phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t.. phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh.. phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`n nhˆa´t.. phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`n nhˆa´t... thuˆo.c tuyˆe´
Trang 1MU C LU C
1.1 Ma trˆa.n 3
1.1.1 D- i.nh nghı˜a va` ca´c kha´i niˆe.m 3
1.1.2 Ca´ c phe´ p toa´ n trˆen ma trˆa.n 5
1.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng va` ma trˆa.n pha’n x´u.ng 8
1.1.4 D- a th´u.c ma trˆa.n 9
1.2 D- i.nh th´u.c 10
1.2.1 Phe´ p thˆe´ - Nghi.ch thˆe´ 10
1.2.2 D- i.nh th´u.c 11
1.3 Ma trˆa.n kha’ nghi.ch 20
1.4 Ha.ng cu˙’a ma trˆa.n 28
2 Hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh 31 2.1 Hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´t 31
2.1.1 D- i.nh nghı˜a 31
2.1.2 Gia’i hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh 33
2.2 Hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`n nhˆa´t 40
2.2.1 D- i.nh nghı˜a va` tı´nh chˆa´t 40
2.2.2 Hˆe nghiˆe.m co ba’n cu’a hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh thuˆa`n nhˆa´t 41
2.2.3 Cˆa´u tru´ c nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng trı`nh tuyˆe´n tı´nh tˆo’ng qua´ t 42
3 Khˆong gian vector 47 3.1 Kha´ i niˆe.m vˆe` khˆong gian vector 47
3.1.1 D- i.nh nghı˜a khˆong gian vector 47
3.1.2 V`ai v´ı du 48
3.1.3 Mˆo.t sˆo´ tı´nh chˆa´t d¯o.n gia’n cu’a khˆong gian vector 49
3.2 Khˆong gian vector con 50
3.3 Su phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 51
1
Trang 23.3.1 Tˆo’ ho p tuyˆe´n tı´nh va` biˆe’u thi tuyˆe´n tı´nh 51
3.3.2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 52
3.3.3 V`ai t´ınh chˆa´t vˆe` hˆe phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh v`a hˆe d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh 53
3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe vector 55
3.4.1 Hˆe con d¯ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh tˆo´i d¯a.i 55
3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe vector 56
3.4.3 C´ac hˆe vector trong Kn 56
3.5 Co so.˙’ - Sˆo´ chiˆe` u - To.a d¯ˆo cu˙’a khˆong gian vector 57
3.5.1 Co so.˙’ cu˙’a khˆong gian vector 57
3.5.2 Hˆe sinh cu˙’a mˆo.t khˆong gian vector 58
3.5.3 Sˆo´ chiˆe` u Khˆong gian h˜u.u ha.n v`a vˆo ha.n chiˆe`u 59
3.5.4 To.a d¯ˆo cu˙’a mˆo.t vector trong khˆong gian n chiˆe` u 60
4 Da.ng to`an phu.o.ng 66 4.1 Anh xa song tuyˆe´n t´ınh, da.ng song tuyˆe´n t´ınh .´ 66
4.1.1 D- i.nh ngh˜ıa 66
4.1.2 Ma trˆa.n cu˙’a da.ng song tuyˆe´n t´ınh 67
4.2 Da.ng to`an phu.o.ng 68
4.2.1 D- i.nh ngh˜ıa 68
4.2.2 D- u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆe` da.ng ch´ınh tˇa´c 69
4.2.3 Da.ng chuˆa˙’n tˇa´c cu˙’a da.ng to`an phu.o.ng 76
4.2.4 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh ˆam, x´ac d¯i.nh du.o.ng, luˆa.t qu´an t´ınh 76
Ba `i gia’ng D - a.i sˆo´ tuyˆe´n tı´nh
Trang 3Chu.o.ng 1
1.1.1 D- i.nh nghı˜a va` ca´c kha´i niˆe.m
Cho K la` mˆo.t tru.`o.ng
D- i.nh nghı˜a 1.1 Cho m, n la` hai sˆo´ nguyˆen du.o.ng Ta go.i mˆo.t ma trˆa.n Acˆa´p m× n la` mˆo.t ba’ng gˆo`m m.n phˆa`n tu.’ aij ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d¯u.o cs˘a´p xˆe´p tha`nh m do`ng va` n cˆo.t nhu sau:
Ca´ c phˆa` n tu.’ o.’ do`ng th´u i va` cˆo.t th´u j d¯u.o c go.i la` phˆa`n tu.’ aij Ca´ c phˆa` n
tu.’ ai1, ai2, , ain d¯u.o. c go.i la` ca´ c phˆa` n tu.’ thuˆo.c do`ng th´u i Ca´c phˆa`n tu.’
