BÀI GIẢNG: TẬP HỢP VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1. Khái niệm tập hợp và phần tử không thể định nghĩa bằng những khái niệm đã biết. Ta coi tập hợp là một khái niệm nguyên sơ, không định nghĩa. Có thể hiểu một cách trực giác như sau: Mỗi tập hợp là sự quần tụ các đối tượng có cùng một thuộc tính nào đó, mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. 2. Một tập hợp với một hay nhiều phép toán hai ngôi định nghĩa trên nó với những tính chất xác định tạo thành cấu trúc đại số. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số cấu trúc đại số thông dụng: cấu trúc nhóm, vành, trường.

CHƯƠNG 1: TẬP HỢP VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

như sau: Mỗi tập hợp là sự quần tụ các đối tượng có cùng một thuộc tính nào đó, mỗi đối

tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp.

Kí hiệu: Tập hợp dùng chữ in hoa: A, B, C, …; Phần tử của tập hợp dùng chữ inthường: a, b, c,…

Quy ước: Tập không có phần tử nào là tập rỗng KH là 

Nếu x là một phần tử của tập X ta nói “ x thuộc X” và viết x X ; Nếu x không làphần tử của tập X ta nói “x không thuộc X” và viết x X

Ví dụ 1.1.1:

i) Tất cả các đường thẳng trong không gian tạo thành tập hợp các đường thẳng

trong không gian

ii) Tất cả các nghiệm của phương trình x n x n tạo thành tập nghiệm của

phương trình

Chú ý 1.1.1: Để cho gọn đôi khi ta dùng từ tập thay cho cụm từ tập hợp

- Cách mô tả một tập hợp

Mô tả tập hợp phải làm rõ một phần tử nào đó có thuộc tập hợp đó hay không

+) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp

+) Sự bao hàm – tập con

Nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B thì ta nói A bao hàm trong B, B bao hàm

A hay A là tập con của B Kí hiệu A B hay BA

Ví dụ 1.1.4: 

Chú ý 1.1.2: Tập A khác rỗng luôn có hai tập con là , A

+) Sự bằng nhau giữa hai tập hợp

Ta nói tập A bằng tập B nếu A và B trùng nhau, nghĩa là mọi phần tử của A cũng làphần tử của B và ngược lại mọi phần tử của B cũng là phần tử của A Kí hiệu: A = BNhư vậy: ( A B  )  ( A B  và B  A)

Ví dụ 1.1.5: A := { 2, 4, 6, 8 } và B := {các số chẵn dương nhỏ hơn 10}

Ta thấy tập A và B đều chỉ gồm 4 phần tử là 2, 4,6,8 Vậy A B

- Biểu diễn hình học – Biểu đồ Ven

Để có hình ảnh trực quan về tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp bởi miền phẳng, giới hạn bởi một đường cong kín không tự cắt

Biểu đồ Ven xem mỗi tập hợp là tập điểm trong một vòng phẳng, mỗi điểm trong vòng

là một phần tử của tập hợp.( hình 1)

b Các phép toán

- Định nghĩa

+) Phép hợp: Hợp của hai tập A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A

hoặc thuộc B Kí hiệu: A B  A B x x A|  hoặc x B }

Biểu diễn A B  bằng biểu đồ Ven ở hình 2.

+) Phép giao: Giao của hai tập A và B là tập hợp tạo bởi tất cả các phần tử vừa

thuộc tập A vừa thuộc tập B Kí hiệu A B A B ( |x x A và x B )

Khi A B =  ta nói A và B rời nhau

Biểu diễn A B bằng biểu đồ Ven ở hình 3.

+) Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của tập A và B là tập tạo bởi tất cả các phần tử thuộc

A mà không thuộc B Kí hiệu là A – B hay A B\ A B\ x x A|  và x B 

Biểu diễn A B\ bằng biểu đồ Ven ở hình 4.

+) Tập bù: Tập A là tập con của tập E, khi đó E A\ gọi là tập bù của A trong E Kí

- Tính chất

i) Giao hoán: A B = B A , A B = B A

ii) Kết hợp:(A B )C A B C , (A B )CAB C 

iii) Phân phối:AB C   A B   A C , AB C  (A B )A C 

iv) Định luật De Morgan:

a Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa: Cho 2 tập hợp X, Y khác rỗng, một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x X ứng với 1 và chỉ 1 phần tử y Y .

i) Với X = {các thí sinh} và Y = {Số báo danh} thì f là một ánh xạ.

Vì mỗi thí sinh trong kỳ thi chỉ có một số báo danh

ii) Với X = {các thí sinh} và Y = {các môn thi đại học} thì f không phải là một ánh

xạ

Vì trong kỳ thi đại học, mỗi thi sinh thường thi ba môn chẳng hạn như toán, lý, hóa

Chú ý 1.1.3:

i) Mọi ảnh qua ánh xạ f của các phần tử trên X đều nằm trong Y.

ii) Mỗi phần tử y Y có thể có nhiều tạo ảnh, một tạo ảnh hoặc không có tạo ảnh

iii) Khi X Y thì ánh xạ id X :X  X gọi là ánh xạ đồng nhất của X

Qua ánh xạ f tìm ảnh của tập A   3;1 và nghịch ảnh của tập B   3;5?

