Su phu thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyˆ- 123docz.net

3 Khˆ ong gian vector

3.3Su phu thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh

Do d¯o´ W la` mˆo.t khˆong gian vector con cu’a V.

3.3 Su.. phu. thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh.

3.3.1 Tô’ ho.. p tuyêń tıńh va` biê’u thi. tuyêń tıńh.

D- i.nh nghıã 3.3. Cho x1, x2, ..., xn la` n vector (n ≥ 1) cu’a K− không gian vector V va` λ1, λ2, ..., λn la` n vô hu.ó.ng trong K. Vector

x =λ1x1+λ2x2+· · ·+λnxn =

i=1

λixi

d¯u.o.. c go.i la` tô’ ho.. p tuyêń tıńh cu’a hê. vector (x1, x2, ..., xn) = (xi)i=1,n vó.i ho. hê. sô´ (λ1, λ2, ..., λn) = (λi)i=1,n.

Khi vector x la` mô.t tô’ ho..p tuyêń tıńh cu’a hê. (xi)i=1,n thı` ta ba’o x biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua hê. (xi)i=1,n.

Vı´ du.. Cho −→x1 = (1,−2), −→x2 = (3,1),−→x = (5,−3) ∈ R2. Ta co´ 2−→x1 +−→x2 = (5,−3) = −→x.

Vâ.y −→x la` tô’ ho.. p tuyêń tıńh cu’a hê. (−→x1,−→x2), hay −→x biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua hê. (−→x1,−→x2). Nhâ.n xe´ t. (1) Ca´ ch biê’u diêñ x = n P i=1

λixi no´ i chung khˆong duy nhˆa´t.

Vı´ du.. Trong không gian vector thu.. c R2, xe´ t 3 vector x1 = (−1,0), x2 = (0,−1), x3 = (1,1). Khi d¯o´ vector không 0 = (0,0) biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua hê. (x1, x2, x3) b˘a`ng ı´t nhâ´t hai ca´ ch sau:

0 = 0x1+ 0x2 + 0x3; 0 = 1.x1 + 1.x2+ 1.x3.

(2) Nêú x = 0 ∈ V thı` vó.i mo.i hê. vector (xi)i=1,n ⊂ V, x bao giò. cu˜ ng biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua (xi)i=1,n.

Vı´ du.. 0 =

i=1

λixi, λi = 0, ∀i = 1, n. Trong tru.ò.ng ho.. p na`y ta no´ i 0 biê’u thi. tuyêń tıńh tâ`m thu.ò.ng qua hê. trên. Nêú 0 co´ ı´t nhâ´t hai ca´ ch biê’u thi. tuyêń tıńh qua hê. (xi)i=1,n thı` ta no´ i 0 biê’u thi. tuyêń tıńh không tâ` m thu.ò.ng qua hê. (xi)i=1,n.

3.3.2 D- ô.c lâ.p tuyêń t´ınh và phu. thuô.c tuyêń t´ınh.

D- i.nh nghıã 3.4. Hê. n vector (n ≥ 1) (xi)i=1,n trong K− không gian vector

V d¯u.o.. c go.i la` d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh nêú vector không chı’ co´ duy nhâ´t mô.t caćh biê’u thi. tuyêń tıńh qua hê. d¯o´ b˘a`ng tô’ ho..p tuyêń tıńh tâ`m thu.ò.ng. Hê. không d¯ô.c la.p tuyêń tıńh go.i la` hê. phu. thuô.c tuyêń tıńh.

Nhu. vâ.y, hê. (xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh khi va` chı’ khi Xn

i=1

λixi = 0 ∈ V⇒ (λ1 =λ2 =· · · =λn = 0 ∈ K).

Co`n hê. (xi)i=1,n phu. thuô.c tuyêń tıńh nêú va` chı’ nêú co´ ı´t nhâ´t mô.t ho. vô hu.ó.ng (λi)i=1,n không d¯ô` ng thò.i b˘a`ng không sao cho Pn

i=1

λixi = 0 ∈ V. Vı´ du.. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(1) Cho V =R3 la` mô.t R− không gian vector. Xe´ t hê.

{x1 = (1,1,1), x2 = (1,1,0), x3 = (1,0,0)}.

