hệ phương trình tuyến tính

MỘT SỐ KHÁI NIỆM ttb/ Chú thích tt: * Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là... HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER ttb/ Định lý Cra

CHƯƠNG 5:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

=+

++

=+

++

m n

mn 2

2 m 1

1 m

2 n

n 2 2

22 1

21

1 n

n 1 2

12 1

11

bx

a

xa

xa

bx

a

xa

xa

bx

a

xax

a)

1(

Trong đó: aij, bi (i=1, … , m; j=1, … , n) là những số cho trước thuộc trường k còn x1, … , xn là các ẩn của hệ

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

m m

n

n B

b a

a a

b a

a a

b a

a a

2 2

22 21

1 1

12 11

* Ma trận

được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1)

được gọi là ma trận của hệ (1)

b

bB

thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau: A.X = B

* Nếu B = 0 thì hệ (1) được gọi là hệ phương trình thuần nhất

x

xx

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM (tt)

b/ Chú thích (tt):

* Hệ thuần nhất AX = 0 luôn luôn tương thích vì nó có

ít nhất một nghiệm là X = 0 và nghiệm này được gọi là

=+

++

=+

++

n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

Trong đó A = (aij) ∈ Mn(K) và detA ≠ 0

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

b/ Định lý Cramer:

Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

n,

,2,1i

,A

Ax

) i (

bB

Trong đó: A(i) là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột

=+

12

4

52

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :

Ta có:

181

1-8

21

4

2-1-

2

3,2,1i

,A

Ax

) i (

Nhận xét: detA ≠ 0 Vậy đây là hệ phương trình Cramer nên có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAMER (tt)

Ví dụ (tt) :

181

15

21

1

21

5

) 1

58

21

4

25

8

11

4

51

2

) 3

3 2

1

x x x

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ

a/ Định lý Kronecker – Capeli

(Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình n ẩn)

Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB)

* Hệ phương trình (1) vô nghiệm ⇔ r(A) < r(AB)

b/ Chú ý:

* Hệ p.trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ r(A) = r(AB) = n

* Hệ p.trình (1) có vô số nghiệm ⇔ r(A) = r(AB) < n (lúc này số ẩn tự do của hệ là n – r(A))

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham

+

= +

+

= +

+

1 1

1

mz y

x

z my

x

z y

mx

2)1m

)(

2m

(m

11

1m

1

11

mA

Ta có:

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ (tt):

0

det 2

m z

m y

m x

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

Ví dụ (tt):

b/ Trường hợp m = 1:

Hệ đã cho tương đương với hệ gồm 1 phương trình

x + y + z = 1

Lúc này r(A) = r(AB) = 1

Vậy hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do

R t

t t

z

t y

t t

2 1

2

1

, ,

1

3 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA HỆ (tt)

= +

−

= +

+

−

1 2

1 2

1 2

z y

x

z y

x

z y

x

Ta tính được: r(A) = 2 < r(AB) = 3

Do đó trường hợp: m = – 2 hệ vô nghiệm

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ này viết lại ở dạng ma trận là: A.X = 0

+ +

= +

+ +

= +

+ +

0 x

a

x a

x a

0 x

a

x a

x a

0 x

a

x a

x a

) 3 (

n mn 2

2 m 1

1 m

n n

2 2

22 1

21

n n

1 2

12 1

11

* Hệ thuần nhất luôn có nghiệm tầm thường là:

x = (0, 0, , 0)T

a/ Định lý:

Hệ thuần nhất (3) có nghiệm không tầm thường

⇔ r(A) < n (Số ẩn của hệ)

b/ Hệ nghiệm cơ bản:

Do đó nghiệm tổng quát của hệ là:

Nếu r(A) = r < n thì hệ phương trình (3) có vô số

nghiệm trong đó có n – r ẩn tự do

* Vấn đề ta quan tâm ở đây là khi nào hệ thuần nhất có

nghiệm không tầm thường (X ≠ 0)

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

r

r n r

r

r n

r n

t x

t x

t t

t x

t t

t x

t t

t x

) , ,

, (

) , ,

, (

) , ,

, (

(*)

