Đang tải... (xem toàn văn)
hiểu được định nghĩa hạng của ma trận, nắm được cách tính hạng của ma trận nắm được các khái niệm cơ bản về hệ phương trình đại số tuyến tính Học viên tư duy được phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 2. Kỹ năng thành thạo tính được các định thức tìm được ma trận nghịch đảo, hạng của một ma trận thành thạo giải các hệ phương trình tuyến tính
HỆ THỐNG CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP BÀI 2: ma trận hệ phơng trình tuyến tính Bi Cho c¸c ma trËn: 3 −2 A=4 7 1 − TÝnh: a) A + B – C ; 4 B = − 6 b) 2A – 7B −2 7 C = 11 − 0 1 ; c) 3A + 5B 2C Bài Tìm ma trận X cho: a) A – X = B; b) 3B + 2X = A; c) 5X – 2A = 4B ë ma trận A, B có dạng: 10 A = 2 5 ; 1 B = − 10 − Bµi Cho hai ma trËn : A = 2 5 4 0 ; B = − 1 6 9 Tìm ma trận X trờng hợp sau đây: a) X = A + tB ma trận không) ; b) 3tB – 2X = 2A ; c) 3X + tA – 2B = O ( O lµ Bµi Nhân ma trận sau: 10 a) 11 − − 1 c) − 9 b) 4 4 7 − 1 − 12 0 6 d) ( a1 a a3 x1 x a4 ) x 3 x 4 −1 5 −1 3 ; B = Bµi Cho hai ma trËn : A = 6 0 7 5 4 TÝnh AB vµ BA Có kết luận tính giao hoán phép nhân ma trận Bài Cho c¸c ma trËn: A = −1 5 4 − ; B = 5 5 7 ; C = − 0 3 4 a) TÝnh AB ; BC b) TÝnh (AB)C vµ A(BC) So sánh hai kết Tìm tất ma trận X cho AX Bµi Cho ma trËn A = 0 = I (I lµ ma trận đơn vị) Bài Giả sử A ma trËn vu«ng, f(x) = a + a1x + a2x2 + + anxn , ta ký hiÖu f(A) = a0I + a1A + a2A2 + + anAn đa thức f(x) = x2 – 2x + TÝnh f(A) Cho ma trËn A = − 0 Bµi Chøng minh với A, B hai ma trận vuông cấp n khả nghịch ta có: (AB) = B1A Bài 10 Cho ma trận : −1 1 A= 3 − 1 1 0 B = TÝnh định 1 thức AB Bài 11 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau ®©y: a) 5 A = − 3 d) 1 − D = 1 − 3 1 − f) 1 0 F = 0 −2 0 4 4 0 b) 6 B = 5 − 2 e) 3 2 E = −1 0 −1 1 g) 2 3 G= 1 −1 0 c) 0 0 4 h) − 3 C = 5 − 3 1 3 H = 3 −1 −4 −1 − 2 − 4 − 3 − Bài 12 Tuỳ theo giá trị tham số thực a, tính hạng ma trËn sau: 3 a b) B = 2 a −1 2 a) A = − a 10 − d) D = a 3 6 a +1 3+ a c) C = 8+ a a + 3 3 + a a + a 2 2 a 3 1 4 10 17 3 3 a a 3 a Bµi 13 a) Tìm ma trận vuông A khác ma trận không, cấp lớn mà A = O b) Chứng minh ma trận vuông A thoả mãn ®iỊu kiƯn A = O, th× I + A I A hai ma trận nghịch đảo nhau, ( I ma trận đơn vị) Bài 14 Cho ma trận: A = 4 − 3 B= 0 − 0 −1 5 C = 3 7 1 − 6 T×m ma trận X thoả mãn đẳng thức AX + B = C, (giải phơng trình bậc nhất) Bài 15 Cho F(x) = x(x – 1)(x – 2) (x – n + 1), n số tự nhiên, a số thực Tính định thức cấp n + sau