Gia’ su.’ tˆo` n ta.i λ1, λ2, λ3 ∈ R sao cho:

λ1x1+λ2x2 +λ3x3 = 0 ⇔(λ1+λ2+λ3, λ1+λ2, λ1) = 0 ⇔      λ1+λ2+λ3 = 0 λ1+λ2 = 0 λ1 = 0 ⇔      λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0 Vâ.y hê. d¯a˜ cho d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh trong R3.

(2) Cho V =R2 la` mô.t R− không gian vector. Xe´ t hê. 3 vector :

{x1 = (1,−2), x2 = (1,4), x3 = (3,5)}.

Gia’ su.’ co´ λ1, λ2, λ3 ∈ R sao cho:

λ1x1+λ2x2 +λ3x3 = 0 ⇔(λ1+λ2+ 3λ3,−2λ1 + 4λ2+ 5λ3) = 0 ⇔ ( λ1+λ2+ 3λ3 = 0 −2λ1+ 4λ2+ 5λ3 = 0 ⇔ ( λ1+λ2 = −3λ3 −2λ1+ 4λ2 = −5λ3 ⇔      λ1 =−7 6λ3 λ2 =−11 6 λ3 Tù. d¯ây ta co´ thê’ cho.n ra râ´t nhiê` u ho. vô hu.ó.ng (λi)i=1,3 không d¯ô` ng thò.i b˘a`ng không sao cho P3

i=1

λixi = 0

3.3. Su.. phu. thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh. 53 Quy u.ó.c. Hê. ∅ la` hê. d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh. Vector 0 ∈ V la` tô’ ho.. p tuyêń tıńh tâ` m thu.ò.ng cu’a hê. ∅ va` la` vector duy nhâ´t biê’u thi. tuyêń tıńh qua hê. ∅. Nhâ.n xe´ t.

(1) {−→0 } la` hê. phu. thuô.c tuyêń tıńh.

(2) Nêú hê. (−→xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh trong V thı` vó.i mo.i −→x ∈ V, −→x co´

không qua´ mô.t caćh biê’u thi. tuyêń tıńh qua hê. (−→xi)i=1,n.

(3) Cho hê. (−→xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh trong V va` −→x ∈ V, nêú −→x biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua hê. (−→x

i)i=1,n thı` ca´ ch biê’u diêñ d¯o´ la` duy nhâ´t.

Chú.ng minh. Gia’ su.’ −→x biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua hê. (→−xi)i=1,n tú.c la` tô` n ta.i cać λi ∈ K sao cho

−

→x =λ1−→x1 +λ2x→−2 +· · ·+λn−→xn.

Nêú ngoaì ca´ c λi trên co`n tô` n ta.i cać µi ∈ K sao cho

− →x = µ1−→x1 +µ2→−x2 +· · ·+µn−→xn. Thı` ta co´ : λ1−→x1 +λ2−→x2 +· · ·+λ n−→x n =µ1−→x1 +µ2−→x2 +· · ·+µ n−x→ n ⇔(λ1−µ1)x→−1 + (λ2−µ2)−→x2+· · ·+ (λn −µn)xn =−→0 ⇒            λ1−µ1 = 0 λ2−µ2 = 0 · · · λn −µn = 0

(do hê. (−→xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh)

⇔ λi = µi, ∀i = 1, n. Vâ.y su.. biê’u thi. tuyêń tıńh cu’a −→xqua hê. (−→xi)i=1,n la` duy nhâ´t.

3.3.3 Vài t´ınh châ´t vˆ` hê. phu. thuô.c tuyêń t´ınh và hê. d¯ô.c lâ.p tuyêńe t´ınh.

Tıńh châ´t 3.7. (i) Hê. gô` m mô.t vector {−→x} d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh khi va` chı’ khi −→x 6=−→0 .

(ii) Mo.i hê. vector chú.a −→0 d¯ê` u phu. thuô.c tuyêń tıńh.

Tıńh châ´t 3.8. Vó.i hê. vector (xi)i∈I tuy` y´ (I la` mô.t tâ.p ho.. p bâ´t ky` kha´ c rôñg), hê. (xi)i∈J go.i la` hê. con cu’a hê. (xi)i∈I nêú J ⊂ I. Khi d¯o´ :

(i) Nêú hê. (xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh thı` mo.i hê. con cu’a no´ cuñg d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh.

