ĐẠI SỐ BÀI 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số TUYẾN TÍNH

BÀI 2 : MA TRẬN ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Sinh viên nắm vững được khái niệm ma trận, các phép toán trên ma trận Sinh viên hiểu được định nghĩa định thức, một số phương pháp tính định thức Sinh viên nắm được định nghĩa ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Sinh viên hiểu được định nghĩa hạng của ma trận, nắm được cách tính hạng của ma trận Sinh viên nắm được các khái niệm cơ bản về hệ phương trình đại số tuyến tính Sinh viên hiểu được định lý về sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Sinh viên tư duy được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2. Kỹ năng Sinh viênthành thạo tính được các định thức Sinh viên tìm được ma trận nghịch đảo, hạng của một ma trận Sinh viên thành thạo giải các hệ phương trình tuyến tính

GIÁO ÁN LÝ THUYẾT BÀI : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I MỤC TIÊU Kiến thức - Học viên nắm vững khái niệm ma trận, phép toán ma trận - Học viên hiểu định nghĩa định thức, số phương pháp tính định thức - Học viên nắm định nghĩa ma trận nghịch đảo, phương pháp tìm ma trận nghịch đảo - Học viên hiểu định nghĩa hạng ma trận, nắm cách tính hạng ma trận - Học viên nắm khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính - Học viên hiểu định lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính - Học viên tư phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Kỹ - Học viên thành thạo tính định thức - Học viên tìm ma trận nghịch đảo, hạng ma trận - Học viên thành thạo giải hệ phương trình tuyến tính Thái độ - Học viên hứng thú, tập trung vào học - Học viên tích cực tham gia trao đổi, xây dựng học II Nội dung giảng THI GIAN HOT NG DẠY- HỌC NỘI DUNG Tiết1 phút phút Hoạt động GV Giới thiệu - Giới thiệu nội dung giảng - Giới thiệu nội dung tiết giảng I Ma trận-Định thức Ma trận phép tốn 1.1.Ma trận Thuyết trình, 1.1.1.Định nghĩa đặt câu hỏi Một bảng số chữ nhật gồm có m hàng, n cột có dạng:  a11 a12 a1n     a 21 a 22 a n  A =  gọi ma trận cỡ m �n    a  a a m2 mn   m1 Trong đó: aij �R ( C ) phần tử A nằm giao điểm hàng i cột j ; i  1, m , j  1, n ; Ký hiÖu : A =  aij  m�n �1 VD: Ma trận cỡ �3 : A = � �2 � 3 � � 6� � Hoạt động HV Nghe giảng Nghe, hiểu, ghi chép, trả lời 30 phút 1.1.2.Một số dạng ma trận đặc biệt a Ma trận hàng, ma trận cột - Nếu m = 1( Ma trận A cỡ �n) A = (a1 K an ) � Ma trận hàng VD: A= (1 8) ma trận hàng cỡ �6 - Nếu n = (Ma trận A cỡ m �1) a1 � � � � a2 � � A = �a3 �� Ma trận cột � � � � � am � � � b Ma trận vuông Nếu m = n (Ma trận A cỡ n �n)  a 11 a12   a 21 a 22 A=   a  n1 a n2 a1n   a 2n  gọi ma trận vuông cấp n   a nn  Trong đó: Các phần tử a11, a22, , ann gi phần tử chộo ng thng chứa phần tử chéo gọi ®êng chÐo chÝnh 1 2   VD: Ma trận vuông cấp 2: A =    * Một số ma trận vuông đặc biệt: - Ma trận tam giác trên: Ma trận A cấp n có dạng: �a11 a12 a1n � � � � � a22 a2 n � đó: aij= o i>j A = �0 � � � � �0 ann � � � -Đặt vấn đề -Thuyết trình -Nghe, hiểu, ghi chép -Thuyết trình -Đặt câu hỏi