a1j, a2j, , amj d¯u.o. c go.i la` ca´ c phˆa` n tu.’ thuˆo.c cˆo.t th´u j
la` ma trˆa.n cˆa´p 3 × 4 (3 ha`ng, 4 cˆo.t)
Ca´ c kha´ i niˆe.m kha´ c:
1 Ma trˆa.n khˆong Mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p m × n d¯u.o c go.i la` ma trˆa.n khˆong nˆe´umo.i phˆa` n tu.’ d¯ˆe` u b˘a`ng 0
2 Ma trˆa.n vuˆong Mˆo.t ma trˆa.n A = (aij)m ×n d¯u.o. c go.i la` ma trˆa.n vuˆongnˆe´u m = n Lu´ c d¯o´ ta go.i A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n, kı´ hiˆe.u A = (aij)n
Trang 43 Cho ma trˆa.n vuˆong
Ca´ c phˆa` n tu.’ a11 , a22, , ann go.i la` ca´c phˆa`n tu.’ thuˆo.c d¯u.`o.ng che´o chı´nh
Ca´ c phˆa` n tu.’ a1n , a2n −1, , an1 go.i la` ca´c phˆa`n tu.’ n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´ophu
4 Ma trˆa.n d¯o.n vi Cho ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n A d¯u.o. c go.i la` ma trˆa.nd¯o.n vi nˆe´u mo.i phˆa` n tu.’ n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´ o chı´nh d¯ˆe` u b˘a`ng 1 co`n ca´ c phˆa` n
tu.’ kha´ c d¯ˆe` u b˘a`ng 0 Lu´ c d¯o´ A d¯u.o. c kı´ hiˆe.u la` In: ma trˆa.n d¯o.n vi cˆa´p n.Vı´ du
la` ma trˆa.n che´o
6 Ma trˆa.n tam gia´ c Cho A = (aij)n A la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen nˆe´umo.i phˆa`n tu.’ n˘a`m du.´o.i d¯u.`o.ng che´o chı´nh d¯ˆe` u b˘a`ng 0 A la` ma trˆa.n tam gia´cdu.´o.i nˆe´u mo.i phˆa` n tu.’ n˘a`m trˆen d¯u.`o.ng che´ o chı´nh d¯ˆe` u b˘a`ng 0 A la` mˆo.t matrˆa.n tam gia´c nˆe´u no´ la` ma trˆa.n tam gia´c trˆen ho˘a.c du.´o.i
Trang 5 d¯u.o. c go.i la` ma trˆa.n cˆo.t.
8 Ma trˆa.n bˆa.c thang Ma trˆa.n cˆa´p m × n co´ aij = 0 ; ∀i, j , i > j go.i la`
ma trˆa.n bˆa.c thang
la` ma trˆa.n bˆa.c thang
9 Hai ma trˆa.n A = (aij)m ×n va` B = (bij)m ×n d¯u.o. c go.i la` b˘a`ng nhau nˆe´u
Tı´nh chˆa´t 1.1 Cho A, B, C, 0 la` ca´ c ma trˆa.n cu`ng cˆa´p, khi d¯o´ ta co´:
(i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe´t ho. p)
(ii) A + B = B + A(tı´nh giao hoa´ n)
(iii) A + 0 = 0 + A = A
Trang 6(iv) A + (−A) = (−A) + A = 0
b Nhˆan mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tru.`o.ng K v´o.i ma trˆa.n
D- i.nh nghı˜a 1.3 Cho A = (aij)m ×n, k ∈ K Phe´p nhˆan mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’atru.`o.ng K v´o.i ma trˆa.n A cho ta mˆo.t ma trˆa.n B = (bij)m ×n v´o.i bij = k.aij, ∀i =
(ii) (α + β)A = αA + βA
(iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA)
(iv) 1.A = A
c Phe´ p nhˆan hai ma trˆa.n
D- i.nh nghı˜a 1.4 Cho A = (aij)m ×n la` ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen K va` B =(bjk)n ×p la` ma trˆa.n cˆa´p n × p trˆen K Ta go.i la` tı´ch cu’a A v´o.i B, kı´ hiˆe.u AB,mˆo.t ma trˆa.n C = (cik)m ×p cˆa´p m× p trˆen K ma` ca´c phˆa` n tu.’ cu’a no´ d¯u.o. c xa´ cd¯inh nhu sau:
Trang 72 AB 6= BA Phe´p nhˆan hai ma trˆa.n khˆong co´ tı´nh giao hoa´n.
