hệ phương trình tuyến tính

Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM a/ Định nghĩa: * Hệ thống m phương trình tuyến tính, n ẩn là hệ thống có dạng:        =+++ =+++ =+++ mnmn22m11m 2nn2222121 1nn1212111 bxa xaxa bxa xaxa bxa xaxa )1( Trong đó: a ij , b i (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x 1 , … , x n là các ẩn của hệ. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) * Ma trận               = mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211               = mmnmm n n B baaa baaa baaa A 21 222221 111211 * Ma trận được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1) được gọi là ma trận của hệ (1) Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích: * Nếu đặt               = m 2 1 b b b B thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B * Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất.               = n 2 1 x x x X ; ; Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt) b/ Chú thích (tt): * Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. * Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu hệ này không có nghiệm. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER a/ Định nghĩa: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và ma trận của hệ không suy biến. Tức là hệ có dạng:        =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa )2( 2211 22222121 11212111 Trong đó A = (a ij ) ∈ M n (K) và detA ≠ 0 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) b/ Định lý Cramer: Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: n, ,2,1i, A A x )i( i ==           = n 1 b b B Trong đó: A (i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Chú thích: * Nếu B = 0 thì hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất là X = 0. * Vậy hệ thuần nhất AX = 0 (Ở đây m = n) có nghiệm không tầm thường ⇔ detA = 0. Ví dụ: giải hệ phương trình sau      =+− =++ =−− 58 124 522 321 321 321 xxx xxx xxx Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : Ta có: 18 11-8 214 2-1-2 detA == 3,2,1i, A A x )i( i == Nhận xét: detA ≠ 0. Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức: Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt) Ví dụ (tt) : 18 115 211 215 )1( = − −− = A 18 158 214 252 )2( = − = A 36 518 114 512 )3( −= − − = A Vậy nghiệm của hệ là      −= = = 2 1 1 3 2 1 x x x [...]... THÍCH CỦA HỆ a/ Định lý Kronecker – Capeli (Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn) Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB) b/ Chú ý: * Hệ p .trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = r(AB) = n ⇔ r(A) = r(AB) < n * Hệ p .trình (1) có vô số nghiệm (lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A)) * Hệ phương trình (1) vô nghiệm Toán 2 ⇔ r(A) < r(AB) Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3... trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm nghiệm * Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nhận... 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Hệ đã cho tương đương với hệ  x1 + 2 x2 = − 4 x3 + 3x4  x2 = 5 x3 − 4 x4  Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn số tự do và nghiệm tổng quát có dạng:  x1 = −14t1 + 11t 2  x = 5t − 4t  2 1 2   x3 = t1  x4 = t 2  Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT... 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH * Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường (X ≠ 0) a/ Định lý: Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n (Số ẩn của hệ) b/ Hệ nghiệm cơ bản: Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do Do đó nghiệm tổng quát của hệ là: Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN... 0 2 − 2  0 0 0  5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 2 (tt): Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó: 2 x3 = −2   x2 = 4 + 3 x3  x = 6 − x + 2x  1 2 3 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất là:  x1 = 3   x2 = 1  x = −1  3 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  x1 + 2 x2 − 3... PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó phương trình cuối có dạng: 0.x1 + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 = 2 Vậy hệ đã cho là vô nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x1 + x2 − 2 x3 = 6 2 x + 3 x − 7 x = 16  1 2 3  5 x1 + 2 x2 + x3 = 16  3 x1 − x2 + 8 x3 = 0  Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)... 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) Nhận xét: Hệ này có nghiệm không tầm thường ⇔ detA = 0 ⇔ α = –1 Với α = –1:  1 − 1 2  h2 →h2 − 2h1  1 − 1 2    h3 →h3 − 4h1   A =  2 1 3     → 0 3 − 1  0 3 − 1  4 −1 7       1 −1 2   h3 →h3 − h2      → 0 3 − 1  0 0 0    Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN... Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3 Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a11x1 + a12 x 2 + + a1n x n = 0  a x + a x + + a x = 0  21 1 22 2 2n n (3)   a m1x1 + a m 2 x 2 + + a mn x n = 0  Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0 Với A ∈ Mmxn(K), x ∈ Mnx1(K) * Hệ. .. 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt) Ví dụ 1 (tt): 1 − 2 3 − 4  h3 → h3 + 3h2 8 − 11 h4 → h4 + 2 h2  0 − 3    →  0 0 10 − 20  0 0 10 − 20  1 − 2 3 − 4  8 11 h4 → h4 − h3  0 − 3    →  0 0 10 − 20  0 0 0 0  Toán 2 2  9 18   20   2  9 18   2  Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG... 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  ξ1k     ξ2k       ξrk  Trong đó nghiệm xk có dạng: x k =  0       1       0    Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k ξ1k = ξ(0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1 Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt): Các nghiệm x1, x2, … , xn – r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ . 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TUYẾN TÍNH Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM a/ Định nghĩa: * Hệ thống. 3 Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ này viết lại ở dạng ma. * Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu hệ này có ít nhất một nghiệm; ngược lại hệ không tương thích nếu hệ này không có nghiệm. Toán 2 Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH