1. Khái niệm tập hợp và phần tử không thể định nghĩa bằng những khái niệm đã biết. Ta coi tập hợp là một khái niệm nguyên sơ, không định nghĩa. Có thể hiểu một cách trực giác như sau: Mỗi tập hợp là sự quần tụ các đối tượng có cùng một thuộc tính nào đó, mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. 2. Một tập hợp với một hay nhiều phép toán hai ngôi định nghĩa trên nó với những tính chất xác định tạo thành cấu trúc đại số. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số cấu trúc đại số thông dụng: cấu trúc nhóm, vành, trường.
CHƯƠNG 1: TẬP HỢP VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ I Tập hợp ánh xạ Tập hợp phép toán a Tập hợp Khái niệm tập hợp phần tử định nghĩa khái niệm biết Ta coi tập hợp khái niệm ngun sơ, khơng định nghĩa Có thể hiểu cách trực giác sau: Mỗi tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó, đối tượng cấu thành tập hợp gọi phần tử tập hợp Kí hiệu: Tập hợp dùng chữ in hoa: A, B, C, …; Phần tử tập hợp dùng chữ in thường: a, b, c,… Quy ước: Tập khơng có phần tử tập rỗng KH ∅ Nếu x phần tử tập X ta nói “ x thuộc X” viết phần tử tập X ta nói “x không thuộc X” viết x ∈ X ; Nếu x khơng x∉ X Ví dụ 1.1.1: i) Tất đường thẳng không gian tạo thành tập hợp đường thẳng không gian ii) Tất nghiệm phương trình phương trình xn + x = n tạo thành tập nghiệm Chú ý 1.1.1: Để cho gọn ta dùng từ tập thay cho cụm từ tập hợp - Cách mô tả tập hợp Mô tả tập hợp phải làm rõ phần tử có thuộc tập hợp hay không +) Liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ 1.1.2: A := { x, y , z , t } Tập hợp có phần tử Vậy x ∈ A, y ∈ A, z ∈ A, t ∈ A x, y , z , t u ∉ A, v ∉ A +) Nêu tính chất đặc trưng phần tử tạo thành tập hợp Ví dụ 1.1.3: B := { số đếm chẵn } Như ta có ∈ B 3∉ B - Quan hệ tập hợp +) Sự bao hàm – tập Nếu phần tử A phần tử B ta nói A bao hàm B, B bao hàm A hay A tập B Kí hiệu Ví dụ 1.1.4: A⊂ B hay B A Ơ Â Ô Ă Chú ý 1.1.2: Tập A khác rỗng ln có hai tập ∅,A +) Sự hai tập hợp Ta nói tập A tập B A B trùng nhau, nghĩa phần tử A phần tử B ngược lại phần tử B phần tử A Kí hiệu: A = B Như vậy: ( A = B) ⇔ ( A ⊂ B B ⊃ A ) Ví dụ 1.1.5: A := { 2, 4, 6, } B := {các số chẵn dương nhỏ 10} Ta thấy tập A B gồm phần tử - 2,4,6,8 Vậy A = B Biểu diễn hình học – Biểu đồ Ven Để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng, giới hạn đường cong kín khơng tự cắt Biểu đồ Ven xem tập hợp tập điểm vòng phẳng, điểm vòng phần tử tập hợp.