(ii) Nêú co´ ı´t nhâ´t mô.t hê. con phu. thuô.c tuyêń tıńh thı` hê. (xi)i=1,n cu˜ ng phu. thuô.c tuyêń tıńh.

Chú.ng minh. Gia’ su.’ (xi)i=1,n la` hê. d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh va` (xj)j∈J la` mô.t hê. con tuy` y´ cu’a no´ , tú.c la` J ⊂ I = {1,2, ..., n}. Ta câ` n chú.ng to’ (xj)j∈J d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Thâ.t vâ.y, nêú P

j∈J

λjxj = 0 la` mô.t tô’ ho..p tuyêń tıńh b˘a`ng 0 cu’a hê. (xj)j∈J

thı` 0 = P

j∈J

λjxj + P

i∈I\J

0.xi la` mô.t tô’ ho..p tuyêń tıńh b˘a`ng 0 cu’a hê. (xi)i=1,n. Ma` hê. (xi)i=1,n la` hê. d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh, suy ra λj = 0, ∀j ∈ J, tú.c la` (xj)j∈J

d¯ô.c lâ.p tuyêń.

Vı` kha´ i niê.m hê. phu. thuô.c tuyêń tıńh la` phu’ d¯i.nh cu’a khaí niê.m hê. d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh nên hai kh˘a’ng d¯i.nh trong tıńh châ´t na`y la` tu.o.ng d¯u.o.ng nhau. D- i.nh ly´ 3.2 (D- i.nh ly´ d¯˘a.c tru.ng cu’a hê. phu. thuô.c tuyêń tıńh). Hê. n

vector (n ≥ 2) (xi)i=1,n phu. thuô.c tuyêń tıńh khi va` chı’ khi co´ (ı´t nhâ´t) mô.t vector cu’a hê. biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua ca´ c vector co`n la.i.

Chú.ng minh. (⇒) Gia’ su.’ hê. (xi)i=1,n phu. thuô.c tuyêń tıńh. Luć d¯o´ co´ ı´t nhâ´t mô.t ho. vô hu.ó.ng (λi)i=1,n không d¯ô` ng thò.i triê.t tiêu sao cho 0 = Pn

i=1

λixi. Gia’ su.’ λj 6= 0 ∈ K (1≤ j ≤ n). Khi d¯o´

n X i=1 λixi ⇒ −λjxj = X i6=j λixi ⇒ xj =X i6=j −λi λj xi;

tú.c la` xj biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua hê. cać vector co`n la.i (xi)i∈{1,2,...,n}\{j}. (⇐) Ngu.o.. c la.i, gia’ su’ co. ´ mô.t vector cu’a hê. ch˘a’ng ha.n xj (1 ≤ j ≤ n), biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua hê. cać vector co`n la.i, tú.c la` co´ cać vô hu.ó.ng

λi, i∈ {1,2, ..., n}\{j} sao cho xj = P i6=j λixi. Khi d¯o´ xj =X i6=j λixi ⇒0 = X i6=j λixi + (−1)xj

D- ây la` mô.t tô’ ho..p tuyêń tıńh không tâ`m thu.ò.ng b˘a`ng 0 cu’a hê. (xi)i=1,n. Vâ.y hê. (xi)i=1,n phu. thuô.c tuyêń tıńh.

3.4. Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe. vector. 55

3.4 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe. vector.

3.4.1 Hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh tôí d¯a.i.

D- i.nh nghıã 3.5. Gia’ su.’ I la` mô.t tâ.p ho..p h˜u.u ha.n va` J ⊂ I. Cho hê. vector (xi)i∈I tu`y y´ trong mô.t K− không gian vector naò d¯o´ . Hê. (xj)j∈J go.i la` hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a hê. d¯a˜ cho nêú no´ d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh va` nêú thêm bâ´t ky` vector xi naò, i ∈ I\J, vaò hê. con d¯o´ ta d¯ê` u nhâ.n d¯u.o..c mô.t hê. phu. thuô.c tuyêń tıńh.