đây: a) F (a ) F ′(a ) F ′(a ) F ′′(a ) D2 = F ( n ) (a ) F ( n +1) (a ) F (0) F (1) F (1) F (2) D1 = F (n) F ( n + 1) F (n) F ( n + 1) F (2n) F ( n ) ( a) F ( n +1) (a ) F (2 n ) (a ) Bài 16 Tính định thức cấp n sau đây: b) 1 1 −x a a a a a a a) A = − x − x a − x − x − x − x a Bµi 17 Chøng minh r»ng : D = b) B= x 0 −1 x 0 −1 x 1 1 1 0 a0 a1 a2 x a n −1 0 − = n ∑a x i =0 i i an Bài 18 Tính định thức : a 0 a) A = b a b x a1 c) C = a1 a1 a1 x a2 a2 0 a 0 a2 a2 x a3 b a b 0 a a n a n a n x b) B = 2 2 2 a1 a1 + b1 a1 d) D = a1 2 n a2 a2 a + b2 a2 an an an a n + bn Bài 19 Tìm ma trận nghịch ®¶o cđa ma trËn sau: 1 1 1 − − 1 a) A = − 1 − 1 1 − − 1 1 0 b) B = 0 a a2 a 0 a n a n −1 a n − Bài 20 Tìm điều kiện cần đủ để hệ sau có nghiệm: ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = Bài 21 Đối với hệ sau, tìm giá trị tham số a, b để hÖ cã nghiÖm ax + y + z = a) x + ay + z = a x + y + az = a b) ax + y + z = x + by + z = x + 2by + z = Bµi 22 Chứng minh với giá trị a, b, c hệ phơng trình sau có nghiệm x + ay + a z = a x + by + b z = b x + cy + c z = c Bài 23 Giải biện luận hệ phơng trình sau theo tham số a, b, c ax + by + cz = a + b + c bx + cy + az = a + b + c cx + ay + bz = a + b + c Bài 24 Cho định thức Vandermode sau: a1 a12 a1n −1 a2 a 22 a 2n −1 Dn = a3 a32 a3n −1 Chøng minh r»ng Dn = an a n2 a nn −1 ∏ 1≤ k < i ≤ n (a i − a k ) Bµi 25 Chøng minh định thức cấp n sau hạng tử thứ n dãy số Phi-bô-na-xi, tức u = 1, u2 = 2, , uk + = uk + uk + 1, víi k = 1, 2, , ®ã: 1 −1 −1 un = 0 0 1 0 0 1 Bi 26 Giải hệ phơng trình sau: a) x1 x + x3 = −12 2x + x + x = x1 − x − x3 = x1 + x + x3 = x1 + x + x3 − x = 3 x1 − x + x3 − x = −12 x − x + x + x = −12 b) c) x1 + x + x3 − x = −1 x − 3x + x + x = 11x + x3 − x = −5 x1 − x + x3 + x = x1 + x − x3 + x − x5 = x − x + x − 3x + x = d) x1 + x − x3 + x − x5 = 3 x1 − x + x3 − x + x5 = x1 + x + x3 − x − x5 = e) 2 x1 + x + x3 − x − x5 = x + x + 3x − x − x = Bài 27 Tìm hệ nghiệm số chiều không gian nghiệm hệ phơng tr×nh: x1 − x − x3 + x = b) x1 − x − x3 − x = 5 x − x − 3x − x = x1 + x − x3 − x = a) =0 2 x1 − x − x3 x1 − x − x3 + x + x5 + x = 3 x − 12 x − x + x + x + x = d) x + x − x + x − x = 3x2 − x − x5 =0 3 x1 + x + x3 − x − 12 x5 + x6 = + x − x − x5 = c) x1 x + x3 − x5 =0 Bài 28 Cho hai hệ phơng tr×nh: x1 + x − x3 − x + x5 = x − x + x + x − 2x = a) 3 x1 + x − x3 − x + x5 = 4 x1 + x − x3 − x + x5 = x1 − x + x3 − x + x5 = x1 + x − x3 + x − x5 = b) x1 − 10 x + x3 − x + x5 = 2 x1 − 14 x + x3 − x + 11x5 = −1 1 3 BiÕt nghiệm riêng hệ a) , , 0, 0, nghiệm riêng 3 cđa hƯ b) lµ , , 0, 0, Đối với hệ phơng trình: Tìm nghiệm tổng quát hệ nhờ hệ nghiệm hệ liên kết tơng ứng Nhờ nghiệm tổng quát vừa tìm đợc, tìm nghiệm riêng mà thành phần toạ độ số nguyên P N Cho ma trận: A = 1 − TÝnh: a) A + B – C ; b) 2A – 7B 4 B = − 6 −2 7 C = 11 − 0 1 ; c) 3A + 5B – 2C Gi¶i: 3 −2 4 a) A + B – C = + − 1 − 6 b) 2A – 7B = 0 −2 7 −9 1 – = −9 11 − −4 3 −2 4 – − 1 − 6 0 − 22 1 = 43 − 40 − 4 − 73 3 −2 4 3A + 5B – 2C = + − 1 − 6 c) 0 1 – −2 7 = 11 − 33 − 20 26 − 29 11 36 10 − 2 bµi Cho hai ma trËn : A = ; T×m ma trËn X cho: a) A – X = B; = 4B 1 B = − b) 3B + 2X = A; c) 5X – 2A Gi¶i: a) − 15 4 −2 A – X = B ⇔ 10 − X = A – B = 2 1 – − 2 10 − 1 − 3 b) 3B + 2X = A ⇔ X = (A – 3B) = 2 6 − = = − 31 − 16 −4 / − 31 / = −8 −2 10 − + 4. c) 5X – 2A = 4B ⇔ X = (2A + 4B) = 2. 6 5 − = 24 − 18 38 22 12 10 − bµi Cho hai ma trËn : A = 2 5 4 0 ; B = − 1 6 9 Tìm ma trận X trờng hợp sau đây: a) X = A + tB ma trËn kh«ng) ; b) 3tB – 2X = 2A ; c) 3X + tA 2B = ( Giải: Trớc hÕt ta cã: t 4 − B = 0 10 − 5 a) X = A + tB = 2 , vµ t 10 A = − 5 5 6 4 − + 0 , v× vËy: 14 − 12 = 2 11 15 − 10 − − 2 b) 3tB – 2X = 2A ⇔ X = (3tB – 2A) = 3 0 = − −1 − − 15 9 2 10 1 t c) 3X + A – 2B = ⇔ X = (2B – A) = 2 − − − t ⇔ X= − − 2 −3 −3 12 Nhân ma trËn sau: − 10 a) 11 − 9 b) 4 − 1 c) − d) ( a1 4 7 − 1 − 12 0 6 x1 x a a3 a ) x 3 x 4 Gi¶i: − 10 − 38 13 = a) 11 − 98 97 9 b) 4 4 7 − 1 − = 12 0 6 21 82 − 20 118 − 1 14 98 c) − = 48 28 29 75 d) ( a1 a a3 x1 x a ) = (a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4) x 3 x 4 −1 5 −1 3 ; B = bµi Cho hai ma trËn : A = 6 0 7 5 4 TÝnh AB vµ BA Có kết luận tính giao hoán phép nhân ma trận Giải: Ta cã tÝch AB = 6 −1 3 7 0 7 5 12 77 , lµ ma trËn vu«ng cÊp = 4 28 68 10 16 Tính định thức cấp n sau đây: 1 1 x a a a a a a a) A = − x − x a − x − x − x − x a B= b) 1 1 1 Giải: a) Cách Nhân cột với ( 1), cộng vào cột sau ta đợc: 0 0 a+x a+x a+x − x a + x a + x a + x a + x a+x a+x A= −x a + x a + x a + x = −x a+x 0 0 0 a+x a+x n = (a+x) a+x a+x a+x -1 (Sau khai triển định thức cấp n theo dòng 1, ta đợc định thức cấp n 1) Cách Nhân dòng thứ với ( a), cộng vào dòng sau ta đợc: 1 1 − (a + x) 0 0 A = − (a + x) − (a + x) 0 = (– 1)1 + n.1.