( hình 1) b Các phép toán - Định nghĩa +) Phép hợp: Hợp hai tập A B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc B Kí hiệu: A U B AUB = { x | x∈ A x∈ B } Biểu diễn A U B biểu đồ Ven hình +) Phép giao: Giao hai tập A B tập hợp tạo tất phần tử vừa thuộc tập A vừa thuộc tập B Kí hiệu Khi AI B = ∅ Biểu diễn A I B A I B = (x | x ∈ A x∈B ) ta nói A B rời AI B biểu đồ Ven hình +) Hiệu hai tập hợp: Hiệu tập A B tập tạo tất phần tử thuộc A mà khơng thuộc B Kí hiệu A – B hay Biểu diễn A\ B A\ B A\ B = { x |x∈ A CE A hay A := E \ A Ta có: A := E \ A = A Biểu diễn x ∉ B} biểu đồ Ven hình +) Tập bù: Tập A tập tập E, hiệu A, A biểu đồ Ven hình E\A gọi tập bù A E Kí - Ví dụ: Cho Tìm A = { x, y,1,3} ; B = { 1,3,5, z, t} ; E = { x, y, z, t ,1,2,3,4,5} A U B , A I B , A \ B , CE A, CE B, CE ( A U B ) , CE ( A I B ) Theo định nghĩa phép tốn hai tập hợp ta có A U B = { x, y, z, t ,1,3,5} A I B = { 1,3} A \ B = { x, y} , , , CE A = { z, t , 2, 4,5} , CE B = { x, y, 2, 4} , CE ( A U B ) = { 2, 4} , CE ( A I B ) = { x, y, z, t ,2, 4} - Tính chất AUB = B U A , AI B i) Giao hoán: ii) Kết hợp: iii) iv) Phân phối: Định luật De Morgan: ( A U B ) U C = A U ( B U C ) ( A I B) I C = A I ( B I C ) , A⊂ E, B⊂ E , ta có Suy rộng: I tập N, UA = { x | ∃i ∈ I : x ∈ A } i BI A A U ( B I C ) = ( A U B ) I ( A U C ) A I ( B U C ) = ( A I B) U ( A I C ) Với i∈ I = i Và I i∈ I A U B := A I B , A I B := A U B ( Ai )i∈ I họ tập E Ta định nghĩa: Ai = { x | ∀ i ∈ I : x ∈ Ai } Định luật De Morgan suy rộng: U Ai ÷ = I Ai I Ai ÷ = U Ai i∈ I i∈ I , i∈ I i∈ I Ánh xạ a Các khái niệm Định nghĩa: Cho tập hợp X, Y khác rỗng, ánh xạ f từ tập X vào tập Y quy tắc cho tương ứng với phần tử Kí hiệu: x∈ X ứng với phần tử y∈ Y f :X → Y x a y = f ( x) Trong đó: X gọi tập nguồn; Y gọi tập đích; x tạo ảnh y; y ảnh x Ví dụ 1.1.6: Phép tương ứng f :X → Y i) Với X = {các thí sinh} Y = {Số báo danh} f ánh xạ Vì thí sinh kỳ thi có số báo danh ii) Với X = {các thí sinh} Y = {các mơn thi đại học} f khơng phải ánh xạ Vì kỳ thi đại học, thi sinh thường thi ba môn chẳng hạn tốn, lý, hóa Chú ý 1.1.3: i) Mọi ảnh qua ánh xạ f phần tử X nằm Y ii) Mỗi phần tử iii) Khi X≡Y y ∈ Y có nhiều tạo ảnh, tạo ảnh khơng có tạo ảnh ánh xạ id X : X → X gọi ánh xạ đồng X xa x - Ảnh Cho ánh xạ f :X → Y tập f ( A) = { y | y = f ( x ) , x ∈ A} ⊆ Y Nếu A hiệu : ≡ X Imf = f ( X ) A⊆ X Ảnh tập A qua ánh xạ f tập f ( A) = f ( X ) = { y | y = f ( x ) , x ∈ X } gọi tập ảnh ánh xạ f Kí - Nghịch ảnh f :X → Y Cho ánh xạ f −1 ( B) cho : tập B⊂ Y Nghịch ảnh B qua ánh xạ f tập f −1 ( B ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ B} Ví dụ 1.1.7: Cho ánh xạ f :¡ → ¡ x a y = x2 − Qua ánh xạ f tìm ảnh tập A = [ − 3;1] nghịch ảnh tập B = [ − 3;5] ? y = x − từ áp dụng định nghĩa ảnh Gợi ý: Có thể dựa vào việc khảo sát hàm số nghịch ảnh tập hợp qua ánh xạ tìm kết Giải: Ta có f ( A ) = { y | y = x − 1, x ∈ [ − 2;1] } = [ − 1;7] f − ( B ) = { x | x − 1∈ [ − 3;5] } = − 2; [ − 3; − 1) khơng có tạo ảnh Và Ở khơng thuộc tập ảnh f nên nghịch ảnh B qua ánh xạ f nghịch ảnh [ − 1;5] - Tích ánh xạ Cho ánh xạ: f :X → Y g :Y → Z Tích ánh xạ f g ánh xạ Ví dụ 1.1.8: Cho ánh xạ: g of : X → Z f :¡ → ¡ ( g o f )( x) = g ( f ( x) ) ∀ x ∈ X g :¡ → ¡ x a y = 2x Khi đó: xác định: y a z = 3y − g o f ( x ) = g ( f ( x ) ) = 3.2 x − = x − b Tính chất Đơn ánh : Ánh xạ f : X → Y đơn ánh ∀ x1 ≠ x2 x1 , x2 ∈ X ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Chú ý 1.1.4: Nếu f đơn ánh phương trình f(x) = y có nhiều nghiệm Ví dụ 1.1.9: + f : ¡ →¡ Ánh xạ : i) đơn ánh x a f ( x) = x Vì lấy ii) x1 , x2 ∈ ¡ + Ánh xạ : f :¡ → ¡ xa Vì với không đơn ánh f ( x ) = x2 x1 = −1 ≠ x2 = thuộc R ta có f (− 1) = f (1) = Toàn ánh : Ánh xạ : Tức x ≠ x ⇒ x12 ≠ x22 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) cho f : X → Y gọi toàn ánh ∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X cho f(x) = y Im f = Y Chú ý 1.1.5: Nếu f tồn ánh phương trình f(x) = y có nghiệm Ví dụ 1.1.10: i) Ánh xạ : f :¡ → ¡ khơng tồn ánh x a f ( x) = x Vì với y = − 1∈ R phương trình Do khơng tồn x∈ ii) Ánh xạ : ¡ f :¡ → ¡ y = f ( x ) ⇔ x2 = − thỏa mãn + vô nghiệm y = f ( x) = − toàn ánh x a f ( x) = x y = f ( x ) ⇔ x2 = y y ∈¡ x= y ∈ ¡ + Vì với phương trình ln có nghiệm y = f ( x ) = x2 y ∈ ¡ x= y ∈ ¡ + Do với tồn cho Song ánh : Ánh xạ : ánh f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn Chú ý 1.1.6: Nếu f song ánh phương trình f(x) = y ln có nghiệm Ví dụ 1.1.11: i) Ánh xạ : f :¡ → ¡ không song ánh x a f ( x) = x Vì theo ví dụ 1.1.9 ánh xạ f khơng đơn ánh, theo ví dụ 1.1.10 ánh xạ f khơng tồn ánh ii) Ánh xạ f :¡ → ¡ xa song ánh f ( x ) = x3 Chứng minh ii): • f