1 1

2 1

2 1 2 2

2 1 1 1

ζ

ζ ζ

; ở đây: t 1 , t 2 , …, t n-r tuỳ ý

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):

Trong (*) lần lượt cho:

0

1

k 1

k

Ở đây: Số 1 nằm ở hàng thứ r + k

ξ1k = ξ(0, 0, …, 1, …, 0) với vị trí thứ k bằng 1

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt) b/ Hệ nghiệm cơ bản (tt):

Các nghiệm x1, x2, … , xn – r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất

Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình thuần nhất sau đây

+

= +

− +

=

− +

+

0 2

3 5

2

0 3

0 3

4 2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

0 0

4 5

1 0

3 4

2

1

2 3

5 2

1 1

3 1

3 4

1 0

4 5

1 0

3 4

2

1

2 3

3

1 2

2

2h

h

h h h h

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

2

4 3

2

1

4 5

3 4

2

x x

x

x x

x x

Hệ đã cho tương đương với hệ

Ở đây r(A) = 2 < n = 4 nên hệ có vô số nghiệm với 2 ẩn

2 1

2

2 1

1

4 5

11 14

t x

t x

t t

x

t t

x

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

11 x

và 0

1 5 14

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

Ví dụ 2:

Với điều kiện nào của α thì hệ phương trình sau có

nghiệm không tầm thường? Tìm nghiệm tổng quát và

hệ nghiệm cơ bản của hệ trong trường hợp ấy?

−

= +

+

= +

+

0 7

4

0 3

2

0 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

) 1 (

2 3

1 2

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

4

31

2

21

0

1 3

0

2 1

1

1 3

3

1 2

2

42h h

0

1 3

0

2 1

1

2 3

3 h h h

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT (tt)

Ví dụ 2 (tt):

Ở đây r(A) = 2 < n = 3 nên hệ có vô số nghiệm với 1 ẩn

tự do và nghiệm tổng quát có dạng:

ý tùy

t t

x

t x

t x

; 3

1 3 5

3 2 1

3 2

1

3

2

x x

x x

x

Vậy với α = –1 hệ tương đương với hệ:

* Nội dung của phương pháp này là dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các phương trình của hệ đã cho để đưa nó về một hệ tương đương, đơn giản, dễ tìm nghiệm.

* Một phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính là phép biến đổi có một trong các dạng sau:

a/ Đổi chỗ 2 phương trình của hệ cho nhau

b/ Nhân 1 phương trình của hệ với một số khác không

c/ Thêm vào một phương trình bội số của phương trình khác

5 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Nhận xét: Các phép biến đổi sơ cấp nói trên chính là các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận mở rộng của hệ.

* Nội dung của phương pháp Gauss là dùng các phép biến đổi sơ cấp nói trên để đưa ma trận mở rộng của hệ

đã cho về một ma trận có dạng bậc thang

Ở dạng đó ta biết phương trình có nghiệm hay không

và việc tìm nghiệm cũng không khó khăn so với các phương pháp khác

Ta trình bày phương pháp Gauss qua một số ví dụ sau

− +

+

−

−

= +

− +

=

− +

−

8 10

3 3

5 3

2 2

3 5

3 3

2 4

3 2

4 3

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

103

03

32

12

15

33

43

21

AB

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

2 6

6 0

11 8

3 0

13 14

9 0

4 3

2 1

1 4

4

1 3

3

1 2

2

3

23

h h

2 6

6 0

13 14

9 0

11 8

3 0

4 3

2 1

3

2 h h

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

20 10

0 0

20 10

0 0

11 8

3 0

4 3

2 1

2 4

4

2 3

3

2

3

h h

0 0

0 0

20 10

0 0

11 8

3 0

4 3

2 1

3 4

4 h h h

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

−

= +

+

=

− +

=

− +

0 8

3

16 2

5

16 7

3 2

6 2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

20

0

20

0

31

0

21

1

2 4

4

2 3

3

4

3

h h

8 1

3

1 2

5

7 3

2

2 1

14 4

0

11 3

0

3 1

0

2 1

1

1 4

1

1 3

3

1 2

2

35

2

h h

0 0

0

2 0

0

3 1

0

2 1

1

3 4

4 h h h

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

1

3 2

3

2 6

3 4

2 2

x x

x

x x

3 2

1

x x x

Ma trận cuối có dạng bậc thang, trong đó:

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

− +

−

= +

− +

= +

− +

1 6

4 5

2

2 3

1 5

3 2

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

1

6 4

5 2

1 1

3 1

5 3

2 1

B

A

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

1

4 2

1 0

4 2

1 0

5 3

2

1

1 2 3

3 2 1

2

h h

h h h h

1

0 0

0 0

4 2

1 0

5 3

2

1

2 3

3 h h h

5 PHƯƠNG PHÁP GAUSS ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (tt)

= +

−

+

3 4

2

1 5

3 2

4 3

2

4 3

2

1

x x

x

x x

x x

Ta chọn ẩn số tự do là x3, x4 Lúc này hệ có vô số

nghiệm và nghiệm tổng quát có dạng:

ý tùy t

t t

x

t x

t t

x

t t

x

2 1

2 4

1 3

2 1

2

2 1

1

,

;

4 2

3

14 7

=

BÀI TẬP CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

−

= +

+

−

5 5

2

1 2

1

2 /

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x

x a

= +

+

=

− +

−

=

− +

1 3

2

3

1 2

2

1 3

/

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x b

−

= +

+

=

− +

=

− +

0 8

3

16 2

5

16 7

3 2

6 2

/

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x c

= +

−

=

− +

−

= +

−

= +

−

0 0 0 0

0 /

5 4

1

6 3

2

6 5

2 1

6 4

2

5 3

1

x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x

x a

+

= +

− +

=

− +

+

0 2

3 5

2

0 3

0 3

4

2 /

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

b

=

− +

=

− +

16 2

5

16 7

3 2

6 2

z y

x

z y

x

z y

+

= +

+

= +

+

= +

+

23 5

11 4

15 3

8 2

/

4 2

1

4 3

1

4 3

2

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x a

++

=+

+

−

63

3

62

3

62

33

3

43

2/

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

b

++

+

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

22

2

13

32

43

32

24

32

1

23

2

2 4

3 2

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

m m

mx x

x x

m mx

x x

x

m mx

x x

x

m mx

x x

x

m mx

x x

+

−

=+

−

54

12

4

73

2

2 1

3 2

1

3 2

1

x x

x x

x

x x

x

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

a/ r(A) = r(AB) = 2 < n = 4 ⇒ Hệ có vô số nghiệm

R t

t x

t t

x

t x

t x

4

2 1

3

2 2

1 1

,

; 1

3

2

1

x x x

Nghiệm tổng quát có dạng:

b/ r(A) = 3 < r(AB) = 4 ⇒ Hệ vô nghiệm

c/ r(A) = 3 = r(AB) ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất là:

2 5

1 4

1 3

3 1

2

2 1

1

,

t x

t x

t x

t x

t t

x

t t

,

0 1 0 0 0 1

,

0 0 1 1 1 1

3 2

x

Ba nghiệm cơ bản là:

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

1 3

2 1

2

2 1

1

4 5

11 14

t x

t x

t t

x

t t

11x

,0

1514

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

2 detA

6 detA

2 detA

3

z y

3x

2x

1x

4 3 2 1

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

0x

0x

2x

4 3 2 1

−

=

x x

m m

x

3 2

2 1

1 1

1

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

Bài 5 (tt):

⇒ Hệ có vô số nghiệm (Có 1 ẩn tự do)

ýtùyt

,tx

1x

1x

1x

4 3 2 1

Bài 6: Hệ này viết lại dưới dạng ma trận là: A.X = B

⇒ Nghiệm của hệ là X = A-1.B, với

PHẦN ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 5

5 4

2

3 2

1 1

5 2

1

2

1

x x x

Tức là:

Kết thúc chương 5 - Toán 2