Ta kı´ hiˆe.u Mm,n(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nh˜u.ng ma trˆa.n cˆa´p m × n trˆen tru.`o.ng K,
Mn(K) la` tˆa.p tˆa´t ca’ nh˜u.ng ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen tru.`o.ng K
Tı´nh chˆa´t 1.3 V´o.i phe´ p nhˆan hai ma trˆa.n ta co´ ca´c tı´nh chˆa´t sau:
(i) (AB)C = A(BC); A∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), C ∈ Mp,q(K)
(ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ Mm,n(K), B, C ∈ Mn,p(K)
(A + B)C = AC + BC; A, B ∈ Mm,n(K), C ∈ Mn,p(K)
(iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A∈ Mm,n(K), B ∈ Mn,p(K), α ∈ K
(iv) AIn = A = ImA; A ∈ Mm,n(K), Im, In la` ca´ c ma trˆa.n d¯o.n vi cˆa´p lˆa` nlu.o. t la` m, n
d Chuyˆe’n vi ma trˆa.n
D- i.nh nghı˜a 1.5 Cho A = (aij)m ×n Chuyˆe’n vi cu’a ma trˆan A la` ma trˆa.n B
co´ cˆa´p n× m va` ca´c phˆa` n tu.’ d¯u.o c xa´c d¯i.nh nhu sau:
bij = aji, i = 1, m, j = 1, n
Ta kı´ hiˆe.u ma trˆa.n chuyˆe’n vi cu’a ma trˆan A la` At No´ i mˆo.t ca´ch kha´c chuyˆe’n
vi cu’a ma trˆa.n A la` ma trˆa.n B d¯u.o c suy ra b˘a`ng ca´ch d¯ˆo’i do`ng tha`nh cˆo.t va`cˆo.t tha`nh do`ng
Trang 81.1.3 Ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng va` ma trˆa.n pha’n x´u.ng.
D- i.nh nghı˜a 1.6 Cho A la` ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n
+) A go.i la` ma trˆa.n d¯ˆo´i x´u.ng nˆe´u At = A
+) A go.i la` ma trˆa.n pha’n x´u.ng nˆe´u At =−A
trˆa.n pha’n x´u.ng
Nhˆa.n xe´ t Nˆe´u A la` mˆo.t ma trˆa.n pha’n x´u.ng thı` ca´c phˆa`n tu.’ trˆen d¯u.`o.ngche´ o chı´nh cu’a no´ b˘a`ng 0
Trang 91.1 Ma trˆ a.n 9
1.1.4 D- a th´u.c ma trˆa.n
D- i.nh nghı˜a 1.7 Cho A la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong trˆen K va` p(x) = a0+ a1x +
· · · + anxn ∈ K[x] la` mˆo.t d¯a th´u.c cu’a biˆe´n x v´o.i hˆe sˆo´ trˆen K Khi d¯o´ matrˆa.n
a0I + a1A +· · · + anAn,trong d¯o´ , I la` ma trˆa.n d¯o.n vi cu`ng cˆa´p v´o.i A, d¯u.o c go.i la` gia´ tri cu’a d¯a th´u.cp(x) tai x = A, kı´ hiˆe.u p(A) No´ cu˜ng d¯u.o c go.i la` d¯a th´u.c ma trˆa.n
A go.i la` mˆo.t nghiˆe.m ma trˆa.n cu’a d¯a th´u.c p(x) nˆe´u d¯a th´u.c ma trˆa.np(A) = 0 (ma trˆa.n khˆong cu`ng cˆa´p v´o.i A)
Tı`m ma trˆa.n X sao cho: a) 3A + 2X = I3; b) 5A− 3X = I3
1.1.3 Kı´ hiˆe.u (r × s) la` mˆo.t ma trˆa.n cˆa´p r × s trˆen K Tı`m m, n ∈ N\{0}
trong ca´ c tru.`o.ng ho. p sau:
a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c)(2× m) × (4 × 3) = (2 × n)
n
; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π)
Trang 101.1.6 Ch´u.ng minh ca´ c tı´nh chˆa´t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4.