đơn ánh : Lấy x1 , x2 ∈ ¡ cho x1 ≠ x2 ⇒ x13 ≠ x23 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ⇒ f đơn ánh • f tồn ánh: Lấy y∈ ¡ Vậy với Từ y∈ R ( 1) ( ) ⇒ y = f ( x) = x3 ln có nghiệm x = y phương trình ln tồn x= y∈ ¡ để y = f ( x) = x3 ⇒ f toàn ánh ( 2) f song ánh Ánh xạ ngược song ánh Cho ánh xạ f :X → Y xa song ánh y = f ( x) Ánh xạ ngược ánh xạ f ánh xạ g :Y → X ya Khi khi: g of : X → Y → X , x = g ( y) f og : Y → X → Y xa ya x ánh xạ đồng ya xa y −1 g = f Kí hiệu Ví dụ 1.1.12: Ánh xạ f :¡ → ¡ xa song ánh f ( x ) = x3 f −1 : ¡ → ¡ Ta có ánh xạ ngược ánh xạ f ánh xạ ya x= y ( 1) Vì f − o f ≡ f o f − ≡ id¡ II Cấu trúc đại số Tích Decartes - Định nghĩa Cho hai tập X, Y khác rỗng Tích Decartes X Y tập hợp, kí hiệu bao gồm cặp thứ tự (x, y) cho Viết: X × Y = { ( x, y ) | x ∈ X y ∈ Y} x∈ X , y∈ Y Chú ý 1.2.1: Tích Decartes khơng có tính giao hốn: Tức - X×Y ( 1,2) ≠ ( 2,1) ( x, y ) = ( x ', y ') ⇔ x = x ', y = y ' Tổng quát: Tích Decartes tập X × X × × X n Viết: X , X , , X n bao gồm thứ tự khác rỗng tập hợp, kí hiệu ( x1 , x2 , xn ) X × X × × X n = { ( x1, x2 , xn ) | xi ∈ X i , i = 1, n} cho xi ∈ X i , ∀ i = 1, n Chú ý 1.2.2: X = X = = X = X n i) Khi Decartes bậc n tập X ii) Nếu ( x1 , x2 , xn ) kí hiệu ( x1 ', x2 ', , xn ') X × X × × X = X n phần tử thuộc ( x1, x2 , xn ) = ( x1 ', x2 ', , xn ') ⇔ xi = xi '∀i = 1, n Phép tốn hai ngơi 10 gọi lũy thừa X × X × × X n (Thường dùng hai dạng biểu diễn đại số hình học) +) Dạng đại số: z1 +z2 = (a1+a2) + (b1+b2) i (phần thực tổng phần thực, phần ảo tổng phần ảo) +) Dạng hình học: Cộng theo quy tắc hình bình hành Chú ý 1.3.3: Phép trừ số phức z1 – z2 phép cộng z1 với số đối z2 b Phép nhân - Nhân số phức với số thực: (có thể dùng dạng biểu diễn) +) Dạng lượng giác: λ z = λ r (cos α + i sin α ) +) Dạng hình học: Chiều dài vectơ tăng +) Dạng đại số: λ lần, điểm gốc, phương, hướng không đổi λ z = (λ a) + (λ b)i +) Dạng số mũ ảo: λ z = λ reiα - Nhân hai số phức: (Chỉ dùng ba dạng biểu diễn đại số, hình học số mũ ảo) z z = ( a1a2 − b1b2 ) + i ( a1b2 + b1a2 ) +) Dạng đại số: z = r1 (cos α + i sin α ) z2 = r2 (cos α + i sin α ) +) Dạng lượng giác: Khi đó: = z1z2 = r1r2 ( c osα + i sin α )( c osα + i sin α ) r1r2 ( c osα 1c osα − sinα sinα ) + i( c osα sinα + c osα sinα ) = r1r2 c os(α 1+ α )+ i sin(α + α ) +) Dạng số mũ ảo: z1 = r1e iα z2 = r2e iα