gợi mở -Nghe, hiểu, ghi chép, trả lời phút Tiết phút Tổng kết giảng -Nhấn mạnh nd trọng tâm -Giao nhiệm vụ nhà Giới thiệu - Phát vấn học viên kiến thức trước - Giới thiệu nội dung giảng -Nghe giảng -Ghi nhớ Nghe giảng 10 phút 1.2 Các phép toán ma trận: 1.2.1.Cộng ma trận: a Định nghĩa: Cho ma trận cỡ m �n: A   aij  m�n B   bij  m�n Tổng ma trận A B ma trận C cỡ m �n xác định : A  B  C   aij  bij  �2 3� � - Thuyết trình - Đặt câu hỏi gợi mở -Nghe, hiểu, ghi chép - trả lời -yêu cầu hv -Làm m�n � �2  37 � � 10 � VD: � � � � � � � � 3 � �1   ( 3) � � 1� �1 � � t Chú ý:  A  B   At  B t b Tính chất: Cho ma trận A   aij  m�n , B   bij  m�n , C   cij  m�n ta có: - Tính giao hốn: A + B = B + A Chứng minh: A  B (a ij  bij ) mn (bij  aij ) mn  B  A �2 1 � �2 � � A+ B = � � � �1 � � � �2 � B+A= � � � �2 3 � �1 VD: Giả sử A  � 3� � 7� ,B � � � �2 3 � � � �2  37 � � 10 � � � � � � 3 � �1   ( 3) � � 1� � �2  3 � � 10 � � =� � � 4� � 1   (3) � � 1� � Vậy A+B =B+A - Cộng với ma trận 0: A + = + A = A �3 � � �7 � 2� � 0 � �3   � � 2�  � � � � � � � 5� � 0� � 0 50� � 5� VD: Cho A = � �3 � A+0 = � - Tính kết hợp: (A + B)+C = A+(B+C) Chứng minh:  A  B   C   aij  bij  m�n   cij  m�n   dij  cij  42 43  dij  m�n m�n   aij  bij  cij  m�n 10 phút 1.2.2 Nhân ma trận với số: - Thuyết a Định nghĩa : Cho ma trận A   aij  m�n , k  R tích k.A ma trận cỡ m �n xác trình -Đặt câu hỏi định : k.A =  k aij  m�n phát vấn 2.4 � �6 � �3 � �2.3 � � � � � 2 � � 2.7 2.( 2) � � 14 4 � � VD : � b Tính chất : k  A  B   kA  kB (k  h) A  kA  hA k (hA)  (kh) A A  A;0 A  C/m tính chất : k ( A  B ) k (aij  bij ) mn k (aij ) mn  k (bij ) mn kA  kB -Nghe, hiểu, ghi chép - trả lời 15 phút 1.2.3 Phép nhân ma trận : a Định nghĩa : Xét ma trận: A   aij  m�p ; B   bij  p�n (Số cột A = số hàng B) Khi : A.B= C   cij  n cho : cij  ai1.b1 j  b2 j   aip bpj  �aik bkj m�n - Thuyết trình -Đặt câu hỏi phát vấn -Nghe, hiểu, ghi chép - trả lời Hướng dẫn làm ví dụ Phát vấn hv Nghe hiểu Làm Nêu tính chất Nghe hiểu, ghi chép - Cho hv làm tập t.quát - trả lời k 1 Chú ý : t +  A.B   B t At + Tích A.B phải viết thứ tự A trước , B sau + Nhân AB phải có điều kiện : số cột A số hàng B + Ma trận tích có số hàng = số hàng ma trận A, số cột = số cột ma trận B  5     7  Tính AB BA -VD : Cho A =    vµ B =     0   3.4  5.4 3.( 7)  5.3    32    3.1  5.( 2)     AB =   1.1  4.( 2)  1.4  4.4  1.( 7)  4.3     12 19   7.1  0.( 2) 7.4  0.4 7.( 7)  0.3   28  49     50 21  BA =    11 - Chú ý: Khi nhân AB BA chưa có AB = BA b.Tính chất : Với ma trận có cỡ thích hợp ta có : A  A.0  A.E  E A  A A( B  C )  A.B  A.C ;( B  C ) A  B A  C A ( A.B ).C  A( B.C ) phút k (BC) = (kB)C = B( kC) Tổng kết giảng -Ghi nhớ Bài tập: Bài 1: Cho ma trận: - Giao nhiệm vụ nhà 3  2 4    A   ; B   1   6    Tính: a) ( A + 3B ) + Dt  16     ĐS: a)   12   22 23    0  1 ;   7    3  C   ; D   1  11     b) 3A + 5B – 2C  33  20    ; b)   29 26   11 36       1 .  Bài 2: Nhân ma trận sau: a)    1   1   1  .  ; b)   1       1  3   ; b)    1 10  ĐS: a)  2.