Gợi ý: Có thể dựa vào việc khảo sát hàm số y2x21 từ đó áp dụng định nghĩa ảnh vànghịch ảnh của tập hợp qua ánh xạ tìm ra kết quả

Giải: Ta có f A  y y|  2x2  1,x  2;1    1;7

Và f 1 B x| 2x2  1  3;5    2; 2 

  Ở đây 3; 1  không có tạo ảnh vì nó

không thuộc tập ảnh của f nên nghịch ảnh của B qua ánh xạ f cũng chính là nghịch ảnh

x y2x y z3y1

Khi đó:g f x   g f x    3.2x 1 6x 1

b Tính chất

Đơn ánh : Ánh xạ f X: Y là đơn ánh nếu x1x2và x x1, 2X  f x 1 f x 2

Chú ý 1.1.4: Nếu f là đơn ánh thì phương trình f(x) = y có nhiều nhất một nghiệm.

Vì với y 1 R thì phương trình yf x   x2 1 vô nghiệm

Do đó không tồn tạix   thỏa mãn yf x  1

ii) Ánh xạ : f :  là toàn ánh

x f x( )x2

Vì với mọi y  thì phương trình yf x   x2 yluôn có nghiệm là x y  

Do đó với mọi y luôn tồn tại x y   sao cho yf x x2

Song ánh : Ánh xạ : f X: Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toànánh.

Chú ý 1.1.6: Nếu f là song ánh thì phương trình f(x) = y luôn có nghiệm duy nhất.

Lấy bất kỳ y   thì phương trình yf x( )x3 luôn có nghiệm x3 y

Vậy với mọi y R luôn tồn tại x3 y  để yf x( )x3  f là toàn ánh. 2

Phép toán hai ngôi

- Định nghĩa: Cho tập X khác rỗng, phép toán 2 ngôi trên tập X là một ánh xạ

+) Viết theo lối cộng : X X  X

x y,   x y+) Viết theo lối nhân : X X  X

 Có phần tử đối : Tồn tại 1 phần tử y X x y y x e |     Phần tử y gọi là phần

tử đối của x, kí hiệu là x1 (phép cộng –x, phép nhân là 1/x với x khác 0) Một tập hợp với một hay nhiều phép toán hai ngôi định nghĩa trên nó với những tínhchất xác định tạo thành cấu trúc đại số Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số cấu trúc đại sốthông dụng: cấu trúc nhóm, vành, trường

i) Phần tử đơn vị e nếu tồn tại là duy nhất.

Chứng minh: Giả sử có các phần tử e e, 'là đơn vị

Ta có e e e   ' 'do elà đơn vị ; e e e   ' do e 'là đơn vị.

Suy ra e e  ' hay phần tử đơn vị là duy nhất

ii) Phần tử đối của một phần tử nếu tồn tại là duy nhất

Chứng minh : Giả sử phần tử x có hai phần tử đối là y, z

 , không là nhóm vì không có phần tử đối của 2 với phép cộng là -2

, không là nhóm vì  không có phần tử đối của 2 với phép nhân là

1 2

 ,  là nhóm Abel vì trên  cùng với phép cộng thỏa mãn các tính chất : kết hợp, cóđơn vị (phần tử trung hòa) là 0, có phần tử đối, có tính giao hoán

,. là nhóm Abel vì trên  cùng với phép nhân thỏa mãn các tính chất : kết hợp, cóđơn vị là 1, có phần tử đối, có tính giao hoán

2 Vành

Tập K khác rỗng cùng phép toán 2 ngôi trên K làm thành một vành kí hiệu (K, +, ) nếu

thỏa mãn các tính chất sau: với x y z K, , 

i) (K, +) là nhóm Abel

ii) Phép nhân có tính chất kết hợp: x y z x y z      

iii) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng: x y z      x y x z

(x y z x z y z )    

Vành có thêm tính chất giao hoán của phép nhân gọi là vành giao hoán

Vành có phần tử đơn vị 1 của phép nhân: 1     x x 1 x x K, gọi là vành có đơn vị.

Chú ý 1.2.3: Tính giao hoán và tính có đơn vị độc lập với nhau.

Ví dụ 1.2.2: , , ,  , , ,  , ,. là vành giao hoán, có đơn vị

Tập hợp   ( , ) | ,x y x y gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu  , mỗi cặp số

a b với ;  a b  , là một số phức.

Phép toán cộng trên  định nghĩa:a b;   c d;  a c b d ;  

Phép toán nhân trên  định nghĩa:a b c d;  . ;   ac bd ad bc ;  

 Phân phối phép nhân đối với phép cộng

 Giao hoán với phép nhân

ii) Hai số phức bằng nhau a b;  c d;  a c b d & 

iii) Số phức liên hợp của za b; là za b; 

Trong đó: a được gọi là phần thực của z, kí hiệu là Re(z)

b được gọi là phần ảo của z kí hiệu là Im(z).

( , )

z OM  a b

Nếu z R thì M 0x.Nếu z thuần ảo thì M0y

c Dạng lượng giác

Ta có:

cos

(cos sin )sin

 là biểu diễn dạng lượng giác của số phức

Độ dài vectơ OM là modun của z, kí hiệu là rz OM  a2b2

(OM OX, )

và mỗi số phức đều có vô số argument sai khác nhau

2k k,  , để đơn giản lấy    , 

Chú ý 1.3.2: Số 0 không biểu diễn ở dạng lượng giác.

d Dạng số mũ ảo

Ta xét khai triển Macloranh của hàm số f x liên tục tại   x  0

Do đó số phức có biểu diễn dạng lượng giác z r  (cos   i sin )  thì suy ra z re i

là biểu diễn dạng số mũ ảo của số phức

e Chuyển đổi giữa các dạng biểu thức

Để biểu diễn một số phức cần có 2 yếu tố là phần thực và phần ảo hoặc modun vàargument của số phức đó

 Biết phần thực và phần ảo từ đó suy ra r z a2b2 ,

  cos a,sin b Arg z

 Biết modum và Arg(z) tức là z r  (cos   i sin )  hoặc z re  i từ

đó suy ra a r cos và b r sin

Ví dụ 1.3.1: Cho số phức z1, 3C

Hãy biễu diễn z ở các dạng khác nhau của số phức

Dạng đại số: z 1 i 3

Dạng lượng giác

1 3 21cos

23sin

- Nhân số phức với một số thực: (có thể dùng cả 4 dạng biểu diễn)

+) Dạng lượng giác: zr(cosisin )

+) Dạng hình học: Chiều dài vectơ tăng  lần, điểm gốc, phương, hướng không đổi +) Dạng đại số: z(a) ( b i)

Khi đó: z z1 2 r1 2r cos 1 isin 1cos 2 isin 2

1(cos sin ) 1(cos sin )(cos sin )

(cos sin )(cos sin )2(cos sin ) 2

1 21

2

i e

1 2

23

(Thường dùng biểu diễn dạng lượng giác và số mũ ảo)

- Dạng lượng giác dùng công thức MOIVRE:zn  rn(cos n   i sin n  )

Chứng minh công thức MOIVRE: Quy nạp theo n

+) n = 1 thì z  r (cos   i sin )  đúng

+) n = 2 thì z2  r2(cos 2   i sin 2 )  đúng vì đây chính là trường hợp nhân 2 sốphức bằng nhau.

+) Giả sử công thức đúng với n = k, ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1.Tức là ta có zk  rk(cos k   i sin k  ) đúng, suy ra

( Thường dùng dạng lượng giác và dạng số mũ ảo )

+) Dạng lượng giác: Cho z r (cos isin ) khi đó có n căn bậc n của số phức z

khác nhau có dạng

n k

(cos sin ) sin sin 2

, 0, 1cos cos

- Giải phương trình bậc hai trên tập số phức:

4 Một số tính chất của số phức liên hợp và modun của số phức

Trường hợp lũy thừa là trường hợp đặc biệt của phép nhân các số phức bằng nhau.vi) , ' 0

z z

'

z z z

Nếu vế trái của (1) nhỏ hơn hoặc bằng 0 thì (1) luôn đúng;

Nếu vế trái của (1) lớn hơn hoặc bằng 0 thì bình phương hai vế của (1) ta được

2 ' 'a a b b a b' a b'  ab a b' '  luôn đúng.0

Suy ra (1) luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh.

BÀI TẬP CHƯƠNG 1Bài 1.1: Giả sử f x g x ( ), ( )là các hàm số xác định trên  Kí hiệu

Ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh? Tìm ảnh f  ( ).

Bài 1.6: Cho hai ánh xạ f :    xác định bởi f x ( )  x và g:   xác địnhbởi f x( ) x So sánh f g  và g f 

Bài 1.7: Cho hai ánh xạ f E :  F g F ; :  G Chứng minh rằng

a Nếu f & g là toàn ánh thì g f  là toàn ánh

Nếu f & g là đơn ánh thì g f  là đơn ánh

b Nếu g f  là song ánh và f là toàn ánh thì f & g là song ánh.

Bài 1.8: Chứng minh C[a, b] là tập các hàm liên tục trên [a, b] cùng với 2 phép toán 2

ngôi trên nó tạo thành vành giao hoán có đơn vị

Bài 1.9: Mỗi tập số sau với phép cộng số và phép nhân số trên nó tạo thành cấu trúc

a a

i i



 ; căn bậc 4 của

1 3

i i





, 01, 05

b Ánh xạ không đơn ánh, không toàn ánh, không có ánh xạ ngược

c Đơn ánh, không toàn ánh, không có ánh xạ ngược

Bài 1.5: Ánh xạ f không đơn ánh, không toàn ánh, f       1;1 