z1.z2 = r1eiα r2eiα = r1r2e ( i α1+α ) 19 Ghi nhớ: Tích số phức có modun tích modun, Arg tổng Arg c Phép chia +) Dạng đại số: z1 a1+ ib1 ( a1+ ib1 ) ( a2 − ib2 ) a1a2 + b1b2 b1a2 − b2a1 = = = + i z2 a2 + ib2 ( a2 + ib2 ) ( a2 − ib2 ) a 22 + b22 a 22 + b22 ( Ở a2 ,b2 không đồng thời không hay z khác Nhân tử mẫu với số phức liên hợp z2 ) r1(cosα 1+ i sin α 1)(cosα − i sin α ) z1 r1(cosα 1+ i sin α 1) = = z r2(cosα + i sin α ) r2 (cosα + i sin α )(cosα − i sin α ) +) Dạng lượng giác: = r1(cos(α 1−α )+ i sin(α 1−α )) r1 = ×( cos(α 1−α )+ i sin(α 1−α ) ) r2 r2(cos2 α + sin α ) z = r1e +) Dạng số mũ ảo: iα iα z = r2e ta có z1 r1 i( α −α ) = e z2 r2 Ghi nhớ: Thương số phức có modun thương modun, Arg hiệu Arg Ví dụ 1.3.2: Cho Tính z1 = − + i z2 = 3 +i 2 3z1 + z2 , z1 − z2 , z1.z2 , z1 / z2 ? Giải: ( ) 3 3 3 3 3 3z1 + z2 = − + i + + i ÷÷ = − + i + ÷÷ 2 2 ( ) ( ) ( z1 − z2 = − + i − + i ÷÷ = − + + i − 2 ) Tính tích thương số phức làm cách sau: Cách 1: Dùng dạng đại số 20 ( ) 3 −3 − 3 − +i 2 z1.z2 = − + i + i ÷÷ = 2 3 3 + i − i ÷ 2 ÷ − + = +i 3 6 3 +i ÷. − i ÷ 2 ÷ 2 ÷ − 2) ( = ( z1 − + i = z2 3 +i ÷ ÷ 2 ) Cách 2: Dùng dạng lượng giác: z1z2 = z1 = z2 c os 3π 3π + i sin 3π 4 ÷÷ = π π 3 c os + i sin ÷÷ 6 2 c os + i sin 3π z1z2 = iπ e6 z1 = =2 3π + i sin 3π ) z = 3(cos π + i sin π ) 4 , 6 π π ÷ ÷ c os + i sin ÷ = 7π c os 3 12 Cách 3: Dùng dạng số mũ ảo: i 3π 2e z1 = 2(cos + i sin i 3π 2e i11π 3e 12 11π 11π c os + i sin ÷ 12 12 7π 12 ÷ iπ e6 z2 = i 3π 7π z1 = 2e = ei 12 z2 iπ e ; d Phép lũy thừa (Thường dùng biểu diễn dạng lượng giác số mũ ảo) n n z = r (cos nα + i sin nα ) - Dạng lượng giác dùng công thức MOIVRE: Chứng minh công thức MOIVRE: Quy nạp theo n +) n = z = r (cos α + i sin α ) 21 +) n = phức z = r (cos2α + i sin 2α ) trường hợp nhân số +) Giả sử công thức với n = k, ta chứng minh công thức với n = k + Tức ta có z k = r k (cos kα + i sin kα ) đúng, suy z k +1 = z k z = r k (cos kα + i sin kα ).r (cos α + i sin α ) = r k +1 [ cos ( k + 1) α + i sin ( k + 1) α ] z = reiϕ ⇒ z n = ( reiϕ ) = r neinϕ n - Dạng số mũ ảo 4n 4n + 4n + 4n + i = 1, i = i , i = − 1, i = − i, ∀ n ∈ ¥ Đặc biệt: ( 1− i ) Ví dụ 1.3.3: Tính Ta có ( 1− i) = 2(cos −π −π + sin ) 4 ( 1− i ) Áp dụng Công thức MOIVRE ta có: = 16 cos ( − 2π ) + sin ( − 2π ) Hoặc ( 1− i) = 2e i −π −π i ( − i ) = 2e ÷ = 16e− i 2π từ có Như lũy thừa n số phức