[– (a + x)]n - (a + − (a + x) − (a + x) − (a + x) − (a + x ) x)n - Cách Nhân dòng thứ với x, cộng vào dòng sau ta đợc: 1 1 a + x a + x a + x a + x A= 0 a + x a + x a + x = (a + x) 0 a+x n-1 b) Céng tÊt c¶ cột vào cột ta đợc: 17 B= 1 1 1 = n −1 n −1 n −1 n −1 1 1 1 = (n − 1) 1 1 1 1 = (– 1) n - (n 1) (Nhân dòng thứ với ( 1), cộng vào dòng sau, sau khai triển định thức theo cột thứ ta đợc kết nh trên) x 17 Chứng minh : −1 x −1 D= 0 0 x 0 a0 a1 a2 = x a n −1 − a n n ∑a x i =0 i i Gi¶i: Tríc hÕt ta thấy D định thức cấp n + Cách Ta chứng minh phơng pháp quy nạp theo n Trong trờng hợp ta khai triển định thức theo dòng đầu Với n = 1, th× D = x a0 = a1 x + a , khẳng định a1 x a0 Víi n = 2, th× D = − x a1 = a x + a + a1 x = a2x2 + a1x + a0, a2 khẳng định Giả sử khẳng định n - 1, ( n > 2) ta chứng minh khẳng định với n Khai triển định thức theo dòng đầu ta đợc: x −1 x −1 D=x 0 0 x 0 −1 x 0 −1 x 0 −1 0 a1 a2 a3 + a0 (−1)1+ n +1 x a n − − a n −1 18 0 0 0 0 − x −1 n i −1 = x ∑ x + a0(- 1)n + 2.(- 1)n = i =1 n ∑ x i + a = i =1 n ∑a x i i i=0 (®pcm) Cách Khai triển định thức theo cột cuối ta ®ỵc: −1 x 0 −1 x 0 −1 D = ( −1)1+ n +1 a0 0 0 x −1 + (−1) 3+ n +1 a 0 0 − 0 x −1 x 0 −1 x 0 −1 + (−1) 2+ n +1 a1 0 0 0 0 x 0 −1 0 0 x 0 −1 x 0 −1 + + (−1) n +1+ n +1 a n − x 0 −1 0 n = a0 + a1x + a2x + + anx = n ∑a x i=0 i i 0 0 0 + − x 0 x 0 0 x a b x a1 c) C = a1 a1 a1 x a2 a2 0 a 0 a2 a2 x a3 b a b 0 a (®pcm) a n a n a n x b) B = 2 2 2 a1 a1 + b1 a1 d) D = a1 Gi¶i: 19 2 n a2 a2 a + b2 a2 0 0 x 18 Tính định thức : a 0 a) A = b −1 an an an a n + bn a) Ta ký hiệu định thức A cÊp 2n lµ A = D 2n Khai triĨn định thức theo dòng dòng 2n ta đợc: D2n = (a2 b2).D2n - Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc: D2n = (a2 b2)2 b) (Lấy dòng thứ nhân với 1, cộng vào tất dòng khác, sau khai triển theo dòng đầu, định thức lại có d¹ng chÐo) B= 2 2 2 2 −1 2 = n 0 2 −1 0 = –2(n – 2)! n − c) Cộng tất cột vào cột đầu ta đợc nhân tử chung là: x + a1 + a2 + + an , vµ xem C nh lµ đa thức bậc n + x, mà ta ký hiƯu lµ F(x) VËy C = F(x) x a1 C = a1 a1 a1 x a2 a2 a2 a2 x a3 a n a n a n = (x + a1 + a2 + + an) x a1 x a2 a2 a2 a2 x a3 a n a n a n x NÕu x = a1 dòng dòng trùng nhau, C = 0, tức F(x) ( x – a1) T¬ng tù nh vËy ta còng cã F(x) ( x – ), ∀i = 1, n Do c¸c ( x – ), ∀i = 1, n , đôi nguyên tố nªn: n F(x) ∏( x − a ) i =1 i Do F(x) đa thức bậc n + 1, víi hƯ sè cao nhÊt b»ng nªn ta cã: n F(x) = ∏( x − a ) (x + a1 + a2 + + an) i =1 i d) Lấy dòng thứ nhân với 1, cộng vào dòng khác ta đợc: 20 1 D= a1 a1 + b1 a1 a2 a2 a + b2 a1 a2 1 a1 a b1 = 0 b2 a n + bn 0 an an an a n = b1b2 bn bn 19 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: b) B = 0 1 1 1 − − 1 a) A = − 1 − 1 1 − − 1 a a2 a 0 a n a n −1 a n − Gi¶i: a) Ta cã detA = 16 Mặt khác A đối xứng A i j = A j i ( i, j = 1, 2, 3, 4) TÝnh to¸n thĨ ta ®ỵc: A11 = – ; A12 = – ; A13 = – ; A14 = – ; A22 = – ; A23 = ; A24 = ; A33 = – ; A34 = ; A44 =–4 VËy: A -1 1 − − − − 4 1 − − 4 1 1 − − 1 = A= = − 16 − 4 − 4 4 − 1 − 1 − 4 1 − − 1 − 1 1 1 1 ÷ ÷ −1 −1÷ 1 −1 −1÷ 1 = Chó ý Ta cã A = 1 −1 −1÷ −1 −1÷ ÷ ÷ 1 −1 −1 −1 −1 0 0 0 0 ÷ 0ữ = 4I , nên 0ữ ữ A A ữ = I Từ suy A −1 = A 4 b) Với i = 2, 3, , n + 1, nhân dòng thứ i với a, cộng vào dòng thứ i 1, ta đợc: 0 0 0 a a2 a 0 a n a n −1 a n −2 1 0 0 0 1 0 0 0 → 0 1 0 21 0 −a 0 −a 00 0 0 0 1 −a −a −1 Suy A = 0 0 0 0 0 ÷ ÷ 0 ÷ ÷ ÷ −a ÷ ÷ ÷ Bài 20 Tìm điều kiện cần đủ để hÖ sau cã nghiÖm: ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = Gi¶i: Xét định thức: a 1 A = a = (a − 1) (a + 2) VËy A = a = hc a = - 1 a NÕu a ≠ a - 2, A 0, ®ã hÖ cã nghiÖm nhÊt NÕu a = 1, ba phơng trình một, hệ có nghiệm 1 Nếu a = - 2, hạngA = 2, hạngB = 1 = ≠ , −2 ®ã hƯ v« nghiƯm KÕt ln hƯ cã nghiƯm a - 21 Đối với hệ sau, tìm giá trị tham sè a, b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm ax + y + z = a) x + ay + z = a x + y + az = a b) ax + y + z = x + by + z = x + 2by + z = Giải: a) Hệ có nghiệm a ≠ - ThËt vËy: 22 a 1 1 a a 1 a a 2 1 a a → a 1 → 0 1− a 1− a 1− a → 1 a a2 1 a a2 0 1− a a −1 a2 − a 1 a a 1 a a 2 a −1 a −a 0 1− a a −1 a − a → 0 1− a Tõ ®ã suy ra: 0 1− a2 1− a 1− a2 0 (1 − a )(2 + a ) (1 − a)(1 + a ) NÕu a ≠ - vµ a ≠ 1, th× hƯ cã nghiƯm nhÊt NÕu a = - 2, hệ vô nghiệm Nếu a = 1, th× hƯ cã nghiƯm phơ thc tham sè VËy hƯ cã nghiƯm vµ chØ a ≠ - a 1 b) Ta cã A = b = b(1 − a ) 2b VËy b ≠ vµ a ≠ 1, hƯ cã nghiƯm nhÊt Khi b = 0, th× từ phơng trình sau suy hệ vô nghiệm x+ y+z =4 Khi a = 1, th× cã hÖ: x + by + z = Rõ ràng y = 0, x + 2by + z = nghiƯm cđa hệ, từ phơng trình suy (1 - 2b)y = ⇒ b = 1/2 Khi ®ã hƯ cã nghiƯm VËy b ≠ a 1, a = b = 1/2 hệ có nghiệm Trong trờng hợp lại hệ vô nghiệm 22 Chứng minh với giá trị a, b, c hệ phơng trình sau có nghiệm x + ay + a z = a x + by + b z = b x + cy + c z = c Gi¶i: Ta cã: A = (a - b)(b - c)(c - a) Bëi vËy: NÕu a, b, c lµ ba số đôi khác hệ có nghiệm: x = abc ; y = – (ab + bc +ca); z = a + b + c 23 NÕu ba sè a, b, c chØ cã hai sè b»ng nhau, th× hƯ cã nghiƯm phơ thc hai tham sè NÕu ba sè a = b = c, th× hƯ có nghiệm phụ thuộc tham số 23 Giải biện luận hệ phơng trình sau theo tham số a, b, c ax + by + cz = a + b + c bx + cy + az = a + b + c cx + ay + bz = a + b + c Gi¶i: b a b c Ta cã: D = b c a = (a + b + c) c c a b a c b c a = (a + b + c) c − b a − c a−b b−c b = (a + b + c)[(c – b)(b – c) – (a – c)(a – b)] = (a + b + c)(ab + bc + ca – a – b – c 2) = − (a + b + c)[(a − b) + (b − c) + (c − a ) ] VËy D ≠ ⇔ a + b + c ≠ vµ a, b, c không đồng thời Xét trờng hợp: 1) a + b + c ≠ vµ a, b, c không đồng thời Trờng hợp hƯ cã nghiƯm nhÊt vµ dƠ dµng thÊy nghiƯm là: x = y = z = 2) a + b + c ≠ vµ a, b, c ®ång thêi b»ng Khi ®ã a = b = c hệ cho phơng trình: x + y + z = Trờng hợp hệ có nghiệm phụ thuộc tham số, mà nghiệm tổng quát là: (a 1, a2, – a1 – a2) ; ∀ a1 , a2 ∈ R 3) a + b + c = a, b, c đồng thời Khi a = b = c = hệ vô ®Þnh phơ thc tham sè, mäi bé ba sè thực nghiệm hệ, nghĩa nghiệm tổng quát có dạng: ( b1, b2, b3) ; b1, b2 , b3 ∈ R 4) a + b + c = a, b, c không đồng thời b»ng Khi ®ã ta cã: ac – b2 = ab – c2 = bc – a2 ≠ 0.ThËt vËy nÕu ac – b2 = 0, th× ac = b2 KÕt hỵp víi a + b + c = 0, tức a + c = b, ta đợc a2 + c2 + 2ac = b2, hay a2 + 2b2 + c2 = b2 , ®ã: a2 + b2 + c2 = Điều mâu thuẫn với a, b, c không đồng thời không Các trờng hợp lại chứng 24 minh tơng tự Vì: ac b2 0, nên hạngA = ( trờng hợp hệ hệ nhất), nên hệ có nghiệm phụ thuộc tham số Nghiệm tổng quát là: (c1, c1, c1) ; ∀ c1 ∈ R Chó ý: Ta giải nh sau Đặt X = x – 1; Y = y – ; Z aX + bY + cZ = = z 1, hệ cho trở thành: bX + cY + aZ = cX + aY + bZ = Nhìn chung giải biện luận hệ dễ dàng trớc 24 Cho định thức Vandermode sau: a1 a12 a1n −1 a2 a 22 a 2n −1 Dn = a3 a32 a3n −1 Chøng minh r»ng Dn = an a n2 a nn −1 ∏ 1≤ k < i ≤ n (ai − ak ) Giải: Trừ vào cột cột đứng trớc nhân lên với a ta đợc định thức mà dòng, sau khai triển định thức theo dòng 1, có nhân tử chung a1, víi i = 2, 3, , n a1 a12 a1n −1 1 a2 a 22 a 2n −1 a − a1 a (a − a1 ) a 2n −2 (a − a1 ) Dn = a3 a32 a3 (a3 − a1 ) a3n −2 (a3 − a1 ) an a n2 a3n −1 = a3 − a1 a n − a1 a nn −1 a n (a n − a1 ) a nn −2 (a n − a1 ) a2 a 22 a 2n −2 a3 a32 a3n −2 = (a2 – a1)(a3 – a1) (an – a1) a4 a 42 a 4n −2 = (a2 – a1)(a3 – a1) (an a n2 a nn −2 an – a1)Dn – Dn - 1, định thức Van đéc mông cấp n nhng phần tử xác định a2, a3, , an Ta dự đoán Dn = 25 k < i ≤ n (ai − ak ) , vµ chøng minh dự đoán phơng pháp quy nạp Với n = 2, n = 3, dễ dàng thấy Giả sử mệnh đề với k n Theo giả thiết quy nạp D n - = ∏ 2≤k