Vı´ du.. Trong R3 cho hê. 3 vector {x1 = (1,2,3), x2 = (2,4,6), x3 = (3,6,9)}. Khi d¯o´ mô˜i hê. 1 vector {x1},{x2},{x3} d¯ê` u la` hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh cu’a hê. d¯a˜ cho. Ho.n n˜u.a, x3 = 3x1, x2 = 2x1, x3 = 3

2x2 nˆen ca´ c hˆe. con

{x1, x2},{x1, x3},{x2, x3} d¯ê` u phu. thuô.c tuyêń tıńh. Vâ.y {x1},{x2},{x3} la` ca´ c hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a hê. {x1, x2, x3} d¯a˜ cho.

Tıńh châ´t 3.9. Nêú hê. con (xi)i=1,n cu’a hê. (xi)i∈I ({1,2, ..., n} ⊂ I) la` mô.t hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i thı` mo.i vector xi, i ∈ I d¯ê` u biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua hê. con d¯o´ va` ca´ ch biê’u thi. la` duy nhâ´t.

Tıńh châ´t na`y la` hê. qua’ tru..c tiê´p cu’a D- i.nh nghıã 3.5 va` D-i.nh ly´ 3.2. Bô’ d¯ˆ` 3.1 (Bê o’ d¯ˆ` co. ba’n vêe ` su.. phu. thuô.c tuyêń tıńh). Cho

(x1, x2, ..., xm) va` (y1, y2, ..., yn) la` hai hê. vector trong không gian vector V. Gia’ su.’ hê. (xi)i=1,m d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh va` mô˜i xi (i = 1, m) d¯ê` u biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o.. c qua hê. (yj)j=1,n. Khi d¯o´ m ≤n.

D- i.nh ly´ 3.3. Mo.i hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a mô.t hê. h˜u.u ha.n vector trong mô.t K− không gian vector tu`y y´ d¯ê` u co´ sô´ vector b˘a`ng nhau.

Chú.ng minh. Gia’ su.’ (xi)i∈I la` mô.t hê. vector h˜u.u ha.n. Nêú xi = 0 vó.i mo.i (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

i ∈ I thı` (xi)i∈I chı’ co´ mô.t hê. d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i duy nhâ´t la` ∅ va` kh˘a’ng d¯i.nh cu’a d¯i.nh ly´ la` hiê’n nhiên.

Gia’ su.’ hê. (xi)i∈I co´ chú.a vector kha´ c không. Khi d¯o´ ca´ c hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a (xi)i∈I co´ ı´t nhâ´t mô.t vector. Gia’ su.’ (xj)j∈J1 va` (xj)j∈J2

la` hai hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a (xi)i∈I (J1 ⊂ I, J2 ⊂ I) vó.i sô´ vector lâ` n lu.o..t la` m va` n (m, n ≥ 1). Vı` (xj)j∈J2 d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i nên mo.i xj, j ∈ J1 d¯ê` u biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua (xj)j∈J2. Ma` (xj)j∈J1

d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh, do d¯o´ theo Bô’ d¯ê` 3.1, ta co´ m ≤ n. Tu.o.ng tu.. cu˜ ng co´

3.4.2 Ha.ng cu˙’a mˆo.t hˆe. vector.

D- i.nh nghıã 3.6. Cho V la` mô.t K− không gian vector, (xi)i∈I la` mô.t hê. vector bâ´t ky` trong V. Nêú hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a (xi)i∈I co´ sô´ phâ` n tu.’ h˜u.u ha.n b˘a`ng r thı` r d¯u.o.. c go.i la` ha.ng cu’a hê. (xi)i∈I.

Kı´ hiˆe.u: rank((xi)i∈I) = r.

Vı´ du.. Xe´ t la.i hˆe. vector {x1 = (1,2,3), x2 = (2,4,6), x3 = (3,6,9)} cu’a

R3. Vı` {x1} la` mô.t hê. con d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh tôí d¯a.i cu’a hê. {x1, x2, x3} nên rank(x1, x2, x3) = 1.

Nhâ.n xe´ t. Khi cho (s) = (xi)i=1,n la` mô.t hê. vector trong V va` r =rank(s) thı`:

(i) r ≤ n,

(ii) Nêú (s) = (xi)i=1,n d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh thı` rank(s) = r = n. 3.4.3 Các hê. vector trong Kn.