z số phức có modun lũy thừa n modun z có Agr n lần Agr z e Phép khai ( Thường dùng dạng lượng giác dạng số mũ ảo ) 22 +) Dạng lượng giác: Cho khác có dạng vk = n r (cos z = r (cos α + i sin α ) có n bậc n số phức z α + kπ α + kπ + i sin ), k = 0, n − n n Chứng minh công thức: Đặt v = ξ (cos θ + i sin θ ),0 ≤ θ ≤ 2π ξ n = r ξ = n r v n = z = ξ n (cos nθ + i sin nθ ) ⇒ sin nθ = sin α ⇒ α + k 2π , k = 0, n − cos nθ = cos α θ = n Thay giá trị +) Dạng số mũ ảo: vk = re n i α + kπ n k = 0,1,2,K , n − ta nhận n bậc n số phức z z = reiα có n bậc n số phức z khác có dạng , k = 0, n − Chứng minh tương tự dạng lượng giác Ví dụ 1.3.4: a) Tính bậc z = − + 2i b) Tính bậc n 3π 3π z = − + 2i = 2 cos + i sin ÷ 4 Giải: a) Ta có: 3π 3π + 2kπ + kπ 4 vk = 2 cos + i sin 3 Căn bậc z có dạng: 23 ÷ ÷, k = 0,1, ÷ π 11π π 11π v0 = 2 cos + i sin ÷ v1 = 2 cos + i sin 4, 12 12 Vậy bậc z 19π 19π v2 = 2 cos + i sin 12 12 b) Ta có ÷, ÷ z = = cos0 + i sin 0 + kπ + kπ vk = cos + i sin n n Căn bậc n z có dạng ÷, k = 0,1,K , n − 2π 2π v1 = cos + i sin v =1 n n Vậy có n bậc n , 4π 4π ÷ v2 = cos + i sin n n , ÷, K Như có n giá trị phân biệt biểu diễn điểm đỉnh đa giác nội tiếp gốc tọa độ O cách O n r Đặc biệt bậc z hai số phức có ảnh đối qua gốc tọa độ O cách O - r Giải phương trình bậc hai tập số phức: a.x + b.x + c = 0, Xét phương trình a , b, c ∈ ¡ , a ≠ +) Nếu ∆ =b2 − 4ac ≥ +) Nếu ∆ =b2 − 4ac < phương trình có nghiệm phức phương trình có nghiệm thực phân biệt có nghiệm kép b b2 − 4ac x + 2a ÷ − a = Ta viết phương trình dạng: b b − 4ac ∆ i ( −∆ ) b −∆ x + = ±i x + 2a ÷ = 4a = 4a = 4a , −∆ > 2a 2a Hay Suy 2 24 Khi nghiệm phương trình số phức liên hợp x1 = − b + i −∆ − b − i −∆ , x2 = 2a 2a nghiệm Một số tính chất số phức liên hợp modun số phức a Số liên hợp: i) z∈ ¡ ⇒ z = z Vì ii) z + z = 2Re z Vì iii) z ∈ ¡ ⇔ z = ( a;0) ⇒ z = ( a;0) ⇒ z = z z = a + ib ⇒ z = a − ib ⇒ z + z = a + a + i ( b − b ) = 2a = Re ( z ) z ± z'= z ± z' Ta có z = a + ib, z ' = a '+ ib ' ⇒ z + z ' = a + a '+ i ( b + b ') z = a − ib, z ' = a '− ib ' ⇒ z + z ' = a + a '− i ( b + b ') = z + z ' iv) z.z = z z z = ( a + ib ) ( a − ib ) = a + b2 = z Ta có v) z.z ' = z.z ' ⇒ z n = ( z ) Vì n z.z ' = ( a − ib ) ( a '− ib ') = a.a '− bb '− i ( a.b '+ a ' b ) = z.z ' Trường hợp lũy thừa trường hợp đặc biệt phép nhân số phức vi) z z = ,z'≠ z' z' 25 Vì z = a − ib = ( a − ib ) ( a '+ ib ') = a.a '+ b.b ' − i a '.b − a.b ' = z z ' a '− ib ' ( a '− ib ') ( a '+ ib ') ( a ') + ( b ') ( a ') + ( b ') z ' b Modun số phức i) ii) iii) z ×z ' = z × z ' ⇒ z n = z n z z = ,z'≠ z' z' z + z' ≤ z + z' Ý nghĩa hình học tính chất tổng độ dài cạnh tam giác lớn độ dài cạnh lại Chứng minh tính chât: Ta có tính chất i) ii) rút từ việc thực phép nhân, chia hai số phức dạng lượng giác dạng số mũ ảo Chứng minh tính chất iii) z + z ' = a + a '+ i ( b + b ') ⇒ z + z ' = ( a + a ') + ( b + b ') Ta có z = a + b2 , z ' = a '2 + b '2 ( a + a ') + ( b + b ') ≤ Cần chứng minh: a + b + a '2 + b '2 Do hai vế dương nên bình phương hai vế ta ( a + a ') + ( b + b ') ≤ a2 + b2 + a '2 + b '2 + ( a2 + b2 ) ( a '2 + b '2 ) ⇔ a.a '+ b.b ' ≤ (a + b2 ) ( a '2 + b '2 ) , ( 1) Nếu vế trái (1) nhỏ (1) ln đúng; Nếu vế trái (1) lớn bình phương hai vế (1) ta 26 2.a.a '.b.b ' ≤ a 2b '2 + a '2 b2 ⇔ ( ab '− a ' b ) ≥ Suy (1) Vậy ta có điều phải chứng minh 27 BÀI TẬP CHƯƠNG f ( x), g ( x) Bài 1.1: Giả sử hàm số xác định ¡ Kí hiệu A = { x ∈ ¡ | f ( x) = 0} , B = { x ∈ ¡ | g ( x) = 0} Xác định tập nghiệm phương trình: a f ( x ).g ( x) = b [ f ( x )] + [ g ( x )] c f ( x) =0 g ( x) 2 =0 Bài 1.2: Cho A, B tập tập E Chứng minh a Nếu A ⊂ B B ⊂ A b Nếu A, B rời phần tử E thuộc c A⊂ B ⇔ A∪ B = B ⇔ A∪ B = E d A⊂ B ⇔ A∩ B = A⇔ A∪ B = φ A thuộc B Bài 1.3: Cho A = [1; 2] B = [2; 3] Biểu diễn hình học tập tích AxB mặt phẳng tọa độ Bài 1.4: Các ánh xạ f : A → B sau có tính chất gì? Tìm ánh xạ ngược có a A = ¡ , B = ¡ , f ( x) = 3x − x b A = ¡ , B = ¡ , f ( x) = x + x − c A = ¥ , B = ¥ , f ( x) = x ( x + 1) Bài 1.5: Cho ánh xạ f :¡ → ¡ xác định 28 f ( x) = 2x + x2 Ánh xạ f đơn ánh, tồn ánh hay song ánh? Tìm ảnh Bài 1.6: Cho hai ánh xạ f :¡ → ¡ xác định f (¡ ) f ( x) = x g :¡ + → ¡ xác định f ( x) = x So sánh f og g o f Bài 1.7: Cho hai ánh xạ f : E → F ; g : F → G Chứng minh a Nếu f & g tồn ánh Nếu f & g đơn ánh b Nếu g o f song ánh g o f toàn ánh g o f đơn ánh f tồn ánh f & g song ánh Bài 1.8: Chứng minh C[a, b] tập hàm liên tục [a, b] với phép tốn ngơi tạo thành vành giao hốn có đơn vị Bài 1.9: Mỗi tập số sau với phép cộng số phép nhân số tạo thành cấu trúc gi? a Tập số nguyên; b Tập số nguyên chẵn; c Tập số hữu tỉ; d Tập số có dạng a + b với a b nguyên; e Tập số có dạng a + b với a b hữu tỉ; Bài 1.10: Tìm x, y thỏa mãn: ( + 