1.1.7 Cho d¯a th´u.c p(x) = x2− 3x + 1 Tı´nh ca´c d¯a th´u.c ma trˆa.n p(A), p(B)
1.1.9* V´o.i mˆo˜i ma trˆa.n vuˆong A = (aij)n ∈ Mn(K), ta go.i tˆo’ng ca´c phˆa`n tu.’
trˆen d¯u.`o.ng che´ o chı´nh cu’a A la` vˆe´t cu’a no´ , kı´ hiˆe.u tr(A) T´u.c la`:
tr(A) = a11+ a22 +· · · + ann.Ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i A, B ∈ Mn(K) ta d¯ˆe` u co´ :tr(AB) = tr(BA)
1.1.10* Ch´u.ng minh r˘a`ng khˆong tˆo` n ta.i ca´c ma trˆa.n vuˆong A, B ∈ Mn(K) sao
cho AB − BA = In
1.2.1 Phe´ p thˆe´ - Nghi.ch thˆe´
D- i.nh nghı˜a 1.8 Cho n la` mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng va` X la` mˆo.t tˆa.p ho p co´ nphˆa` n tu.’ Mˆo.t phe´p thˆe´ bˆa.c n la` mˆo.t song a´nh σ t`u X lˆen chı´nh no´ Khˆong
Trang 11Kı´ hiˆe.u N(σ) la` sˆo´ ca´c nghi.ch thˆe´ cu’a phe´p thˆe´ σ.
Vı´ du Tı`m tˆa´t ca’ ca´c phe´p thˆe´ bˆa.c 3 cu’a I = {1, 2, 3}
Ta thˆa´y tˆa.p I co´ 3 phˆa`n tu.’ vˆa.y S3 se˜ co´ 6 phˆa` n tu.’ :
1 2 3
1 3 2
, σ2 =
1 2 3
2 1 3
, σ3 =
1 2 3
2 3 1
,
1 2 3
3 2 1
.Tı`m sˆo´ ca´ c nghi.ch thˆe´ cu’a mˆo˜i phe´p thˆe´ trˆen
N (σ0) = 0,
N (σ1) = 1 (nghi.ch thˆe´ (2,3)),
N (σ2) = 1 (nghi.ch thˆe´ (1,2)),
N (σ3) = 2 ( nghi.ch thˆe´ (1,3) va` (2,3)),
N (σ4) = 3 (nghi.ch thˆe´ (1,2), (2,3) va` (1,3)),
N (σ5) = 2 (nghi.ch thˆe´ (1,2) va` (1,3))
1.2.2 D- i.nh th´u.c
a D- i.nh nghı˜a
D- i.nh nghı˜a 1.9 Cho A = (aij)n la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen tru.`o.ng
K (n∈ N, n > 0) D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n A la` mˆo.t sˆo´ thuˆo.c K, kı´ hiˆe.u detA,d¯u.o. c cho bo’ i biˆe’u th´u.c:.