Định thức ma trận Tiết 3 phút - Phát vấn học viên kiến thức trước Giới thiệu - Giới thiệu nội dung giảng Nghe giảng 30 phút 2.1.Định nghĩa : XÐt ma trËn vuông cÊp n: �a11 a12 � a 21 a 22 A= � � � �a n1 a n2 a1n � � a 2n � � � a nn � -Thuyết trình -Phát vấn - Hướng dẫn làm ví dụ -Nghe, hiểu, ghi chép -Trả lời xÐt phÇn tư aij ta bá hµng i, cét j sÏ thu đợc ma trận n-1 hàng, n-1 cột tc ma trận cấp n-1 gọi ma trËn øng víi phÇn tư a ij Kí hiệu : Mij �a11 a12 a13 � � � Ví dụ: A  �a21 a22 a23 �ta có : �a � �31 a32 a33 � a23 � a a23 � a22 � �a � �a M 11  �22 ; M 12  �21 ; M 13  �21 � � � �a32 a33 � �a31 a33 � �a31 a32 � a13 � a � a � �a �a �a M 21  �12 ; M 22  �11 13 � ; M 23  �11 12 � � a32 a33 � a31 a33 � a31 a32 � � � � a13 � a � a12 � �a �a �a M 31  �12 ; M 32  �11 13 � ; M 33  �11 � � a22 a23 � a21 a23 � � � �a21 a22 � Định nghĩa : Định thức ma trận A, kí hiệu det(A) A , định nghĩa sau : A ma trận cấp : A   a11  det(A) = a11 A ma trận cấp : a � �a A  �11 12 �thì det  A   a11 det  M 11   a12 det  M 12   a11.a22  a12 a21 a21 a22 � � (Trong a11 , a12 phần tử nằm hàng ma trận A) Tổng quát ta có : A ma trận cấp n : det(A)= a11det(M11)- a12det(M12)+ +(-1)1+na1n det(M1n) Nghe, hiểu, ghi chép -Trả lời 10 phút 2.2.Các tính chất : -Đặt vấn đề Tính chất : Định thức ma trận vng A định thức ma trận chuyển -Thuyết trình v ca nú ( hay định thức không thay đổi ta đổi dòng thành cột cột thành dòng) Tức det(At) = det (A) Ví dụ : 5 ; -Nghe, hiểu, ghi chép -Trả lời 5 Hệ quả: Một tính chất phát biểu hàng định thức với cột ngược lại Tính chất :Nếu đổi chỗ hai hàng (hay cột) cho định thức đổi dấu Ví dụ: phút Tiết phút 3 5 ;  4 Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay cột) giống khơng Chứng minh: gọi định thức có hai hàng  Đổi chỗ hai hàng ta  = -   =0  =0 Tính chất 4: Dựa vào định nghĩa (*) áp dụng tính chất ta suy : det(A)= (-1) i+1 [ ai1det(Mi1)- ai2det(Mi2)+  ain det(Min) ] (1) ai1, 2,…,ai n nằm hàng i định thức, cơng thức (1) gọi khai triển định thức theo hàng i Tương tự : det(A)= (-1) 1+j [ a1j det(M1j )- a2j det(M2j )+  anj det(Mnj ) ] (2) a1j, a2j,…,anj nằm cột j định thức, cơng thức (2) gọi khai triển định thức theo cột j Tính chất : Định thức có hàng (hay cột) tồn số khơng khơng Tổng kết giảng -Nhấn mạnh nd trọng tâm -Giao nhiệm vụ nhà Giới thiệu - Phát vấn học viên kiến thức trước - Giới thiệu nội dung giảng 10 -Nghe giảng -Ghi nhớ Nghe giảng 15 phút  x1   b1     x2 b2 - Đặt X = ;C= ma trận cột hệ (1) cã d¹ng   -Thuyết trình     x  b   n   m  AX = C (2) mµ ta gäi dạng ma trận hệ phơng trình (1) Chỳ ý: Nếu b1  b2   bm  ta hệ phương trình : A.X = b) Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ĐN: Ta gọi    1 ,  , ,  n  nghiệm hệ (1) A  =C Nhận xét :+ Hệ phương trình tuyến tính A.X = ln có nghiệm    0, ,  , ta gọi nghiệm nghiệm tầm thường + Hệ (1) gọi xác định có nghiệm + Hệ (1) gọi không xác định có nhiều nghiệm + Hệ (1) gọi vơ nghiệm khơng có nghiệm c)Hệ phương trình tương đương ĐN: Hai hệ phương trình A.X = C A' X = C ' gọi tương đương nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại d)Các phép biến đổi tương đương ĐN: Các phép biến đổi tương đương phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm, tức đưa hệ phương trình hệ phương trình tương đương với Các phép biến đổi sau tương đương: - Thay đổi thứ tự phương trình - Loại bỏ phần tử - Nhân phương trình với phần tử khác Cộng vào phương trình phương trình khỏc Định lý tồn nghiệm hệ phơng trình tuyến -thuyt trỡnh tính Định lý Krônechker - Capelli Hệ phơng trình tuyến tính (1) có nghiệm hạng(A) = hạng(B) Chứng minh: Gọi U không gian sinh hệ véc tơ 19 -Nghe,hiểu, ghi chép -Nghe,hiểu, ghi chép r r r  α1 , α , , α n  (A) Km W không gian sinh bëi hƯ vÐc t¬ r  αr , αr , , αr , β (B) cña K n Rõ ràng (A) (B) nên U W m (  ) NÕu hÖ cã nghiÖm (c 1, c2, … , cn) th× r r r r r β c1α1  c 2α   c n n , có nghĩa biểu thị tuyến tính đợc qua hệ (A), hạng hệ (A) = h¹ng hƯ (B) VËy h¹ng(A) = h¹ng(B) ( ) Nếu hạng(A) = hạng(B) hạng hệ (A) = hạng hệ (B) Do r dimU = dimW Chó ý r»ng U  W nªn suy U = W Vậy U tồn số c 1, c2, , cn K cho r r r r β c1α1  c2 α   c n α n , cã nghÜa lµ hƯ (1) cã nghiƯm �x  y  VD1: Giải hệ phương trình sau: � �x  y  Giải: 1� � � 1 1� + Ta có: A  � �; A  � � 2� 1� � � r(A) = 2; r( A ) = 2; suy r(A) = r( A ) Vậy theo định lý hệ có nghiệm �x  y  �x  theo phương pháp ta có nghiệm � �x  y  �y  �x  y  VD2:Giải hệ � �2 x  y  + Nếu giải hệ � Giải: - Dễ thấy hệ VN Kiểm tra định lý: 1� � � 1 1� ;A� Ta có: A= � � � 2� � 2 3� � r(A) = 1; r( A ) = Vậy r(A) � r(A) suy hệ vô nghiệm 20 - Đặt câu hỏi -Trả lời phút Tiết phút Tổng kết giảng -Nhấn mạnh nd trọng tâm -Giao nhiệm vụ nhà Giới thiệu - Phát vấn học viên kiến thức trước - Giới thiệu nội dung giảng 21 -Nghe giảng -Ghi nhớ Nghe ging 20 phỳt Phơng pháp giải hệ phơng tr×nh tuyÕn tÝnh 3.1 Phương pháp Cramer a) Định nghĩa hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính có số ẩn số phương trình có định thức D c¸c hƯ sè cđa Èn khác gọi hệ Cramer �a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 �a x  a x   a x  b �21 22 2n n Tức : � � � �an1 x1  am x2   ann xn  bn a11 a1n với D = A  a21 a2 n an1 ann b) Định lí công thức: Hệ phơng tr×nh Crame:  a 11 x  a 12 x   a 1n x n b1  a x  a x   a x b  21 22 2n n    a n1 x  a n2 x   a nn x n b n cã nghiÖm nhÊt c1, c2, , cn cj  Dj D đợc cho công thức: , j 1, n , Dj định thức thu đợc từ định thøc D b»ng c¸ch thay cét thø j bëi cét sè h¹ng tù b1, b2, , bn  x1  x  x3  Ví dụ1 Giải hệ phơng trình: x1  x  x3 4  x  11x  x 17  Giải: Hệ phương trình có số ẩn số phương trình 5 5 D2  1    19  36 17 0  11   19 Crame  5 4   17; D2 0; D3  34 22 17 11 Hệ đà cho hƯ -Thuyết trình -Nêu hướng dẫn làm ví dụ -Nghe, hiu,ghi chộp -Tr li 15 phỳt 3.2 Phơng pháp Gauxơ (phơng pháp khử dần ẩn số) - L phng pháp tổng quát dùng trường hợp gii h phng trỡnh tuyn tớnh - Định lí Nếu ta thực hng ma trận bổ sung hệ phơng trình tuyến tính phép biến đổi sơ cấp , ta đợc hệ phơng trình tơng đơng với hệ đà cho Chú ý: Ta thờng đa hệ đà cho dạng chÐo trªn ma trËn bỉ xung  x1  x  x3   - VÝ dụ Giải hệ phơng trình: x1 x  x3 4  x  11x  x 17  Ta lËp ma trận bổ xung B biến đổi nh sau: B= 1   7 1   7 