2i ) x + ( − 5i ) y = − 3i Bài 1.11: Tìm dạng lượng giác số phức sau: a -1; d − 1− i b − i ; c 3−i e + f − 1+ i 3i 29 Bài 1.12: Cho a = cosθ 1− a + sin θ Tính + a theo θ z & z2 Tìm điều kiện z1 & z2 để Bài 1.13: Xét hai số phức z1 / z2 số thực a b z1 / z2 số ảo Bài 1.14: Tính 20 a ( 1− i 3) ( c −1 + i ( 1− i) 1+ i ÷ − i b 20 ) +( 15 −1 − i ( 1+ i) ) 15 20 Bài 1.15: Tìm bậc 1− i 1+ i i −1 + i ; bậc − i ; bậc + i n + i tan α + i tan nα ÷ = − i tan α − i tan nα Bài 1.16: Chứng minh Bài 1.17: Viết nghiệm phương trình Bài 1.18:Tìm số phức z thỏa mãn: a b c x + x + = dạng lượng giác z − z = + 2i z + z = 2+ i ( ) z2 − 1+ i z − + i = ĐÁP SỐ Bài 1.1: Gọi S tập nghiệm phương trình 30 a S = A∪ B b S = A∩ B c S = A \ ( A ∩ B) Bài 1.3: Hình chữ nhật có đỉnh ( 1;2 ) , ( 1;3) , ( 2;2 ) , ( 2;3) Bài 1.4: f −1 ( y, y ≥ y) = 1 y, y < a Ánh xạ song ánh, có ánh xạ ngược b Ánh xạ khơng đơn ánh, khơng tồn ánh, khơng có ánh xạ ngược c Đơn ánh, khơng tồn ánh, khơng có ánh xạ ngược Bài 1.5: Ánh xạ f khơng đơn ánh, khơng tồn ánh, Bài 1.6: f ( ¡ ) = [ − 1;1] f og ≠ g o f Bài 1.9: a Vành d Vành b Vành e Trường x= Bài 1.10: −4 ;y= 11 11 Bài 1.11: a b cos π + i sin π 7π 7π cos + i sin ÷ 4 31 c Trường 11π 11π cos + i sin ÷ 6 c 4π 4π cos + i sin ÷ 3 d π π cos + i sin ÷ 3 e 2π 2π cos + i sin ÷ 3 f − i tan Bài 1.12: θ Bài 1.13: Gọi M1 M2 ảnh z1 z2 a M1 M2 thẳng hàng với gốc O b · OM = π M 2 Bài 1.14: a b ( 29 − i ) Bài 1.15: 24k + 19 24k + 19 cos π + i sin π ÷, k = 0,1,2 36 36 2 a 24k + 24k + cos π + i sin π ÷, k = 0,1,2,3 48 48 b 24k + 24k + cos π + i sin π ÷, k = 0,1,2,3,4 10 60 60 2 c 32 c – 64 x1 = cos Bài 1.17: 5π 5π 5π 5π + i sin , x2 = cos − i sin 6 6 Bài 1.18: a z = − 2i b z = +i c z1 = 1+ 3 −1 1− 1+ +i ; z2 = +i 2 2 33 ... x khác 0) Một tập hợp với hay nhiều phép tốn hai ngơi định nghĩa với tính chất xác định tạo thành cấu trúc đại số Sau ta nghiên cứu số cấu trúc đại số thơng dụng: cấu trúc nhóm, vành, trường Nhóm... C[a, b] tập hàm liên tục [a, b] với phép tốn ngơi tạo thành vành giao hốn có đơn vị Bài 1.9: Mỗi tập số sau với phép cộng số phép nhân số tạo thành cấu trúc gi? a Tập số nguyên; b Tập số nguyên... kín không tự cắt Biểu đồ Ven xem tập hợp tập điểm vòng phẳng, điểm vòng phần tử tập hợp. ( hình 1) b Các phép toán - Định nghĩa +) Phép hợp: Hợp hai tập A B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc