so - Sˆ chiˆu - Toa d o cua khˆng gian vector ¯ˆ ˙ ’ 65 ’ 3.14 Trong R3 cho hai co so = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)); = ((0, 0, 1), (1, −1, 0), (1, 1, 1)) ’ ’ u a) Tı ma trˆn d o i co so t` sang va t` sang `m a ¯ˆ ` u ’ ¯o b) Tı toa d o cua x = (1, −1, 1) hai co so d´ `m ¯ˆ ’ ` `m ’ ’ e ’ ` 3.15 Tı khˆng gian W cua R4 sinh bo.i hˆ vector sau rˆi tı co so va `m o o ´ sˆ chiˆu no (W ) : o ` ´ e a) ((1, 4, −1, 3), (2, 1, −3, −1), (0, 2, 1, −5)); b) ((1, −4, −2, 1), (1, −3, −1, 2), (3, −8, −2, 7)) ’ ’ e 3.16 Cho W1 la khˆng gian cua R5 sinh bo.i hˆ ` o ((1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9)); ’ e ’ W2 la khˆng gian cua R5 sinh bo.i hˆ ` o ((1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1)) ´ ’ ` o ` Tı co so va sˆ chiˆu cua W1 , W2 , W1 ∩ W2 `m e ’ ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh Chu.o.ng Dang to`n phu.o.ng a 4.1 4.1.1 ´ ´ ´ Anh xa song tuyˆn t´ e ınh, dang song tuyˆn t´ e ınh - Dinh ngh˜ ıa - ˜ ´ ’ ’ Dinh nghı a 4.1 Gia su L, M, N la ca c khˆng gian vecto trˆn tru.o.ng sˆ K ` ´ o e ` o ´ Anh xa: f :L×M →N (x, y) → f (x, y) ˜ ´ ´ ´ ´ ´ ´ d o.c goi la ´ nh xa song tuyˆ n tı ¯u e ´nh nˆ u no tuyˆ n tı e e ´nh d o i v´.i mˆ i biˆ n, ¯ˆ o o e ` a ˜ ` nghı a la: (i) ∀x1 , x2 ∈ L, ∀y ∈ M : f (x1 + x2 , y) = f (x1 , y) + f (x2 , y); (ii) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀λ ∈ K : f (λx, y) = λf (x, y); (iii) ∀x ∈ L, ∀y1 , y2 ∈ M : f (x, y1 + y2 ) = f (x, y1 ) + f (x, y2 ); (iv) ∀x ∈ L, ∀y ∈ M, ∀µ ∈ K : f (x, µy) = µf (x, y) -˘ ˜ ´ Dac biˆt, nˆ u N = K, ta co d nh nghı a sau e e ´ ¯i - ˜ ´ ’ ’ Dinh nghı a 4.2 Gia su L, M la ca c khˆng gian vecto trˆn tru.o.ng sˆ K ` ´ o e ` o ´ ´ Anh xa song tuyˆ n tı e ´nh: f : L×M →K ´ d o.c goi la dang song tuyˆ n tı ¯u ` e ´nh (x, y) → f (x, y) 66 ´ ´ ´ 4.1 Anh xa song tuyˆn t´ e ınh, dang song tuyˆn t´ e ınh 67 Vı du Cho f : R2 × R2 → R d o.c xa c d nh nhu sau: ´ ¯u ´ ¯i ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1, y2 ) ∈ R2 f (x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 + 3x2 y1 ´ la mˆt dang song tuyˆ n tı ` o e ´nh (Ban d c tu kiˆ m tra) ¯o e’ ´ ˙ ’ Ma trˆn cu a dang song tuyˆn t´ a e ınh ` Cho E, F la hai khˆng gian vector h˜.u han chiˆu trˆn tru.o.ng K v´.i hˆ ` o u e e ` o e so cua E va hˆ {f , f , , f } la co so cua F Cho: ’ ’ ’ ’ {e1 , e2 , , em } la co ` ` e ` n 4.1.2 f :E×F →K (x, y) → f (x, y) ˜ ´ la dang song tuyˆ n tı ` e ´nh, lu c d´ v´.i mˆ i: x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xm em ∈ E ´ ¯o o o ´ va y = y1f1 + y2f2 + · · · + ynfn ∈ F , ta co : ` m f (x, y) = f ( n xi e i , i=1 m n yj fj ) = j=1 xi yj f (ei , fj ) i=1 j=1 -˘ Dat f (ei , fj ) = aij , i = 1, m, j = 1, n Ta co : ´ m n f (x, y) = aij xi yj i=1 j=1 Ma trˆn c˜ m × n: a o  a11 a A =  21 · · · am1 a12 a22 ··· am2  a1n a2n   ··· ··· amn ´ ’ d o.c goi la ma trˆn cua dang song tuyˆ n tı f theo hai co so {e1 , e2 , , em } ¯u ` a ’ e ´nh ’ ’ cua E va {f1, f2 , , fn } cua F ` ´ ˜ ´ ´ ’ ´ o ` ’ o U ng v´.i mˆ i dang song tuyˆ n tı o o e ´nh f chı co mˆt va chı mˆt ma trˆn d o i a ¯ˆ i mˆt c˘p co so cho tru.o.c cua E va F , ngu.o.c lai mˆt ma trˆn cho tru.o.c ’ v´ o o a ´ ’ ` o a ´ ´ ’ ´ ¯i chı xa c d nh mˆt dang song tuyˆ n tı o e ´nh so chı ´ ´ ’ Vı du Trong c˘p co ’ ´nh t˘ c cua R2 va R3 dang song tuyˆ n tı ´ a a ` e ´nh f : R × R → R co biˆ u th´.c toa d o la ´ e’ u ¯ˆ ` f (x, y) = x1 y1 + 2x1 y2 + 3x2 y1 − x2 y2 − 6x2 y3, ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh Dang to`n phu.o.ng a 68 ∀x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , y = (y1, y2, y3 ) ∈ R3 ´ ’ ´nh a ’ Vˆy ma trˆn cua f c˘p co so chı t˘ c cua R2 va R3 la a a ’ a ` ` −1 −6 - ˜ ´ Dinh nghı a 4.3 Cho E la mˆt K− khˆng gian vector, dang song tuyˆ n tı ` o o e ´nh f :E×E →K (x, y) → f (x, y) ´ ´ ´ e ´nh d o i x´.ng nˆ u: f (x, y) = f (y, x), ¯ˆ u e d o.c goi la mˆt dang song tuyˆ n tı ¯u ` o ∀x, y ∈ E ´ ´ ´ ’ Khi d´ ro rang ma trˆn cua dang song tuyˆ n tı ¯o ˜ ` a e ´nh d o i x´.ng la ma trˆn d o i ¯ˆ u ` a ¯ˆ x´.ng u 4.2 Dang to`n phu.o.ng a 4.2.1 - Dinh ngh˜ ıa ´ ´ Cho E la mˆt K− khˆng gian vector va f la mˆt dang song tuyˆ n tı ` o o ` ` o e ´nh d o i ¯ˆ ng: x´ u f :E×E →K (x, y) → f (x, y) ´ Anh xa ω:E→K x → f (x, x) d o.c goi la mˆt dang toan phu.o.ng trˆn E ¯u ` o ` e ´ ` ` ’ ’ Nˆ u E la mˆt khˆng gian n− chiˆu va {e1 , e2 , , en } la mˆt co so cua E, e ` o o e ` o n d´ ∀x ∈ E, x = ¯o xi ei , xi ∈ K, i = 1, n i=1 n ω(x) = f (x, x) = f ( n xi e i , i=1 n n xj e j ) = j=1 n n xi xj f (ei , ej ) = i=1 j=1 = a11x2 + a22x2 + · · · + ann x2 + 2 n aij xi xj i=1 j=1 aij xi xj 1≤i 0, ∀i = ` ´ ’ ’ ˆ chı tˆn tai mˆt co ’ ’ o o i 1, n - ´ ´ ´ ` o ´ Dinh ly 4.4 (Luˆt qua n tı ´ a ´ ´nh) Sˆ ca c sˆ hang co hˆ sˆ du.o.ng va sˆ ca c o ´ o ´ e o ´ o.ng ω la khˆng ´ ´ sˆ hang co hˆ sˆ am dang chı t˘ c cu a dang toan phu o ´ e o ˆ ´nh a ’ ` ` o ´ ’ ’ ’ thay d o i ta thay d o i co so ¯ˆ ¯ˆ Bai tˆp ` a ´ ´ 4.1 Cho f : R × R → R Anh xa nao la ´ nh xa song tuyˆ n tı e ´nh: ` `a a) f (x, y) = x2 + y, b) f (x, y) = x2 + y 2, c) f (x, y) = 5xy 4.2 Cho f : R2 × R2 → R xa c d nh nhu sau: ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1, y2 ) ∈ R2 : ´ ¯i 2 2 a) f (x, y) = x1 + x2 + y1 + y2 , b) f (x, y) = 3x1 y1 + 25x2 y2 c) f (x, y) = 2x1 y2 + x2 y1, d) f (x, y) = 2x1 y1 y2 ´ ´ Anh xa nao la dang song tuyˆ n tı e ´nh? ` ` 4.3 Cho f : Pn (x) × Pn(x) → R xa c d nh nhu sau: ´ ¯i ∀p(x), q(x) ∈ Pn (x) p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn f (p(x), q(x)) = a0 b0 + a1b1 + · · · + anbn ´ a) Ch´.ng minh f la mˆt dang song tuyˆ n tı u ` o e ´nh b) Tı ma trˆn cua f `m a ’ ´ ¯i 4.4 Cho f : R2 × R2 → R xa c d nh nhu sau: ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1, y2) ∈ R2 f (x, y) = 2x1 y1 + 3x1 y2 + 5x2 y2 ´ a) Ch´.ng minh f la mˆt dang song tuyˆ n tı u ` o e ´nh b) Tı ma trˆn cua f , rank(f ) `m a ’ ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 78 Dang to`n phu.o.ng a ´ ` ¯ˆ ` e ´nh t˘ c, xa c d nh phe p d o’i a ´ ¯i ´ ¯ˆ 4.5 Du.a dang toan phu.o.ng sau d ay vˆ dang chı ´ ´ ´ biˆ n cu theo biˆ n m´.i Tı chı sˆ qua n tı cua dang toan phu.o.ng e ˜ e o `m ’ o ´ ´nh ’ ` 2 a) x1 + 5x2 − 4x3 + 2x1 x2 − 4x1 x3 b) 4x2 + x2 + x2 − 4x1 x2 + 4x1 x3 − 3x2 x3 c) x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 d) 2x2 + 18x2 + 8x2 − 12x1 x2 + 8x1 x3 − 27x2 x3 e) −12x2 − 3x2 − 12x2 + 12x1 x2 − 24x1 x3 + 8x2 x3 f) x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 4.6 Tı ca c gia tri λ cho dang toan phu.o.ng sau la xa c d nh du.o.ng: `m ´ ´ ` ` ´ ¯i 2 a) 5x1 + x2 + λx3 + 4x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 b) 2x2 + x2 + 3x2 + 2λx1 x2 + 2x1 x3 c) x2 + x2 + 5x2 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 2 d) x1 + 4x2 + x2 + 2λx1 x2 + 10x1 x3 + 6x2 x3 ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh ... n tı ` e ´nh 1.1 Ma trˆn a Ma trˆn A = (aij )1×n = [a11 , a12 , , a1n] d o.c goi la ma trˆn dong a ¯u ` a `   a11 a  Ma trˆn B = (bij )m×1 =  21  d o.c goi la ma trˆn cˆt a a o... am1 ´ Ma trˆn bˆc thang Ma trˆn cˆ p m × n co aij = ; ∀i, j , i > j goi la a a a a ´ ` ma trˆn bˆc thang a a Vı du: ´   0   ` A= a a 0 0 2 la ma trˆn bˆc thang 0 0 0 ` ´ Hai ma. .. p toa n trˆn ma trˆn ´ ´ ´ e a a Cˆng ma trˆn o a - ˜ ´ ` Dinh nghı a 1.2 Cho hai ma trˆn cung cˆ p A = (aij )m×n va B = (bij )m×n a ` a ’ Tˆ’ng cua hai ma trˆn A, B la mˆt ma trˆn C = (cij