σ ∈S n
(−1)N(σ)a1σ(1)a2σ(2) anσ(n)
Trang 12D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n A co`n d¯u.o c kı´ hiˆe.u la`:
|A| ho˘a.c A =
1 2
2 1
, N (σ0) = 0, N (σ1) = 1,detA = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22 − a12a21.Vı´ du 2 B =
+ Viˆe´t theo th´u tu. cˆo.t mˆo.t va` cˆo.t va` cˆo.t hai sau cˆo.t th´u ba
+ Ba sˆo´ ha.ng mang dˆa´u cˆo.ng trong d¯i.nh th´u.c la` tı´ch cu’a ca´c phˆa`n tu.’ n˘a`mtrˆen 3 d¯u.`o.ng song song v´o.i d¯u.`o.ng che´ o chı´nh
+ Ba sˆo´ ha.ng mang dˆa´u tr`u trong d¯i.nh th´u.c la` tı´ch cu’a ca´c phˆa`n tu.’ n˘a`mtrˆen 3 d¯u.`o.ng song song v´o.i d¯u.`o.ng che´ o phu
T`u d¯o´ ta tı´nh d¯u.o. c d¯i.nh th´u.c cˆa´p 3 nhu vı´ du 2 Minh hoa.:
Vı´ du Tı´nh:
3)
c D- i.nh ly´ Laplace
D- i.nh th´u.c con va` phˆa`n bu` d¯a.i sˆo´
D- i.nh nghı˜a 1.10 Cho A = (aij)n la` mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen K(n ≤ 2), D = detA va` k la` mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng nho’ ho.n n Xe´t k do`ng th´u
i1, i2, , ik (1 ≤ i1 < i2 < < ik ≤ n) va` k cˆo.t th´u j1, j2, , jk (1 ≤ j1 < j2 < < jk ≤ n) na`o d¯o´ cu’a A Ca´c phˆa` n tu.’ cu’a A n˘a`m o.’ giao cu’a ca´ c do`ng va`
ca´ c cˆo.t trˆen ta.o nˆen mˆo.t ma trˆa.n vuˆong Si 1 i 2 i k j 1 j 2 j k cˆa´p k sau d¯ˆay:
Di 1 i 2 i k j 1 j 2 j k (trong D), kı´ hiˆe.u Mi 1 i 2 i k j 1 j 2 j k
D- i.nh nghı˜a 1.11 Phˆa`n phu d¯a.i sˆo´ cu’a d¯i.nh th´u.c con Di 1 i 2 i k j 1 j 2 j k kı´ hiˆe.u
Ai 1 i 2 i k j 1 j 2 j k, d¯u.o. c d¯i.nh nghı˜a bo’ i.
Ai 1 i 2 i k j 1 j 2 j k = (−1)sMi 1 i 2 i k j 1 j 2 j k
Trang 16trong d¯o´ s = i1+ i2+· · · + ik + j1+ j2+· · · + jk la` tˆo’ng ca´ c chı’ sˆo´ do`ng va`chı’ sˆo´ cˆo.t ta.o nˆen Di 1 i 2 i k j 1 j 2 j k.
D- ˘a.c biˆe.t, khi k = 1, i = i1, j = j1 (1 ≤ i, j ≤ n) thı` Sij = [aij] ≡ aij =det[aij] = Dij, d¯i.nh th´u.c con bu` cu’a Dij la` d¯i.nh th´u.c con Mij cˆa´p n− 1 nhˆa.nd¯u.o. c t`u D b˘a`ng ca´ ch xo´ a d¯i do`ng i va` cˆo.t j; co`n phˆa`n bu` d¯a.i sˆo´ cu’a Dij
chı´nh la` Aij = (−1)i+jMij
Vı´ du Xe´t d¯i.nh th´u.c cˆa´p n = 4 sau:
D =
... (σ0) = 0, N (σ1) = 1,detA = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22...
D- i.nh ly´ 1.1 Cho A = (aij)n ∈ Mn(K) va` At la` ma trˆa.n chuyˆe’n vi cu’a A.Khi d¯o´ det(At) = det(A) No´ i ca´ ch... mˆo.t ma trˆa.n thı` d¯i.nh th´u.ccu’a no´ d¯ˆo’i dˆa´u
Ch´u.ng minh Gia’ su.’ A = (aij)n (n ≥ 2) va` B = (bij)n la` ma trˆa.n