Phép toán về ma trận : 1.Phép cộng : Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tổng của các phần tử tương ứng.. Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể
Trang 1Chương 1 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT
1.1.MA TRẬN :
1.1.1 Khái niệm về ma trận :
• Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột theo
một thứ tự nhất định :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
• Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị
• Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng
• Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử nằm ở cùng vị trí bằng nhau
1.1.2 Phép toán về ma trận :
1.Phép cộng : Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử
là tổng của các phần tử tương ứng
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−2 1 3
2 0 1
⎦
⎤
⎢
⎣
2 4 1
1 2 3
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1 5 5
1 2 4
2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
−
1 2 1 4 0 0 3 1 3 1
2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
−
2 4 2 8 0 0 6 2 6 2
4
3.Phép nhân hai ma trận :
• Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai
• Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần
tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
3 0
2
2 1
1
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− 0 2 1
1 2 3
2 0 1
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ + +
− + +
+
+
− + +
−
− + +
− +
0 3 1 0 2 2 2 3 ) 2 (
0 0 2 1 3 3 0 1 2
0 2 1 )
1 ( 2 1 2 2 ) 2 ).(
1 ( 0 1 1 2 3 )
1 ( 1 1
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
4 6 5
1 6 0
Trang 21.1.3 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng :
1 Phép biến đổi 1 : Hoán vị 2 dòng
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
0 2 1
3 0 2
⎯
⎯ →
⎯d1↔d2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
3 0 2
0 2 1
2 Phép biến đổi 2 : Nhân một dòng với một số khác không
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
3 0 2
0 2 1
1 1
2d→d
⎯⎯⎯→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
3 0 2
0 4 2
3 Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác
không
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
3 0 2
0 2 1
⎯
⎯
⎯
⎯( − 2 )d1+d2→d2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 1 3
3 4 0
0 2 1
1.1.4 Ma trận dạng bậc thang :
1 Định nghĩa :
• Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không
• Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao
giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên
2 Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang
sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1.1.5 Ma trận đảo :
1 Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I
Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A -1
2 Cách tìm ma trận đảo :
• Lập ma trận mở rộng ( A | I )
• Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B ) :
o Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và
A-1 =B
o Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên trái có xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo
Ví dụ : Tìm ma trận đảo , nếu có , của các ma trận :
a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 0 1
1 2 2
0 1 1
, b)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
6 3 3
2 1 1
5 3 2
Trang 31.2.3 Khái niệm về định thức:
1 Định thức cấp 2 :
Cho ma trận vuông cấp 2 : A = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22 21
12 11
a a
a a
Định thức của ma trận A là :
det(A) = A =
22 21
12 11
a a
a a
= a11a22 - a12a21
2 Định thức cấp 3 :
Cho ma trận vuông cấp 3 : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
Định thức của ma trận A là :
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Cách tính định thức cấp 3 :
a Quy tắc tam giác :
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
( + ) ( - )
b Quy tắc đường song song :
o o o o o
o o o o o
o o o o o
- - -
Ví dụ : Tính định thức của các ma trận :
a)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 2 2
0 1 3
1 2 1
b)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
5 0 0
3 1 0
4 2 3
2 Định thức cấp n :
Trang 4Cho ma trận vuông cấp n : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
a Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij , là một số xác định như sau :
A ij = (-1) i+j M ij
trong đó Mij là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j
b Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n ∀i,i =1,n : A = ∑
=
n
j ij
ij A a
1
hoặc : ∀j,j=1,m : A = ∑
=
n
i ij
ij A a
1
Ví dụ : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 2 2
0 1 3
1 2 1
A = a11A11 + a12A12 + a13A13
1.2.2 Tính chất: Cho ma trận A vuông
1 Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A
2 Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu : A = -' A
3 Nếu nhân 1 dòng cho α thì A = ' α A
4 Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0
5 Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần
2 1 2
1 2
2 1
6 Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số khác không thì định thức không đổi : A = ' A.
Ghi chú : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên đường
chéo chính
Trang 5Ví dụ 1 : Tính định thức của ma trận : A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− 2 2 2
0 1 3
1 2 1
Ví dụ 2 : Tính định thức của ma trận : A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1 2 1 0
3 1 2 0
1 2 1 0
0 1 2 1
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
z z
z
y y
y
x x
x
2 2
2 2
2 2
sin cos
2 cos
sin cos
2 cos
sin cos
2 cos
= 0
1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức
1 Điều kiện khả đảo :
Ma trận A khả đảo ⇔ A ≠0
2 Công thức ma trận đảo :
t
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A A
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
1
2 1
2 22
21
1 12
11
Ví dụ : Tìm ma trận đảo ( nếu có ) của các ma trận :
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 5 2
2 1
, b)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 0 1
1 2 2
0 1 1
c)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 1
1 2 1
2 1 2
1.2.4 Hạng của ma trận :
1 Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn
• Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp
k Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A
• Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con khác không của A
Ghi chú :
• r(A) = 0 ⇔ A = 0
• A = (aij)mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n)
2 Cách tìm hạng của ma trận :
Trang 6• Đưa ma trận về dạng bậc thang
• Hạng của ma trận là số dòng khác 0
Ví dụ1 : Tìm hạng của ma trận :
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
1 8 1 3
3 2 1 1
1 5 1 1
Ví dụ 2 : Biện luận theo tham số m hạng của ma trận :
A =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
m
3 8 5 5 5
1 1 4 2 4 3
0 0 1 1 0 1
8 2 4 3 1 2
1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :
1.3.1 Khái niệm :
1.Định nghĩa :
Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1)
aij : hệ số ; bij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = m1, ; j = n1 ) , 2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mn m m n n a a a a a a a a a
2 1
2 22
21
1 12
11
, B =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
m b
b b
2 1
, X =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n x
x x
2 1
A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số
Ta có : (1) ⇔ AX = B
3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :
Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c1,c2,…,cn) sao cho khi thay vào (x1,x2,…,xn) các phương trình được nghiệm đúng
4 Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli
Trang 7• r(A) ≠ r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm
• r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
• r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ
thuộc (n-r) tham số
Ví dụ 1 : Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− + +
= +
− +
= +
− +
= + +
−
7 3 2
4
1 5 4
3 3
3 2
5 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Ví dụ 2 : Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
mx x x
x mx x
x x mx
1.3.2 Hệ phương trình Cramer :
1 Định nghĩa :
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không
2 Cách giải hệ phương trình Cramer :
a Phương pháp Cramer :
Cho hệ phương trình Cramer :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x1,x2,…,xn) với :
x i =
A
A i
(i=1,n)
trong đó Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
= + +
=
− +
3 2 8 5
1 3
2
2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
= +
= + 2
1
my x
y mx
b Phương pháp ma trận đảo :
Trang 8Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B
Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là X = A -1 B
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
= + +
= + 4
9 2
2
3
3 1
3 2 1
2 1
x x
x x x
x x
1.3.3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B (A|B) →đưa về dạng bậc thang → (A’|B’)
AX = B ⇔ A’X = B’
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
−
= + +
= + +
2 2 4
6 5
2
1 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
Ví dụ2 : Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
− +
=
− + +
=
− +
−
1 7
2
1 2 3 4
2 2
3
3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x
x x x x
x x x x
Ví dụ3 : Giải hệ phương trình :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
−
= +
− +
= +
− +
0 2
2
4 2 4 6 3
2 2
3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x
x x x x
x x x x
1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
1 Định nghĩa :
Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều bằng 0
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
0
0
0
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
Dạng ma trận : AX = 0
2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
a Nghiệm tầm thường : Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0) gọi
là nghiệm tầm thường
b Nghiệm không tầm thường:
Trang 9• Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là
nghiệm không tầm thường
• Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n ( số ẩn số )
• Nếu A là ma trận vuông thì :
Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ | A | = 0
• Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc
một số tham số Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được
nghiệm riêng
Ví dụ : Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= +
−
= + +
0 5
0 2
0 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
mx x x
x x x
x x x
a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường
b Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình
3 Hệ nghiệm cơ bản :
Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu
diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản
Ví dụ : Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
= +
− +
= + +
−
0 3 3 3
0 5
2
0 4
2
0 2
4 3 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
4 Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + + + = + + + 0
0
0
2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (2)
Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)
Ví dụ1 : Cho hệ phương trình tuyến tính :
Trang 10⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
= + +
= + +
m x x x
x x x
x x x
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 8 4
3 4
2
1 2
(1)
a Giải và biện luận hệ phương trình (1) b.Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1)
Ví dụ2 : Cho hệ phương trình tuyến tính :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
− +
−
=
− +
= +
−
3 5
2
2 3
1 2
4 3 2 1
4 3 1
3 2 1
x x x x
x x x
x x x
(1)
a Chứng tỏ (0,1,1,1) là một nghiệm riêng của (1) b.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (1)
c Tìm nghiệm tổng quát của (1)