Trong khˆong gian Kn xe´ t m vector sau:

a1 = (a11, a12, ..., a1n)

a2 = (a21, a22, ..., a2n)

...

am = (am1, am2, ..., amn)

Go.i A = (aij)m×n la` ma trâ.n câ´p m × n trên K ma` ca´ c do`ng chıńh la`

a1, a2, ..., am. Khi d¯o´ ta co´ ca´ c kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay:

D- i.nh ly´ 3.4. Vó.i hê. (a1, a2, ..., am) va` ma trâ.n A d¯u.o.. c d¯i.nh nghıã nhu. trên, ta co´ :

(1) Hê. (a1, a2, ..., am) d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh trong Kn ⇔ rank(A) =m.

(2) Hê. (a1, a2, ..., am) phu. thuô.c tuyêń tıńh trong Kn ⇔ rank(A) = m.

D- i.nh ly´ 3.5. Ha.ng cu’a mô.t ma trâ.n câ´p m × n trên K b˘a`ng ha.ng cu’a hê. vector cô.t (tu.o.ng ú.ng, do`ng) cu’a no´ trong Km (tu.o.ng ú.ng, Kn).

Tù. 2 d¯i.nh ly´ trên ta suy ra mô.t caćh d¯ê’ xe´t tıńh d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh hay phu. thuô.c tuyêń tıńh cuñg nhu. tı`m ha.ng cu’a mô.t hê. vector trong Kn la` d¯i tı`m ha.ng cu’a ma trâ.n d¯u.o..c ta.o nên bo.’i cać vector d¯o´.

Vı´ du.. Xe´ t tıńh d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh hay phu. thuô.c tuyêń tıńh va` tı`m ha.ng cu’a ca´ c hê. vector sau:

3.5. Co. so.˙’ - Sô´ chiˆ` u - To.a d¯ô. cu˙’a không gian vector.e 57 (1) (u1 = (1,1,0), u2 = (0,1,1), u3 = (1,0,1)) trong R3. Vı` 1 1 0 0 1 1 1 0 1

= 2 6= 0 nên (u1, u2, u3) d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh va` rank(u1, u2, u3) = 3.

(2) (v1 = (1,1,0,0), v2 = (0,1,1,0), v3 = (2,3,1,0)) trong R4.

Lâ.p ma trâ.n nhâ.n v1, v2, v3 la` ca´ c do`ng rô` i biêń d¯ô’i so. câ´p ta d¯u.o..c:

V =   1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 1 0   d3→d3−2d1 −−−−−−→   1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0   d3→d3−d2 −−−−−−→   1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0   (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Nhu. vâ.y rank(V) = 2 < 3 (sô´ vector cu’a hê.), do d¯o´ (v1, v2, v3) phu. thuô.c tuyêń tıńh trong R4 va` rank(v1, v2, v3) = 2.

3.5 Co. so.˙’ - Sô´ chiˆ` u - To.a d¯ô. cu˙’a không gian vector.e

3.5.1 Co. so.˙’ cu˙’a khˆong gian vector.

D- i.nh nghıã 3.7. Cho K− không gian vector V. Hê. vector = = (e1, e2, ..., en) trong V d¯u.o.. c go.i la` mô.t co. so.’ cu’a V nêú = d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh va` mo.i vector cu’a V d¯ê` u biê’u thi. tuyêń tıńh qua =.

Nhˆa.n xe´ t.

(1) Vó.i mô.t không gian vector bâ´t ky` bao giò. cuñg tô` n ta.i mô.t co. so.’ cu’a no´ .

(2) Co. so.’ cu’a mô.t không gian vector la` không duy nhâ´t. Vaì vı´ du..

(1) Trong K− không gian vector K3 cho hê. gô` m 3 vector :

(e) = {−→e1 = (1,0,0),−→e2 = (0,1,0),−→e3 = (0,0,1)}.

Dê˜ thâý (e) d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh. M˘a.t khać:

∀−→x = (x1, x2, x3) ∈ K3 ta co´ −→x =x1−→e1 +x2−→e2 +x3−→e3.

Vˆa.y (e) la` mˆo.t co. so.’ cu’a K3.

(2) Trong K− không gian vector K3 cho hê. gô` m 3 vector :

Ta co´ λ1−→u1 +λ2−→u2 +λ3−→u3 =−→0 ⇔(λ1+λ2+λ3, λ1+λ2, λ1) = −→0 ⇔      λ1+λ2+λ3 = 0 λ1+λ2 = 0 λ1 = 0 ⇔      λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0 Hay (u) d¯ô.c lâ.p tuyêń tıńh.