1                 18     18    11  17    19 38   0 17  34        VËy hệ tơng đơng với hệ: x1 x2  x3   x1 1   x2  x3 18   x2 0    x   17 x3  34   VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt : (x1, x2, x3) = (1, 0, – 2) Bài tập: giải biện luận hệ phương trình sau:  ax  y  z 1   x  ay  z a (1) x,y,z ẩn; a tham số  x  y  az a  23 -Đặt vấn đề -Thuyết trình -Nêu hướng dẫn làm ví dụ -Nghe, hiểu,ghi chép -Trả lời phút Tổng kết giảng -Nhấn mạnh nd trọng tâm -Nghe giảng -Ghi nhớ -Giao nhiệm vụ nhà Bài tập Tiết phút - Phát vấn học viên kiến thức trước liên quan học -Tóm tắt -Nghe giảng - Gọi kiểm tra cũ: -Phát vấn -Làm x1  x2  x3  � � Giải hệ phương trình sau theo phương pháp crame: �2 x1  3x2  x3  � x1  x2  3x3  11 � 24 phút 1 1� � � � 4� Bài :Cho hai ma trận A  � � � 6� � 1� � � � B � 2 � � 4� � � a)Tính A B b) Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A giải: t 1 1� 1 1� � � � � t � � 4� �A � 3� a) A  � � � 6� 6� � � � � 1 1� � �6 � � � � � � �� � A B� 3� 2 � � 14 17 � � � � � 6� 4� 27 � � � � �� � t b) 1 det A   �0 � A1 c11  3; c12  3; c13  c21  1; c22  5; c23  2 c31  1; c32  2; c33  3 � � � � C � 2 �� C t � 2 � � � �3 Ct � 1 A  � 3 det A � �1 2 �3 1 � � � � 3 2 � �1 2 � � � 1� � 2 � 1� � 25 - Nêu hướng dẫn làm ví dụ -Phát vấn -Nghe hiểu -Làm 15 phút Bài 2: Giải hệ phương trình sau theo phương pháp gaus: �x1  x2  x3  � a) �x1  x2  x3  1 ; �x  x  x  4 �1 � x1  x2  x3  1 �4 x  x  3x  � b) � �2 x1  x2  x3  � 3x1  x2  x3  � giải: a)Ta có: � 1 11 � � � A� 1 � � 4 � � � � 1 11 � � � �� 2 � � 5 � � � � 1 1 � �x3  �x1  � � � � �� 2 �� �x2  x3  2 � �x2  1 � � � 0 1 1 � � � �x1  x2  x3  �x3  Vậy hệ phương trình có nghiệm (1,-1,1) � � � � � � � � 1 1� �1 1� � b) A  �4 �� �0 19 19 � � � � � �2 1 2 � �0 � �3 � �0 14 13 1� � � � � Hàng cộng hàng 4,kết nhận nhân (-1) cộng hàng ta � � � � 1 1 � �1 1� � � �0 0 �� � � � � � �0 14 13 1 � � � � � �0 14 13 1� � � 26 - Nêu ví dụ -Nghe hiểu -Phát vấn -Làm -Gọi học viên phút Bài 3: 2   1   Tính hạng ma trận A =  1  4    Giải:  2 0 Dễ thấy D =  Xét tiếp định thức cấp bao quanh D là:   1  D1 =  =   =   0 1 - Nêu định hướng 0  2 1   -Nghe hiểu -Làm -Gọi hv làm 1  Bao quanh D1 có định thức cấp D3 = D4 =    = 1   4   2 = 1         13 1 = 0  17 1 1 = 0  12  13  =  0 0  17 1   =  0 0  12  Vậy hạng(A) = (cấp D1) phút -Tổng kết giảng -Nghe giảng 27 -Tổng kết chương -Nhấn mạnh nd trọng tâm chương -Ghi nhớ -Giao nhiệm vụ nhà Bắc Ninh, ngày tháng11 năm 2017 GIÁO VIÊN 28 ... phút 2.3 Một số phương pháp tính định thức: a Khai triển định thức theo phần tử hàng cột: Áp dụng cơng thức (1) (2) -Thuyết trình Chú ý: + Tính định thức cấp n ta đưa tính định thức cấp nhỏ... ) Bớc 2: Tớnh định thức cấp k+1 - Nếu định thức cấp k+1 kết luận: hạng ma trận Amn k - Nếu có định thức cấp k+1 khác ta lại tính định thức cấp k+2 bao định thức cấp k+1 khác (nếu có) Quá trình. .. dạng ma trận hệ phơng trình (1) Chỳ ý: Nu b1  b2   bm  ta hệ phương trình : A.X = b) Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ĐN: Ta gọi    1 ,  , ,  n  nghiệm hệ (1) A  =C Nhận xét :+ Hệ phương