∀−→x = (x1, x2, x3) ∈ K3, −→x = λ1−→u1 +λ2→−u2+λ3−→u3 ⇔      λ1+λ2+λ3 =x1 λ1+λ2 =x2 λ1 = x3 ⇔      λ1 =x3 λ2 =x2−x3 λ3 =x1−x2

D- iê` u na`y chú.ng to’ ∀−→x ∈ K3,−→x biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua (u). Vâ.y (u) la` mô.t co.’ so.’ cu’a K3.

(3) Trong K− khˆong gian vector Kn, hˆe. vector

(e) ={e1 = (1,0,0, ...,0,0), e2 = (0,1,0, ...,0,0), ..., en = (0,0,0, ...,0,1)}

la` mô.t co.’ so.’ va` co. so.’ na`y co`n d¯u.o..c go.i la` co.’ so.’ chuâ’n t˘ać cu’a Kn. (4) Trong K− không gian vector K[x], hê. vector (e) ={1, x, x2, x3, ...} la` mô.t

co. so.’ .

3.5.2 Hê. sinh cu˙’a mô.t không gian vector.

D- i.nh nghıã 3.8. Cho V la` mô.t K− không gian vector, (S) la` mô.t hê. vector trong V. (S) d¯u.o.. c go.i la` hê. sinh cu’a không gian vector V nêú mo.i x ∈ V, x

bao giò. cu˜ ng biê’u thi. tuyêń tıńh d¯u.o..c qua hê. (S) d¯o´ . Nhâ.n xe´ t.

(1) Mô.t co. so.’ cu’a K− không gian vector V la` mô.t hê. sinh nhu.ng d¯iê` u ngu.o..c la.i không d¯uńg.

(2) Trong K− không gian vector V, mô.t hê. vector la` mô.t co. so.’ cu’a V khi va` chı’ khi hê. d¯o´ d¯ô.c lâ.p tuyêń va` la` mô.t hê. sinh .

D- i.nh ly´ 3.6. Trong K− không gian vector V cho mô.t hê. = gˆ` m h˜u.u ha.n caćo vector (= co´ thê’ rôñg). Khi d¯o´ tâ.p ho.. p tâ´t ca’ ca´ c tô’ ho.. p tuyêń tıńh cu’a hê.

= la` mô.t không gian cu’a V va` d¯u.o.. c go.i la` không gian con sinh bo.’ i hê. =, kı´ hiê.u la` <= >.

3.5. Co. so.˙’ - Sô´ chiˆ` u - To.a d¯ô. cu˙’a không gian vector.e 59

Chú.ng minh. D- ˘a.t W la` tâ.p ho..p tâ´t ca’ cać tô’ ho..p tuyêń tıńh cu’a hê. =. * Khi = = ∅, theo quy u.ó.c W ={0}, do d¯o´ d¯u.o.ng nhiên W la` mô.t không gian con cu’a V.

* Khi = 6= ∅ va` = = (s1, s2, ..., sm) gô` m m vector (m ≥ 1). Khi d¯o´ , vó.i mo.i x, y ∈ W, d¯ê` u tô` n ta.i λ1, λ2, ..., λm;µ1, µ2, ..., µm ∈ K d¯ê’ x = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

m P i=1 λisi va` y = m P i=1 µisi. Do d¯o´ x+y = m P i=1 λisi+ m P i=1 µisi = m P i=1 (λi+µi)si ∈ W. Co`n v´o.i mo.i λ∈ K cu˜ ng co´ λx =λ

m P i=1 λisi = m P i=1 (λλi)si ∈ W.

D- u.o.ng nhiên, 0V ∈ W, tú.c la` W 6= ∅. Vâ.y W la` mô.t không gian con cu’a

Vı´ du.. Trong R3 tı`m khˆong gian con sinh bo.’ i hˆe. vector sau: (u) = {u1 = (1,1,1), u2 = (2,3,4), u3 = (4,5,6)}.

Gia’i. Lâ.p ma trâ.n tù. ba do`ng u1, u2, u3

Su phu thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh

3 Khˆ ong gian vector

3.3Su phu thuô.c tuyêń t´ınh và d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh

Mục lục